北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§4.1 导数的概念及运算
专题检测
1.(2020湖南衡阳八中月考,5)已知直线y=-x+m是曲线y=x2-3ln x的一条切线,则m的值为 ( )
A.0 B.2 C.1 D.3
3
|
答案 B 设切点为(x 0 ,y 0 ),结合题意可知y' x=x 0 =2x 0 - x =-1,
0
3
解得x=1或x=- (舍去),将其代入曲线y=x2-3ln x得y=1,所以切点为(1,1),
0 0 0
2
将其代入切线方程可得1=-1+m,解得m=2.故选B.
2.(2019河北唐山二模,8)已知函数f(x)={x2+2x,x≤0,
为奇函数,则曲线f(x)在x=2处的切线斜率等于
-x2+ax,x>0
( )
A.6 B.-2 C.-6 D.-8
答案 B 设x>0,则-x<0, f(-x)=x2-2x,又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-x2+2x,x>0,则f '(x)=-2x+2,则f '(2)=-2.故选
B.
一题多解 当x≤0时, f '(x)=2x+2,则f '(-2)=-2,由于f(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以f '(2)=
f '(-2)=-2,故曲线f(x)在x=2处的切线斜率为-2,故选B.
3.(2019福建福州一模,7)已知函数f(x)=xsin x, f '(x)为f(x)的导函数,则函数f '(x)的部分图象大致为 ( )
答案 A 由题意知f '(x)=sin x+xcos x,为奇函数,图象关于原点对称,排除C,D,
设g(x)=f '(x),则g'(x)=2cos x-xsin x,则g'(0)=2>0,排除B,故选A.
4.(2020江西九江十校4月模拟,10)若曲线y=x4-x3+ax(x>0)存在斜率小于1的切线,则a的取值范围为 (
)
A.( 3) B.( 1) C.( 5) D.( 1)
-∞, -∞, -∞, -∞,
2 2 4 4
答案 C 由题意得y'=4x3-3x2+a<1当x>0时有解.
设f(x)=4x3-3x2+a(x>0),
∴f '(x)=12x2-6x=6x(2x-1),
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1 1
令f '(x)<0得0<x< ,令f '(x)>0得x> ,
2 2
∴f(x)
min
=f(1)=a-1<1,则a<5.故选C.
2 4 4
5.(2019广西南宁二中4月月考,7)如图所示,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+3是曲线y=f(x)在x=1处的切线,令
f (x)
h(x)= ,h'(x)是h(x)的导函数,则h'(1)的值是 ( )
x
A.2 B.1 C.-1 D.-3
答案 D 由图象可知直线l经过点(1,2),
则k+3=2,k=-1,
即f '(1)=-1,且f(1)=2.
f (x) f '(x)·x-f (x)
∵h(x)= ,∴h'(x)= ,
x x2
则h'(1)=f '(1)-f(1)=-1-2=-3,故选D.
6.(2019湖北武汉4月调研,12)设曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲线C上一点M(1,-4)处的切线记为l,则切线l与曲
线C的公共点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C y'=12x3-6x2-18x,则y'| =12×13-6×12-18×1=-12,
x=1
∴曲线y=3x4-2x3-9x2+4在点M(1,-4)处的切线方程为y+4=-12(x-1),即12x+y-8=0.联立
{ 2
{ 12x+ y-8=0, 解得{x=1,或{x=-2,或 x= ,
3
y=3x4-2x3-9x2+4, y=-4 y=32
y=0.
故切线与曲线C还有其他的公共点(-2,32),(2 ),
,0
3
∴切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.
7.(2018陕西西安八校第一次联考,12)曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O为原点)是以A为
顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 C 对y=x3求导得y'=3x2,设切点B的坐标为(x,y),
0 0
则B点处的切线l的斜率为3 x2,
0
∴切线l的方程为y- x3 =3 x2(x-x 0 ),
0 0
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令y=0,得x=2x
0
,则A(2
x ,0
).
3 3 0
∵△OAB是以A为顶点的等腰三角形,
∴|OA|=|AB|,即 |2 x |= √ (x 0 ) 2 +(x3)2,∴ x4= 1 ,
3 0 3 0 0 3
∴切线l的斜率为3
x2
=
√3
,∴切线l的倾斜角为60°,故选C.
0
8.(2020河南新乡一中二模,12)已知函数f(x)=aex(a>0)与g(x)=2x2-m(m>0)的图象在第一象限有公共点,且在该
点处的切线相同,当实数m变化时,实数a的取值范围为 ( )
A.( 4
,+∞
) B.( 8
,+∞
) C.(
0,
4 ) D.(
0,
8 )
e2 e2 e2 e2
答案 D 设切点为A(x,y),
0 0
{aex 0=2x2-m,
{4x
0
=2x2
0
-m,
所以 0 整理得 x >0,
aex 0=4x , 0
0 m>0,
由m=2
x2
-4x
0
>0和x
0
>0,解得x
0
>2.
0
由上可知a= 4x 0,令h(x)=4x ,x>2,则h'(x)=4(1-x) .
ex
0
ex ex
因为x>2,所以h'(x)= 4(1-x) <0,h(x)= 4x 在(2,+∞)上单调递减,所以0<h(x)< 8 ,即a∈( 0, 8 ).故选D.
ex ex e2 e2
9.(2019河南洛阳二模,10)已知a>0,曲线f(x)=3x2-4ax与g(x)=2a2ln x-b有公共点,且在公共点处的切线相同,则
实数b的最小值为 ( )
1 2 4
A.0 B.- C.- D.-
e2 e2 e2
2a2
答案 B 设曲线y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点P(x,y)处的切线相同,因为f '(x)=6x-4a,g'(x)= ,由题意得
0 0
x
f(x)=g(x), f '(x)=g'(x),所以3 -4ax=2a2ln x-b,6x-4a=2a2 ,由6x-4a=2a2 得x=a或x=-1a(舍去),即有
0 0 0 0 x2 0 0 0 0 0 0
0 x x 3
0 0
1
b=a2+2a2ln a.令h(t)=t2+2t2ln t(t>0),则h'(t)=4t(1+ln t),当4t(1+ln t)>0,即t> 时,h'(t)>0,当4t(1+ln t)<0,即0<t<
e
1时,h'(t)<0.故h(t)在( 1)上为减函数,在(1 )上为增函数,于是h(t)在(0,+∞)上的最小值为h(1)
0, ,+∞
e e e e
1 1
=- ,故b的最小值为- .故选B.
e2 e2
10.(2019广东江门一模,12)若f(x)=ln x与g(x)=x2+ax的图象有一条与直线y=x平行的公共切线,则a= (
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)
A.1 B.2 C.3 D.3或-1
答案 D 由题意可设公共切线的方程为y=x+t,t≠0,设切线与f(x)图象的切点为(x,y),与g(x)图象的切点为
1 1
1 1 1
(x,y),可得f '(x)= ,切线斜率为 ,由 =1得x=1,则y=0,切线方程为y=x-1.g'(x)=2x+a,切线斜率为2x+a,
2 2 x x x 1 1 2
1 1
由2x+a=1, +ax=x-1,解得a=3,x=-1,或a=-1,x=1,故选D.
2 x2 2 2 2 2
2
思路分析 由题意可设公共切线的方程为y=x+t,t≠0,分别求得f(x),g(x)的导数,得切线的斜率,求得切点坐标,
可得切线方程,解关于a的方程即可.
方法总结 本题考查公切线问题,要区分是共切点的公切线还是不共切点的公切线,设出切点坐标求解.
1
11.(2020陕西第一学期摸底考试,14)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=a所围成的三角形面积为 ,
6
则实数a= .
1
答案 或1
3
解析 由y=x3,得y'=3x2,所以y'| =3,所以曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,令y=0,得x=
x=1
2,则由1×| 2|×|3a-2|=1,解得a=1或1.
a-
3 2 3 6 3
12.(2018百校联盟TOP20三月联考,13)函数g(x)=ln x图象上一点P到直线y=x的最短距离为 .
√2
答案
2
1
解析 设与直线y=x平行且与曲线g(x)=ln x相切的直线的切点坐标为(x,ln x),因为g'(x)=(ln x)'= , 则1=
0 0
x
1 |1-0| √2 √2
,∴x=1,则切点坐标为(1,0),∴最短距离为(1,0)到直线y=x的距离,即为 = ,故答案为 .
x 0 √1+1 2 2
0
13.(2020江西南昌四校联考,14)函数f(x)=x(x-S)(x-S)·…·(x-S),其中S 为数列{a}的前n项和,若a=
1 2 8 n n n
1
,则f '(0)= .
n(n+1)
1
答案
9
解析 本题考查了导数的运算,体现了数学运算的核心素养.
1 n
由题意得f '(x)=(x-S)(x-S)…(x-S)+x[(x-S)(x-S)…(x-S)]',S=1- = ,
1 2 8 1 2 8 n n+1 n+1
所以f '(0)=( 1)×( 2)×…×( 8)=1.
- - -
2 3 9 9
1+lnx
14.(2020甘肃会宁月考,21)已知函数f(x)= .
x
(1)求曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间( 1)(m>0)上存在极值,求实数m的取值范围.
m,m+
3
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-lnx
解析 (1)f '(x)= ,
x2
1 2
故切线的斜率为f '(e)=- ,又f(e)= ,
e2 e
2 1
∴切线方程为y- =- (x-e),即x+e2y-3e=0.
e e2
(2)当0<x<1时, f '(x)>0,当x>1时, f '(x)<0.
故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故f(x)在x=1处取得极大值.
∵f(x)在区间( 1)(m>0)上存在极值,
m,m+
3
1 2
∴0<m<1且m+ >1,解得 <m<1.
3 3
15.(2020北京怀柔适应性练习,19)已知函数f(x)=ln x,g(x)=ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)当x>0时,证明:f(x)<x<g(x);
(3)判断曲线f(x)与g(x)是否存在公切线,若存在,说明有几条;若不存在,说明理由.
解析 本题考查导数的几何意义、导数的应用、恒成立问题,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑推理、数
学运算的核心素养.
(1)f(x)=ln x的定义域为(0,+∞).
1
由f '(x)= ⇒k=f '(1)=1,
x
又f(1)=0,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=x-1.
(2)证明:设h(x)=f(x)-x=ln x-x(x>0),
1
故h'(x)= -1.
x
由h'(x)=0得x=1,
h'(x),h(x)随x的变化情况如下:
x (0,1) 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 -
h(x) ↗ 极大值 ↘
∴h(x) =h(1)=ln 1-1=-1<0,
max
∴f(x)<x.
设s(x)=x-g(x)=x-ex,则s'(x)=1-ex.易知s'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
∴s(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴s(x)<s(0)=-1<0⇒x<g(x).
综上,f(x)<x<g(x).
(3)曲线f(x)与g(x)存在公切线,且有2条.
由(2)知曲线f(x)与g(x)无公共点,设l
1
,l
2
分别切曲线f(x),g(x)于(x
1
,ln x
1
),(x
2
,ex 2),
1
则l
1
:y=
x
·x+ln x
1
-1,l
2
:y=ex 2·x+ex 2(1-x
2
),若l
1
=l
2
,即曲线f(x)与g(x)有公切线,
1
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1
{ =ex 2,
则 x 1 ⇒ ex 2 (1-x 2 )+x 2 +1=0,
ln x -1=ex 2(1-x ),
1 2
令m(x)=ex(1-x)+x+1,当且仅当m(x)有零点时,曲线f(x)与g(x)有公切线,
m'(x)=-xex+1,
当x≤0时,m'(x)>0,m(x)在(-∞,0]上单调递增,
当x>0时,m″(x)=-(x+1)ex.易知m″(x)<0,则m'(x)在(0,+∞)上单调递减,
又m'(0)=1>0,m'(1)=1-e<0,
∴存在x
0
∈(0,1),使得m'(x
0
)=-x
0
ex 0+1=0,
x∈(0,x)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,x∈(x,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,
0 0
1
∴m(x)
max
=m(x
0
)=ex 0(1-x
0
)+x
0
+1=
x
(1-x
0
)+x
0
+1>0,
0
又m(-2)=3e-2-1<0,m(2)=-e2+3<0,
∴m(x)在(-2,x),(x,2)内各存在一个零点,
0 0
故曲线f(x)与g(x)存在2条公切线.
第6页共6页
