北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题一 集合与常用逻辑用语
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
1.理解集合的含义,能用自 1.考查内容:从近五年高考看,本专题
然语言、图形语言、集合 重点考查集合的交、并、补运算,所
语言(列举法或描述法)表 给的数集既有连续型(如2020新高考
示集合. Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型 1.对于给定的集合,首先应明确集
2.理解集合之间的包含关 集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷 合的表示方法,对于描述法表述的
系,能识别给定集合的子 理数第1题则是先求出一元一次、 集合,要明确集合的元素是什么
集,在具体问题中了解全 一元二次不等式的解集,后给定了集 (是数集、点集等),明确集合是不
一、集合的
集与空集的含义. 合交集来求参数的值)、又有离散型 等式的解集,是函数的定义域还是
概念与运算
3.理解两个集合的并集与 的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题 值域,把握集合中元素的属性是重
交集的含义,并会求它们 与2020天津卷第1题);对充分条件、 点.
的交集与并集;理解给定 必要条件的考查常与其他知识结合 2.了解命题及其逆命题、否命题
一个集合的子集的补集含 (如2020北京卷的第9题以三角函数 与逆否命题;通过对概念的理解,
义,会求给定子集的补集; 中的诱导公式为背景考查了充分、 会分析四种命题的关系,会写出一
会用韦恩(Venn)图表示集 必要条件的推理判断);全(特)称命题 个命题的其他三个命题,并判断其
合间的基本关系及运算. 的考查相对较少. 真假.能用逻辑联结词正确地表达
2.本专题是历年必考的内容,在选择 相关的数学命题.
题、填空题中出现较多,多以给定的 3.对于充分、必要条件的判断问
集合或不等式的解集为载体,以集合 题,必须明确题目中的条件与结论
1.理解必要条件、充分条 语言和符号语言为表现形式,考查集 分别是什么,它们之间的互推关系
件与充要条件的意义. 合的交、并、补运算;也会与解不等 是怎样的,要加强这方面的训练.
二、常用逻 2.理解全称量词与存在量 式、函数的定义域、值域相结合进 4.关于全称命题与特称命题,一般
辑用语 词的意义. 行考查. 考查命题的否定.对含有一个量词
3.能正确地对含有一个量 3.对于充分、必要条件的判断,含有 的命题进行真假判断,要学会用特
词的命题进行否定. 一个量词的命题的否定可以与每一 值检验.
专题内容相关联,全称命题及特称命
题是重要的数学语言,高考考题充分
体现了逻辑推理的核心素养.
【真题探秘】
命题立意
已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.
解题指导
1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.
2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
拓展延伸
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之
间的相互转化.
2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
能否取到.
3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.
4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.
5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项
2020新高考Ⅰ,1 5 易 集合的运算 集合的并集运算 数轴法 数学运算
选择题
单项
2020新高考Ⅱ,1 5 易 集合的运算 集合的并集运算 定义法 数学运算
选择题
解不等式、集合的交集
2020课标Ⅰ理,2 5 选择题 易 集合的运算 定义法 数学运算
运算
解不等式、集合的交集
2020课标Ⅰ文,1 5 选择题 易 集合的运算 定义法 数学运算
运算
2020北京,1 4 选择题 易 集合的运算 集合的交集运算 定义法 数学运算
2020天津,1 5 选择题 易 集合的运算 集合的交、补集运算 定义法 数学运算
解不等式、充分、
2020天津,2 5 选择题 易 充分、必要条件 定义法 逻辑推理
必要条件的判断
诱导公式、角的终边位
置
2020北京,9 4 选择题 难 充分、必要条件 定义法 逻辑推理
与角大小关系、充分、
必要条件的判断
风格.
2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集
合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交
集 确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集 ; ②2020年新高考Ⅰ卷第5题以
学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合
的应用价值; ③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.
3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相
结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学
科素养.
§1.1 集合
基础篇
【基础集训】
考点一 集合及其关系
1.若用列举法表示集合A=
{
(x,y)
|{2x+ y=6}
,则下列表示正确的是 ( )
x- y=3
A.A={x=3,y=0} B.A={(3,0)} C.A={3,0} D.A={(0,3)}
答案 B
2.若集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},则 ( )
A.M =N B.M ⊆N C.M∩N =⌀ D.N ⫋M北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 D
3.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的值为 ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
A. 或 - B.- 或 C. 或- 或0 D.- 或 或0
3 2 3 2 3 2 3 2
答案 D
4.已知含有三个实数的集合既可表示成{ b },又可表示成{a2,a+b,0},则a2 021+b2 021等于 .
a, ,1
a
答案 -1
考点二 集合的基本运算
5.已知集合M ={x|-1<x<3}, N ={x|-2<x<1},则M ∩N = ( )
A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3)
答案 B
6.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U (A∪B)= ( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}
答案 D
7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ( )
A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤9}
C.{x|-1<x≤3} D.{x|-1<x<9}
答案 C
8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B= .
答案 {1,2,3,5,8,9}
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 集合及其关系
1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ( )
A.{-1,0} B.{-1} C.{0,1} D.{1}
答案 D 由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.
2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.
3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ( )
A.0⊆A B.{0}∈A C.⌀∈A D.{0}⊆A
答案 D 对于A,0∈A,故A错误;
对于B,{0}⊆A,故B错误;
对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.
4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为 ( )
A.1 B.5 C.6 D.无数个
答案 C 由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.
5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ( )
A.若a=3,则B⊆A B.若a=3,则A⫋B
C.若A⊆B,则a=2 D.若A⊆B,则a=3
答案 B 当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B.
6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是 ( )
A.A⊆B B.A⫋B
C.B⫋A D.A∈B
答案 D 因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.
7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={ 1 },集合B={x|x2-4≤0},若A∩B=P,则集
y|y=x+ ,x≠0
x
合P的子集个数为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
答案 B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.
8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为(
)
A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}
答案 D 因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;
当B≠⌀时,a≠0,∴B={
x
|
x=-
1},又知B⊆A,
a
1
∴- ∈A,∴a=±1.
a
综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.
易错警示 由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,
一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.
9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是 .
答案 2
解析 若3-m=1,则m=2,符合题意;
若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;
若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.
考点二 集合的基本运算
1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)= ( )
A.R B.⌀
C.[3,5) D.(-∞,3)∪[5,+∞)
答案 D ∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).
2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A∩B= ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.[1 )∪(2,+∞) B.[1 )
,1 ,1
2 2
C.(1 )∪(2,+∞) D.R
,1
2
答案 A 因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y= √2x-1 }={ x | x≥ 1},所以A∩B=[1 ,1 )
2 2
∪(2,+∞),故选A.
3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是 ( )
A.(∁R A)∩B={x|x<-1} B.A∩B={x|-1<x<0}
C.A∪(∁R B)={x|x≥0} D.A∪B={x|x<0}
答案 B ∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错
误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},
故D错误.故选B.
名师点拨 对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.
4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B= ( )
A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀
答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算.
联立{x+ y=2,
消y可得x2+x-2=0,∴x=1或-2,
y=x2,
{x=1, {x=-2,
∴方程组的解为 或 从而A∩B={(1,1),(-2,4)},故选C.
y=1 y=4,
{ |(x+1)2(x-1) }
5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R为实数集,集合A= x >0 ,B=
x
{ x | (x+1) ( x- 1) >0 } ,则图中阴影部分表示的集合为( )
2
A.{-1}∪[0,1] B.[ 1] C.[ 1] D.{-1}∪[ 1]
0, -1, 0,
2 2 2
(x+1)2(x-1)
答案 D ∵ >0,∴x≠-1且x(x-1)>0,
x
∴x<-1或-1<x<0或x>1,∴A={x|x<-1或-1<x<0或x>1}.
∵(x+1)(
x-
1)>0,∴x>1 或x<-1,∴B={
x
|
x>
1
或x<-1
}.
2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴A∪B={
x
|
x<-1或-1<x<0或x>
1}.
2
故图中阴影部分表示的集合为∁R (A∪B)={-1}∪ { x | 0≤x≤ 1},即{-1}∪[ 0, 1].故选D.
2 2
综合篇
【综合集训】
考法一 集合间基本关系的求解方法
1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则满足A∪B={0,-1,1}的集合B的个数是(
)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 A
2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},则 ( )
A.M⫋N B.N⫋M C.M∈N D.N∈M
答案 A
3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范
围为 .
答案 (-∞,9]
考法二 集合运算问题的求解方法
4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B= { x | y= 1 } ,则(∁U A)∩B= (
√x
)
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D.[1,+∞)
答案 D
5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ( )
A.[2,+∞) B.⌀ C.[1,2) D.(1,2)
答案 C
6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ( )
A.{x|-1≤x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|2<x<3} D.{x|2≤x<3}
答案 B
7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于 ( )
A.{5,6} B.{1,5,6} C.{2,5,6} D.{1,2,5,6}
答案 D
8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ( )
A.{1} B.{1,2,3} C.{1,4,9} D.⌀
答案 A
[教师专用题组]北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
【综合集训】
考法一 集合间基本关系的解题方法
1.已知集合M={1,m},N={n,logn},若M=N,则(m-n)2 015= .
2
答案 -1或0
解析 因为M=N,所以{1,m}={n,logn}.
2
当n=1时,logn=0,则m=0,所以(m-n)2 015=-1;
2
当logn=1时,n=2,则m=2,所以(m-n)2 015=0.
2
故(m-n)2 015=-1或0.
{ 2n+1 }
x|x= ,n∈Z
2.已知集合A= 3 ,B= ,则集合A、B的关系为
.
答案 A=B
解析 A= ,
B={ 1 }.
x|x= (2n+3),n∈Z
3
∵{x|x=2n+1,n∈Z}={x|x=2n+3,n∈Z},∴A=B.故答案为A=B.
3.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,则a的值为 .
1
答案 0或
2
解析 ∵A∩B=B,∴B⊆A.
∵A={-2}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.
当B=⌀时,方程ax+1=0无解,此时a=0,满足B⊆A.
当B≠⌀时,a≠0,则B={ 1},
-
a
1 1 1
∴- ∈A,即- =-2,解得a= .
a a 2
1
综上,a=0或a= .
2
4.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B⊆A,则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)
解析 ①当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3;
②当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.
{a+3≥2a, {a+3≥2a,
可得 或
a+3<-1 2a>4,
解得a<-4或2<a≤3.
综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
