北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.5 抛物线
【5 年高考】
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为
9,则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
2.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,
则线段FQ的垂直平分线 ( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案 B
x2 y2
3.(2019课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p=( )
3p p
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
4.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN
的中点,则|FN|= .
答案 6
5.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案 9
考点二 抛物线的几何性质
6.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则
C的焦点坐标为( )
A.(1 ) B.(1 ) C.(1,0) D.(2,0)
,0 ,0
4 2
答案 B
7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4
√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
考点三 直线与抛物线的位置关系
2
8.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与C交于M,N两点,则⃗FM·
3
⃗FN= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
9.(2021新高考适应卷,7,5分)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则
直线BC的方程为 ( )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
答案 B
3
10.(2019课标Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点
2
为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点
A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A.|BF|-1 B.|BF|2-1
|AF|-1 |AF|2-1
C.|BF|+1 D.|BF|2+1
|AF|+1 |AF|2+1
答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,
则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.
1
·|CB|·|CF|·sin∠BCF
S 2
可知
△BCF
=
S 1
△ACF ·|CA|·|CF|·sin∠BCF
2
|CB| |BN|
= =
|CA| |AM|北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
|BF|-1
= ,故选A.
|AF|-1
2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交
点.若⃗FP=4⃗FQ,则|QF|= ( )
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
答案 B ∵⃗FP=4⃗FQ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|
|QM| |PQ|
=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则 = ,即
|FN| |PF|
|QM| 3
= .∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
4 4
5
3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x,y)是C上一点,|AF|= x,则x= ( )
0 0 0 0
4
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A 由y2=x得2p=1,即p=1,因此焦点F(1 ),准线方程为l:x=-1,设A点到准线的距离为d,由抛物
,0
2 4 4
1 5
线的定义可知d=|AF|,从而x+ = x,解得x=1,故选A.
0 0 0
4 4
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.
4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点
(0,2),则C的方程为 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
p
答案 C ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=x + =5得M
M
2
( 5- p , √ 2p ( 5- p) ) .从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 (5 , 1√ 2p ( 5- p) ) ,
2 2 2 2 2
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=1√ ( p),即p2-10p+16=0,解得
2p 5-
2 2
p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的
方程为( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.y=x-1或y=-x+1
√3 √3
B.y= (x-1)或y=- (x-1)
3 3
C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)
√2 √2
D.y= (x-1)或y=- (x-1)
2 2
答案 C 设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA,BB 垂直于准线于A,B.由抛物线的
1 1 1 1
|BC| |BC| 1
定义可设|BF|=|BB|=t,|AF|=|AA|=3t.由三角形的相似得 = = ,
1 1 |AB| 4t 2
π π 2
∴|BC|=2t,∴∠BCB= ,∴直线l的倾斜角α= 或 π.
1
6 3 3
又F(1,0),∴直线AB的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.
6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物
0
线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5
答案 B 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
由|MF|= +2=3得p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
2
∴点M的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3,
故选B.
7.(2011课标文,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C
的准线上一点,则△ABP的面积为( )
A.18 B.24 C.36 D.48
答案 C 设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
∵当x= 时,|y|=p,
2
|AB| 12
∴p= = =6.
2 2
又P到AB的距离始终为p,
1
∴S = ×12×6=36.
△ABP
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评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l的距离为p.
8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物
a2 b2
线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
√2
答案 y=± x
2
解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.
设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
{x2=2py,
p p p
因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4× =y 1 + +y 2 + ,即y 1 +y 2 =p①.由 x2 y2 消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以
2 2 2 - =1
a2 b2
y
1
+y
2
=2pb2 ②.由①②可得b=√2,故双曲线的渐近线方程为y=±√2x.
a2 a 2 2
思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y+y 的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去
1 2
b
x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y+y.从而得 的值,近而得渐近线方程.
1 2
a
b
解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半
a
径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y+y 这个整
1 2
体来建立等量关系便可求解.
9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水
面宽 米.
答案 2√6
解析 建立坐标系如图所示.
则抛物线方程为x2=-2py.
∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±√6.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.
考点二 抛物线的几何性质
k
1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k= ( )
x
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2
k
答案 D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= (k>0)得k=1×2=2,故选D.
x
评析 利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.
1
2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,
2
A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程
为x2 +y2 =1(a>b>0),因为离心率e=c=1,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|=2b2 =2×12=6.故选B.
a2 b2 a 2 a 4
评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.
3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
p p p
答案 B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- ,由题设知- =-1,即 =1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.
2 2 2
1
4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y= x2的准线方程是 ( )
4
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
1 p
答案 A 由y= x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- =-1.故选A.
4 2
5.(2013四川文,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-√3y=0的距离是 ( )
A.2√3 B.2 C.√3 D.1
答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F到直线x-√3y=0的距离d=
|2-√3×0|
=1.故选D.
√1+3
评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.
6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|
AB|=4√3,则C的实轴长为 ( )
A.√2 B.2√2 C.4 D.8
答案 C 如图,AB为抛物线y2=16x的准线,
由题意可得A(-4,2√3).
设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.
7.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的
焦点坐标为 .
答案 (1,0)
解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.
由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,
不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),
故|AB|=4√a=4,得a=1,
故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).
8.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴
相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 .
答案 (x+1)2+(y-√3)2=1
解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.
由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,
因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,
所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,
所以OA=√3,即t=√3,
故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.
方法总结 求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,
从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时
应考虑数形结合思想的运用.
9.(2014陕西文,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为 .
答案 x=-1
p
解析 由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=- =-1.故填x=-1.
2
考点三 直线和抛物线的位置关系
1.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l,l,直线l 与C交于
1 2 1
A,B两点,直线l 与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( )
2
A.16 B.14 C.12 D.10
答案 A 如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A,B,
1 1
