北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.8 函数模型及函数的综合应用
【5 年高考】
考点 函数模型及函数的综合应用
1.(2020课标Ⅲ,文4,理4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数
K
据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)= ,其中K为
1+e-0.23(t-53)
最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)( )
A.60 B.63 C.66 D.69
答案 C
2.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感
0
染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模
型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R,T近似满足R=1+rT.有学
0 0
者基于已有数据估计出R=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约
0
为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
3.(2020北京,10,4分)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上,求圆周率π的方法有多种,与
中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n
边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.
按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是 ( )
A.3n( 30° 30° ) B.6n( 30° 30° )
sin +tan sin +tan
n n n n
C.3n( 60° 60° ) D.6n( 60° 60° )
sin +tan sin +tan
n n n n
答案 A
4.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天
事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为
解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行.L 点是平衡点,
2 2
位于地月连线的延长线上.设地球质量为M,月球质量为M,地月距离为R,L 点到月球的距离为r,根据牛顿运
1 2 2
动定律和万有引力定律,r满足方程:
M M M
+ =(R+r) .
1 2 1
(R+r)2 r2 R3
设α=r .由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5 ≈3α3,则r的近似值为 ( )
R (1+α)2
A.√M 2R B.√ M 2 R C.√ 3 3M 2R D.√ 3 M 2 R
M 2M M 3M
1 1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 D
5.(2019课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-
8
∞,m],都有f(x)≥- ,则m的取值范围是( )
9
A.( 9] B.( 7] C.( 5] D.( 8]
-∞, -∞, -∞, -∞,
4 3 2 3
答案 B
6.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)
具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
答案 ①④
7.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函数f(x)=| 4 |+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是
x+ -a
x
.
答案 ( 9]
-∞,
2
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 函数模型及函数的综合应用
1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a,a,…,a ,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称
1 2 12
a,a,a 为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称a,a,a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦
i j k i j k
与原位小三和弦的个数之和为 ( )
A.5 B.8 C.10 D.15
答案 C 根据已知条件可知原位大三和弦有a,a,a;a,a,a;a,a,a ;a,a,a ;a,a,a ,共5个.原位小三和弦有
1 5 8 2 6 9 3 7 10 4 8 11 5 9 12
a,a,a;a,a,a;a,a,a ;a,a,a ;a,a,a ,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的
1 4 8 2 5 9 3 6 10 4 7 11 5 8 12
个数之和为10,故选C.
2.(2013课标Ⅰ理,11,5分)已知函数f(x)={-x2+2x,x≤0, 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是 ( )
ln(x+1),x>0.
A.(-∞,0] B.(-∞,1]北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.[-2,1] D.[-2,0]
答案 D 由题意作出y=|f(x)|={x2-2x(x≤0), 的图象:
ln(x+1)(x>0)
由题意结合图象知,当a>0时,y=ax与y=ln(x+1)在x>0时必有交点,所以a≤0.当x≥0时,|f(x)|≥ax显然成立;当
x<0时,|f(x)|=x2-2x≥ax,则a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.综上,-2≤a≤0,故选D.
评析 本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力.借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解
题关键.
1
3.(2012课标理,12,5分)设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 ( )
2
A.1-ln 2 B.√2(1-ln 2)
C.1+ln 2 D.√2(1+ln 2)
1 1 1
答案 B 由y= ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y= ex的反函数为y=ln(2x),所以y= ex与y=ln(2x)的图象关于
2 2 2
直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令
[ln(2x)]'=1=1,解得x
1
=1,令(1 ex)'=1,解得x
2
=ln 2,所以两切点分别为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=
√2
(1-ln 2),故
x 2
选B.
评析 本题考查了导数的应用,互为反函数的两函数图象的性质,考查了数形结合的思想.
1
4.(2011课标理,12,5分)函数y= 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于
1-x
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
1 -1
答案 D 函数y= = 和y=2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知y=
1-x x-1
1
与y=2sin πx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x,x,x,x,x,x,x,x,且
1-x 1 2 3 4 5 6 7 8
x<x<x<x<x<x<x<x,由对称性得x+x=x+x=x+x=x+x=2,∴x+x+x+x+x+x+x+x=8,故选D.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 2 7 3 6 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8
5.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|
的图象的交点共有 ( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
答案 A 在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lg x|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
评析 本题考查函数的图象、周期等相关知识,考查学生作图、用图能力,体现了数形结合思想.
6.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,
0
A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为
0
0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.
答案 6;10 000
解析 A=1 000=103,A=0.001=10-3,
0
M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.
A A
设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A
1
,A
2
,则lg A
1
-9=lg A
2
-5,得lg A
1
-lg A
2
=4,即lg
1
=4,∴
1
=10 000.
A A
2 2
【3 年模拟】
时间:40分钟 分值:65分
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1.(2019湖北荆门模拟,8)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下
一期的利息.某同学有压岁钱1 000元,存入银行,年利率为2.25%,若购买某理财产品,年利率可达4.01%.假设
5年内各年利率保持不变,则将这1 000元用于购买理财产品比存入银行可以多获利息( )
(参考数据:1.022 54=1.093,1.022 55=1.118,1.040 15=1.217)
A.176元 B.99元 C.77元 D.88元
答案 B
2.(2020海南中学第一次月考,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
3.(2020河北武邑中学期中,8)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年
的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还以此增长率增长,从 年开始,快递业
产生的包装垃圾超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4.(2020福建泉州3月适应性线上测试,3)下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(mg/mL)的变化情况,其
中点A的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值(最高浓度)时间,其他点的横坐标分别表示服用三种
i
新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位:h),点A的纵坐标表示服用第i种药后血药浓度的峰
i
值(i=1,2,3).记V为服用第i种药后达到血药浓度峰值时,血药浓度提高的平均速度,记T为服用第i种药后血
i i
药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间,则V,V,V 中最小的,T,T,T 中最大的分别是 ( )
1 2 3 1 2 3
A.V,T B.V,T C.V,T D.V,T
2 3 2 2 1 3 1 2
答案 B
{
|lnx|,0<x<e,
5.(2019福建八校一模,12)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点x,x,x,
e 1 2 3
,x≥e,
x
x x
且x 1 <x 2 <x 3 ,则 1 2 的取值范围为 ( )
f (x )
3
A.(0,1] B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案 C
二、多项选择题(每题5分,共10分)
6.(2021届山东潍坊重点中学联考,11)已知函数f(x)= |x| +1,g(x)={ f (x),x≤0, 且g(1)=0,则关于x
e|x| x2-2x+a,x>0,
的方程g(g(x)-t)-1=0实根个数的判断正确的是 ( )
A.当t<-2时,方程g(g(x)-t)-1=0没有实根
1
B.当-1+ <t<0或t=-2时,方程g(g(x)-t)-1=0有1个实根
e
1
C.当1<t<1+ 时,方程g(g(x)-t)-1=0有2个相异实根
e
1 1
D.当-1<t<-1+ 或0<t≤1或t=1+ 时,方程g(g(x)-t)-1=0有4个相异实根
e e
答案 AB
7.(2021届山东新泰第一中学10月月考,12)已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x)=f(x-4),f(x+2)=f(2-x),当
0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期为4
1
C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最小值为-
2
D.方程f(x)=log|x|有10个实根
3
答案 ABD北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
三、填空题(共5分)
8.(2019吉林第一次调研测试,16)某工厂投资100万元开发新产品,第一年获利10万元,从第二年开始每年获
利比上一年增加20%,从第n年开始,前n年获利总和超过投入的100万元,则n= .(参考数据:lg
2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
答案 7
四、解答题(共25分)
9.(2020南京学情调研,17)随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行越来越便利.根据大数据统计,某条地铁
线路运行时,发车时间间隔t(单位:分钟)满足:4≤t≤15,t∈N,平均每趟地铁的载客人数p(t)(单位:人)与发车时间
间隔t近似地满足下列函数关系:
p(t)={1 800-15(9-t)2,4≤t<9,其中t∈N.
1 800,9≤t≤15,
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1 500人,试求发车时间间隔t的值;
6p(t)-7 920
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q= -100(单位:元),问当发车时间间隔t为多少时,平
t
均每趟地铁每分钟的净收益最大?并求出最大净收益.
10.(2019山东寿光现代中学10月月考,19)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方
便,某共享单车公司计划在甲、乙两个城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由
前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=4√2a-6,乙城市收益Q(单位:万元)
{1
与投入a(单位:万元)满足Q= a+2,80≤a≤120, 设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益
4
32,120<a≤160,
为f(x)(单位:万元).
(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大?
