北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.4 数列求和、数列的综合应用
专题检测
1.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测)数列{a}是等比数列,S 是其前n项和,a>0,a+a=4,a+3a=2,则
n n n 2 3 3 4
S= ( )
3
28 38
A. B.12 C. D.13
3 3
答案 D 设数列{a n }的公比为q,由
{a
2
+a
3
=4,
a +3a =2,
3 4
{ a (1+q)=4, 1 1
即 2 解得q= 或q=- (舍),
a (q+3q2)=2, 3 2
2
∴a=3,∴a=9,a=1,∴S=13.
2 1 3 3
2.(2020广东揭阳摸底,14)已知数列{a}满足loga=n+log3,则a+a+a+…+a 的值为 ( )
n 2 n 2 2 4 6 20
411-4
A.3×(211-4) B.3×(212-4) C. D.411-4
5
答案 D loga=log2n+log3=log(2n·3),故a=3·2n,a =3·22n=3·4n,所以a+a+a+…+a =3×(4+42+43+…
2 n 2 2 2 n 2n 2 4 6 20
4(1-410)
+410)=3× =411-4,故选D.
1-4
3.(2018江西南昌二中模拟,4)已知等差数列{a}的前n项和为S,a=3,S=10,则数列{1 }的前100项的和为(
n n 3 4
S
n
)
200 100 1 2
A. B. C. D.
101 101 101 101
4(a +a )
1 4
答案 A ∵S= =10,∴a+a=5,
4 1 4
2
∵a+a=a+a,a=3,∴a=2.
1 4 2 3 3 2
∴等差数列{a}的公差d=a-a=1,∴a=a-d=1,
n 3 2 1 2
∴a=1+(n-1)·1=n,
n
∴S
n
=n(n+1),∴ 1 = 2 =2(1
-
1 ).
2 S n(n+1) n n+1
n
则数列 {1 } 的前100项的和为2 1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =2×( 1- 1 )= 200 .故选A.
S 2 2 3 100 101 101 101
n
4.(2020福建漳州第二次适应性测试,3)下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变
化曲线图.
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若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a},{a}的前n项和
n n
为S,则下列说法中正确的是 ( )
n
A.数列{a}是递增数列
n
B.数列{S}是递增数列
n
C.数列{a}的最大项是a
n 11
D.数列{S}的最大项是S
n 11
答案 C 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数,即a>a,所以{a}不是递增数列,所以选
7 8 n
项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S =S ,所以数列{S}不是递增数列,所以选项B错误;因为
33 34 n
1月31日新增确诊病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列{a}的最大项是a ,所以选项
n 11
C正确,数列{S}的最大项是最后一项,所以选项D错误,故选C.
n
1 1 2 1 2 3 1 2 9 1
5.(多选题)已知数列{a}: , + , + + ,……, + +…+ ,……,若b= ,数列{b}的前n项和为
n 2 3 3 4 4 4 10 10 10 n a a n
n n+1
S,则( )
n
n+1 n 4n n
A.a= B.a= C.S= D.S=
n 2 n 2 n n+1 n n+1
1+2+3+…+n n
答案 BC ∵a= = ,
n n+1 2
∴b
n
= 1 = 4 =4(1
-
1 ),
a a n(n+1) n n+1
n n+1
∴S
n
=4[(
1-
1)
+
(1
-
1)
+…+
(1
-
1 )]
2 2 3 n n+1
=4( 1 )= 4n .
1-
n+1 n+1
6.(多选题)在数列{a n }中,a 1 =2,其前n项和为S n ,若点(S n, S n+1 )在直线y=2x-1上,则有 ( )
n n+1
A.S=n(1+2n-1) B.a=(n+1)2n-2+1
n n
C.S
n
=n(1+2n) D.数列{S
n-1
}是等比数列
n
答案 ABD 由已知得 S n+1 = 2S n -1,则 S n+1 -1=2(S n-1 ),
n+1 n n+1 n
S
1
又∵ -1=a-1=1,
1
1
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∴数列{S
n-1
}是首项为1,公比为2的等比数列,
n
S
∴
n-1=2n-1,∴S=n(1+2n-1),
n
n
当n≥2时,a=S-S =(n+1)2n-2+1,
n n n-1
当n=1时,(1+1)×21-2+1=2=a,
1
∴a=(n+1)2n-2+1,n∈N*,故选ABD.
n
7.(2020浙江五校十月联考,14 )设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足S
n
=(-1)na
n
-(1) n (n∈N*),则a
3
=
2
,S= .
7
1 1
答案 - ;-
16 256
1 1
解析 解法一:当n=1时,S=-a- ,解得a=- ,
1 1 1
2 4
当n≥2时,S
n
=(-1)na
n
-(1) n ,S
n-1
=(-1)n-1a
n-1
-(1) n-1 ,
2 2
两式相减得a
n
=(-1)na
n
-(-1)n-1a
n-1
+(1) n ,
2
即[1-(-1)n]a
n
=(-1)na
n-1
+(1) n ,
2
当n为偶数时,a
n-1
=-(1) n ,即n为奇数时,a
n
=- 1 ,
2 2n+1
1 1
所以a=- =- ,
3 24 16
S=(-1)7×( 1 )- 1 =- 1 =- 1 .
7 -
28 27 28 256
1 1
解法二:当n=1时,S=-a- ,解得a=- ,
1 1 1
2 4
当n≥2时,S
n
=(-1)n(S
n
-S
n-1
)-(1) n ,
2
当n为偶数时,有S
n-1
=-(1) n ,
2
即n为奇数时,S
n
=-(1) n+1 ,所以S
7
=-(1) 8 =- 1 ,
2 2 256
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S
3
=-a
3
-(1) 3 ,即a
3
=-S
3
-(1) 3 =(1) 4 -(1) 3 =- 1 .
2 2 2 2 16
8.(2018山西太原一模,15)在数列{a}中,a=0,a-a -1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),若数列{b}满足b=n ×
n 1 n n-1 n n √a +1
n+1
( 8 ) n ,则数列{b n }的最大项为第 项.
11
答案 6
解析 因为a-a -1=2(n-1)(n∈N*,n≥2),所以a-a =2n-1(n∈N*,n≥2),所以根据累加法得a=(2n-1)+(2n-3)+…
n n-1 n n-1 n
+3+a 1 =n2-1(n≥2),又n=1时,a 1 =0满足上式,所以a n =n2-1(n∈N*),所以b n =n(n+1)×( 8 ) n ,因为 b n+1 =
11 b
n
8(n+2)
,所以当n≤5时,b >b,当n≥6时,b <b,因此数列{b}的最大项为第6项.
n+1 n n+1 n n
11n
9.(2020天津静海大邱庄中学第一次质量检测,19)已知等差数列{a}满足:a=7,a+a=26,{a}的前n项和为S.
n 3 5 7 n n
(1)求a 及S;
n n
(2)令b= 1 (n∈N*),求数列{b}的前n项和T.
n n n
a2-1
n
解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,
n
因为a=7,a+a=26,
3 5 7
所以
{ a
1
+2d=7, 解得{a
1
=3,
2a +10d=26, d=2,
1
n(n-1)
所以a=3+2(n-1)=2n+1,S=3n+ ×2=n2+2n.
n n
2
(2)由(1)知a=2n+1,
n
所以b= 1 = 1 =1· 1
n
a2-1 (2n+1)2-1 4 n(n+1)
n
=1·(1 1 ),
-
4 n n+1
所以T n =1·( 1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 )
4 2 2 3 n n+1
=1·( 1 )= n .
1-
4 n+1 4(n+1)
10.(2020河北邯郸大名一中第六周周测,19)已知等比数列{a}的公比q>1,且a+a+a=28,a+2是a,a 的等差
n 3 4 5 4 3 5
中项.数列{b}满足b=1,数列{(b -b)a}的前n项和为2n2+n.
n 1 n+1 n n
(1)求q的值;
(2)求数列{b}的通项公式.
n
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解析 (1)由a+2是a,a 的等差中项得a+a=2a+4,
4 3 5 3 5 4
所以a+a+a=3a+4=28,解得a=8.所以a+a=20.
3 4 5 4 4 3 5
由a
3
+a
5
=20得8(
q+
1)=20,解得q=2或q=1,
q 2
因为q>1,所以q=2.
(2)设c=(b -b)a,数列{c}的前n项和为S.
n n+1 n n n n
则S=2n2+n,当n=1时,c=S=3,
n 1 1
当n≥2时,c=S-S =2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1.
n n n-1
当n=1时,c=3符合上式,∴c=4n-1,n∈N*.
1 n
由(1)可知a
n
=2n-1,所以b
n+1
-b
n
=(4n-1)·(1) n-1 ,
2
故b
n
-b
n-1
=(4n-5)·(1) n-2 ,n≥2,
2
b-b=(b-b )+(b -b )+…+(b-b)+(b-b)
n 1 n n-1 n-1 n-2 3 2 2 1
=(4n-5)·(1) n-2 +(4n-9)·(1) n-3 +…+7·1+3.
2 2 2
设T
n
=3+7·1+11·(1) 2 +…+(4n-5)·(1) n-2 ,n≥2,
2 2 2
1T
n
=3·1+7·(1) 2 +11·(1) 3 +…+(4n-9)·(1) n-2 +(4n-5)·(1) n-1 ,
2 2 2 2 2 2
所以1T
n
=3+4·1+4·(1) 2 +…+4·(1) n-2 -(4n-5)·(1) n-1 ,因此T
n
=14-(4n+3)·(1) n-2 ,n≥2,
2 2 2 2 2 2
又b
1
=1,所以b
n
=15-(4n+3)·(1) n-2 .
2
11.(2020天津杨村一中第一次月考,19)已知数列{a}的前n项和为S,且S=2a-1(n∈N*).
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)令b=na,求数列{b}的前n项和T;
n n n n
(3)记c=3n-2·(-1)nλa(λ≠0),是否存在实数λ使得对任意的n∈N*,恒有c >c?若存在,求出λ的取值范围;若不
n n n+1 n
存在,说明理由.
解析 (1)当n=1时,a=2a-1,即a=1,
1 1 1
当n≥2时,S =2a -1,
n-1 n-1
a
a n =S n -S n-1 =2a n -2a n-1 ,即 n =2,
a
n-1
∴数列{a}是首项为1,公比为2的等比数列,故a=2n-1.
n n
(2)由(1)得b=na=n·2n-1,可得T=1·20+2· 21+3·22+…+n·2n-1,2T=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,
n n n n
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两式相减得-T=20+21+22+…+2n-1-n·2n,
n
∴T=(n-1)·2n+1.
n
(3)存在.由(1)得c=3n-2·(-1)nλa=3n-(-1)nλ·2n.假设存在实数λ使得对任意的n∈N*,恒有c >c,
n n n+1 n
即c -c>0,则3n+1-(-2)n+1λ-3n+(-2)nλ>0,
n+1 n
2·3n-(-2)n·(-2)λ+(-2)nλ>0,
即(-2)nλ>-3n-1·2.当n为偶数时,2nλ>-3n-1·2,
则λ>-(3) n-1 ,n∈N*,∴λ>-3,
2 2
当n为奇数时,-2nλ>-3n-1·2,
λ<(3) n-1 ,n∈N*,∴λ<1.综上所述,-3<λ<1.
2 2
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