北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题四 导数及其应用
§4.1 导数的概念及运算
【5 年高考】
考点一 导数的概念及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
2.(2019课标Ⅲ,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D
3.(2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 (
)
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
4.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
答案 y=2x
5.(2019课标Ⅰ,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
答案 y=3x
6.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是
.
答案 y=-2x-1
7.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)
(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
答案 (e,1)
考点二 导数的运算
ex e
8.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= .
x+a 4
答案 1
9.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 .
答案 e
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 导数的概念及几何意义北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
{-lnx,0<x<1,
1.(2016四川理,9,5分)设直线l,l 分别是函数f(x)= 图象上点P,P 处的切线,l 与l 垂直
1 2 lnx,x>1 1 2 1 2
相交于点P,且l,l 分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( )
1 2
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 A 设l 是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P(x,y),l 是y=ln x(x>1)的切线,切点P(x,y),
1 1 1 1 2 2 2 2
1
l
1
:y-y
1
=-
x
(x-x
1
),①
1
1
l
2
:y-y
2
=
x
(x-x
2
),②
2
y - y +2
1 2
①-②得x
P
=
1 1
,
+
x x
1 2
易知A(0,y+1),B(0,y-1),
1 2
1 1
∵l⊥l,∴- · =-1,∴xx=1,
1 2 x x 1 2
1 2
|y - y +2|
1 2
1 1
∴S = |AB|·|x |= |y-y+2|·
△PAB P 1 2 |1 1|
2 2 +
x x
1 2
(y - y +2)2
1 1 2 1 (-ln x -ln x +2)2
= · x +x = · 1 2
2 1 2 2 x +x
x x 1 2
1 2
=1· [-ln(x 1 x 2 )+2]2 =1· 4 = 2 ,
2 x +x 2 x +x x +x
1 2 1 2 1 2
又∵0<x<1,x>1,xx=1,
1 2 1 2
∴x+x>2 =2,
1 2 √x x
1 2
∴0<S <1.故选A.
△PAB
思路分析 设出点P,P 的坐标,进而根据已知表示出l,l,然后求出点A、B的坐标及x ,最后利用点在曲线上
1 2 1 2 P
及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.
评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.
2.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
1
答案 D y'=a- ,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.
x+1
x
3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .
2
答案 x+2y-2=0
解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的
几何意义的理解和掌握程度.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x 1 1 1 1
∵y=cos x- ,∴y'=-sin x- ,∴y'| =- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,∴切线方程为y-1=- (x-0),即
x=0
2 2 2 2 2
x+2y-2=0.
方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处
导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.
4.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
答案 y=2x
解析 本题主要考查导数的几何意义.
2
因为y'= ,所以y'| =2,又(0,0)为切点,
x+1 x=0
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
5.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .
答案 2x-y-2=0
解析 本题主要考查导数的几何性质.
2
由y=2ln x得y'= .因为k=y'| =2,点(1,0)为切点,
x=1
x
所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
6.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .
答案 -3
解析 本题考查导数的综合应用.
设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-3.
1
7.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .
x
答案 x-y+1=0
解析 本题考查导数的几何意义.
1 1
∵y=x2+ ,∴y'=2x- ,∴y'| =2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
x x2 x=1
8.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为
.
答案 1
解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.
1
由题意可知f '(x)=a- ,所以f '(1)=a-1,
x
因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),
所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
即y=(a-1)x+1.
令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.
易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.
9.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
答案 1-ln 2
1
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x,y),B(x,y),由y=ln x+2得y'= ,由
1 1 2 2
x北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
y=ln(x+1)得y'= 1 ,∴k= 1 = 1 ,∴x
1
=1,x
2
=1-1,∴y
1
=-ln k+2,y
2
=-ln k.即A(1
,-lnk+2
),B
x+1 x x +1 k k k
1 2
(1 ),
-1,-lnk
k
1
{ 2-lnk=k· +b,
∵A、B在直线y=kx+b上,∴
k ⇒{b=1-ln2,
(1 ) k=2.
-lnk=k· -1 +b
k
评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.
10.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
答案 1
解析 由题意可得f '(x)=3ax2+1,∴f '(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),
∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
11.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
答案 8
1
解析 令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+ , f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为
x
y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x,y),则y' =2ax+a+2=2,得
0 0 | 0
x=x
0
1 1
a(2x+1)=0,∴a=0或x=- ,又ax2+(a+2)x+1=2x-1,即ax2+ax+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x=- ,此
0 0 2 0 0 0 0 0 0 2
时a=8.
评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.
1
12.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为
x
.
答案 (1,1)
解析 ∵函数y=ex的导函数为y'=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k=e0=1.
1
1 1
设P(x,y)(x>0),∵函数y= 的导函数为y'=- ,
0 0 0 x x2
∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k=- 1 ,
2
x x2
0
1
则有k
1
k
2
=-1,即1·(- )=-1,解得 x2=1,又x
0
>0,
x2 0
0
1
∴x=1.又∵点P在曲线y= (x>0)上,∴y=1,故点P的坐标为(1,1).
0 0
x
13.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 y=4x-3
3
解析 y'=3ln x+1+x· =3ln x+4,k=y'| =4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
x=1
x
评析 本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
【3 年模拟】
时间:40分钟 分值:70分
一、单项选择题(每题5分,共45分)
1.(2021届安徽“江淮十校”第二次质量检测,2)已知函数f(x)及其导函数f '(x),若存在x 使得f(x)=f '(x),则
0 0 0
称x 是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )
0
A.f(x)=x2+2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=e-x D.f(x)=tan x
答案 B
2.(2021届山东师范大学附属中学一模,4)设f(x)=sin x,f(x)=f '(x), f(x)=f '(x),……, f (x)=f '(x),n∈N*,则f
1 2 1 3 2 n+1 n 2
(x)= ( )
020
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
答案 D
3.(2021届陕西咸阳第三次质量检测,10)若函数f(x)=2x+ln x,且f '(a)=0,则2aln 2a= ( )
A.1 B.-1 C.-ln 2 D.ln 2
答案 B
4.(2021届陕西咸阳第三次质量检测,4)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f '(x),且f '(x)是奇函数.若曲线
3
y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( )
2
ln2 -ln2
A.ln 2 B.-ln 2 C. D.
2 2
答案 A
5.(2021届山东日照11月份第二次联考,7)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记
t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为 ( )
答案 A
6.(2021届广东深圳中学达标测试,5)已知函数f(x)=x2-2m,g(x)=3ln x-x,若曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切
线相同,则m= ( )
A.-3 B.1 C.2 D.5
答案 B
7.(2021届广东深圳中学达标测试,6)已知函数f(x)=(x-1)·(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则曲线y=f(x)在点(3,0)处的切线方
程为( )
A.y=4x+12 B.y=-4x+12 C.y=-4x-12 D.y=4x-12北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 D
1
8.(2020山西省实验中学第一次月考,9)若函数f(x)满足f(x)= x3-f '(1)·x2-x,则f '(1)的值为( )
3
A.1 B.2 C.0 D.-1
答案 C
9.(2019江西吉安一模,7)过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
二、多项选择题(共5分)
2
10.(2020山东青岛三模,11)已知曲线f(x)= x3-x2+ax-1上存在两条斜率为3的不同切线,且切点的横坐标都大
3
于零,则实数a可能的取值为 ( )
19 10 9
A. B.3 C. D.
6 3 2
答案 AC
三、填空题(每题5分,共20分)
11.(2021届百师联盟高三一轮复习联考(二)新高考卷,15)直线y=2x+m与函数f(x)=xex-2ln x+3(e为自然对数
的底数)的图象相切于点A(x,y),则x+ln x= .
0 0 0 0
答案 ln 2
1
12.(2021届河北百师联盟联考,14)若曲线f(x)=ex+aln(x+1)-2(a>0)在点(0, f(0))处的切线也是曲线g(x)=
3
x3+x+a-1的切线,则a= .
9
答案
4
13.(2021届天津新华中学10月月考,10)直线y=3x+b与曲线f(x)=ex+x相切,则实数b= .
答案 2-2ln 2
14.(2019四川绵阳第一次诊断,15)若直线y=x+1与函数f(x)=ax-ln x的图象相切,则a的值为 .
答案 2
