专题 11 一次函数的应用
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：一次函数应用问题的求解思路........................................................................................................2
考点二：建立函数模型解决实际问题的一般步骤........................................................................................2
考点三：一次函数图象解决实际问题一般步骤............................................................................................2
考点四：求最值的本质2种最优方案............................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................2
题型一：行程问题............................................................................................................................................2
题型二：工程问题..........................................................................................................................................13
题型三：最大利润问题..................................................................................................................................21
题型四：分配问题..........................................................................................................................................30
题型五：分段计费问题..................................................................................................................................37
题型六：调运问题..........................................................................................................................................44
题型七：计时问题..........................................................................................................................................54
题型八：体积问题..........................................................................................................................................60
题型九：现实生活相关问题..........................................................................................................................71
题型十：几何问题..........................................................................................................................................81专题 11 一次函数的应用
模块一：基础知识
考点一：一次函数应用问题的求解思路
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设
计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
考点二：建立函数模型解决实际问题的一般步骤
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
考点三：一次函数图象解决实际问题一般步骤
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
考点四：求最值的本质 2 种最优方案
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案
及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线
或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
模块二：题型分类
题型一：行程问题
1.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘
坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km
的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最
后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)s=40t+20，a=2
1
(2) h
3
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s=100，代入解析式求出a的值即
可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两
段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b，由图象可知，直线过点
(0,20)，(1,60)，
∴¿，解得：¿，
∴s=40t+20；
当s=100时：100=40t+20，解得：t=2，
∴a=2；
（2）由图象可知，军车的速度为：60÷1=60km/h，
4
∴军车到达仓库所用时间为：80÷60= h，
3
1
从仓库到达基地所用时间为：(100−80)÷60= h，
3
4 1 1
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2− − = h．
3 3 3
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解
题的关键．
2.快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束
后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．两车之间的距离
y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A的实际意义；
(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
(2)y=−70x+330
(3)2.8小时
【分析】（1）根据点A的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出B(3.5,85)，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点A的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
1
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为3+ =3.5，
2
1 1
此时慢车继续行驶 小时，则快车与慢车的距离为120−70× =120−35=85，
2 2
∴B(3.5,85)
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
∴直线AB的表达式为y=−70x+330
（3）解：设快车去乙地的速度为a千米/小时，则3(a−70)=120，
解得：a=110
∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，
设快车返回的速度为v千米/小时，根据题意，
1 ( 1)
×(v+70)=330− 3+ ×70
2 2
解得：v=100，1
330− ×100
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需 2 （小时）
=2.8
100
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
3.周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离相同，小明先骑车6min到达超市，
购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发10min后，小亮骑车从家出发直接去
公园．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
1500
(2)填空：
①小明在超市购物的时间是 min；
②超市到公园的距离是 m；
③小亮骑行的速度是 m/min；
④小亮到达公园时，小明距离公园还有 m；
(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y 关于x的函数解析式．
1
【答案】(1)见解析
(2)①15；②2100；③240；④1260
(3)y =¿
❑1
【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，
读懂题意，准确计算是解题的关键；
1500
（1）由图可知，小明的速度为 =250(m/min)，即可求得当x=4时y的值，根据图象即可得到当
6
x=20时y的值；（2）①由图象可知，小明在超市购物的时间；②根据图象可知，超市到公园的距离；③用路程除以时间
即可得到小亮骑车的速度；④根据第二阶段小明骑行的速度求出小亮到达公园时，小明距离公园的距离
即可；
（3）根据题意和图象，分别写出0≤x≤6、6<x≤21、21<x≤31得到解析式，即可得到答案．
1500
【详解】（1）解：由图可知，小明的速度为 =250(m/min)，
6
∴当x=4时，y=250×4=1000，
由图象可知，当x=20时，y=1500，
填表如下：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
小明离家距离/m 1000 1500 1500
（2）解：①由图象可知，小明在超市购物的时间：21−6=15(min)，
②超市到公园的距离是：3600−1500=2100(m)，
3600
③小亮骑车的速度为 =240(m/min)，
25−10
3600−1500
④第二阶段小明的速度为： =210(m/min)，
31−21
小亮到达公园时，小明距公园还有：
3600−1500−210×(25−21)=1260(m)．
故答案为：①15；②2100；③240；④1260．
（3）解：设当0≤x≤6时，y =kx，把(6,1500)代入得：
❑1
1500=6k，
解得：k=250，
∴此时y =250x；
❑1
当6<x≤21时，y =1500；
❑1
当21<x≤31时，设y =k'x+b，把(21,1500)，(31,3600)代入得：
❑1
¿，
解得：¿，
∴此时y =210x−2910；
❑1
∴y =¿．
❑1
4.绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚
运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系的图象．
(1)填空：甲比乙提前______分钟出发；无人驾驶小巴的速度为______km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到
达N站时，无人驾驶小巴离N站还有______km．
(2)求乙离开M站的路程s(km)与时间t(min)的函数关系式并说明图中两函数图象交点P的实际意义．
2 20
【答案】(1)5； ；
3 3
4 20
(2)s= t− （5≤t≤20），实际意义见解析
3 3
【分析】（1）观察图象可得甲比乙提前5分钟出发；再利用路程除以无人驾驶小巴到达n站所用时间可
得无人驾驶小巴的速度；再用20减去无人驾驶小巴20分钟所行驶的路程，即可求解；
（2）根据题意可得(5,0)，(20,20)两点在函数图象上，再利用待定系数解答，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：甲比乙提前5分钟出发；
20 2
无人驾驶小巴的速度为 = km/min；
30 3
2 20
当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有20− ×20= km；
3 3
2 20
故答案为：5； ；
3 3
（2）解：设s关于时间t的函数关系式为s=kt+b，
∵(5,0)，(20,20)两点在函数图象上，
∴¿ ，解得¿．
4 20
所以s关于时间t的函数关系式为s= t− （5≤t≤20）．
3 3
图中两函数图象交点P的实际意义是乙乘坐的无人驾驶汽车追上甲乘坐的无人驾驶小巴，两车与M站的
距离相等．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，能准确从函数图象获取信息，利用待
定系数法求函数解析式是解题的关键．5.在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到
A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙
比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数
图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取
值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)y=800x−2400（3≤x≤6）
6 18
(3) 分钟， 分钟，6分钟
11 5
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进
而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距
600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）解：由（1）可知G（6，2 400），设直线FG的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y=kx+b过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴¿，
解得：¿，
∴直线FG的解析式为：y=800x−2400，
自变量x的取值范围是3≤x≤6；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
6
解得：t= ；
11
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
18
解得：t= 或6，
5
6 18
答：出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
11 5
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
6.疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走
的路程y （千米），y （千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信
甲 乙
息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；
(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算
说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
【答案】(1)2(2)320千米；
(3)符合
【分析】（1）根据AB段图象直接解答；
（2）根据点D的坐标得到乙车的速度，求出点E的坐标进而得到直线CE的解析式，即可得到答案；
（3）结合函数图象可知在B、C两点处，两车距离最远，结合速度计算距离与45比较可得结论．
【详解】（1）解：甲车途中停留了6-4=2小时，
故答案为：2；
（2）∵D（8，480），
480
∴乙车的速度是y = =60（千米/小时），
乙 8
∴当E的纵坐标为60×7=420，即E（7，420），
设直线CE的解析式为y=kx+b，得
¿，解得¿，
∴y=100x-280，
当x=6时，y=320，
∴甲车在排除故障时，距出发点的路程是320千米；
（3）由图象可知，甲、乙车在第一次相遇后，在B、C处相距最远，
在B处有y -y =6×60−320=40<45，
乙 甲
38
在C处有y −y =480−60× =24<45，
甲 乙 5
∴按图象所表示的走法符合约定．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确理解函数图象并得到
相关的信息是解题的关键．
7.小明和小亮相约从学校前往博物馆，其中学校距离博物馆900米.小明因有事，比小亮晚一些出发，图
中y =k t、y =k t+b分别是小明、小亮行驶的路程y与小明追赶时间t之间的关系．
1 1 2 2（1）观察图象可知，小亮比小明先走了_______米．
（2）求k 、k 的值，并解释k 的实际意义．
1 2 2
（3）通过计算说明，谁先到博物馆．
【答案】（1）100；（2）k =3，k =2，k 的实际意义是小亮每秒前进2米；（3）小明先到博物馆．
1 2 2
【分析】（1）根据图像直接进行判断即可；
（2）将t=20，y=60代入y =k t，可以求得k 的值；将t=0时，y=100；t=20时，y=140代入
1 1 1
y =k t+b，可以求得k 的值，且k 、k 表示小亮和小明的速度；
2 2 2 1 2
（3）根据（2）的结果进行计算即可．
【详解】（1）根据图像可以看出小明走的时候，小亮已经走了100米．
故答案为：100.
（2）将t=20，y=60代入y =k t，得60=20k ，∴k =3；
1 1 1 1
分别将t=0时，y=100；t=20时，y=140代入y =k t+b得
2 2
¿，
解得¿，
所以k =3，k =2．
1 2
其中k 的实际意义是小亮每秒前进2米．
2
（3）由题意可知：从小明开始出发计算：小明用的时间为900=3t，t=300s，
小亮用的时间为900=2t+100，t=400s，
所以小明先到博物馆．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，正确理解图表中的信息是解题关键．
8.甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、
乙两人到达Q地后均停止，已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t(h)，甲、乙两人之间的距离
为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：(1)由图象可知，甲比乙晚出发______h．图中线段BC所在直线的函数解折式为 ．
(2)设甲的速度为v km/h，求出v 的值．
1 1
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）．
【答案】(1)1；y=15t−40
(2)v =40
1
(3)见解析
【分析】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发得出甲比乙迟出发1h，然后设线段BC所在直线的函数
解析式为y=kt+b代入B、C的坐标求解析式即可；
（2）设乙的速度为v km/h，根据时间×速度=距离，列出方程组求解即可；
2
（3）根据（2）求得的速度，算出甲没出发前甲乙的距离、乙到达终点时甲乙相距最远的时间和距离、
乙最后到达终点使用的时间，把这些数据补全到图中即可.
【详解】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发，
∴甲比乙迟出发1h；
设线段BC所在直线的函数解析式为y=kt+b
8
代入点B( ,0),C(5,35)
3
得：¿
解得：k=15,b=−40
∴线段BC所在直线的函数解析式为：y=15t−40；
（2）设乙的速度为v km/h，
2
由题意得：¿，
解得¿，
∴v =40 (km/h)；
1
（3）根据（2）可知甲的速度为40km/h，乙的速度为25km/h
∴甲没出发前，乙开了25km
∴总共用时为：200÷25=8(h)
当甲到达终点时甲乙两人相距最远，200÷40+1=6(h)此时甲乙两人相距最远的距离为：200−25×6=50(km)
将上面的数据标记到图上，如下图所示：
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，找出题中的等量关系是关键.
题型 二： 工程问题
1.甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组
因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x
（天）之间的关系如图所示．
(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)y=3x+120(30<x≤60)
(3)10天
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量
x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据
甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
60−30=30（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将(30,210)和(60,300)两个点代入，可得¿，
解得¿，
∴y=3x+120(30<x≤60)
300−210
（3）解：甲组每天挖 =3（米）
60−30
210
甲乙合作每天挖 =7（米）
30
∴乙组每天挖7−3=4（米），乙组挖掘的总长度为30×4=120（米）
设乙组己停工的天数为a，
则3(30+a)=120，
解得a=10，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是
解题的关键．
2.2024年至2026年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天
修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工
队比B施工队少用25天．
(1)求B施工队每天修建公路长度是多少公里；
(2)若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过
20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施
工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？
【答案】(1)B每天修4公里
(2)B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元
【分析】（1）设B工程队每天维护道路的长度是x公里，则A工程队每天维护道路的长度是2x公里，根
据工作时间=工作总量÷工作效率结合A工程队单独完成整个任务比B工程队单独完成整个任务少用25天，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设B工程队先单独做m天，根据要不超过20天完成整个工程，即可得出关于x的一元一次不等式，
解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w万元，根据总费用=每天需支付给A工程队
的费用×A工程队工作的时间+每天需支付给B工程队的费用×B工程队工作的时间，即可得出w关于m的
函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）设B每天修x公里，则A每天修2x公里
200 200
= +25
x 2x
解得x=4
经检验x=4符合题意．
答：B每天修4公里.
（2）设B单独做m天．总费用为w元
200−4m
W =12m+ (40+12)
4+8
16 2600
=− m+
3 3
16
∵k=− <0
3
∴w随m的增大而减小.
200−4m
又∵m+ ≤2
4+8
m≤5
∴当m=5时，w最小
答：B单独做5天，该区需付的全部费用最低，总费用为840万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出整个工程费用与B工程队
先单独做的天数之间的关系．
3.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在
360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调研发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x(m2)之
间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配
甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？
【答案】(1)y=¿
(2)甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少为
5625元
【分析】（1）根据题意分当0<x≤40时和当40<x≤100时，分别求解即可得到解答；
（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为(360−a)m2，根据题意求出a的范围，再结合
题意分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当0<x≤40时，y=30，
当40<x≤100时，设y=kx+b，
把(40，30)，(100，15)代入y=kx+b得：¿，
解得¿，
1
∴y=− x+40，
4
∴y=¿；
（2）解：设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为(360−a)m2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ ¿，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w=30a+15(360−a)
=15a+5400，
∵15>0，
∴当a=30时，w最小，最小为15×30+5400=5850（元），( 1 )
当40<a≤90时，w=a − a+40 +15(360−a)
4
1
=− (a−50) 2+6025，
4
1
∵− <0，对称轴为直线a=50，且|40−50|<|90−50|，
4
1
∴a=90时，w取最小值，最小为− ×(90−50) 2+6025=5625（元），
4
∵5625<5850，
∴当a=90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360−a=270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少
为5625元．
4.哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用
大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和
10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少
于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小
货车前往鹤岗地．
【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方
程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关
系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确
定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
20-x=20-8=12．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-
a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
根据题意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∴a=5，6，7，8，共有4种方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小．
答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆
小货车前往鹤岗地．
【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应
的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
5.为准备参加“全国文明城市”评选，某市计划对200公里的道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路
的长度是乙工程队每天维护道路的长度的2倍，若甲、乙两个工程队分别独立完成整个任务，甲工程队比
乙工程队少用25天．
（1）求乙工程队每天维护道路的长度是多少公里；
（2）若该市需付给甲工程队的费用为每天40万元，需付给乙工程队的费用为每天12万元．考虑到要不超
过20天完成整个工程，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成，乙工
程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？
【答案】（1）4公里；（2）乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低
是840万元
【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，根
据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独完成整个任务比乙工程队单独完成整个任务少用25天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
50−m
（2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做 天，根据要不超过20天完成整个工
3
程，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该市需付的整个工程费用为w
万元，根据总费用=每天需支付给甲工程队的费用×甲工程队工作的时间+每天需支付给乙工程队的费用×
乙工程队工作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x公里，则甲工程队每天维护道路的长度是2x公里，
依题意得：
200 200
− =25
x 2x
解得：x=4
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：乙工程队每天维护道路的长度是4公里，
200−4m 50−m
（2）设乙工程队先单独做m天，则甲、乙两工程队需合作做 = 天，
4+2×4 3
50−m
依题意得：m+ ≤20
3
解得：m≤5
设该市需付的整个工程费用为w万元，
50−m ( 50−m) 16 2600
则w=40× +12 m+ =− m+
3 3 3 3
16
∵− <0
3
∴w随m的增大而减小，
16 2600
∴当m=5时，w取得最小值，最小值为：− ×5+ =840
3 3
答：乙工程队先单独做5天，该市需付的整个工程费用最低，整个工程费用最低是840万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出整个工程费用与乙工程队
先单独做的天数之间的关系．
6.为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具
体信息如下：
信息—
工程 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元）队
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的
施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等列出分式方
程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元，根据先由甲工程队单独施工若干天，
再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于1500m2列出不等式即可得到答
案．
1800 1200
【详解】（1）解：由题意列方程，得 = ．
x+300 x
方程两边乘x(x+300)，得1800x=1200x(x+300)．
解得x=600．
检验：当x=600时，x(x+300)≠0．
所以，原分式方程的解为x=600．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元．
则w=3600a+2200(22−a)=1400a+48400．
∵ (600+300)a+600(22−a)≥15000，
∴ a≥6．
∵1400>0，
∴ w随a的增大而增大．
∴当a=6时，w取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型三：最大利润问题
1.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头
盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按
单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一
半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得
20(x+11)+30x=2920，求解；
1 1
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥ (40−m)，解得m≥13 ，
2 3
故最小整数解为m=14，w=4m+1920，根据一次函数增减性，求得最小值=4×14+1920=1976．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得
20(x+11)+30x=2920
解得，x=54，
x+11=65，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
1 1
则m≥ (40−m)，解得m≥13 ，故最小整数解为m=14，
2 3
w=0.8×65m+(54−6)(40−m)=4m+1920，
∵4>0，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；
根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
2.某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，
但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？
(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)有11种建房方案．
(2)A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，再建
立不等式组可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题；
【详解】（1）解：设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80−x)套，
¿，
1
解得，39 ≤x≤50，
3
∵x取非负整数，
∴x为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴有11种建房方案．
（2）设该公司建房获得利润W万元，
由题意知：W =(30−25)x+(34−28)(80−x)=−x+480，
∵k=−1，W随x的增大而减小，
∴当x=40时，
即A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
3.某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，
但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①W =−4m+3000(50≤m≤150)；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利
数；
（2）①根据条件，可列W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)，整理即可；
②由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，一次函数W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大
值计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，根据题意列出方程组为：
¿，
解得¿，
∴全部售完获利=(66−45)×80+(90−60)×40=1680+1200=2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫(150−m)件，根据题意150−m≤2m，即
m≥50，
∴W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)=−4m+3000(50≤m≤150)，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，
∵−4<0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m=50时，W取最大值，W =−4×50+3000=2800（元），
大
∵2800<2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
4.西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃
共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：
品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩）
A 1 0.2 3.5
B 1.5 0.3 4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？
并求最大利润．
【答案】(1)y=−0.1x+9.6
(2)种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元
【分析】（1）由题意得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)，整理求解即可；
（2）根据A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据
一次函数的性质，即可得到种植A品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【详解】（1）解：由题意可得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)=−0.1x+9.6，
∴y与x的函数关系式为y=−0.1x+9.6；
（2）解：∵A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，
∴x≥1.5(4−x)，解得x≥2.4，
∵y=−0.1x+9.6，
∵k=−0.1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=2.4时，y取得最大值，此时y=9.36，
答：种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键在于明确题意，利用一次函数
的性质和不等式的性质解答．
5.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．
已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
3
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产
2
店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店
获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进78件，则豆笋购进122件；豆干购进79件，则豆笋购进121件；豆干购进
80件，则豆笋购进120件
(3)购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为W =−5n+4000，根据一次函数
的性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则¿，解得¿，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，
¿ ，
解得78≤n≤80，
∴n=78时，200−n=122，即豆干购进78件，则豆笋购进122件，
n=79时，200−n=121，即豆干购进79件，则豆笋购进121件，
n=80时，200−n=120，即豆干购进80件，则豆笋购进120件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则W =(55−40)n+(80−60)(200−n)
=−5n+4000（78≤n≤80且n为整数），
∵−5<0，
当78≤n≤80时，W随n的增大而减小，
∴当n=78时，W取最大值，为W =−5×78+4000=3610．
此时，购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次
函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
6.西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙
种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进
价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗），
请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
【答案】(1)甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元(2)当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元
【分析】（1）设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意列二元一次方
程组求解即可；
（2）由（1）可知甲、乙的进货单价，根据题意可算出甲、乙的销售价格，设购进甲种猕猴桃x件，则购
进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，分别列式表示总利润、销售总额，根据题
意解不等式，根据一次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意可得：
¿，解得¿，
∴甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元．
（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元，
∵甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售，
∴甲种猕猴桃的售价为50+50×20%=60（元/件），乙种猕猴桃的售价为30×2×70%=42（元/件），
设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，
∴两种猕猴桃100件全部售完后的总利润为w=(60−50)x+(42−30)(100−x)=−2x+1200，
两种猕猴桃100件全部售完后的销售总额为y=60x+42(100−x)=18x+4200，
∵18x+4200≥5100，
∴x≥50，
∵w=−2x+1200，而−2<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=50时，w最大是−2×50+1200=1100（元），
∴当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，一次函数图像的性质与销售的问题，理
解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组得方法，解不等式，一次函数图像的增减性等知识是解题
的关键．
7.某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经
调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需
要470元．
(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值
范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
【答案】(1)¿
(2)y=¿
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，根据题意
分两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；
利润
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率= ）不低于16%列出不等式求
本金
解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：¿，
解得¿；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，
∴当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400；
当60<x≤80时，
y=(20−14)×60+(20−3−14)(x−60)+(23−19)(100−x)=−x+580；
综上所述，y=¿；
（3）当30≤x≤60时，y=2x+400，
∴当x=60时，y取最大值，此时y=2×60+400=520（元），
当60<x≤80时，y=−x+580，
∴y<−60+580=520（元），
∴由上可得：当x=60时，y取最大值520（元），
520−3m×60−40m
∴由题意可得， ≥16%，
60×14+40×19
∴解得m≤1.2．∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是
正确分析题目中的等量关系．
8.2022年第19届亚运会（(The19thAsianGamesHangzhou2022)），简称“杭州2022年亚运会”，将
于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活
力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．它融合了杭
州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A、
B两种杭州亚运会吉祥物礼盒共50个，共花去7500元，这两种吉祥物礼盒的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种礼
168 198
盒
B种礼盒 138 158
(1)求A、B两种吉祥物礼盒分别购进了多少个；
(2)由于销售情况很好，第一次购进的50个礼盒很快就销售完了，专卖店老板又计划用不超过12000元购
进A、B两种礼盒共80个，则应该如何进货，才能使得第二批礼盒全部售完后获得最大利润？最大利润为
多少？
【答案】(1)购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；
(2)购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元
【分析】（1）设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，根据购进A，B两种杭州亚
运会吉祥物礼盒共花去7500元列方程，解方程即可；
（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，根据两种礼盒进价不超过12000元求出
a的取值范围，再根据总利润=两种礼盒利润之和列出函数解析式，由函数的性质即可求最值．
【详解】（1）解：设购进A种吉祥物礼盒x个，则购进B种吉祥物礼盒(50−x)个，
根据题意：168x+138(50−x)=7500，
解得：x=20，
∴50−x=30，
答：购进A种吉祥物礼盒20个，购进B种吉祥物礼盒30个；（2）解：设购进A种礼盒a个，B种礼盒(80−a)个，获得利润为y元，
∵购买A、B两种礼盒的费用不超过12000元，
∴168a+138(80−a)≤12000，
解得：a≤32，
根据题意得：y=(198−168)a+(158−138)(80−a)=10a+1600，
∵10>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，
80−a=80−32=48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解
析式是解题关键．
题型四：分配问题
1.某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同
学的对话情景：
(1)请计算出A，B两种物品的单价；
(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买
方案，并说明理由．
【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元
(2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析
【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得¿，即可解得答案；
2
（2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m≥6 ，W＝
3
30m+15（20﹣m）＝15m+300，根据一次函数性质即可得答案．
【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，
根据题意得：¿，
解得¿，答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元；
（2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20﹣m）个，共需W元，
∵A物品的数量不少于B物品数量的一半，
20−m
∴m≥ ，
2
2
解得m≥6 ，
3
而W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300，
∵15＞0，
∴W随m的增大而增大，
2
∵m≥6 ，m是整数，
3
∴m＝7时，W最小，最小为15×7+300＝405，
∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．
2.为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备
再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已
4
知足球的单价为篮球单价的 ．
5
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的
函数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费
用应为多少？
【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元；
(2)w=−20m+6000；
(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要
检验；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；4
【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 x 元，
5
800 800
= −2
由题意得： x 4 ，
x
5
解得：x=100，
经检验：x=100是原方程的解且符合题意，
4 4
则足球的单价为： x= ×100=80 （元），
5 5
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）由题意得：w=80m+100（60−m）=−20m+6000，
即w与m的函数关系式为w=−20m+6000；
（3）由题意可得：−20m+6000≤5200，
解得：m≥40，
∴40≤m≤45，
由（2）得：w＝−20m+6000，
∵−20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝45时，w取得最小值，
此时w＝5100元，60﹣m＝15，m＝45，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确
题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
3.某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价
收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾
客准备购买x支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方案购买所需费用为y 元，选择第二种方案购买
1
所需费用为y 元．
2
(1)请分别写出y ，y 与x之间的关系式： ， ；
1 2
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
【答案】(1)y =15x+40,y =15.2x+32，
1 2
(2)选择方案②更为优惠，见解析
【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得：y =15x+4×(x+10−x)=15x+40，
1
y =[15x+4(x+10)]×80%=15.2x+32；
2
（2）当x=10时，y =15×10+40=190；y =15.2×10+32=184
1 2
∵190>184，
∴选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．
4.某园区准备进行二次绿化，计划购进A，B两种绿化树，经调查可知购进5棵A绿化树和10棵B种绿
化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元．
(1)求A，B两种绿化树每棵的价格；
(2)若最终决定购买A，B两种绿化树共24棵，且A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，请你
设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】(1)A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元
(2)购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元
【分析】（1）设A种绿化树每棵的价格为x元，B种绿化树每棵的价格为y元，根据两种购数方法：购进
5棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元，可列
二元一次方程，解答即可；
（2）设购买A种绿化树的数量为m棵，则购买B种绿化树的数量为(24−m)棵，根据A种绿化树的数正
不少于B种绿化树数量的3倍，列出不等式，解之，再设购买绿化树的总费用为w元，得到w关于m的一
次函数，利用一次函数的性质，即可得到费用最低的购买方案．
【详解】（1）解：设A种绿化树每棵的价格为x元，B种绿化树每棵的价格为y元，根据题意，得¿，解
得¿
答：A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元．
（2）解：设购买A种绿化树的数量为m棵，则购买B种绿化树的数量为(24−m)棵，
由题意得m≥3(24−m)，
解得m≥18．
设购买绿化树的总费用为w元，
由题意得w=120m+50(24−m)=70m+1200．
∵70>0，∴w随m的增大而增大，
∴当m=18时，w =18×70+1200=2460（元）．
最小此时B种绿化树的数量为24−18=6（棵）．
答：购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元．
【点睛】本题考查了二元一次的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，熟练找出等
量关系和不等关系是解题的关键．
5.李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人
2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社
表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，
则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收
取总费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社：y=2000x×0.8=1600x；乙旅行社：¿
(2)甲旅行社
【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数
关系式；
（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
甲旅行社：y=2000x⋅0.8=1600x；
当0≤x≤20时，y=2000x⋅0.85=1700x，
当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+(x−20)⋅2000⋅0.7=1400x+6000，
故乙旅行社：¿
（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，
则甲旅行社：y=1600×25=40000；
因为25>20
所以把x=25代入y=1400x+6000中，
则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000；
因为41000>40000，
所以选择甲旅行社．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次
函数的性质解答．
6.针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知
生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；
(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且不低于8760元，求符合生产条件的生产方案
有哪几种；
(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种
生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？
【答案】(1)甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克
(2)符合生产条件的生产方案有3种．方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41
箱，B产品39箱；方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
(3)应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本
为12340元
【分析】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．根据“购买甲、乙两种材料
各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．”列方程组，解方程
组即可得到答案；
（2）求出生产1箱A产品所需材料费和生产1箱B产品所需材料费，设生产A产品m箱，则生产B产品
(80−m)箱．依题意得到关于m的不等式组，求出不等式组的整数解，写出方案即可；
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，根据题意得到w的一次函数表达式，根据一次函数的性质结合
（2）中的方案得到答案．
【详解】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．
依题意，得¿
解得¿，
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为20×3+40=100（元），
生产1箱B产品所需材料费为20×2+40×2=120（元）．
设生产A产品m箱，则生产B产品(80−m)箱．
依题意，得¿
解得40≤m≤42．
又m为整数，
∴m可以取40，41，42．
∴符合生产条件的生产方案有3种．
方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为w元．
根据题意，得w=(100+40)m+(120+50)(80−m)=−30m+13600．
∵−30<0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m=42时，w取得最小值，最小值为−30×42+13600=12340（元）．
答：应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成
本为12340元．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，读懂
题意，正确列出一元一次不等式组和一次函数是解题的关键．
7.某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，
具体情况如表：
线下 线上
规
格
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 240 0 210 20
B 300 0 250 30
(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系
式；
(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计
算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【答案】(1)y=−50x+5600
(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元
【分析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20−x) 个，根据表中的单价及运费列出函数
关系式即可；
（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关
系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解．
【详解】（1）由题意得
y=210x+250(20−x)+20x+30(20−x)
整理得y=−50x+5600
（2）由题意得20−x≥2x20
解得x≤
3
∵−50<0
∴ y随x的增大而减小
∴ 当x=6时，y最小为−300+5600=5300
线下购买时的花费为240×6+300×14=5640
此时，购买B种书架20-6=14个
线上比线下节约5640-5300=340元
所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题
的关键．
题型 五： 分段计费问题
1.某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价
器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所示．
(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)y=2x+2.5(x>3)
(2)13km
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把y=28.5代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是8.5元．
当x>3时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由函数图象过点(3,8.5),(6,14.5)，
得¿解得¿
故当行驶里程超过3km时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.5(x>3)．
（2）解：∵28.5>8.5，∴令y=28.5，即28.5=2x+2.5，解得x=13．
答：这位乘客乘车的里程是13km．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
2.某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计
费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
60
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50× =30（元），
100
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数
解析式的步骤是解题关键．
3.某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为
极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水
费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：
(1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？
(2)写出y与x的函数解析式．
(3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？
【答案】(1)10元
(2)y=¿
(3)21吨
【分析】（1）根据图象可知，用水15吨交水费30元，依此求出基本段每吨水费，再用基本段每吨水费
乘以5吨，可得应交水费；
（2）分0≤x≤15，15<x≤22，x>22三种情况，利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
（3）根据图象可知，用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，由于30<48<51，所以该用户用
水大于15吨且小于22吨，将y=48代入（2）中对应的函数解析式，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵用水15吨交水费30元，
∴基本段每吨水费30÷15=2元，
∴若某用户该月用水5吨，问应交水费2×5=10元；
（2）解：分三种情况：
①当0≤x≤15时，设y=k x，
1
∵(15，30)，在直线y=k x上，
1
∴30=15k ，解得k =2，
1 1
∴y=2x；②当15<x≤22时，设y=kx+b，
∵(15，30)，(22，51)在直线y=kx+b上，
∴¿，解得¿，
∴y=3x−15；
③当x>22时，同理求得y=4x−37．
综上所述，y与x的函数解析式为y=¿；
（3）解：若某月一用户交水量48元，设该用户用水x吨．
∵用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，
而30<48<51，
∴15<x<22．
由题意，得3x−15=48，
解得x=21．
答：若某月一用户交水量48元，设该用户用水21吨．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，函数图
象的读图能力．从函数图象中得到有用的信息以及利用分类讨论思想是解题的关键．
4.为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量
为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180 月用电量180度至300度（含300度） 月用电量300度以上的部分，
度），以下每度价格0.55元 的部分，每度比第一档提价a元 每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户
家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
12
用电量（度） 160 200 260 320
0
户数 2 3 6 7 2
【答案】(1)a的值为0.1
(2)y=¿
(3)中位数和众数分别是112元、151元【分析】（1）根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；
（2）根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；
（3）先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可．
【详解】（1）由题意得，180×0.55+(280−180)×(0.55+a)=164，解得a=0.1，
即a的值为0.1；
（2）当0≤x≤180，y=0.55x；
当180<x≤300，y=180×0.55+(x−180)×(0.55+0.1)=0.65x−18；
当x>300 y=180×0.55+(300−180)×(0.55+0.1)+(x−300)×(0.55+0.3)=0.85x−78，
综上，y与x的函数关系式为y=¿；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为0.65×200−18=112（元）；
20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费0.65×260−18=151（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
5.某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若
x≤10，则按原票价售票；若x>10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行
社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y 元，在节假日的购票款为y 元，y 、y 与x之间的函
1 2 1 2
数图象如图所示．
（1）图象中m=_______，n=_________．
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，
两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
【答案】（1）560，1440；（2）甲团有60人，乙团有40人
【分析】（1）根据图像可知门票定价为80元每人，继而可求得打7折的价格，即可求得m，由题可知
10人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，继而可得n=800+640=1440；
（2）设甲团有m人，乙团有n人，根据题意分情况列出方程组即可求解．【详解】解：（1）由图可知门票定价为80元每人，
∴10人应花费800元，
∴打7折得到的价格为800×0.7=560元，即m=560，
由题可知10人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，
∴n=800+640=1440，
故答案为：560，1440；
（2）设甲团有a人，乙团有b人，
依题意，得：
¿，
解得¿，
答：甲团有60人，乙团有40人．
【点睛】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系
式．
6.据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如
图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方
米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如图2表格所示，
每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2(精确到
0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一级 0~15（含15） 2.61
第二级 15~25（含25） 3.92
第三级 25以上 n
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用
a的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说
明理由．
【答案】(1)每立方米1.84元
(2)m=140，y=2.8x (x≥0)
(3)现行的：b=1.84a；方案一：b=2.8a；方案二：当0≤a≤15，b=2.61a；当15<a≤25，
b=3.92a−19.65；当a>25时，b=5.22a−52.15
(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元先得出现行的用水价，即可再求得m的值，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1）92÷50=1.84，
故现行的用水价是每立方米1.84元；
（2）1.84+0.96=2.8，
m=2.8×50=140，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx (x≥0)，
则140=50k，
∴k=2.8，
∴y=2.8x(x≥0)；
（3）现行的：b=1.84a；
方案一：b=2.8a；
方案二：∵第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2，
∴n=2.61×2=5.22，
当0≤a≤15，b=2.61a；
当15<a≤25，b=3.92(a−15)+15×2.61=3.92a−19.65；
当a>25时，b=5.22(a−25)+15×2.61+10×3.92=5.22a−52.15；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量：(13×1+14×2+15×4+16×3)÷10=14.9 <15，当0≤a≤15时，水价为2.61元，此时方案一的水价为2.8元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
题型 六： 调运问题
1.某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，
乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调
运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘
机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全
部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
甲
乙地
地
A
x
省
B省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？
【答案】(1)27−x，28−x，x−3
(2)y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）
(3)两种；从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台，从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台．
【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及A、B两省挖掘机台数用未知数表示出分配方案；
（2）利用x就可以表示出A省，B省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，得到函数解析式；
（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于x的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：从A调往甲地x台挖掘机，甲地需要27台，则从B省调（27−x）台到甲地；因为A
省共28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩（28−x）台调往乙地，乙地需要25台，已经从
A省调（28−x）台到乙地，B省共24台挖掘机，从B省调（27−x）台到甲地后还剩
24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地，
故答案为：27−x，28−x，x−3．
（2）解：由题意得：y＝0.4x＋0.3（28−x）＋0.5（27−x）＋0.2（x−3），
即：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27），
故y与x之间的函数关系式为：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）．
（3）解：依题意得：−0.2x＋21.3≤16.2，解得：x≥25.5，
又∵3≤x≤27，且x为整数，
∴x＝26或27，
∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：
方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台，
0.4×26＋0.3×2＋0.5×1＋0.2×23＝16.1（万元）；
方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台，
0.4×27＋0.3×1＋0.2×24＝15.9（万元），
∵15.9＜16.1，
∴调运方案二的总耗资最少．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用及调运方案问题，根据已知表示出从B省调（27−x）台到甲
地后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地是解题关键．
2.自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，现某国药集团在甲、乙仓库共存放
新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫
苗乙仓库比甲仓库多30万剂．
（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？
（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，
请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；
其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如下表：
运费定价 调运疫苗不超过130万剂时 调运疫苗超过130万剂时
甲仓库
135元/万剂 不优惠 优惠10%m元/万剂
乙仓库 105元/万剂 不优惠
（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运
疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？
【答案】（1）甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为240万剂，210万剂；（2）当0＜m≤130时，
W =30m+31500, 当135＜m≤240时，W =16.5m+31500；（3）此次调运疫苗最低总运费不在国家
审批的范围内，理由见解析．
【分析】（1）设甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为x万剂，y万剂，再根据相等关系列方程组，解方程
组即可得到答案；
（2）分两种情况讨论，当0＜m≤130时， 当135＜m≤240时，再根据总费用等于运输两种疫苗的费用之和可得函数关系式；
（3）当0＜m≤130时， 由W =30m+31500≤33000时，可得m≤50, 结合乙的总库存只有210万剂，
所以从甲仓库调运的一定会超过50万剂，所以此种情况不合国家要求，当135＜m≤240时，由
1000 10
W =16.5m+31500≤33000时，可得m≤ =90 , 所以此种情况也不合国家要求，从而可得答案．
11 11
【详解】解：（1）设甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为x万剂，y万剂，则
x+ y=450
{
x−60%x+30= y−40% y
x+ y=450
整理得：{
3 y−2x=150
x=240
解得：{
y=210
答：甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为240万剂，210万剂，
（2）当0＜m≤130时，
W =135m+105(300−m)=30m+31500,
当135＜m≤240时，
W =135×(1−10%)m+105(300−m)=16.5m+31500.
（3）当0＜m≤130时，W =30m+31500,
当W =30m+31500≤33000时，
∴m≤50,
即当从甲仓库调运50万剂，但乙的总库存只有210万剂，所以从甲仓库调运的一定会超过50万剂，所以
此种情况不合国家要求，
当135＜m≤240时，
W =16.5m+31500≤33000时，
1000 10
∴m≤ =90 ,
11 11
∴ 此种情况也不合国家要求，
综上：此次调运疫苗最低总运费不在国家审批的范围内．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，列一次函数关系式，一元一次不等式的应用，掌握以上
知识是解题的关键．
3.进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运
送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨第一次 3 2 24
第二次 2 5 38
(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；
(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数
w和m的关系式．
【答案】(1)甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
(2)w=−2m+60．
【分析】（1）根据3辆甲种货车与2辆乙种货车分别装满共运输24吨物资，2辆甲种货车与5辆乙种货
车分别装满共运输38吨物资，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种货车每次装满
分别能运输多少吨物资；
（2）甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，即可可以写出w与m之间的函数关系式．
【详解】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资，
依题意得¿，
解得，¿，
答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
（2）解：甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，
w=4m+6(10−m)=−2m+60，
即w与m之间的函数关系式为w=−2m+60．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
方程组和一次函数关系式．
4.计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B
地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整
数）．
A地 B地
甲厂 7 10
乙厂 10 15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地
__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且1<m<4，请你探究总费用的最小值．
【答案】(1)(60−x)，(70−x)，(x−30)
(2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的数量关系填空即可；
（2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可；
（3）列出总费用函数关系式，对m的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可．
【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地(60−x)台；乙厂运往A地(70−x)
台；乙厂运往B地40−(70−x)=(x−30)台；
故答案为：(60−x)，(70−x)，(x−30)
（2）解：设运输费为y百元，依题意得
y=7x+10(60−x)+10(70−x)+15(x−30)
=2x+850，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
60−x≥0；70−x≥0；x−30≥0
∴30≤x≤60．
∴当x=30时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：y=(7+m)x+10(60−x)+10(70−x)+(15−2m)(x−30)
=(2−m)x+850+60m．
当m=2时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当1<m<2时，2−m>0，y随x的增加而增加，当x=30时，运费最低=910+30m（百元）；
当2<m<4时，2−m<0，y随x增加而减小，当x=60时，运费最低=9万7千元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式，掌握并能运用
一次函数的性质．
5.某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商
品和3件B商品，需要1750元．
(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售，已知每件A商
品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．设运往甲地的A商品为x（件），总运费为y
（元），
①请写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②设投资的总费用为w元，怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总
费用＝购进商品的费用＋运费）
【答案】(1)A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元
(2)①y=4x+10040，0≤x≤200且x为整数；②调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B
商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用是125040元
【分析】（1）设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，然后根据购进3件A商品和
2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；
（2）①根据总运费=A商品运往甲、乙两地的费用+B商品运往甲、乙两地的费用，列出关系式即可；②
根据投资总费用＝购进商品的费用＋运费结合一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A种商品的进货单价是m元，B种商品的进货单价是n元，
根据题意，得¿，
解得¿，
答：A种商品的进货单价是200元，B种商品的进货单价是250元；
（2）解：①由题意，得
y=20x+25(200−x)+15(240−x)+24[260−(200−x)]=4x+10040，
∴y与x的函数关系式为：y=4x+10040，
自变量x的取值范围是：0≤x≤200且x为整数．
②由题意，得
w=200×200+300×250+4x+10040=4x+125040，
∵k=4>0
∴w随x的增大而增大，
由（1）知：0≤x≤200，
∴当x=0时，w =4×0+125040=125040（元），
最小
此时的调运方案是：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用
是125040元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程组和函数
关系式是解题的关键．
6.6月份以来，猪肉价格一路上涨，为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组
织10辆，10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输分别是18辆、10辆．已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别为200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别为
300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别为400元和500元．若从A、B两市都派x辆车到D市，
当这28辆运输车全部派出时，
(1)求总运费W（元）与x（辆）之间的关系式，并写出x的取值范围；
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案．
【答案】(1)W＝－800x+17200， 5≤x≤9；
(2)A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆
【分析】（1）根据题意可得，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－
2x）辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，再利用总运费=各路运费之和，即可得出可得出结论；
（2）由（1）中函数关系式W =−800x+17200和—次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－
2x）辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，
则W＝200x+800（10－x）+300x+700（10－x）+400（18－2x）+500（2x－10）
＝－800x+17200，
∵ 10－x≥0，18－2x≥0，2x－10≥0
∴ x≤10 ， x≤9， x≥5 ．
∴ 5≤x≤9．
（2）由（1） W＝－800x+17200，
∵ －800＜0，
∴W随x增大而减小，
∴当x ＝9时
最大
W ＝－800×9+17200
最低
＝－7200+17200
＝10000，
∴10－x＝10－9＝1 ，18−2x＝18−2×9＝0，2x－10＝8，
∴总运费W最低时，A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意表示出总运费是解题的关键．
7.在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任务之一．在某市的甲、乙、丙、丁四
地中，已知某种消毒液甲地需要10吨，乙地需要8吨，正好丙地储备有12吨，丁地储备有6吨．该市新
冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这18吨消毒液全部调往甲、乙两地．已知消毒液的运费价格如下表
（单位：元/吨）．又知从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙地共需440元．如果设从丙地调运x吨到甲地．
起点/终点 甲地 乙地
丙地 a b
丁地 35 70
（1）确定表中a，b的值；
（2）求调运18吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少．
【答案】（1）a＝60，b＝100；（2）y＝－5x+1270；（3）总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到
甲地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地调运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【分析】（1）根据“从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙
地共需440元”建立二元一次方程组求解即可；
（2）根据“总运费=丙到甲的运费+丙到乙的运费+丁到甲的运费+丁到乙的运费”建立函数关系式，再化
简计算即可；
（3）根据“运往各地的消毒液吨数不小于0”建立不等式组，从而求出x范围，再结合（2）中的关系式
求最小值即可．
【详解】解：（1）由题意可知：¿，
解得：¿，
答：a＝60，b＝100；
（2）从丙地调运x吨到甲地，则丙地调运（12－x）吨到乙地，丁地调运到甲地（10－x）吨，丁地调运
到乙地（x－4）吨，
∴y＝60x+100(12－x)+35(10－x)+70(x－4)＝－5x+1270；
（3）由题意可知：¿，
解得：4≤x≤10，
∵y＝－5x+1270，－5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最小值，最小值为y＝－5×10+1270＝1220，
∴总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到甲地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地
调运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及解不等式组，弄清题意，正确找出题中
的数量关系是解题的关键．
8.“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购
进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表销售量/件
月份 销售额/元
雪容
冰墩墩
融
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
(2)若某公司购进冰墩墩200件，雪容融300件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰
墩墩运往甲、乙两地的运费分别为8元和10元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为7元和11元．若
运往甲地的吉祥物共240件，运往乙地的吉祥物共260件．
①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，请写出w与a的函数关系式；
②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？
【答案】(1)此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元
(2)①w=2a+4340 (80≤a≤120)；②运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲
地的为雪容融160件，运往乙地的为雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500
元
【分析】（1）设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，利用销售总
额=销售单价×销售数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，
运往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，根据题意列出函数关系式即可求解；
②根据一次函数的的性质，结合自变量的范围，即可求解．
【详解】（1）解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，
依题意得：¿，
解得：¿；
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元．（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，
运往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，
∴w=8a+10(200−a)+7(240−a)+11(60+a)=2a+4340，
∴w=2a+4340 (80≤a≤120)，
②∵w=2a+4340 (80≤a≤120)，
2>0，当a=80时，w最小，最小值为2×80+4340=4500（元）
答：运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲地的为雪容融160件，运往乙地的为
雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组与函数关系式是解
题的关键．
题型 七： 计时问题
1.某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，
该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上
的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下
实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间x(h) 0 2 4 6 8
1 4
电子秤读数y（克） 6 30 54
8 2
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中
的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函
数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【答案】(1)作图见解析
(2)在同一直线上．函数表达式为：y=6x+6
(3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．
（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，
利用待定系数法求解函数表达式．
（3）根据（2）中的表达式可求出当x=9时，精密电子秤的读数．
（4）根据（2）中的表达式可求出当y=72时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时
间．
【详解】（1）解：如图所示（2）
解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：y=kx+b
将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得¿
解得¿
∴函数表达式为：y=6x+6
（3）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当x=9时，y=60
∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．
（4）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当y=72时，x=11
∵起始时间是上午7:30
∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数
自变量或函数值是解决本题的关键．
2.漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数
思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时
工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，得到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)h=0.4t+1.2，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位h(cm)与时间t(min)满足一次函数关系式，设水位h(cm)与时间
t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令h=21，求解t值即可．
【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位h(cm)与时
间t(min)满足一次函数关系式．
设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中任意两组数据得：
¿，
解得：¿，
∴h=0.4t+1.2，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2；
画出的函数图像如下：
（2）由（1）可知，水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2，当h=4.8时， 4.8=0.4t+1.2
解得：t=9．
答：当水位h为4.8cm时，对应的时间为9min．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关
键．
3.如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人
们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y（厘米）表示壶底到水面的高度，y是x
的一次函数．某次计时过程中，如表记录了四组数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ）
组数 1 2 3 4
漏水时间x/h 1 2.5 4 5.5
壶底到水面的高度
13 9 7 4
y/cm
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
【答案】B
8 47
【分析】设y=kx+b，将(1,13)，(2.5,9)代入求出y=− x+ ，再将(4,7)，(5.5,4)代入解析式可得：
3 3
第一组数据或第二组数据错误，故将(4,7)，(5.5,4)代入y=kx+b可得解析式为：y=−2x+15，再将第
一组数据或第二组数据代入即可求出答案．
【详解】解：∵y是x的一次函数，故设y=kx+b，
将(1,13)，(2.5,9)代入可得：¿，解得：¿，
8 47
此时函数解析式为：y=− x+ ，
3 3
8 47
将(4,7)代入解析式可得：y=− ×4+ =5≠7，
3 3
8 47
将(5.5,4)代入解析式可得：y=− ×5.5+ =1≠4，
3 3
∴可得出是第一组数据或第二组数据错误，
将(4,7)，(5.5,4)代入y=kx+b可得：¿，解得：¿，∴函数解析式为：y=−2x+15，
将(1,13)代入解析式可得：y=−2×1+15=13，
将(2.5,9)代入解析式可得：y=−2×2.5+15=10≠9，
∴第二组数据错误．
故选：B
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是判断出第一组数据或第二
组数据错误．
4.沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃
球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不
计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时
间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流
入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
【答案】(1)y=−20x+1200(x≥0)
(2)60秒
【分析】（1）设一次函数的解析式y=kx+b，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令y=0，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式y=kx+b．
将(3,1140)和(9,1020)分别代入．得
¿
解得¿．
∴y=−20x+1200(x≥0)．
（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴y=0．
即−20x+1200=0，解得x=60．∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
题型 八： 体积问题
1.如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为
止．容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图象如图2所示．
(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
【答案】(1)15min
(2)27000cm3
【分析】（1）待定系数法求出BD得解析式即可，令y=0时，求出x值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【详解】（1）解：设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点(3,60)和(9,30)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿，
∴直线BD的解析式为y=−5x+75．
令y=0，即−5x+75=0，解得x=15，
故容器注满水所需的时间为15min．
（2）解：由图像AB段可知正方体的高为90−60=30(cm)，
即正方体的边长为30cm，
故正方体的体积为30×30×30=27000(cm3)．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
2.如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t(min)，水箱A的水位
高度为 ，水箱 中的水位高度为 ，根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不
y (dm) B y (dm)
A B
计）
（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出y 、y 与t之间的函数表达式；
A B
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【答案】（1）36dm3；（2）y =t(0≤t≤6)，y =−0.6t+6(0≤t≤6)；（3）水位高度差为2dm．
A B
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水
箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别
求出两水箱中水位的高度即可解答．
【详解】解:(1)水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
6t
（2）根据题意得：y = =t(0⩽t⩽6)；
A 2×3
6t
y =6− =−0.6t+6(0⩽t⩽6)；
B 2×5
1
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，y = ×6=3，
B 2
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面
积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．
3.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，
解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
【答案】(1)2；(2)y=2x+30；(3)放入8个小球．
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高 2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时
水面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式．
（3）列方程可求出量筒中小球的个数．
【详解】(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高（36-30）÷3=2cm．
故答案为2；
(2)设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则¿，
解，得¿．
则所求表达式为y=2x+30；
(3)由题意，得2x+30=49-3，
解，得x=8．
所以要放入8个小球．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为
模型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
4.下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务：
年*月*日 星期日利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
如图1，在一支10ml的试管中充满了NO 和O 的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发
2 2
生化学反应．
4NO +O +2H O=4HNO ①
2 2 2 3
当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应．如果反应后NO 仍有剩余，则NO 会和水继
2 2 2 2 2 2
续发生化学反应．
3NO +H O =2HNO +NO②
2 2 2 3
化学反应②中参与反应的NO 与生成的NO的体积比为3:1．
2
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中
的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．
设原混合气体中NO 的体积为xml，O 的体积为(10−x)ml，完全反应后试管内乘余气体的体积为yml
2 2
．
情况一：由反应①可知，当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应，此时x=8，y=0．
2 2 2 2
x
情况二：当x<8时，由反应①可知NO 全部参加反应，O 过量，参加反应①的O 的体积 ，剩余O 的体
2 2 2 4 2
x 5x
积为10−x− =10− ．
4 4
5x 5x
因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积y=10− ，即y=− +10．
4 4
在平面直角坐标系中画出当0<x≤8时的函数图象如图2所示．
情况三：当8<x<10时，由反应①可知O 全部参与反应，NO 过量，参与反应①的NO 的体积为
2 2 24(10−x)ml，剩余的NO 和水发生反应②，产生不溶于水的NO气体．
2
任务：
(1)根据材料中的内容，求出当8<x<10时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函
数图象；
(2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为2ml时，求原混合气体中NO 的体积．
2
5 40
【答案】(1)y= x− ；图象见解析
3 3
(2)6.4ml或9.2ml
【分析】（1）当8<x<10时，进行的反应是②，根据题意可知反应①消耗的NO =4(10−x)，进而得出
2
当8<x<10时，y与x的函数关系式，根据自变量取值范围画出图象．
（2）分情况讨论①当8<x<10时，②当0<x<8时，y=2时，分别代入相应的函数关系式计算．
【详解】（1）解：当8<x<10时，进行的反应是②，
∵反应①消耗的NO =4(10−x) ，
2
∴剩下的气体NO满足
y=[x−4(10−x)]÷3
5 40
= x− ，
3 3
5 40
∴当8<x<10时，y与x的函数关系式为y= x− ．
3 3
函数图象如下图所示：5 40
（2）解：∵①当8<x<10时，y与x的函数关系式为y= x− ，
3 3
∴y=2时，则x=9.2，
5
②当0<x<8时，y与x的函数关系式为y=− x+10，
4
∴y=2是，则x=6.4．
答：原混合气体中NO 的体积为6.4ml或9.2ml．
2
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是理解题意列出函数解析式．
5.实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个高都为10cm圆柱形容器（甲、丙的底面积相同），用两个相
同的管子在容器的6cm高度处连通（即管子底离容器底6cm，管子的体积忽略不计）．现三个容器中，
只有甲中有水，水位高2cm，如图①所示．若每分钟同时向乙、丙容器中注入相同量的水，到三个容器
都注满水停止，乙、丙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）的图象如图②所示．若乙比甲的水位
高2cm时，注水时间m分钟，则m的值为（ ）
13
A．3或5 B．4或6 C．3或 D．5或9
3
【答案】C【分析】确定a、b的值，再分乙容器的水位达到4cm时、甲容器的水位达到4cm时两种情况，分别求解．
【详解】解：2分钟时，丙的水量达到6cm，而此时乙的水量为2cm，故乙、丙两容器的底面积之比为
3：1，
∵乙、丙两容器的底面积之比为3：1，丙容器注入2分钟到达6cm，
∴乙容器的水位达到6cm所需时间为：a＝2+2＝4（min），
b＝（10﹣2+10×3+10）÷6＝8（min）．
①当2≤x≤4时，设乙容器水位高度h与时间t的函数关系式为h＝kt+b（k≠0），
∵图象经过（2，2）、（4，6）两点，则¿，解得：¿，
∴h＝2t﹣2（2≤x≤4）．
当h＝4时，则2t﹣2＝4，解得t＝3；
②设t分钟后，甲容器水位为4cm，根据题意得：2+6（t﹣4）＝4，
13
解得：t＝ ．
3
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思
想解答．
6.将一块a×b×c(a<b<c)的长方体铁块（图1）平放在一个长方体水槽底部（图2），现向水槽内匀速
注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，所以水槽内的水深h与注水时间t的
函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图5）（注：长度单位：厘米；时间
单位：秒）
（1）判断t 与t 的大小关系：t_________________t；
1 2 1 2
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810cm3
【分析】（1）根据注水的速度相同且在槽内，得到注水总量相同，得到时间相等；
（2）分析图3与图4，当注水21s以后，水深6cm，当注水45s以后，水深9cm，当注水62s以后，水深
10cm，由a×b×c(a<b<c)，得出a=6，b=9，c≥10；
（3）根据注入水的体积与水槽的容积以及长方形的体积之间的关系，得到等量关系，算出结果．
【详解】解：（1）∵注水的速度相同且在槽内，∴注水总量相同，
∴t =t ，
1 2
（2）从三个图形来看，h的最大值为10，所以水槽的深度为10cm，
由图3看，当注水21s以后，水深6cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的
上表面，所以a、b、c中有一个为6cm，
由图4看，当注水45s以后，水深9cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的
上表面，所以a、b、c中有一个为b=9cm，
由图5看，当注水62s以后，水深10cm，水面未淹铁块，所以a、b、c中有一个不小于10cm，
又因为a×b×c(a<b<c)，所以a=6，b=9，c≥10，
（3）设槽底面积为S，由图3可知，
V =(S−9c)×6+S×4
令注完时间为t，
V 10S−54c
∴v= = ，V =(S−9c)×6=6S−54c，
t t
由图3，当t=21s时，V =(S−9c)×6=6S−54c，
由图4，当t=45s时，V =9×(S−6c)=9S−54c，
10S−54c 10S−54c 10S−54c
∴ ×21=6S-54c， ×45=9S-54c， ×62=10S-540
t t t
解得：t=53s，c=15cm，
∴V =6×9×15=810cm3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，关键在于仔细观察图形，明确注入水的体积与水槽的体积以
及长方体的体积之间的关系，然后根据注入水的速度，利用图3、图4列出方程求出水槽的底面积与c的
关系式．
7.为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数
学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒
最大容量为200毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为100毫升．
试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下
表(漏出的水量精确到1毫升)：
时间x(秒) 10 20 30 40 50 60 70
漏出的水量y(毫升) 2 5 8 11 14 17 20
根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题：
(1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出y与x的图象，并判断y是x的什么函数，且
求出此函数关系式．(2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出．
(3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到0.1升)．
试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示，
(4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．
3
【答案】(1)图见解析，一次函数，y= x−1
10
(2)670秒
(3)1.1
(4)因为“博学组”接水的量筒40秒后装满就溢出了
【分析】（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可．根据图象可知y是x的一次函数，先设出y
与x的函数关系式为y=kx+b，根据表中数据，得出¿，求出y与x的函数关系式；
3
（2），再根据题意可得不等式 x−1≥200，从而可求可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出．
10
（3）根据（1）中的函数关系式，把x=3600秒代入即可求出答案．
（4）根据“博学组”接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与
横轴“平行”的部分的原因．
【详解】（1）解：（1）图像如图①所示．y是x的一次函数．设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
由题意得¿，解得¿
3
∴y= x−1
10
3
（2）令 x−1≥200，
10
解得：x≥670
答：至少670秒后，量筒中的水会满而溢出．
3 3
（3）当x=3600时，y= x−1= ×3600−1=1079(毫升)
10 10
1079毫升=1.079升≈1.1升
故答案为：1.1
（4）∵“博学组”接水的量筒筒40秒后装满后开始溢出，量筒内的水位不再发生变化，
∴图象中会出现与横轴“平行”的部分．
【点睛】本题考查一次函数的应用，正确作图和数据分析是解题的关键．
8.在做测量液体密度的实验中，晓华想对比甲，乙两种液体．他利用天平测出液体和量杯的总质量y（g
），记录此时液体的体积x（cm3），并根据实验数据画出甲、乙两种液体的总质量y（g）与液体的体积
x（cm3）之间的函数关系图像如图．
(1)求乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式；
(2)当甲，乙两种液体的体积都为60cm3时，甲液体的总质量比乙液体的总质量多多少克？4
【答案】(1)y= x+40
5
(2)12g
【分析】（1）设乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式为y=kx+b，待定
系数法求解析式即可求解；
4
（2）将x=60代入y= x+40得y=88，根据函数图像可知甲液体的体积为60cm3时，y=100，进而即
5
可求解．
【详解】（1）设乙种液体的总质量y（g）与液体的体积x（cm3）之间的函数关系式为y=kx+b，
将(25,60),(50,80)分别代入得，
¿，
解得：¿，
4
∴y= x+40；
5
4
（2）将x=60代入y= x+40得y=88，
5
∵100−88=12（g），
∴甲液体的总质量比乙液体的总质量多12g．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
题型 九： 现实生活相关问题
1.顶碗舞是我国一种非常有特色的民间舞蹈，舞蹈演员头顶若干相同规格的碗还可以跳出优美的舞姿．如
图，规格相同的某种碗整齐地摞在一起，高度y(cm)为碗的个数x的一次函数．已知3个碗摞在一起的高
度为10cm，5个碗摞在一起的高度为13cm．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)若某舞蹈演员可以顶12个这种碗，求此时碗摞在一起的高度．
【答案】(1)y=1.5x+5.5
(2)23.5cm
【分析】（1）由题意，设y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法其函数解析式即可得到答案；
（2）根据题意，当x=12时，求出y值即可得到答案．【详解】（1）解：∵高度y(cm)为碗的个数x的一次函数，
∴设y=kx+b(k≠0)，
由题意知，x=3,y=10；x=5,y=13，
将点(3,10),(5,13)代入y=kx+b得¿，解得¿，
∴y与x之间的函数关系式为y=1.5x+5.5；
（2）解：当x=12时，y=1.5×12+5.5=23.5(cm)，
答：12个这种碗摞在一起的高度是23.5cm．
【点睛】本题考查一次函数解实际应用题，读懂题意，利用待定系数法求出函数解析式是解决问题的关
键．
2.千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以
用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x
（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 8 10 12
y（斤） 0.75 1.00 1.50 2.50 3.00 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）
之间的函数表达式；
(2)当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
1 1
【答案】(1)图象见解析；y= x+
4 2
(2)20厘米
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把y=5.5代入（1）中解析式求值即可．
【详解】（1）一次函数的图象，如图所示，设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y=kx+b，
把x=1,y=0.75，x=2,y=1代入，得
¿，
解得：¿，
1 1
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ；
4 2
1 1
（2）当y=5.5时， x+ =5.5，
4 2
解得：x=20
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
3.杆秤是我国传统的计重工具，其历史由来已久．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘上所放
物体的重量．称重时，若记秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米），秤盘所放物体重量为y（斤），其部分
对应数据如下表．
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x（厘
1 3 4 6 11 12
米）
y（斤） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法，判断哪一组数据是错误的?(2)据（1）的图象，选择合适的函数模型，并利用这种函数关系求当秤盘所放物体重量为5斤时秤砣到秤
纽的水平距离．
【答案】(1)见详解，第4组数据错误
1 1
(2)求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ，当秤钩上所挂物重是5斤时，秤杆上秤砣到
4 2
秤纽的水平距离是18厘米
【分析】（1）先利用描点法画出图象，即可作答；
（2）选择合适的函数模型，利用待定系数法求解函数表达式即可；把y=5代入（1）中解析式求值即可．
【详解】（1）描点如图所示，
结合图形可知，除了第4组数据不同外，其他组数据均在图中的直线上，
故第4组数据是错误的
（2）结合（1）上图可知，y（斤）与x（厘米）之间符合一次函数图象，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y=kx+b，
把x=1，y=0.75；x=4，y=1.5代入，
得¿，
解得：¿，
1 1
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ；
4 2
1 1
当y=5时， x+ =5，
4 2
解得：x=18
∴当秤钩上所挂物重是5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是18厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
4.公司小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车场里，该停车场收费标准如下表：
时段 收费标准 备注07时—22 停车3小时以内（含3小时）5元/辆·
时（小车） 次，超过3小时，每小时加收3元．
持续几天停车，仅前3小时收费5元；超
白天
过3小时，不足1小时的按1小时计算收
停车 停车3小时以内（含3小时）10
07时—22 费．
元/辆·次，超过3小时，每小时加收5
时（大车）
元．
22时—07
无论停车时间长短10元/辆·次
时（小车）
夜间
停车
22时—07
无论停车时间长短20元/辆·次
时（大车）
（1）设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表达式；
（2）如果小李是4月23日上午10：05 时驾车进入停车（开始计时收费），至次日中午12：30时驾驶
车辆驶出停车场（收费计时结束），小李应交停车费多少元？
【答案】（1）y=¿；（2）小李应交停车费60元．
【分析】（1）根据题意，可以写出小李白天停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数
表达式；
（2）分段计算出白天停车时长约为18小时，另加一个晚上，利用（1）所得函数表达式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得，当x≤3时，y=5；
当x＞3时，y=5+(x-3)×3=3x-4，
由上可得，函数表达式是：y=¿；
（2）由题意可得，10：05 至22时，共11时55分，
22时 至第二天07时，收费，10元/辆·次，
07时至12：30，共5时30分，
所以：白天共用时11时55分+5时30分=17时25分≈18小时，
即x=18，代入y=3x−4得：y=50(元)，
所以小李应交停车费10+50=60(元) ．
答：小李应交停车费60元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的费用和写出相应的函数
关系式．
5.围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中
华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买
一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．(1)求每副象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，请设计出所需总
费用最少的方案，并求出最少总费用．
【答案】(1)每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元
(2)当购买80副象棋，40副围棋时，所需总费用最少，最少总费用为3200元
【分析】（1）设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方
程组即可；
（2）设购买象棋m副，则购买围棋(120−m)副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据
题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：（1）设每副象棋的单价为x元，每副围棋的单价为y元，
由题意，得：¿，
解得¿，
答：每副象棋的单价为25元，每副围棋的单价为30元．
（2）（2）设购买象棋m副，则购买围棋(120−m)副：
由题意，得：¿，
解得：60≤m≤80．
设总费用为w元，
由题意，得：w=25m+30(120−m)=−5m+3600，
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m为最大值80时，总费用最少，
最少为：−5×80+3600=3200（元）
∴当购买80副象棋，40副围棋时，所需总费用最少，最少总费用为3200元．
【点睛】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题/一次函数的性质等知识，解题的
关键是学会利用一次函数的性质解决最值问题．
6.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计
的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，
F =G ;当石块入水后，F =G −F ．)则以下说法正确的是（ ）
拉力 重力 拉力 重力 浮力A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
3 25
B．当6≤x≤10时，F拉力(N)与x(cm)之间的函数表达式为F = x+
和 8 4
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
22
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 cm
3
【答案】D
【分析】根据函数图象待定系数法求得线段AB的解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】由题图可知，石块下降到6cm时，石块正好接触水面，故选项A错误；
当6≤x≤10时，设AB所在直线的函数表达式为
F=kx+b(k≠0)，
则¿
解得¿
3 25
∴F=− x+ ，故选项B错误；
8 4
当石块下降的高度为8cm时，即x=8时，
3 25 13
F=− ×8+ = ，
8 4 4
∵G =4N，
加水
13
∴F=4− =0.75N，故选项C错误；
4
3 25
当F=3，即3=− x+ ，
8 4
26
解得x= ，
3
26 22
∴石块距离水底的距离为16− = cm，
3 3
故选项D正确，
故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键．
7.打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴漓出行”是全球最大的站式多样化出行渠道，
现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表；
里程/千米 收费/元
2千米以下（含2千米） 11.4
2千米以上，每增加1千米 1.95
（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知
王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．
11.4(x≤2)
【答案】（1）y={
；（2）4km；11.4元．
1.95x+7.5(x＞2)
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以分两段范围写出收费y（元）与里程数x（千米）之间的函
数关系式；
（2）先判断李老师车费y=15.3元＞11.4元，然后将其代入y=1.95x+7.5，求出李老师家与学校的距离；先
判断王老师家距离学校x =1.8 km＜2 km，再根据y=11.4求出王老师从家到学校的车费．
【详解】解：（1）由题意可得：
当0＜x≤2时，y=11.4，
当x＞2时，y=11.4+（x-2）×1.95=1.95x+7.5，
11.4(0＜x≤2)
由上可知，y与x之间的函数关系式为y={
；
1.95x+7.5(x＞2)
（2）因为李老师的车费15.3元＞11.4元，所以x＞2，
当y=15.3即1.95x+7.5=15.3时，得x=4
所以李老师家距学校4km；
因为王老师家距离学校1.8 km＜2 km，所以y=11.4
王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费为11.4元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出函数关系式；再根据题目所给
的条件利用一次函数的性质进行解答．
8.随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不
断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入
了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用
第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量
剩余20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【答案】(1)E=40t+10
10
(2)当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量
13
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，根据E>E ，得出40t+10>14t+30，求出t的
1 1
范围即可．
【详解】（1）解：设线段BC对应的函数表达式为E=kt+b(k≠0)，
(1 ) ( 1 )
由图象知，经过 ,20 , 2 ,100 ，
4 4
¿，
解得：¿，
(1 1)
∴线段BC对应的函数表达式为E=40t+10 ≤t≤2 ．
4 4
（2）解：设线段DF对应的函数表达式为E =k t+b ，由图像知，经过(0,30),(5,100)．
1 1 1
¿，
解得：¿，
∴线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，
1
方法一：当E=E 时，40t+10=14t+30，
1
10
解得t= ，
1310
由图象可知，当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
方法二：当E>E 时，40t+10>14t+30，
1
10
解得t> h．
13
10
∴当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象
比较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问
题的能力．
9.某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人
员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收
费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若
停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车
的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日
净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x ≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要
求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？
【答案】（1）y＝1440x﹣800；每辆次小车的停车费最少不低于3元；（2）y＝﹣120x2+2040x﹣800；
（3）每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【分析】（1）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的
关系式，然后根据日净收入不低于2512元，列出不等式，即可求出x的最小整数值；
（2）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式；
（3）根据x的取值范围，分类讨论：当x≤5时，根据一次函数的增减性，即可求出此时y的最大值；当
x＞5时，将二次函数一般式化为顶点式，即可求出此时y的最大值，从而得出结论.
【详解】解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800
∵1440x﹣800≥2512，
∴x≥2.3
∵x取整数，
∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．
答：每辆小车的停车费最少不低于3元；（2）由题意得：
y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800
即y＝﹣120x2+2040x﹣800
（3）当x≤5时，
∵1440＞0，
∴y随x的增大而增大
∴当x=5时，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）
当x＞5时，
y＝﹣120x2+2040x﹣800
＝﹣120（x2﹣17x）﹣800
17
＝﹣120（x﹣ ）2+7870
2
17
∴当x＝ 时，y有最大值．但x只能取整数，
2
∴x取8或9．
1
显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120× +7870＝7840（元）
4
∵7840元＞6400元
∴每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
答：每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【点睛】此题考查的是一次函数和二次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、一次函数的增减
性和利用二次函数求最值是解决此题的关键.
题型 十： 几何问题
2
1.如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角
3
△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4【答案】B
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及
AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，
AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点
的直线对应的函数表达式．
2
【详解】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
3
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
¿，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴ ¿，解得¿．
1
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=− x+2．
5
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判
定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
2.已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后
的直线对应的函数表达式为 ．
【答案】y=√3x−6【分析】设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，
根据A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，可得△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=4，
1
∠BAC=60°，从而可得CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，记知C(2√3，0)，又∠CED=60°，
2
4√3
可求出E( ，−2)，再用待定系数法可得答案．
3
【详解】解：设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于
D，如图：
∵A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵A(0,−2)，B(0,2)，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，
2
∴C(2√3，0)，
∵∠CED=60°，
CD 2√3
∴ED= = ，
√3 3
4√3
∴AE=AD−ED= ，
3
4√3
∴E( ，−2)，
3
4√3
设直线CE解析式为y=kx+b，将C(2√3，0)，E( ，−2)代入得：
3
¿，
解得¿，∴直线CE解析式为y=√3x−6；
故答案为：y=√3x−6．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换−旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线
3.甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分
别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻
为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐
标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值
为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，解得 ，
小亮对应函数图象的解析式为 ，
设小莹对应函数图象的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，小莹对应函数图象的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟
练运用数形结合思想．
4.一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路
线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A
地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合
图象解答下列问题：
(1)A，B两地之间的距离是______千米， ______；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【答案】(1)60，1；(2) ；(3) 小时或 小时或 小时
【分析】（1）根据货车从A地到B地花了 小时结合路程 速度 时间即可求出A、B两地的距离；根
据货车装货花了15分钟即可求出a的值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解： 千米，
∴A，B两地之间的距离是60千米，
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴ ，
故答案为：60，1
（2）解：设线段 所在直线的解析式为
将 ， 代入 ，得
解得 ，
∴线段 所在直线的函数解析式为
（3）解：设货车出发x小时两车相距15千米，
由题意得，巡逻车的速度为 千米/小时
当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则 ，
解得 （所去）；
当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则 ，
解得 ；
∵ ，
∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，
当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则 ，
解得 ；当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则 ，
解得 ；
综上所述，当货车出发 小时或 小时或 小时时，两车相距15千米．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读
懂函数图象是解题的关键．
5.如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点
5
F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,− √3)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐
3
标为 ．
【答案】(6，3√3)
【分析】依据直线EF过定点E，则定点P到直线EF的最大距离就是PE长，利用直线PE的解析式求出直
线EF的解析式，则F点坐标可求出来．
【详解】解：如图，AB=AD=6，
∵∠DAB=60°，
∴D(4，3√3)，
∵点E在边BC上且横坐标?为8，
∴E(8,√3)，C(10，3√3)，
∵直线EF过定点E，
∴PE⊥EF时，点P到EF所在直线的距离取得最大值．
5√3
∵P(0,− )，E(8,√3)，
3
5√3
设PE解析式为y=kx− ，代入点E坐标得，
3
5√3 √3
∴ √3=8k− ，即k= ．
3 3∴此刻直线EF的k值为：k =−√3，
EF
设直线EF解析式为：y=−√3x+m，代入点E坐标得：√3=−8√3+m，
∴m=9√3，
∴直线EF的解析式为：y=−√3x+9√3，
令y=3√3，则3√3=−√3x+9√3，解得x=6．
∴此刻点F的坐标为：(6，3√3)．
故答案为：(6，3√3)．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及菱形的性质，本题的关键就是能看到点到直线的最大距离就是P
到定点E的长．
6.矩形OABC在平面直角坐标系如图所示，OA=12，OC=24，点E、F分别是OA、OC上的动点，点E、
F分别从A、O同时出发，沿OA、OC方向，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点O、
C运动，当运动 秒时，EF∥AC；当EF⊥OB时，直线EF的解析式为 ．
48
【答案】 6 y=−2x+
5
【分析】首先设当运动t秒时，EF∥AC，由此得AE=t，OF=2t，OE=12−t，再根据EF∥AC得
△OEF和△OAC相似，根据相似三角形的性质可求出t的值，当EF⊥OB时，△EOF∽△OCB，
OE OF
则有 = ，再列方程求出t的值，然后再求出点E与点F的坐标，最后根据待定系数法可求出直线
OC BC
EF的解析式．
【详解】解：设当运动t秒时，EF//AC，
依题意得：AE=t，OF=2t，
∵四边形OABC为矩形，OA=12，OC=24，∴OE=OA−AE=12−t，
∵EF∥AC，
∴△OEF∽△OAC，
∴OE:OA=OF:OC，
即：(12−t):12=2t:24，
解得：t=6，
当EF⊥OB时，且∠EOF=90°，
∴∠OEF+∠EOB=90°,∠BOC+∠EOB=90°,
∴∠OEF=∠BOC,
又∠EOF=∠OCB=90°，
∴△EOF∽△OCB，
OE OF
则有 = ，
OC BC
12−t 2t
∴ =
24 12
12
∴t=
5
( 48) (24 )
∴点E的坐标为 0, ，点F的坐标为 ,0 ，
5 5
设直线EF的解析式为：y=kx+b，
( 48) (24 )
将点E 0, ，F ,0 代入y=kx+b，
5 5
得：¿，解得：¿，
48
∴直线EF的解析式为：y=−2x+ ．
5
48
故答案为：6，y=−2x+ ．
5
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键
是熟练掌握系数法求一次函数的解析式，难点是根据相似三角形的性质求出点E，F的坐标．
7.如图，直线l对应的函数表达式为 ，在直线l上，顺次取点 ， ， ，
y=x+1 A (1,2) A (2,3) A (3,4)
1 2 3
，……， ，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为 ；
A (4,5) A (n,n+1) S =3×2−2×1
4 n 1S =4×3−3×2；S =5×4−4×3；……
2 3
猜想并填空：
(1)S = ______；
5
(2)S = ______（用含n的式子表示）；
n
(3)S +S +S +⋅⋅⋅+S = ______（用含n的式子表示，要化简）．
1 2 3 n
【答案】(1)7×6−6×5；（或12）
(2)(n+2)(n+1)−(n+1)n；或2(n+1)
(3)n2+3n
【分析】（1）由题意可知A (5,6)、A (6,7)，再借助矩形面积公式计算即可；
5 6
（2）分别求出S 、S 、S 、S 的表达式，找出规律，根据规律解答即可；
1 2 3 4
（3）根据S 、S 、S 、S 、……、S 的表达式的规律，相加后进行化简计算即可．
1 2 3 4 n
【详解】（1）解：由题意可知A (5,6)、A (6,7)，
5 6
∴S =7×6−6×5=12，
5
故答案为：7×6−6×5；（或12）
（2）由题意可知：
S =3×2−2×1=2×(1+1)，
1
S =4×3−3×2=2×(2+1)，
2
S =5×4−4×3=2×(3+1)，
3
S =6×5−5×4=2×(4+1)，
4
……
S =(n+2)(n+1)−(n+1)n=2×(n+1)，
n
故答案为：(n+2)(n+1)−(n+1)n；或2(n+1)
（3）S +S +S +⋅⋅⋅+S
1 2 3 n
=3×2−2×1+4×3−3×2+5×4−4×3+⋅⋅⋅+(n+2)(n+1)−(n+1)n
=(n+2)(n+1)−2
=n2+3n故答案为：n2+3n
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据点的
坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题关键．
8.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，点
C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且
AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，DQ的长为 ．
5√10 5
【答案】 / √10
4 4
【分析】如图所示，作点A关于BC的对称点F，连接FP，过点Q作QG∥AF交PF于G，过点D作
DE∥GQ且DE=GQ，连接GE，BF，先证明△BOC是等腰直角三角形，得到∠ABC=45°，由轴对
称的性质可得FB=AB=4，∠FBC=∠ABC=45°，则∠ABF=90°，由此可得F(3,4)，AF=4√2，
△ABF是等腰直角三角形，则∠BAF=45°；设AF与y轴交于N，过点E作EM⊥y轴于M，证明
QG PQ PG 1 1 1
△PQG∽△PAF，得到 = = = ，则QG= AF=√2，PG= PF，DE=QG=√2，证
AF PA PF 4 4 4
明四边形DQGE是平行四边形，得到DQ=EG；证明△MDE是等腰直角三角形，得到
√2 1 1
DM=ME= DE=1，则E(1,−2)；由轴对称的性质可得PA=PF，则PG= PF= PA，
2 4 4
3 3
GF= PA，故当FG+EG最小时， AP+DQ最小，即3AP+4DQ最小，即当E、F、G三点共线时，
4 4
3AP+4DQ最小，求出直线EF解析式为y=3x−5，同理可得直线BC的解析式为y=−x+3，则当
3AP+4DQ最小时点P的坐标为(2,1)，利用勾股定理求出PF=√10，PE=√10，则
5√10
DQ=EG=PE+PG= ．
4
【详解】解：如图所示，作点A关于BC的对称点F，连接FP，过点Q作QG∥AF交PF于G，过点D作
DE∥GQ且DE=GQ，连接GE，BF，∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，AB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵点F与点A关于直线BC对称，
∴FB=AB=4，∠FBC=∠ABC=45°，
∴∠ABF=90°，
∴F(3,4)，AF=√AB2+BF2=4√2，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF=45°，
设AF与y轴交于N，过点E作EM⊥y轴于M，
∵AQ=3PQ，
1 3
∴PQ= PA，AQ= PA，
4 4
∵QG∥AF，
∴△PQG∽△PAF，
QG PQ PG 1
∴ = = = ，
AF PA PF 4
1 1
∴QG= AF=√2，PG= PF，
4 4
∴DE=QG=√2，
又∵DE∥GQ，
∴四边形DQGE是平行四边形，
∴DQ=EG，
∵DE∥GQ，AF∥GQ，
∴DE∥AF，
∴∠EDM=∠ANO=90°−∠NAO=45°，∴△MDE是等腰直角三角形，
√2
∴DM=ME= DE=1，
2
∴OM=2，
∴E(1,−2)；
由轴对称的性质可得PA=PF，
1 1
∴PG= PF= PA，
4 4
3
∴GF= PA，
4
3
∵要使3AP+4DQ最小，即要使 AP+DQ最小，
4
3
∴当FG+EG最小时， AP+DQ最小，即3AP+4DQ最小，
4
∴当E、F、G三点共线时，3AP+4DQ最小，
设直线EF解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴直线EF解析式为y=3x−5，
同理可得直线BC的解析式为y=−x+3，
联立¿，解得¿，
∴当3AP+4DQ最小时点P的坐标为(2,1)，
∴PF=√(3−2) 2+(4−1) 2=√10，PE=√(1−2) 2+(−2−1) 2=√10，
1 √10
∴PG= PF= ，
4 4
5√10
∴DQ=EG=PE+PG= ，
4
5√10
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似
三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定3AP+4DQ最小的情形
是解题的关键．
9.阅读材料解答问题：
自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |；
1 2 1 2 1 2 1 2
若|x ﹣x |＜|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y ﹣y |．
1 2 1 2 1 2 1 2
例如：如图1所示，点P （1，2），点P （3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 与点P 的“非常距
1 2 1 2
离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P Q与线段P Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P Q与垂直
1 2 1
于x轴的直线P Q的交点）
2
问题解决：
（1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”．
应用拓展：
3
（2）已知点C（ ，0），点D为y轴上的一个动点：
2
①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为 ；
②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为 ；
问题延伸：
3
（3）已知：E是直线y＝ x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距
4
离”的最小值及相应点E的坐标．
3 ( 8 15)
【答案】（1）3；（2）①（0，3）或（0，﹣3）；② （3）E − ,
2 7 7
【分析】（1）根据若|x -x |＜|y -y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y -y |解答即可；
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）①根据点D位于y轴上，可以设点D的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=3，
据此可以求得y的值；
3 3
②设点D的坐标为（0，y），根据|- -0|≥|0-y|，得出点C与点D的“非常距离”最小值为|- -0|，即可
2 2
得出答案；
3
（2）设点E的坐标为（x ， x +3）．根据材料“若|x -x |≥|y -y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x -
0 4 0 1 2 1 2 1 2 13
x |”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x = x +2，据此可以求得点E的坐标．
2 0 4 0
【详解】（1）∵|﹣1﹣2|＝3，|0﹣3|＝3，
∴3＝3
∴点A与点B的“非常距离”为3．
（2）①∵D为y轴上的一个动点，
∴设点D的坐标为（0，y）．
3 3
∵|﹣ ﹣0|＝ ，点C与点D的“非常距离”为3，
2 2
∴|0﹣y|＝3，
解得，y＝3或y＝﹣3，
∴点D的坐标是（0，3）或（0，﹣3），
故答案为（0，3）或（0，﹣3）；
3 3
②当|﹣ ﹣0|≥|0﹣y|时，点C与点D的“非常距离”为 ，
2 2
3
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为 ．
2
3
故答案为 ；
2
（2）如图2，取点E与点F的“非常距离”的最小值时，
需要根据运算定义“若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |”解答，
1 2 1 2 1 2 1 2
此时|x ﹣x |＝|y ﹣y |，即AE＝AF，
1 2 1 2
3
∵E是直线y＝ x+3上的一个动点，点F的坐标是（0，1），
4
3
∴设点E的坐标为（x ， x +3），
0 4 0
3
∴﹣x ＝ x +2，
0 4 08
此时，x ＝﹣ ，
0 7
8
∴点E与点F的“非常距离”的最小值为：|x |＝ ，
0 7
8 15
此时E（﹣ ， ）．
7 7
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“非常距离”的定义，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
1
10.如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线
3
4
y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值
3
时，3BH+5DH的最小值是 ．
39
【答案】
2
【分析】作出点C(3，−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利
(11 )
用解直角三角形求得F ，0 ，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，
3
过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
1
【详解】解：∵直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
3
∴B(0，2)，A(6，0)，
作点B关于x轴的对称点B'(0，−2)，把点B'向右平移3个单位得到C(3，−2)，
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB'是平行四边形，
此时，BE=B'E=CF，
∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，则CP=2，OP=3，
∵∠CFP=∠AFD，
∴∠FCP=∠FAD，
∴tan∠FCP=tan∠FAD，
PF OB PF 2
∴ = ，即 = ，
PC OA 2 6
2 (11 )
∴PF= ，则F ，0 ，
3 3
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则¿，解得¿，
∴直线CD的解析式为y=3x−11，
联立，¿，解得¿，
(39 7 )
即D ， ；
10 10
过点D作DG⊥y轴于点G，
直线y=− 4 x+2与x轴的交点为Q (3 ，0 ) ，则BQ=√OQ2+OB2= 5 ，
3 2 2
3
OQ 2 3
∴sin∠OBQ= = = ，
BQ 5 5
2
3
∴HG=BHsin∠GBH= BH，
5(3 )
∴3BH+5DH=5 BH+DH =5(HG+DH)=5DG，
5
39 39
即3BH+5DH的最小值是5DG=5× = ，
10 2
39
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
2
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l 经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=− x
1 3
的图象l 交于点B(m,2)，与x轴交于点C．
2
(1)求m的值及直线l 的解析式；
1
(2)求S 的面积；
△BOC
(3)设直线x=a与直线l ，l 交于E，F两点，当S =3S 时，请直接写出a的值．
1 2 △EFB △BOC
【答案】(1)m=−3，y=2x+8
(2)4
(3)a的值为0或−6
2
【分析】（1）把B(m,2)代入y=− x中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直
3
线l 的解析式；
1
（2）求出点C的坐标为(−4,0)，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）分三种情况进行求解即可．
2
【详解】（1）解：把B(m,2)代入y=− x中，解得m=−3，
3
∴B(−3,2)，将B(−3,2)，A(−2,4)代入y=kx+b中，
得¿
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=2x+8；
1
（2）令2x+8=0，解得x=−4，
∴点C的坐标为(−4,0)，
1
∴S = ⋅OC⋅|y |=4；
△BOC 2 B
( 2 )
（3）由题意可知，点E的坐标为(a,2a+8)，点F的坐标为 a,− a ，
3
| 2 | | 8 |
∴EF= 2a+8+ a = 8+ a ，点B到直线x=a的距离为|a+3|，
3 3
∴S =3S =12，
△EFB △BOC
1 ( 8 )
结合图象分析，当a>−3时，S = × 8+ a ×(a+3)=12，解得a =0，a =−6（舍）；
△EFB 2 3 1 2
当a=−3时，不存在S ；
△EFB
1 ( 8 )
当a<−3时，S = × −8− a ×(−a−3)=12，
△EFB 2 3
解得a =0（舍），a =−6，
1 2
综上所述，a的值为0或−6．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知
识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，
BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE
的面积为y ．．
1(1)请直接写出y 与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
1
(2)请在直角坐标系中画出y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 1
(3)若直线y 的图象如图所示，结合你所画y 的函数图象，直接写出当y >y 时x的取值范围．（保留一
2 1 1 2
位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y =¿
1
(2)当0≤x≤5时，y 随x的增大而减小，当5<x≤9时，y 随x的增大而增大（答案不唯一）
1 1
(3)0≤x<3.3或7.1<x≤9（答案不唯一）
1
【分析】（1）当点P在AB上运动时，由y = ×AE×PH，即可求解；当点P在AD上运动时，同理可
1 2
解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：∵∠D=90°，AD∥BC，
则CD⊥CE，
即∠C=90°=∠D=∠AEC，
则四边形AECD为矩形，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，则AE=4=AD，
则矩形AECD为边长为4的正方形；
当点P在AB上运动时，
过点P作PH⊥AE于点H，1 1 3 6
则y = ×AE×PH= ×4×AP×sin∠BAE=2×(5−x)× =− x+6(0≤x≤5)，
1 2 2 5 5
当点P在AD上运动时，
同理可得：y =2x−10(5<x≤9)，
1
即y =¿；
1
（2）当x=0时，y =6，当x=5时，y =0，当x=9时，y =8；
1 1 1
将上述坐标描点连线绘制图象如下：
从图象看，当0≤x≤5时，y 随x的增大而减小，当5<x≤9时，y 随x的增大而增大（答案不唯一）；
1 1
（3）从图象看，当y >y 时x的取值范围为：0≤x<3.3或7.1<x≤9（答案不唯一）．
1 2
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，
其中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
