北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题检测练
一、单项选择题
1.(2023江西赣州一模,3)在平面直角坐标系中,角α,β均以坐标原点为顶点,x轴的非负半
轴为始边.若点(1,2)在角α的终边上,点(-2,6)在角β的终边上,则cos(α+β)= ( )
7√2 7√2 √2 √2
A. B.− C. D.−
10 10 2 2
答案 B
2. (2023黑龙江哈尔滨九中二模,5)密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6 000
份,每一份叫做1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大
小,在百位数与十位数之间画一条短线,如7密位写成“0-07”,578密位写成“5-78”.若(sin
α-
cos α)2=2sin αcos α,则角α可取的值用密位制表示正确的是 ( )
A.11-50 B.2-50
C.13-50 D.33-50
答案 B
( π ) ( π)
3.(2024届湖南部分学校第三次联考,7)已知函数f(x)=cos x− ,g(x)=sin 4x+ ,则
12 6
“曲线y=f(x)关于直线x=m对称”是“曲线y=g(x)关于直线x=m对称”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(2024届江苏南京第一中学月考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如
π
图所示,已知f(x )+f(x )=0,且|x -x |< ,则f(x +x )= ( )
1 2 2 1 2 1 2
A.√3 B.1
C.-√3 D.-1
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(π ) ( π) ( π)
5.(2023湖北四调,6)已知sin αsin −α =3cos α·sin α+ ,则cos 2α+ = (
3 6 3
)
√3 1 √3
A.- B.−1C. D.
2 2 2
答案 C
6.(2023四川巴中一模,11)在△ABC中,若2cos2A-cos A=2cos2B+2cos2C-2+cos(B-C),则A=
( )
π π
A. B.
6 3
2π 5π
C. D.
3 6
答案 B
( π)
7.(2023广东潮州二模,5)若f(x)=sin 2x+ 在区间[-t,t]上单调递增,则实数t的取值范围
6
为( )
[π π] ( π]
A. , B. 0,
6 2 3
[π π] ( π]
C. , D. 0,
6 3 6
答案 D
二、多项选择题
( π) π
8.(2024届重庆八中期中,9)将函数y=cos 2x+ 的图象向右平移 个单位长度,再将
6 6
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象,则 ( )
2π
A.x= 为函数f(x)图象的一条对称轴
3
π
B.x= 为函数f(x)图象的一条对称轴
6
(7π )
C. ,0 为函数f(x)图象的一个对称中心
6
( π )
D. − ,0 为函数f(x)图象的一个对称中心
3
答案 BD
三、填空题北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
( π) 1
9.(2024届湖南部分学校第三次联考,14)若α∈ 0, ,cos 2α= ,则sin 3α= .
2 3
5√3
答案
9
10.(2023北京延庆一模,13)如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
y=Asin(ωx+φ)+b,其中A>0,且函数在x=6与x=14时分别取得最小值和最大值,则这段时间
的最大温差为 ;φ的一个取值为 .
3π
答案 20 ℃; (答案不唯一)
4
{a,a≥b,
11.(2023吉林三模,15)规定:Max{a,b}= 设函数f(x)=Max{sin ωx,cos ωx}(ω>0),若函
b,a<b.
(π π)
数f(x)在 , 上单调递增,则实数ω的取值范围是 .
3 2
[3 ] (15 ]
答案 ,1 ∪ ,4
4 4
四、解答题
12.(2024届山东烟台蓬莱两校联考,17)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(3π ) √ 6
bcos +A +sin(π+B) =0.
2 1−cos2C
(1)求csin A的值;
(2)若2(bsin C-atan C)=ctan C,且S ≥λ,求实数λ的取值范围.
ABC
△
√ 3
解析 (1)由题意得bsin A-sin B =0,
sin2C
因为sin C>0,所以bsin Asin C-√3sin B=0.(※) (2分)
由正弦定理,得bsin A=asin B,
故(※)式可化为asin Bsin C-√3sin B=0.
因为sin B≠0,所以asin C=√3,
由正弦定理,得csin A=asin C=√3. (5分)
( sinC ) sinC
(2)由2(bsin C-atan C)=ctan C及正弦定理得2 sinBsinC−sin A· =sin C·
cosC cosC
,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
因为sin C≠0,故2cos C·sin B=2sin A+sin C=2sin(B+C)+sin C,则2cos C·sin B=2sin Bcos
C+2cos Bsin C+sin C,
故2cos Bsin C+sin C=0,
1
因为sin C≠0,故cos B=- ,
2
2π
又B∈(0,π),故B= , (7分)
3
代入bsin Asin C-√3sin B=0中,得bsin Asin C=2sin2B,
即ac=2b.
由余弦定理,知b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac≥3ac=6b,故b≥6,则ac≥12,当且仅当a=c=2√3时
等号成立, (9分)
1
故S = acsin B≥3√3,又S ≥λ,
ABC 2 ABC
△ △
所以实数λ的取值范围为(-∞,3√3]. (10分)
13.(2024届浙江名校联盟模拟(一),17)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
sinA c−b
满足 = .
sinB+sinC b
π
(1)若C= ,求B;
2
a+c
(2)求 的取值范围.
b
sin A c−b
解析 (1)因为 = ,
sinB+sinC b
a c−b
所以由正弦定理可得 = ,即c2=b2+ab,(2分)
b+c b
π
因为C= ,所以c2=a2+b2,
2
所以b2+ab=a2+b2,解得a=b,
π π
即A=B,又C= ,所以B= . (4分)
2 4
c2−b2
(2)由(1)知,c2=b2+ab,所以a= ,c>b,
b
{a+b>c,
由三角形三边关系可得 则b<c<2b, (6分)
b+c>a,
a+c c2−b2+bc c2 c
所以 = = + -1, (8分)
b b2 b2 b北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
c
令x= ,x∈(1,2), f(x)=x2+x-1,1<x<2,
b
( 1) 2 5
所以f(x)= x+ − ∈(1,5),
2 4
c2 c
所以 + -1∈(1,5),
b2 b
a+c
所以 的取值范围是(1,5). (10分)
b
14.(2024届黑龙江哈尔滨一中期中,21) ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=
π
△
.
3
a b
(1)若b=2,c=3,求证: + =√21;
tan A sinB
(2)若D为BC边的中点,且△ABC的面积为6√3,求AD长的最小值.
π
解析 (1)证明:A= ,b=2,c=3,
3
1 a b
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=4+9-2×2×3× =7,∴a=√7.∵ = ,
2 sin A sinB
a b a a √7 √7 √7 √7
+ = + = + = + =√21
∴tanA sinB tanA sinA π π √3 √3 . (6分)
tan sin
3 3 2
1 √3
(2)由S = bcsin∠BAC= bc=6√3可得bc=24.
ABC
2 4
△
∵D为边BC的中点,则⃗DB+⃗DC=0,
∴⃗AB+⃗AC=(⃗AD+⃗DB)+(⃗AD+⃗DC)=2⃗AD,
所以4|⃗AD|2=(⃗AB+⃗AC)2=⃗AB2+⃗AC2+2⃗AB·⃗AC
π
=c2+b2+2cbcos
3
=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc=72,即|⃗AD|≥3√2, (11分)
当且仅当b=c=2√6时,等号成立,故AD长的最小值为3√2. (12分)
