北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.2 等差数列
基础篇
【基础集训】
考点一 等差数列的有关概念及运算
1.若{a}为等差数列,且a-2a=-1,a=0,则公差d等于 ( )
n 7 4 3
1 1
A.-2 B.- C. D.2
2 2
答案 B
2.已知在等差数列{a}中,a=1,a=2a+1,a=3a+2,若S=a+a+…+a,且S=66,则k的值为 ( )
n 1 3 5 n 1 2 n k
A.9 B.11 C.10 D.12
答案 B
3.设等差数列{a}满足3a=5a ,且a>0,S 为其前n项和,则数列{S}的最大项为( )
n 8 15 1 n n
A.S B.S C.S D.S
23 24 25 26
答案 C
4.已知数列{a
n
}满足a
1
=1,且a
n+1
= 2a
n
.
2 2+a
n
(1)求证:数列{1 }是等差数列;
a
n
(2)若b=aa ,求数列{b}的前n项和S.
n n n+1 n n
考点二 等差数列的性质
5.设S n 是等差数列{a n }的前n项和,若 a 6 = 9 ,则 S 11 = ( )
a 11 S
5 9
1
A.1 B.-1 C.2 D.
2
答案 A
5
6.已知等差数列{a}的前n项和为S,且a= ,S=9,则a= ( )
n n 3 9 7
2
1 1
A. B.1 C.- D.2
2 2
答案 C
S S
7.已知数列{a}是公差为d的等差数列,S 为其前n项和,若 2 017 - 17=100,则d的值为( )
n n
2 017 17
1 1
A. B. C.10 D.20
20 10
答案 B
8.在等差数列{a}中,a+a=37,则a+a+a+a= .
n 3 7 2 4 6 8北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 74
9.已知A
n
及B
n
是等差数列{a
n
}、{b
n
}的前n项和,且 A
n
=3n+1,则 a
11
= .
B 4n+1 b
n 11
64
答案
85
10.已知数列{a}是等差数列.
n
(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;
(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 等差数列的有关概念及运算
1.已知等差数列{a}中,a=1,前5项和S=-15,则数列{a}的公差为 ( )
n 2 5 n
5
A.-3 B.- C.-2 D.-4
2
答案 D 设等差数列{a}的公差为d,
n
{ a +d=1,
因为{ a 2 =1, 所以 5 1 ×4 解得d=-4,故选D.
S =-15, 5a + d=-15,
5 1 2
2.(2019福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列{a}的公差为-2,前n项和为S,a,a,a 为某三角形的三边长,且该
n n 3 4 5
三角形有一个内角为120°,若S≤S 对任意的n∈N*恒成立,则实数m= ( )
n m
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B ∵等差数列{a}的公差为-2,又a,a,a 为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,
n 3 4 5
∴ = + -2a·acos 120°,
a2 a2 a2 4 5
3 4 5
1
即(a+2)2=a2+(a-2)2+2a(a-2)× ,
4 4 4 4 4 2
整理为 a2 -5a 4 =0,又a 4 ≠0,∴a 4 =5,
4
∴a=7,a=3,a=1,a=-1.
3 5 6 7
∵S≤S 对任意的n∈N*恒成立,∴实数m=6.故选B.
n m
3.(2020浙江慈溪期中,11)设等差数列{a}的前n项和为S(n∈N*),若a=3,a=-11,则a= ,S= .
n n 1 5 3 5
答案 -4;-20
解析 本题考查等差数列的前n项和、通项公式及性质;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心
素养.
3-11
解法一:由2a=a+a,得a= =-4.
3 1 5 3
2
S=a+a+a+a+a=5a=-20.
5 1 2 3 4 5 3
解法二:设等数列{a}的公差为d,
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
{a =3,
由{ a 1 =3, 得 1 7
a =a +4d=-11, d=- ,
5 1 2
5×4
所以a=a+2d=-4,S=5a+ d=-20.
3 1 5 1
2
考点二 等差数列的性质及应用
(2018河北唐山第二次模拟,7)设{a}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,
n
则下列等式中恒成立的是 ( )
A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y
C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y
答案 D 设数列{a}的前3n项和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,
n
所以2(Y-X)=X+R-Y,得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.
综合篇
【综合集训】
考法一 等差数列的判定与证明
1.(2019河北冀州模拟,9)已知{a},{b}均为等差数列,且a=4,a=6,b=3,b=9,由{a},{b}的公共项组成新数列{c},
n n 2 4 3 7 n n n
则c = ( )
10
A.18 B.24 C.30 D.36
答案 C
2.(2021届湖北宜昌葛洲坝中学9月月考)已知数列{a}满足a=3,(n+2)a =(n+3)a+n2+5n+6(n∈N*).
n 1 n+1 n
(1)证明:{ a
n
}为等差数列;
n+2
1
(2)设b= (n∈N*),求数列{b}的前n项和S.
n a n n
n
考法二 等差数列前n项和及性质问题
3.(2020福建泉州毕业班适应性线上测试)已知{a}是公差为3的等差数列.若a,a,a 成等比数列,则{a}的前10
n 1 2 4 n
项和S = ( )
10
A.165 B.138 C.60 D.30
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4.(2020浙江高中发展共同体期末)已知{a}是公差为d的等差数列,前n项和是S,若S<S<S ,则 ( )
n n 9 8 10
A.d>0,S >0 B.d<0,S <0
17 17
C.d>0,S <0 D.d>0,S >0
18 18
答案 D
5.(2021届江苏启东中学检测,19)在公差不为0的等差数列{a}中,a,a,a 成等比数列.
n 1 4 8
(1)已知数列{a}的前10项和为45,求数列{a}的通项公式;
n n
1 1 1
(2)若b= ,且数列{b}的前n项和为T,若T= - ,求数列{a}的公差.
n a a n n n 9 n+9 n
n n+1
6.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,17)数列{a}是公差不为0的等差数列,若a=2a,且4,a,a 成等比数列.
n 4 2 4 8
(1)证明:4是数列{a}中的一项;
n
(2)记S 为数列{a}的前n项和,求数列{1 }的前n项和T.
n n n
S
n
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 等差数列的判定与证明
1.(2019广东珠海3月联考,5)已知数列{a n }中,a 1 =1, S n+1 =n+1,则数列{a n } ( )
S n
n
A.既非等差数列,又非等比数列
B.既是等差数列,又是等比数列
C.仅为等差数列
D.仅为等比数列
答案 B 根据题意,数列{a n }中, S n+1 =n+1,则 S n = n (n≥2),则S n = S n × S n-1 ×…× S 2 ×S 1 = n ×
S n S n-1 S S S n-1
n n-1 n-1 n-2 1
n-1 2
×…× ×1=n(n≥2),当n=1时,S=a=1符合,则当n≥2时,a=S-S =n-(n-1)=1,当n=1时,a=1符合,故
n-2 1 1 1 n n n-1 1
a=1(n∈N*),则数列{a}为非零的常数列,它既是等差数列,又是等比数列,故选B.
n n
3a -1
2.(2020 5·3原创题)数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=
n
.
4a -1
n
(1)求证:{ 1 }是等差数列;
2a -1
n
(2)求a.
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1
解析 (1)证明: 1 - 1 = 3a -1 - 1 = 4a n -1 - 1 =
2a -1 2a -1 2· n -1 2a -1 2(3a -1)-(4a -1) 2a -1
n+1 n 4a -1 n n n n
n
4a
n
-1 - 1 =2,
2a -1 2a -1
n n
因此{ 1 }是等差数列.
2a -1
n
(2)由(1)知,{ 1 }是以 1 =1为首项,2为公差的等差数列,故 1 =2n-1,解得a= n .
n
2a -1 2a -1 2a -1 2n-1
n 1 n
a (a +a ) 1
3.(2018山东济南一中1月检测,18)各项均不为0的数列{a}满足 n+1 n n+2 =a a,且a=2a= .
n 2 n+2 n 3 8 5
(1)证明:数列{1 }是等差数列,并求数列{a}的通项公式;
n
a
n
a
(2)若数列{b}的通项公式为b= n ,求数列{b}的前n项和S.
n n 2n+6 n n
解析 (1)依题意,a a+a a =2a a,两边同时除以aa a ,可得 1 + 1 = 2 ,故数列{1 }是等差数
n+1 n n+2 n+1 n+2 n n n+1 n+2
a a a a
n+2 n n+1 n
列.
设数列{1 }的公差为d.因为a=2a=1,所以 1 =5, 1 =10,所以 1 - 1 =5=5d,即d=1,
3 8
a 5 a a a a
n 3 8 8 3
1 1 1
故 = +(n-3)d=5+(n-3)×1=n+2,故a= .
a a n n+2
n 3
(2)由(1)可知b
n
= a
n
=1· 1 =1( 1
-
1 ),
2n+6 2 (n+2)(n+3) 2 n+2 n+3
故S
n
=1(1
-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 )= n .
2 3 4 4 5 n+2 n+3 6(n+3)
4.(2019浙江金丽衢联考,20)已知数列{a n },a 1 =2,a 2 =6,且满足 a n+1 +a n-1 =2(n≥2且n∈N*).
a +1
n
(1)求证:{a -a}为等差数列;
n+1 n
10(n+1) 1
(2)令b= - ,设数列{b}的前n项和为S,求{S -S}的最大值.
n a 2 n n 2n n
n
a +a
解析 (1)证明:由 n+1 n-1 =2得a n+1 +a n-1 =2a n +2,则(a n+1 -a n )-(a n -a n-1 )=2.又a 2 -a 1 =4,
a +1
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所以{a -a}是首项为4,公差为2的等差数列. ( 5分)
n+1 n
n(n+1)
(2)当n≥2时,由(1)知a=(a-a )+…+(a-a)+a=2n+…+4+2=2· =n(n+1).
n n n-1 2 1 1
2
当n=1时,a=2满足a=n(n+1),故a=n(n+1). (8分)
1 n n
10(n+1) 1 10 1
∴b= - = - .
n n(n+1) 2 n 2
∴S
n
=10(
1+
1
+…+
1)-n,
2 n 2
∴S
2n
=10(
1+
1
+…+
1
+
1
+
1
+…+
1 )-2n.
2 n n+1 n+2 2n 2
设M
n
=S
2n
-S
n
=10( 1
+
1
+…+
1 )-n,(11分)
n+1 n+2 2n 2
∴M
n+1
=10( 1
+
1
+…+
1
+
1
+
1 )-n+1,
n+2 n+3 2n 2n+1 2n+2 2
∴M
n+1
-M
n
=10( 1
+
1
-
1 )-1=10( 1
-
1 )-1= 10 -1.
2n+1 2n+2 n+1 2 2n+1 2n+2 2 (2n+1)(2n+2) 2
10 1
当n=1时,M -M= - >0,即M<M;
n+1 n 1 2
3×4 2
当n≥2时,M -M<0,即M>M>M>…,
n+1 n 2 3 4
∴M
n
的最大值为M
2
,M
2
=10×(1
+
1)-1=29,
3 4 6
29
即{S -S}的最大值为S-S= . (15分)
2n n 4 2
6
考法二 等差数列前n项和及性质问题
S S
1.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{a}的前n项和为S,a=9, 9- 5=-4,则S 取最大值时的n为( )
n n 1 n
9 5
A.4 B.5 C.6 D.4或5
S S
答案 B 由{a}为等差数列,得 9- 5=a-a=2d=-4,即d=-2,由于a=9,所以a=-2n+11,令a=-2n+11>0,得n<
n 5 3 1 n n
9 5
11
,所以S 取最大值时的n为5,故选B.
n
2
2.(2018广东深圳期末,14)设等差数列{a}的前n项和为S,若a=-11,a+a=-6,则当S 取最小值时,n= .
n n 1 4 6 n
答案 6
解析 设数列{a}的公差为d,
n
则a+a=2a+8d=2×(-11)+8d=-6,∴d=2.
4 6 1
n(n-1)
∴S=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36.
n
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∴当n=6时,S 最小.
n
3.(2020 5·3原创题)等差数列{a}中,a>0,若a+a+a+…+a =2 020,则aa 的最大值是 .
n n 1 3 5 201 2 200
答案 400
解析 易知a,a,a,…,a 成等差数列,且项数为101,
1 3 5 201
(a +a )×101
1 201
由等差数列求和公式得 =2 020,
2
故a+a =40,
1 201
因为a
n
>0,所以由基本不等式知a
2
a
200
≤(a
2
+a
200
) 2 =(a
1
+a
201
) 2 =400.故a
2
a
200
的最大值是400.
2 2
4.(2018山东青岛调研,17)已知S 是数列{a}的前n项和,S=3×2n-3,其中n∈N*.
n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)数列{b}为等差数列,T 为其前n项和,b=a,b =S,求T 的最值.
n n 2 5 11 3 n
解析 (1)由S=3×2n-3,n∈N*,得
n
(i)当n=1时,a=S=3×21-3=3.
1 1
(ii)当n≥2时,a=S-S =(3×2n-3)-(3×2n-1-3)=3×(2n-2n-1)=3×2n-1(*).又当n=1时,a=3也满足(*)式.
n n n-1 1
所以,对任意n∈N*,都有a=3×2n-1.
n
(2)解法一:设等差数列{b}的首项为b,公差为d,由(1)得b=a=3×25-1=48,b =S=3×23-3=21.
n 1 2 5 11 3
由等差数列的通项公式得
{ b
2
=b
1
+d=48, 解得{b
1
=51,
b =b +10d=21, d=-3.
11 1
所以b=54-3n.
n
∵b -b=-3<0,
n+1 n
∴b 随着n的增大而减小,
n
令b=0,解得n=18,∴当n≤17的b>0,当n>19时,b<0.
n n n
所以T 有最大值,无最小值,且T (或T )为T 的最大值,
n 18 17 n
18(b +b )
T = 1 18 =9×(51+0)=459.
18
2
n(n-1)
解法二:由解法一可知T=51n+ ×(-3)
n
2
3 105
=- n2+ n
2 2
=-3(n2-35n)=-3[ ( 35) 2 1 225]
n- -
2 2 2 4
=-3( 35) 2 +3 675,
n-
2 2 8
∵n∈N*,∴当n=17或18时,T 有最大值,T =T =459.
n 17 18
