北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
7.4 数列求和
考点1 公式法求和
1.(2017课标Ⅰ理,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求
满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
答案 A 本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.
不妨设1+(1+2)+…+(1+2+…+2n-1)+(1+2+…+2t)=2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n),
n(n+1)
则有N= +t+1,因为N>100,所以n≥13.
2
由等比数列的前n项和公式可得2n+1-n-2+2t+1-1=2m.
因为n≥13,所以2n>n+2,
所以2n+1>2n+n+2,即2n+1-n-2>2n,
因为2t+1-1>0,
所以2m>2n+1-n-2>2n,故m≥n+1,
因为2t+1-1≤2n+1-1,所以2m≤2n+2-n-3,故m≤n+1.
所以m=n+1,从而有n=2t+1-3,因为n≥13,所以t≥3.
当t=3时,N=95,不合题意;
当t=4时,N=440,满足题意,故所求N的最小值为440.
解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m=n+1.
一题多解 本题也可以分别把N=110,220,330代入,利用排除法求解.
2.(2014课标Ⅱ文,5,5分)等差数列{a}的公差为2,若a,a,a 成等比数列,则{a}的前n项和S=( )
n 2 4 8 n n
A.n(n+1) B.n(n-1)
n(n+1) n(n−1)
C. D.
2 2
答案 A ∵a,a,a 成等比数列,
2 4 8
∴ a2 =a 2 ·a 8 ,即(a 1 +3d)2=(a 1 +d)(a 1 +7d),
4
将d=2代入上式,解得a=2,
1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
n(n−1)·2
∴S=2n+ =n(n+1),故选A.
n
2
3.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a},则{a}的前n项和
n n
为 .
答案
3n2-2n
解析:∵数列{2n-1}的项为1,3,5,7,9,11,13,…,
数列{3n-2}的项为1,4,7,10,13,…,
∴数列{a}是首项为1,公差为6的等差数列,
n
∴a=1+(n-1)×6=6n-5,
n
(1+6n−5)×n
∴数列{a}的前n项和S= =3n2-2n.
n n
2
4.(2016北京,12,5分)已知{a}为等差数列,S 为其前n项和.若a=6,a+a=0,则S= .
n n 1 3 5 6
答案 6
解析 设等差数列{a}的公差为d,∵a=6,a+a=0,
n 1 3 5
6×5
∴6+2d+6+4d=0,∴d=-2,∴S=6×6+ ×(-2)=6.
6
2
5.(2017课标Ⅱ文,17,12分)已知等差数列{a}的前n项和为S,等比数列{b}的前n项和为
n n n
T,a=-1,b=1,a+b=2.
n 1 1 2 2
(1)若a+b=5,求{b}的通项公式;
3 3 n
(2)若T=21,求S.
3 3
解析 本题考查了等差、等比数列.
设{a}的公差为d,{b}的公比为q,则a=-1+(n-1)d,b=qn-1.
n n n n
由a+b=2得d+q=3.①
2 2
(1)由a+b=5得2d+q2=6.②
3 3
{d=3, {d=1,
联立①和②解得 (舍去),或
q=0 q=2.
因此{b}的通项公式为b=2n-1.
n n
(2)由b=1,T=21得q2+q-20=0.
1 3
解得q=-5或q=4.
当q=-5时,由①得d=8,则S=21.
3
当q=4时,由①得d=-1,则S=-6.
3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
9
6.(2015重庆文,16,13分)已知等差数列{a}满足a=2,前3项和S= .
n 3 3
2
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)设等比数列{b}满足b=a,b=a ,求{b}的前n项和T.
n 1 1 4 15 n n
解析 (1)设{a}的公差为d,则由已知条件得
n
3×2 9
a+2d=2,3a+ d= ,
1 1
2 2
3
化简得a+2d=2,a+d= ,
1 1
2
1
解得a=1,d= ,
1
2
n−1 n+1
故通项公式a=1+ ,即a= .
n n
2 2
15+1
(2)由(1)得b=1,b=a = =8.
1 4 15
2
b
设{b
n
}的公比为q,则q3= 4=8,从而q=2,
b
1
故{b}的前n项和
n
T=b (1−qn )=1×(1−2n )=2n-1.
n 1
1−q 1−2
考点2分组、并项求和
1.(2012课标文,12,5分)数列{a}满足a +(-1)na=2n-1,则{a}的前60项和为( )
n n+1 n n
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
答案 D 当n=2k时,a +a =4k-1,
2k+1 2k
当n=2k-1时,a -a =4k-3,
2k 2k-1
∴a +a =2,∴a +a =2,
2k+1 2k-1 2k+1 2k+3
∴a =a ,
2k-1 2k+3
∴a=a=…=a .
1 5 61
30×(3+119)
∴a+a+a+…+a =(a+a)+(a+a)+…+(a +a )=3+7+11+…+(2×60-1)= =30×61=1 830.
1 2 3 60 2 3 4 5 60 61
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
2.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1
={a
n
+1,n为奇数,
a +2,n为偶数.
n
(1)记b=a ,写出b,b,并求数列{b}的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a}的前20项和.
n
解题指导:(1)由已知条件求出{a}的递推式,从而得出{b}的递推式,再由已知条件求出b,从而求出数列
n n 1
{b}的通项公式.(2)根据题目条件把{a}的前20项分成两组,并用其中偶数项的和表示前20项的和,再用数
n n
列{b}的前10项的和表示,根据等差数列前n项和公式求出结果.
n
解析
(1)由题意得a =a +2,a =a +1,
2n+1 2n 2n+2 2n+1
所以a =a +3,即b =b+3,且b=a=a+1=2,
2n+2 2n n+1 n 1 2 1
所以数列{b}是以2为首项,3为公差的等差数列,
n
所以b=2,b=5,b=2+(n-1)×3=3n-1.
1 2 n
(2)当n为奇数时,a=a -1.
n n+1
设数列{a}的前n项和为S,
n n
则S =a+a+…+a
20 1 2 20
=(a+a+…+a )+(a+a+…+a )
1 3 19 2 4 20
=[(a-1)+(a-1)+…+(a -1)]+(a+a+…+a )
2 4 20 2 4 20
=2(a+a+…+a )-10,
2 4 20
10×9
由(1)可知a+a+…+a =b+b+…+b =10×2+ ×3=155,
2 4 20 1 2 10
2
故S =2×155-10=300,即{a}的前20项和为300.
20 n
解题关键:一是对已知关系式进行转化,进而利用等差数列定义求得数列{b}的通项公式;二是利用分组求
n
和的方式对S 进行重组变形,结合a 与b 的关系求得结果.
20 n n
3.(2017课标Ⅲ文,17,12分)设数列{a}满足a+3a+…+(2n-1)a=2n.
n 1 2 n
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)求数列{ a
n
}的前n项和.
2n+1
解析 (1)因为a+3a+…+(2n-1)a=2n,故当n≥2时,
1 2 n
a+3a+…+(2n-3)a =2(n-1).
1 2 n-1
两式相减得(2n-1)a=2.
n北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
2
所以a= (n≥2).
n
2n−1
又由题设可得a=2,
1
2
从而{a}的通项公式为a= (n∈N*).
n n
2n−1
(2)记{ a
n
}的前n项和为S
n
.
2n+1
a 2 1 1
n
由(1)知 = = - .
2n+1 (2n+1)(2n−1) 2n−1 2n+1
1 1 1 1 1 1 2n
则S= - + - +…+ - = .
n 1 3 3 5 2n−1 2n+1 2n+1
思路分析 (1)条件a+3a+…+(2n-1)a=2n的实质就是数列{(2n-1)a}的前n项和,故可利用a 与S 的关系求
1 2 n n n n
解.(2)利用(1)求得的{a}的通项公式,然后用裂项相消法求和.
n
易错警示 (1)要注意n=1时,是否符合所求得的通项公式;(2)裂项相消后,注意留下了哪些项,避免遗漏.
4.(2016北京文,15,13分)已知{a}是等差数列,{b}是等比数列,且b=3,b=9,a=b,a =b.
n n 2 3 1 1 14 4
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)设c=a+b,求数列{c}的前n项和.
n n n n
解析 (1)等比数列{b
n
}的公比q= b 3=9=3,(1分)
b 3
2
b
2
所以b= =1,b=bq=27.(3分)
1 4 3
q
设等差数列{a}的公差为d.
n
因为a=b=1,a =b=27,
1 1 14 4
所以1+13d=27,即d=2.(5分)
所以a=2n-1(n=1,2,3,…).(6分)
n
(2)由(1)知,a=2n-1,b=3n-1.
n n
因此c=a+b=2n-1+3n-1.(8分)
n n n
从而数列{c}的前n项和
n
S=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
n
n(1+2n−1) 1−3n
= +
2 1−3北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
3n−1
=n2+ .(13分)
2
规范解答 要规范解答过程,分步书写,这样可按步得分.
5.(2014山东文,19,12分)在等差数列{a}中,已知公差d=2,a 是a 与a 的等比中项.
n 2 1 4
(1)求数列{a}的通项公式;
n
a
(2)设b
n
= n(n+1),记T
n
=-b
1
+b
2
-b
3
+b
4
-…+(-1)nb
n
,求T
n
.
2
解析 (1)由题意知(a+d)2=a(a+3d),即(a+2)2=a(a+6),解得a=2,
1 1 1 1 1 1 1
所以数列{a}的通项公式为a=2n.
n n
a
(2)由题意知b n = n(n+1) =n(n+1).所以T n =-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn×(n+1).
2
因为b -b=2(n+1),所以当n为偶数时,
n+1 n
n
(4+2n) n(n+2)
T=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b +b)=4+8+12+…+2n=2 = ,
n 1 2 3 4 n-1 n
2
2
当n为奇数时,
(n−1)(n+1) (n+1) 2
T=T +(-b)= -n(n+1)=- .
n n-1 n 2 2
{
(n+1) 2
− ,n为奇数,
2
所以T=
n
n(n+2)
,n为偶数.
2
评析 本题考查等比数列和等差数列的综合应用、等差数列的通项公式及数列的求和,分类讨论思想和逻
辑推理能力.
6.(2019天津文,18,13分)设{a}是等差数列,{b}是等比数列,公比大于0.已知a=b=3,b=a,b=4a+3.
n n 1 1 2 3 3 2
(1)求{a}和{b}的通项公式;
n n
{1,n为奇数,
(2)设数列{c n }满足c n = b ,n为偶数.求a 1 c 1 +a 2 c 2 +…+a 2n c 2n (n∈N*).
n
2
解析 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基
本方法和运算求解能力,体现了数学运算素养.满分13分.
(1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b}的公比为q.
n n北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
版
依题意,得{ 3q=3+2d, 解得{d=3,
3q2=15+4d, q=3,
故a=3+3(n-1)=3n,b=3×3n-1=3n.
n n
所以,{a}的通项公式为a=3n,{b}的通项公式为b=3n.
n n n n
(2)ac+ac+…+a c
1 1 2 2 2n 2n
=(a+a+a+…+a )+(ab+ab+ab+…+a b)
1 3 5 2n-1 2 1 4 2 6 3 2n n
=[ n(n−1) ]+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)
n×3+ ×6
2
=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).
记T=1×31+2×32+…+n×3n,①
n
则3T=1×32+2×33+…+n×3n+1,②
n
3(1−3n
)
(2n−1)3n+1+3
②-①得,2T=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=- +n×3n+1= .
n
1−3 2
(2n−1)3n+1+3 (2n−1)3n+2+6n2+9
所以,ac+ac+…+a c =3n2+6T=3n2+3× = (n∈N*).
1 1 2 2 2n 2n n
2 2
思路分析 (1)利用等差、等比数列的通项公式求出公差d,公比q即可.(2)利用{c}的通项公式,进行分组求
n
和,在计算差比数列时采用错位相减法求和.
解题关键 根据n的奇偶性得数列{c}的通项公式,从而选择合适的求和方法是求解的关键.
n
考点3错位相减求和
1.(2021新高考Ⅰ,16,5分)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对
折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们
的面积之和S=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们
1
的面积之和S=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,
2
n
那么
∑❑S=
dm2.
k
k=1
答案 5;240×(
3−
n+3)
2n
