文档文本内容
专题 4.1 等差数列与等比数列
一、单选题
1、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则等
差数列 公差 ( )
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵a =12，S =90，∴5×12+ d=90，
1 5
解得d=3．故选C．
2、已知公差不为0的等差数列 ，前 项和为 ，满足 ，且 成等比数列，则
( )
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为 ，则 ，
解得 或 (舍)，故 ，
故选：B.
3、设数列{a}是等差数列，若a+a+a＝12，则a+a+…+a＝( )
n 3 4 5 1 2 7
A．14 B．21 C．28 D．35
【答案】C
【解析】数列{a}是等差数列，则 ；
n故选：
4、(2019年高考全国III卷理数)已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，
则 ( )
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{a}的公比为 ，则 ，
n
解得 ， ，故选C．
5、等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列的性质及求和公式得， , ，
故选C.
6、(2018年高考全国I卷理数)设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 (
)
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】设等差数列的公差为 ，根据题中的条件可得 ，
整理解得 ，所以 ，故选B．
7、(2019·湖南衡阳市八中高三月考(理))公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他
提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当
比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟
仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上
乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为
当阿基里斯和乌龟的速度恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为
故选
8、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知数列 满足 且 ，则
( )
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B【解析】 ,∴数列 是以2为公差的等差数列，
，
， ， ，
故选：B.
9、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，
则 ( )
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由已知 ，得 ，
故选：C.
9、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)各项都是正数的等比数列 的公比 ，且 成
等差数列，则 的值为( )
A． B．
C． D． 或
【答案】C【解析】根据题意有 ，即 ，因为数列各项都是正数，所以 ，而
，故选C.
10、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)设等差数列 的公差为d，若数列 为递减数列，
则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 是等差数列，则 ，又由于 为递减数列，所以
，故选C.
11、(2020届山东实验中学高三上期中)古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，
五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5
尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要(
)
A．6天 B．7天 C．8天 D．9天
【答案】C
【解析】
设该女子第一天织布 尺，
则 ，
解得 ，前 天织布的尺数为： ，
由 ，得 ，
解得 的最小值为8．
故选： ．
12、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)已知 是公差为 的等差数列，前 项和是 ，若
，则( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】 ， ， ， ， .
， .
故选：D
二、多选题
13、若S 为数列{a}的前n项和，且S＝2a+1，(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
n n n n
A．a＝﹣16 B．S＝﹣63
5 5
C．数列{a}是等比数列 D．数列{S+1}是等比数列
n n
【答案】AC
【解析】：∵S＝2a+1，(n∈N*)，
n n
∴①当n＝1时，a＝S＝2a+1，∴a＝﹣1，
1 1 1 1
②当n≥2时，a＝S﹣S ＝2a+1﹣2a ﹣1，∴2a ＝a，∴ a ，
n n n﹣1 n n﹣1 n﹣1 n n =2
a
n−1
∴数列{a}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，
n
−(1−2n
)
∴a =−2n−1，S = =1−2n
n n 1−2−(1−25
)
∴a =−24=−16，S = =−31，故选项A正确，选项B错误，
5 5 1−2
又∵ ，∴数列{S+1}不是等比数列，故选项D错误，
S +1=2−2n n
n
故选：AC．
14、(2019秋•潍坊期末)设数列{a}是等差数列，S 是其前n项和，a＞0且S＝S，则( )
n n 1 6 9
A．d＞0 B．a＝0
8
C．S 或S 为S 的最大值 D．S＞S
7 8 n 5 6
【答案】BC
6×5 9×8
【解析】：a＞0且S＝S，∴6a + d＝9a+ d，化为：a+7d＝0，可得a＝0，d＜0．
1 6 9 1 1 1 8
2 2
S 或S 为S 的最大值，S＜S．
7 8 n 5 6
故选：BC．
15、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知等比数列 的公比 ，等差数列 的首项 ，
若 且 ，则以下结论正确的有( )
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】 等比数列 的公比 ，
和 异号， ，故A正确；
但不能确定 和 的大小关系；故B不正确；
和 异号，且 且 ，
和 中至少有一个数是负数，
又 ， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确；
故选：AD
16、(2020届山东省济宁市高三上期末)设等比数列 的公比为q,其前n项和为 ,前n项积为 ,并满足
条件 , ,下列结论正确的是( )
A．S <S B．
2019 2020
C．T 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
2020
【答案】AB
【解析】当 时， ，不成立；
当 时， ， 不成立；
故 ，且 ，故 ， 正确；
，故 正确；
是数列 中的最大值， 错误；
故选：
三、填空题
17、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在等差数列 ( )中，若 ， ，则
的值是______.
【答案】-15
【解析】 数列 是等差数列， ，又 ， ，
，故 .故答案为：
18、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)已知等比数列{a }的前n项和为S ，若
n n
a a =2a a ,S =−62，则a 的值是 ．
2 8 3 6 5 1
【答案】-2
a (1−25 )
【解析】∵a a =2a a ∴a 2=2a a ∴a =2a ∴q=2，S =−62∴ 1 =−62∴a =−2
2 8 3 6 5 5 4 5 4 5 1−2 1
19、(2019年高考全国I卷理数)记S 为等比数列{a}的前n项和．若 ，则
n n
S=___________．
5
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
18、(2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研)已知等差数列a的公差d不为0，且a，
n 1
a，a 成等比数列，则 的值为_____.
2 4
【答案】1
【解析】由 的等差数列 ,
因为 成等比数列,则 ,即 ,
可得 ,则 ,
故答案为：1
19、(2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)设等差数列 的前 项和为 ，若，则 的值为_______.
【答案】 .
【解析】由 得 ，即 ，
，
故答案为： .
20、(2019年高考北京卷理数)设等差数列{a}的前n项和为S，若a=−3，S=−10，则a=__________，S
n n 2 5 5 n
的最小值为___________．
【答案】 0， .
【解析】等差数列 中, ,得 又 ,所以公差 ,
,
由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于0,所以 的最小值为 或 ,即为 .
21、(2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试)如图，将数列 中的所有项按每
一行比上一行多两项的规则排成数表已知表中的第一列 构成一个公比为2的等比数列，从第2
行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，若 ，则 ________.【答案】3
【解析】 从第2行起，每一行都是一个公差为 的等差数列，
，第 行的个数为 ，
从第1行到第 行的所有数的个数总和为 ，
， 是第 行第 个数，
，
整理得 .
故答案为:3.
四、解答题
22、(2018年高考全国II卷理数)记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ，并求 的最小值．
【答案】(1)a =2n–9；(2)S =n2–8n，最小值为–16．
n n
【解析】(1)设{a }的公差为d，由题意得3a +3d=–15．
n 1
由a =–7得d=2．
1
所以{a }的通项公式为a =2n–9．
n n
(2)由(1)得S =n2–8n=(n–4)2–16．
n
所以当n=4时，S 取得最小值，最小值为–16．
n
23、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知数列 满足： .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项；
(2)求数列 的前 项和 .【答案】(1)见证明；(2)
【解析】(1)证明：因为 ，
所以 ．
因为
所以
所以 ．
又 ，
所以 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ．
(2)解：由(1)可得 ，
所以
．
24、已知等差数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；
(2)记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.【解析】(1)设等差数列 的公差为 .依题意有
解得
所以 .
(2)因为 ，
所以 .
因为 ，即 ，
所以 .所以 的最小值为
25、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，且
， 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，证明数列 是等比数列，并求 的前n项和 .
【解析】因为 是 和 的等比中项，所以
设数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，
即 ，∵ ，∴ ①
，整理得 ②
(或 ，∴ )由①②解得
所以
(2)
因为
所以数列 是以 为首项，4为公比的等比数列
所以数列 的前n项和为
26、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)在数列 中， ， ，且对任意的 N*，都有
.
(Ⅰ)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 N*都有 ，求实数 的取值
范围.
【解析】
(Ⅰ)由 可得 ．
又 ， ，所以 ，故 .
所以 是首项为2，公比为2的等比数列.所以 .
所以 .(Ⅱ)因为 .
所以
.
又因为对任意的 都有 ，所以 恒成立，
即 ,即当 时， .
27、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知数列 的前 项和为 ，且 ．公比大于 的
等比数列 的首项为 ，且 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求证： ， ．
【解析】(1)数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时， ，
当 时， ，
经检验， 满足 ，
所以，数列 的通项公式为 ；设 的公比为 ，
即 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
所以，数列 的通项公式为 .
(2) ，
当 时， ，
即 ，
， ，
当 时， ，.
28、(2020届山东实验中学高三上期中)设正项数列 的前n项和为 ，已知
(1)求证：数列 是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，若 对任意 都成立，求实数
的取值范围.
【解析】(1)证明:∵ ，且 ，
当 时， ，解得 ．
当 时，有 即 ，即
．于是 ，
即 ．
∵ ，∴ 为常数
∴数列 是 为首项， 为公差的等差数列，∴ ．
(2)由(1)可得： ，
∴，即 对任意 都成立
，
①当 为偶数时， 恒成立，
令 ，
，
在 上为增函数，
②当 为奇数时， 恒成立，又 ， 在
为增函数，
∴由①②可知：
综上所述 的取值范围为:
