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4.3.1 等比数列（1）
一、单选题
1．若各项均为正数的等比数列 满足 ，则公比 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，解得 .
故选C.
2．在递增等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于数列为等比数列，故 ，
由于数列是递增的数列，故解得 ，故 ，
故选D.
3．下列说法正确的是（ ）
A．等差数列不可能是等比数列
B．常数列必定既是等差数列又是等比数列
C．若一个数列既是等比数列又是等差数列，则这个的数列必是常数列
D．如果一个数列的前n项和是关于n的二次函数，那么这个数列必定是等差数列
【答案】C
【解析】公差为0，首项不为0的等差数列，也是等比数列，故AB错误；C正确；
等差数列的前 项和为 ，常数项为0，故D错误；故选C
4．在等比数列 中， ，公比 .若 ，则m=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由等比数列的性质可知 ，
故选C.
5．设 是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A． 成等比数列 B． 成等比数列
C． 成等比数列 D． 成等比数列
【答案】D
【解析】 项中 ，故 项说法错误； 项中
，故 项说法错误； 项中 ，
故 项说法错误；故 项中 ，故 项说法正确，
故选D.
6．已知各项均为正数的等比数列 中，lg(aaa )＝6，则a·a 的值为（ ）
3 8 13 1 15
A．100 B．－100 C．10 000 D．－10 000
【答案】C
【解析】由对数的计算可得： ，由等比数列性质： ，
所以： ， .
故选C.
7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为（ ）A． B．3 C．± D．±3
【答案】B
【解析】设等差数列公差为d，首项为 ，则 ， ， ，
由等比中项公式： ，化简可得： .
所以： ， ，作比可得公比为：3.
故选B.
8．在等比数列 中， 则 （ ）
A．81 B． C． D．243
【答案】A
【解析】因为等比数列 中， 则 ，
故选A
9．在等比数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ， ，
.
故选C
10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的
键盘上，一个八度音程从一个 键到下一个 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音 的频率正好是中音 的2倍．已知标准音 的频率为 ，那么频率为
的音名是（ ）
A．d B．f C．e D．#d
【答案】D
【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比 ．故从 起，每一
个单音的频率与它右边的一个单音的比为
由 ，解得 ，
频率为 的音名是 ，
故选D.
11．在等差数列 中， ，数列 是等比数列.若 ，则满足不等式
的最小正整数n是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
设等比数列的公比为 ，则 ，所以 ，
由 得 ，解得 ，所以 .
故选C
12．等比数列的首项 ，公比 ，设 表示数列 前n项的积，则 中最大的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的首项 ，公比 ，可得 ，
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
当 时， ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
当 时，可得 ；当 时，可得 .
当 时，可得 ；当 时，可得 ，又由 ，
所以
所以当 时，可得 中最大的是 .
故选B.
二、填空题
13．已知等比数列 ，则 ______.
【答案】2
【解析】由于数列是等比数列，故 .
故填
14．若 组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．
【答案】
【解析】由 组成等比数列，
可得 ，解得 或者 ，
当 时，等比数列前三项是 ，舍去；
当 时，等比数列前三项是 ，可得该数列的第4项的值为 ，
故填 .15．已知 ， ， ， 是以2为公比的等比数列，则 ______.
【答案】
【解析】由题可知， ， ，则
故填
16．已知 是等比数列， ，且 ，则 等于______.
【答案】6
【解析】 是等比数列，所以 ，
所以
，
所以 ，
而 ，所以 ，
故填6.
17．数列 是等比数列，且 ，则 ______.
【答案】40
【解析】数列 是等比数列，且 ，
则 ，
由对数运算及等比数列的性质化简可知，
故填40.
18．设等比数列 满足a+a=10，a+a=5，则aa…a 的最大值为 ．
1 3 2 4 1 2 n
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，由 得， ，解得 .
所以 ，
于是当 或 时， 取得最大值 .
故填64
三、解答题
19．已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，求 的值．
【解析】因为 成等差数列，
所以 ，即 ．
设数列 的公比为q，则 ，即 ．
解得 或 （舍去）．
．
20．在等比数列 中， .
（1）求 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设 的公比为q，依题意得 ，
解得 ，因此， .
（2）因为 ，
所以数列 的前n项和 .
21．已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
【解析】（1）由条件可得 ．
将 代入得， ，而 ，所以， ．将 代入得， ，所以， ．
从而 ， ， ；
（2） 是首项为 ，公比为 的等比数列．
由条件可得 ，即 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列；
（3）由（2）可得 ，所以 ．
22．已知数列 是公比大于1的等比数列 ， ，且 是 与 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前n项和，记 ，证明： ．
【解析】（1）设数列 公比为 ， ，
①因为 是 与 的等差中项，所以有
②，由①②组成方程组为： ，
因为 ，所以方程组的解为： ，
所以数列 的通项公式为： ；
（2） ， ，命题得证.
