北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
模块卷(一)
时间:120分钟 分值:150分
三角函数、向量、数列
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020贵州贵阳一中9月月考,5)在等差数列{a}中,a≠0(n∈N*),角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴
n n
sinα+2cosα
重合,终边经过点(a,a+a),则 = ( )
2 1 3 sinα-cosα
A.5 B.4 C.3 D.2
a +a
答案 B 由三角函数定义可知,tan α= 1 3,又知数列{a n }为等差数列,a n ≠0,∴a 1 +a 3 =2a 2 ,∴tan α=2,则
a
2
sinα+2cosα tanα+2 2+2
= = =4.
sinα-cosα tanα-1 2-1
1 2√5
2.(2020广东佛山一中9月月考,8)已知α,β为锐角,且tan α= ,cos(α+β)= ,则cos 2β= ( )
7 5
3 2 4 7√2
A. B. C. D.
5 5 5 10
答案 C ∵α,β∈( π),∴α+β∈(0,π).
0,
2
2√5 √5
∵cos(α+β)= ,∴sin(α+β)= .
5 5
1 √2 7√2
∵tan α= ,∴sin α= ,cos α= .
7 10 10
2√5 7√2 √5 √2 3√10
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= × + × = ,
5 10 5 10 10
9 4
∴cos 2β=2cos2β-1=2× -1= ,故选C.
10 5
π
3.(2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度,再将所得函数图象上的所
6
有点的横坐标缩短到原来的2,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)( π)的图象.已知函数g(x)
A>0,ω>0,|φ|<
3 2
的部分图象如图所示,则函数f(x)( )
2
A.最小正周期为 π,最大值为2
3
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B.最小正周期为π,图象关于点(π )中心对称
,0
6
2 π
C.最小正周期为 π,图象关于直线x= 对称
3 6
D.最小正周期为π,在区间[π π]上单调递减
,
6 3
答案 D 对于g(x),由题图可知,A=2,T=4(2π π )=2π,又∵ω>0,∴ω=2π=3.则g(x)=2sin(3x+φ),又由g
-
9 18 3 T
(2π)=2可得2sin( 2π )=2,则2π+φ=2kπ+π,k∈Z,∴φ=-π+2kπ,k∈Z,而|φ|<π,∴φ=-π.
3× +φ
9 9 3 2 6 2 6
∴g(x)=2sin( π),∴f(x)=2sin( π).
3x- 2x+
6 6
∴f(x)的最小正周期为π,选项A,C错误.
对于选项B,令2x+π=kπ(k∈Z),所以x=kπ- π ,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为(kπ π )
- ,0
6 2 12 2 12
(k∈Z),所以选项B是错误的.当x∈[π π]时,2x+π∈[π 5π],所以f(x)在[π π]上是减函数,所以
, , ,
6 3 6 2 6 6 3
选项D正确.故选D.
4.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为 (
)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
答案 D 由正弦定理得sin C=sin B(cos A+cos B),即sin(A+B)=sin B(cos A+cos B),也即sin Acos B+cos
π
Asin B=sin Bcos A+sin Bcos B,所以(sin A-sin B)cos B=0,所以cos B=0或sin A=sin B,所以B= 或A=B.故
2
△ABC为直角三角形或等腰三角形,故选D.
5.(2019山东济宁模拟,8)设数列{a}满足a=1,a=2,且2na=(n-1)a +(n+1)a (n≥2且n∈N*),则a = ( )
n 1 2 n n-1 n+1 18
25 26 28
A. B. C.3 D.
9 9 9
答案 B 令b=na,
n n
则由2na=(n-1)a +(n+1)a (n≥2且n∈N*),得2b=b +b (n≥2且n∈N*),
n n-1 n+1 n n-1 n+1
∴数列{b}构成以1为首项,以2a-a=3为公差的等差数列,
n 2 1
3n-2 3×18-2 26
则b=1+3(n-1)=3n-2,即na=3n-2,∴a= ,∴a = = .故选B.
n n n 18
n 18 9
6.(2020九师联盟,6)已知{a}是正项等比数列,{b}是等差数列,且a=b,则( )
n n 4 5
A.a+a≥b+b B.a+a≤b+b
2 6 3 7 2 6 3 7
C.a+a≠b+b D.a+a=b+b
2 6 3 7 2 6 3 7
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答案 A ∵{a n }是正项等比数列,{b n }是等差数列,a 4 =b 5 ,∴由基本不等式可得,a 2 +a 6 ≥2 √a a =2 √a2
2 6 4
=2a=2b=b+b,故选A.
4 5 3 7
解题关键 利用基本不等式得到a+a≥2 是解答本题的关键.
2 6 √a a
2 6
7.(2019湖南衡阳第八中学第二次月考,10)在等差数列{a}中,a=21,公差为d,前n项和为S,当且仅当n=8时,S
n 1 n n
取得最大值,则d的取值范围是 ( )
A.[ 21) B.( 7 )
-3,- - ,-3
8 2
C.( 21) D.[ 7 )
-3,- - ,-3
8 2
n(n-1)d
答案 C 根据题意,知S=21n+ .
n
2
∵当且仅当n=8时,S n
取得最大值,∴{S
7
<S
8
,
S <S ,
9 8
{
d>-3,
则{147+21d<168+28d,解得
21
189+36d<168+28d, d<- ,
8
∴d的取值范围为( 21).故选C.
-3,-
8
a b
8.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是 (
|a| |b|
)
A.a∥b B.a=2b
C.a∥b且|a|=|b| D.a=-b
a b
答案 B 对于A,当a∥b时, 与 可能同向也可能反向,故A错误;
|a| |b|
a 2b b
对于B,当a=2b时, = = ,故B正确;
|a| |2b| |b|
a b
对于C,当a∥b且|a|=|b|时, 与 可能同向也可能反向,故C错误;
|a| |b|
a b b
对于D,当a=-b时, =- ≠ ,故D错误.综上,选B.
|a| |b| |b|
9.(2020贵州遵义摸底考试,6)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|=2,则向量a-b在向量a方向上的投影为 (
)
A.-1 B.1 C.2 D.3
答案 B 设向量a-b与向量a的夹角为θ,则向量a-b在向量a方向上的投影为|a-b|cos θ=|a-b|·
(a-b)·a (a-b)·a a2-a·b 22-2×2×cos60°
= = = =1,故选B.
|a-b|·|a| |a| |a| 2
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10.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且⃗OG·⃗BC=5,则△ABC的形
状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能
答案 B 在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点D,连接AD,OD,OG,如图所示,
1 1
则OD⊥BC,GD= AD,⃗OG=⃗OD+⃗DG,⃗AD= (⃗AB+⃗AC),由⃗OG·⃗BC=5,得(⃗OD+⃗DG)·⃗BC=⃗DG·
3 2
1 1
⃗BC=- (⃗AB+⃗AC)·⃗BC=5,即- (⃗AB+⃗AC)·(⃗AC-⃗AB)=5,故|⃗AC|2-|⃗AB|2=-30,又BC=5,∴|⃗AB|2=|⃗AC|2+
6 6
6
|⃗BC|2>|⃗AC|2+|⃗BC|2,∴cos C<0,
5
π
∴ <C<π,∴△ABC是钝角三角形.故选B.
2
11.(2020河南尖子生8月联考,10)当x∈[ π]时,不等式m<sin x(cos x- sin x)+√3<m+2恒成立,则实
0, √3
2 2
数m的取值范围为 ( )
A.( 1 1) B.[ √3]
- ,- -1,-
2 4 2
C.( √3 1) D.( √3)
- ,- -1,-
2 2 2
√3 √3 1 1-cos2x
答案 D 设f(x)=sin x(cos x-√3sin x)+ ,则f(x)=sin x·cos x-√3sin2x+ = sin 2x-√3× +
2 2 2 2
√3=1sin 2x+√3cos 2x=sin( π).
2x+
2 2 2 3
∵x∈[ π],∴2x+π∈[π 4 ],
0, , π
2 3 3 3
∴sin( π)∈[ √3 ].
2x+ - ,1
3 2
由题意知m<f(x)<m+2在x∈[ π]上恒成立,
0,
2
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即{ m<f (x) min , ∴ { m<- √3 ,
2
m>f (x) -2,
max m>-1,
∴实数m的取值范围为( √3),故选D.
-1,-
2
1
12.(2019浙江温州普通高中适应性测试,10)已知数列{a}中的各项都小于1,a= ,a2 -2a =a2-a(n∈N*),记
n 1 2 n+1 n+1 n n
S=a+a+a+…+a,则S 的取值范围为( )
n 1 2 3 n 10
A.( 1) B.(1 3) C.(3 ) D.(1,2)
0, , ,1
2 2 4 4
答案 B ∵ a2 -2a n+1 = a2 -a n ,
n+1 n
a a -1
∴ n+1 = n >0,∴a n ,a n+1 同号,
a a -2
n n+1
1
又a= ,∴a>0,
1 n
2
∵S =(2a -a)+(2a-a)+…+(2a-a)+2a-a =( - )+( - )+…+( - )+2a-a = - +2a-a =
10 10 9 9 8 2 1 1 10 a2 a2 a2 a2 a2 a2 1 10 a2 a2 1 10
10 9 9 8 2 1 10 1
( a - 1) 2 +1,又∵a 10 ∈(0,1),∴S 10 ∈(1 , 3),故选B.
10 2 2 2 4
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2019山东烟台调研,14)在△ABC中,点M,N满足⃗AM=2⃗MC,⃗BN=⃗NC,若⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,则x+y=
.
1
答案
3
1 1 1 1 1 1
解析 ⃗MN=⃗MC+⃗CN= ⃗AC+ ⃗CB= ⃗AC+ (⃗AB-⃗AC)= ⃗AB- ⃗AC,
3 2 3 2 2 6
1 1
又⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,所以x= ,y=- ,
2 6
1 1 1
故x+y= - = .
2 6 3
14.(2020四川南充高级中学摸底,14)函数y=cos(x+10°)+cos(x+70°)的最小值是 .
答案 -√3
解析 y=cos(x+10°)+cos[(x+10°)+60°]=cos(x+10°)+cos(x+10°)cos 60°-sin(x+10°)sin 60°
1 √3
=cos(x+10°)+ cos(x+10°)- sin(x+10°)
2 2
3 √3
= cos(x+10°)- sin(x+10°)=√3sin[60°-(x+10°)]
2 2
=√3sin(50°-x)=-√3sin(x-50°).
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∵x∈R,∴当x=140°+k·360°(k∈Z)时,函数取得最小值-√3.
15.已知点A,B,C满足|⃗AB|=3,|⃗BC|=4,|⃗CA|=5,则⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB的值为 .
答案 -25
π 3 4
解析 解法一(定义法):由题意可知△ABC为直角三角形,且∠B= ,cos A= ,cos C= .
2 5 5
∴⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB=⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB=4×5×cos(π-C)+5×3×cos(π-A)=-20cos C-15cos
4 3
A=-20× -15× =-25.
5 5
解法二(坐标法):易知∠ABC=90°.如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,0),C(0,4).
∴⃗AB=(-3,0),⃗BC=(0,4),⃗CA=(3,-4),∴⃗AB·⃗BC=-3×0+0×4=0,⃗BC·⃗CA=0×3+4×(-4)=-16,⃗CA·⃗AB
=-3×3+0×(-4)=-9.
∴⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB=-25.
解法三(几何意义法):易知∠ABC=90°.⃗CA在⃗BC方向上的投影为数量-|⃗CB|,⃗CA在⃗AB方向上的投影为数
量-|⃗BA|,
因此⃗BC·⃗CA=-⃗BC2=-16,⃗CA·⃗AB=-⃗AB2=-9,⃗AB·⃗BC=0,
∴⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB=-25.
解法四(性质法):易知∠ABC=90°.⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB=0+⃗CA·(⃗BC+⃗AB)=⃗CA·⃗AC=-|⃗AC|
2=-25.
解法五(平方法):∵⃗AB+⃗BC+⃗CA=0,∴(⃗AB+⃗BC+⃗CA)2=0,
∴⃗AB2+⃗BC2+⃗CA2+2⃗AB·⃗BC+2⃗BC·⃗CA+2⃗CA·⃗AB=0.
1
∴⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB=- (⃗AB2+⃗BC2+⃗CA2)=-25.
2
16.(2019湖南郴州第二次教学质量监测,16)已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
a
2
a
3
…a
n
=2b n(n∈N*),若数列{a
n
}为等比数
列,且a=2,a=16,则数列{1 }的前n项和S= .
1 4 n
b
n
2n
答案
n+1
解析 ∵{a}为等比数列,且a=2,a=16,
n 1 4
∴公比q=√
3
a 4=√
3
16=2,
a 2
1
∴a=2n,
n
∴aaa…a=21×22×23×…×2n=21+2+3+…+n=
n(n+1)
.
1 2 3 n 2 2
∵a
1
a
2
a
3
…a
n
=2b n,
n(n+1)
∴b= ,
n
2
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∴ 1 = 2 =2(1 1 ),
-
b n(n+1) n n+1
n
∴{1 }的前n项和S=b+b+b+…+b
n 1 2 3 n
b
n
=2(1 1 1 1 1 1 1 1 )
- + - + - +…+ -
1 2 2 3 3 4 n n+1
=2( 1 )= 2n .
1-
n+1 n+1
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2020西南地区名校联盟8月联考,17)已知函数f(x)=1sin 2xcos φ+sin2xsin φ+1cos(π )+
+φ
2 2 2
1( π π),其图象过点(π ).
- <φ< ,1
2 2 2 6
(1)求f(x)的解析式,并求其图象的对称中心;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,然后各点横坐标保持不变,纵坐
标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,求函数g(x)在[ π]上的最大值和最小值.
0,
2
1 1 1
解析 (1)f(x)= sin 2xcos φ+sin2xsin φ- sin φ+
2 2 2
1 1-cos2x 1 1
= sin 2xcos φ+ ×sin φ- sin φ+
2 2 2 2
1 1 1
= sin 2xcos φ- cos 2xsin φ+
2 2 2
1 1
= sin(2x-φ)+ .
2 2
∵f(x)的图象过点(π ),∴1sin(π )+1=1,
,1 -φ
6 2 3 2
即sin(π )=1,∴π-φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=-2kπ-π(k∈Z).
-φ
3 3 2 6
π π π
∵- <φ< ,∴φ=- .
2 2 6
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则f(x)=1sin( π)+1,由2x+π=kπ(k∈Z)得x=kπ- π (k∈Z),故其图象的对称中心为
2x+
2 6 2 6 2 12
(kπ π 1),k∈Z.
- ,
2 12 2
1
(2)将y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标扩大为原来的2倍,所得图象对应的函数解析式为y=
2
sin( π)+1.
x+
6 2
又将所得图象各点横坐标保持不变,纵坐标扩大为原来的2倍,得到g(x)的图象,
则g(x)=sin( π)+1.由x∈[ π]得x+π∈[π 2π],
x+ 0, ,
6 2 6 6 3
π π π
当x+ = ,即x= 时,g(x)取最大值2;
6 2 3
π π 3
当x+ = ,即x=0时,g(x)取最小值 .
6 6 2
18.(12分)(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,满足⃗AB⊥⃗AC,M是BC的中点.
(1)若|⃗AB|=|⃗AC|,求向量⃗AB+2⃗AC与向量2⃗AB+⃗AC的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且|⃗AB|=|⃗AC|=√2,求⃗OA·⃗OB+⃗OC·⃗OA的最小值.
解析 (1)设向量⃗AB+2⃗AC与向量2⃗AB+⃗AC的夹角为θ,因为⃗AB⊥⃗AC,所以⃗AB·⃗AC=0,所以
cos
θ=(⃗AB+2⃗AC)·(2⃗AB+⃗AC)= 2⃗AB2+2⃗AC2
,设| |=| |=a(a>0),
⃗AB ⃗AC
|⃗AB+2⃗AC|·|2⃗AB+⃗AC| |⃗AB+2⃗AC|·|2⃗AB+⃗AC|
2a2+2a2 4
则cos θ= = . (5分)
√5a·√5a 5
(2)∵|⃗AB|=|⃗AC|=√2,∴|⃗AM|=1,
设|⃗OA|=x(0≤x≤1),则|⃗OM|=1-x.(8分)
因为⃗OB+⃗OC=2⃗OM,
所以 · + · = ·( + )=2 · =2| |·| |cos π=2x2-2x=2( 1) 2 -1.
⃗OA ⃗OB ⃗OC ⃗OA ⃗OA ⃗OB ⃗OC ⃗OA ⃗OM ⃗OA ⃗OM x-
2 2
1 1
因为0≤x≤1,所以当且仅当x= 时,⃗OA·⃗OB+⃗OC·⃗OA取最小值- . (12分)
2 2
19.(12分)(2019上海浦东二模,18)已知向量m=(2sin ωx ,cos 2ωx),n=(√3cos ωx,1),其中ω>0,若函数f(x)=m·n
的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=√3,sin B=√3sin A,求⃗BA·⃗BC的值.
解析 (1)f(x)=m·n=√3sin 2ωx+cos 2ωx
=2sin( π),
2ωx+
6
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2π
∵f(x)的最小正周期为π,∴T= =π,∴ω=1.
2ω
(2)设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
∵f(B)=-2,∴2sin( π)=-2,
2B+
6
即sin( π)=-1,解得B=2π.
2B+
6 3
∵BC=√3,∴a=√3,∵sin B=√3sin A,
3
√3 1
∴b=√3a,∴b=3,由 2π = 得sin A= ,
sin sin A 2
3
π π π
∵0<A< ,∴A= ,则C= ,∴a=c=√3,
3 6 6
3
∴⃗BA·⃗BC=cacos B=- .
2
20.(12分)(2020湖北沙市中学第二次周考,7)在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(2c-a)cos
B-bcos A=0.
(1)求角B的大小;
3√21
(2)已知c=2,AC边上的高BD= ,求△ABC的面积S.
7
解析 (1)∵(2c-a)cos B-bcos A=0,
∴由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B-sin Bcos A=0,
∴2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A,
即2sin Ccos B=sin(A+B)=sin C.
∵C∈( π),∴sin C≠0,∴cos B=1,
0,
2 2
∵B∈( π),∴B=π.
0,
2 3
1 1 3√21 √3 √7
(2)∵S= acsin∠ABC= BD·b,将c=2,BD= ,sin∠ABC= 代入,得b= a.
2 2 7 2 3
由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos∠ABC=a2+4-2a.
√7
将b= a代入上式,整理得a2-9a+18=0,解得a=3或6.
3
当a=3时,b=√7;当a=6时,b=2√7.
又∵△ABC是锐角三角形,∴a2<c2+b2,故a=3,b=√7.
1 √3 3√3
∴S= ×2×3× = .
2 2 2
21.(12分)(2020黑龙江哈尔滨香坊月考,17)已知数列{a}的前n项和为S,且S=2a-n(n∈N*).
n n n n
(1)证明数列{a+1}是等比数列,并求数列{a}的通项公式;
n n
(2)记b=(2n-1)a,求数列{b}的前n项和T.
n n n n
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北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 (1)由S=2a-n(n∈N*)可得n=1时,a=S=2a-1,可得a=1;n≥2时,a=S-S =2a-n-2a +n-1,化为
n n 1 1 1 1 n n n-1 n n-1
a=2a +1,即a+1=2(a +1).所以数列{a+1}是首项和公比均为2的等比数列,则a+1=2n,即a=2n-1,n∈N*.
n n-1 n n-1 n n n
(2)b=(2n-1)a=(2n-1)(2n-1)=(2n-1)·2n-(2n-1),
n n
T=[1×2+3×4+5×8+…+(2n-1)·2n]-(1+3+5+…+2n-1),
n
设R=1×2+3×4+5×8+…+(2n-1)·2n,
n
则2R=1×4+3×8+5×16+…+(2n-1)·2n+1,
n
4(1-2n-1)
上面两式相减可得-R=2+2(4+8+16+…+2n)-(2n-1)·2n+1=2+2· -(2n-1)·2n+1,
n 1-2
化简可得R=6+(2n-3)·2n+1,
n
1
则T=6+(2n-3)·2n+1- n(1+2n-1)=6+(2n-3)·2n+1-n2.
n
2
22.(12分)(2020浙江省重点高中统练,19)设数列{a}的前n项和为S,a=1,S=na-2n2+2n(n∈N*).
n n 1 n n
(1)求证:数列{a}为等差数列,并分别写出a 和S 关于n的表达式;
n n n
S S S
(2)是否存在自然数n,使得S+ 2+ 3+…+ n+2n=1 124?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由;
1
2 3 n
2 m
(3)设c= (n∈N*),T=c+c+c+…+c(n∈N*),若不等式T> (m∈Z)对n∈N*恒成立,求m的最大
n n(a +7) n 1 2 3 n n 32
n
值.
解析 本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.
(1)当n≥2时,a=S-S =na-2n2+2n-[(n-1)a -2(n-1)2+2(n-1)],
n n n-1 n n-1
化简得(n-1)(a-a -4)=0,即a-a =4,
n n-1 n n-1
所以数列{a}是等差数列,其首项为1,公差为4,
n
n(1+4n-3)
所以a=4n-3,S= =2n2-n.
n n
2
S
(2)由(1)知 n=2n-1,
n
S S
所以S+ 2 +…+ n =1+3+…+2n-1=n2,
1
2 n
令f(n)=n2+2n,可知f(n)单调递增, f(10)=102+210=1 124,
故存在唯一的自然数n=10符合要求.
(3)由(1)知c
n
= 2 =1(1
-
1 ),
n(4n+4) 2 n n+1
所以T n = 1[( 1- 1) + (1 - 1) +…+ (1 - 1 )] = 1 ·( 1- 1 ),
2 2 2 3 n n+1 2 n+1
注意到T
n
=1(
1-
1 )单调递增,所以T
n
≥T
1
=1,
2 n+1 4
m 1
所以 < ,解得m<8(m∈Z).所以m的最大值为7.
32 4
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