文档内容
专题 11 一次函数的应用
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：一次函数应用问题的求解思路........................................................................................................2
考点二：建立函数模型解决实际问题的一般步骤........................................................................................2
考点三：一次函数图象解决实际问题一般步骤............................................................................................2
考点四：求最值的本质2种最优方案............................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................2
题型一：行程问题............................................................................................................................................2
题型二：工程问题..........................................................................................................................................13
题型三：最大利润问题..................................................................................................................................21
题型四：分配问题..........................................................................................................................................30
题型五：分段计费问题..................................................................................................................................37
题型六：调运问题..........................................................................................................................................44
题型七：计时问题..........................................................................................................................................54
题型八：体积问题..........................................................................................................................................60
题型九：现实生活相关问题..........................................................................................................................71
题型十：几何问题..........................................................................................................................................81专题 11 一次函数的应用
模块一：基础知识
考点一：一次函数应用问题的求解思路
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答；
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设
计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。
考点二：建立函数模型解决实际问题的一般步骤
①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；
②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；
③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；
④利用函数的性质解决问题；
⑤写出答案。
考点三：一次函数图象解决实际问题一般步骤
①观察图象，获取有效信息；
②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；
③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。
【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围。
考点四：求最值的本质 2 种最优方案
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案
及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线
或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
模块二：题型分类
题型一：行程问题
1.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘
坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km
的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最
后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)s=40t+20，a=2
1
(2) h
3
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s=100，代入解析式求出a的值即
可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两
段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b，由图象可知，直线过点
(0,20)，(1,60)，
∴¿，解得：¿，
∴s=40t+20；
当s=100时：100=40t+20，解得：t=2，
∴a=2；
（2）由图象可知，军车的速度为：60÷1=60km/h，
4
∴军车到达仓库所用时间为：80÷60= h，
3
1
从仓库到达基地所用时间为：(100−80)÷60= h，
3
4 1 1
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2− − = h．
3 3 3
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解
题的关键．
2.快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30min，结束
后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为70km/h．两车之间的距离
y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图像如图所示．(1)请解释图中点A的实际意义；
(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
(2)y=−70x+330
(3)2.8小时
【分析】（1）根据点A的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出B(3.5,85)，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点A的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
1
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为3+ =3.5，
2
1 1
此时慢车继续行驶 小时，则快车与慢车的距离为120−70× =120−35=85，
2 2
∴B(3.5,85)
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
∴直线AB的表达式为y=−70x+330
（3）解：设快车去乙地的速度为a千米/小时，则3(a−70)=120，
解得：a=110
∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，
设快车返回的速度为v千米/小时，根据题意，
1 ( 1)
×(v+70)=330− 3+ ×70
2 2
解得：v=100，1
330− ×100
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需 2 （小时）
=2.8
100
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
3.周末，小明和小亮相约到公园游玩．已知小明、小亮家到公园的距离相同，小明先骑车6min到达超市，
购买了一些水果和饮用水，然后再骑车10min到达公园．小明出发10min后，小亮骑车从家出发直接去
公园．下面给出的图象反映的是小明、小亮骑行的情况．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
小明离开家的时间/
4 6 20
min
1500
(2)填空：
①小明在超市购物的时间是 min；
②超市到公园的距离是 m；
③小亮骑行的速度是 m/min；
④小亮到达公园时，小明距离公园还有 m；
(3)解答：当0≤x≤31时，请直接写出y 关于x的函数解析式．
1
【答案】(1)见解析
(2)①15；②2100；③240；④1260
(3)y =¿
❑1
【分析】此题考查了从函数图象获取信息、列函数解析式、有理数混合运算的应用等知识，看懂图象，
读懂题意，准确计算是解题的关键；
1500
（1）由图可知，小明的速度为 =250(m/min)，即可求得当x=4时y的值，根据图象即可得到当
6
x=20时y的值；（2）①由图象可知，小明在超市购物的时间；②根据图象可知，超市到公园的距离；③用路程除以时间
即可得到小亮骑车的速度；④根据第二阶段小明骑行的速度求出小亮到达公园时，小明距离公园的距离
即可；
（3）根据题意和图象，分别写出0≤x≤6、60，
∴当a=30时，w最小，最小为15×30+5400=5850（元），( 1 )
当400，
∴ w随a的增大而增大．
∴当a=6时，w取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型三：最大利润问题
1.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头
盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按
单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一
半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得
20(x+11)+30x=2920，求解；
1 1
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥ (40−m)，解得m≥13 ，
2 3
故最小整数解为m=14，w=4m+1920，根据一次函数增减性，求得最小值=4×14+1920=1976．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得
20(x+11)+30x=2920
解得，x=54，
x+11=65，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
1 1
则m≥ (40−m)，解得m≥13 ，故最小整数解为m=14，
2 3
w=0.8×65m+(54−6)(40−m)=4m+1920，
∵4>0，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；
根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
2.某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，
但不超过2122万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
(1)该公司对这两种户型住房共有几种建房方案？
(2)若该公司所建的两种户型住房可全部售出，则采取哪一种建房方案获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)有11种建房方案．
(2)A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2122万元，再建
立不等式组可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答本题；
【详解】（1）解：设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80−x)套，
¿，
1
解得，39 ≤x≤50，
3
∵x取非负整数，
∴x为40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴有11种建房方案．
（2）设该公司建房获得利润W万元，
由题意知：W =(30−25)x+(34−28)(80−x)=−x+480，
∵k=−1，W随x的增大而减小，
∴当x=40时，
即A型住房建40套，B型住房建40套获得利润最大；最大利润为440万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
3.某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，
但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①W =−4m+3000(50≤m≤150)；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利
数；
（2）①根据条件，可列W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)，整理即可；
②由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，一次函数W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大
值计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，根据题意列出方程组为：
¿，
解得¿，
∴全部售完获利=(66−45)×80+(90−60)×40=1680+1200=2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫(150−m)件，根据题意150−m≤2m，即
m≥50，
∴W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)=−4m+3000(50≤m≤150)，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，
∵−4<0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m=50时，W取最大值，W =−4×50+3000=2800（元），
大
∵2800<2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
4.西安白鹿原樱桃以果大、汁多味甜、品质优良等特点远近闻名．袁浪浪家种植了A，B两个品种的樱桃
共4亩，两种樱桃的成本（包括种植成本和设备成本）售价如表：
品种 种植成本（万元/亩） 设备成本（万元/亩） 售价（万元/亩）
A 1 0.2 3.5
B 1.5 0.3 4.2
设种植A品种樱桃x亩，若4亩地全部种植两种樱桃共获得利润y万元（利润=售价-种植成本-设备成本）．
(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，则A品种樱桃种植多少亩时利润最大？
并求最大利润．
【答案】(1)y=−0.1x+9.6
(2)种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元
【分析】（1）由题意得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)，整理求解即可；
（2）根据A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据
一次函数的性质，即可得到种植A品种樱桃种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润．
【详解】（1）解：由题意可得，y=(3.5−1−0.2)x+(4.2−1.5−0.3)×(4−x)=−0.1x+9.6，
∴y与x的函数关系式为y=−0.1x+9.6；
（2）解：∵A品种樱桃的种植亩数不少于B品种樱桃种植亩数的1.5倍，
∴x≥1.5(4−x)，解得x≥2.4，
∵y=−0.1x+9.6，
∵k=−0.1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=2.4时，y取得最大值，此时y=9.36，
答：种植A品种樱桃种植2.4亩时利润最大，最大利润是9.36万元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键在于明确题意，利用一次函数
的性质和不等式的性质解答．
5.某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．
已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
3
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产
2
店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店
获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
(2)有3种进货方案：豆干购进78件，则豆笋购进122件；豆干购进79件，则豆笋购进121件；豆干购进
80件，则豆笋购进120件
(3)购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为W =−5n+4000，根据一次函数
的性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则¿，解得¿，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，
¿ ，
解得78≤n≤80，
∴n=78时，200−n=122，即豆干购进78件，则豆笋购进122件，
n=79时，200−n=121，即豆干购进79件，则豆笋购进121件，
n=80时，200−n=120，即豆干购进80件，则豆笋购进120件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则W =(55−40)n+(80−60)(200−n)
=−5n+4000（78≤n≤80且n为整数），
∵−5<0，
当78≤n≤80时，W随n的增大而减小，
∴当n=78时，W取最大值，为W =−5×78+4000=3610．
此时，购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次
函数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
6.西峡猕猴桃是河南省西峡县特产．某网店新进甲、乙两种猕猴桃，已知购进10件甲种猕猴桃和15件乙
种猕猴桃需950元，购进15件甲种猕猴桃和20件乙种猕猴桃需1350元．
(1)求甲、乙两种猕猴桃的进货单价；
(2)若该网店购进甲、乙两种猕猴桃共100件，甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进
价的2倍标价后再打七折销售，若甲、乙两种猕猴桃全部售完后的销售总额不低于5100元（不考虑损耗），
请你帮网店设计利润最大的进货方案，并说明理由．
【答案】(1)甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元(2)当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元
【分析】（1）设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意列二元一次方
程组求解即可；
（2）由（1）可知甲、乙的进货单价，根据题意可算出甲、乙的销售价格，设购进甲种猕猴桃x件，则购
进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，分别列式表示总利润、销售总额，根据题
意解不等式，根据一次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种猕猴桃的进货单价是m元，乙种猕猴桃的进货单价是n元，根据题意可得：
¿，解得¿，
∴甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元．
（2）解：由（1）可知，甲种猕猴桃的进货单价是50元，乙种猕猴桃的进货单价是30元，
∵甲种猕猴桃按进价提价20%后的价格销售，乙种猕猴桃按进价的2倍标价后再打七折销售，
∴甲种猕猴桃的售价为50+50×20%=60（元/件），乙种猕猴桃的售价为30×2×70%=42（元/件），
设购进甲种猕猴桃x件，则购进乙种猕猴桃(100−x)件，总利润为w元，销售总额为y元，
∴两种猕猴桃100件全部售完后的总利润为w=(60−50)x+(42−30)(100−x)=−2x+1200，
两种猕猴桃100件全部售完后的销售总额为y=60x+42(100−x)=18x+4200，
∵18x+4200≥5100，
∴x≥50，
∵w=−2x+1200，而−2<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=50时，w最大是−2×50+1200=1100（元），
∴当购进甲、乙两种猕猴桃各50件时，销售完后获得的利润最大，最大利润是1100元．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，一次函数图像的性质与销售的问题，理
解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组得方法，解不等式，一次函数图像的增减性等知识是解题
的关键．
7.某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经
调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需
要470元．
(1)求a，b的值；(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值
范围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
【答案】(1)¿
(2)y=¿
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，根据题意
分两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；
利润
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率= ）不低于16%列出不等式求
本金
解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：¿，
解得¿；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，
∴当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400；
当600，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=32时，y有最大值，最大值为10×32+1600=1920，
80−a=80−32=48，
答：购进A种礼盒32个，B种礼盒48个售完后获得最大利润，最大利润1920元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，根据题意正确列方程和解
析式是解题关键．
题型四：分配问题
1.某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同
学的对话情景：
(1)请计算出A，B两种物品的单价；
(2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买
方案，并说明理由．
【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元
(2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析
【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得¿，即可解得答案；
2
（2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m≥6 ，W＝
3
30m+15（20﹣m）＝15m+300，根据一次函数性质即可得答案．
【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，
根据题意得：¿，
解得¿，答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元；
（2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20﹣m）个，共需W元，
∵A物品的数量不少于B物品数量的一半，
20−m
∴m≥ ，
2
2
解得m≥6 ，
3
而W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300，
∵15＞0，
∴W随m的增大而增大，
2
∵m≥6 ，m是整数，
3
∴m＝7时，W最小，最小为15×7+300＝405，
∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式．
2.为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备
再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已
4
知足球的单价为篮球单价的 ．
5
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的
函数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费
用应为多少？
【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元；
(2)w=−20m+6000；
(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要
检验；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；4
【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 x 元，
5
800 800
= −2
由题意得： x 4 ，
x
5
解得：x=100，
经检验：x=100是原方程的解且符合题意，
4 4
则足球的单价为： x= ×100=80 （元），
5 5
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）由题意得：w=80m+100（60−m）=−20m+6000，
即w与m的函数关系式为w=−20m+6000；
（3）由题意可得：−20m+6000≤5200，
解得：m≥40，
∴40≤m≤45，
由（2）得：w＝−20m+6000，
∵−20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝45时，w取得最小值，
此时w＝5100元，60﹣m＝15，m＝45，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确
题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
3.某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价
收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾
客准备购买x支钢笔和笔记本(x+10)本，设选择第一种方案购买所需费用为y 元，选择第二种方案购买
1
所需费用为y 元．
2
(1)请分别写出y ，y 与x之间的关系式： ， ；
1 2
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优
惠．
【答案】(1)y =15x+40,y =15.2x+32，
1 2
(2)选择方案②更为优惠，见解析
【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得：y =15x+4×(x+10−x)=15x+40，
1
y =[15x+4(x+10)]×80%=15.2x+32；
2
（2）当x=10时，y =15×10+40=190；y =15.2×10+32=184
1 2
∵190>184，
∴选择方案②更为优惠．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．
4.某园区准备进行二次绿化，计划购进A，B两种绿化树，经调查可知购进5棵A绿化树和10棵B种绿
化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元．
(1)求A，B两种绿化树每棵的价格；
(2)若最终决定购买A，B两种绿化树共24棵，且A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，请你
设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】(1)A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元
(2)购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元
【分析】（1）设A种绿化树每棵的价格为x元，B种绿化树每棵的价格为y元，根据两种购数方法：购进
5棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元，可列
二元一次方程，解答即可；
（2）设购买A种绿化树的数量为m棵，则购买B种绿化树的数量为(24−m)棵，根据A种绿化树的数正
不少于B种绿化树数量的3倍，列出不等式，解之，再设购买绿化树的总费用为w元，得到w关于m的一
次函数，利用一次函数的性质，即可得到费用最低的购买方案．
【详解】（1）解：设A种绿化树每棵的价格为x元，B种绿化树每棵的价格为y元，根据题意，得¿，解
得¿
答：A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元．
（2）解：设购买A种绿化树的数量为m棵，则购买B种绿化树的数量为(24−m)棵，
由题意得m≥3(24−m)，
解得m≥18．
设购买绿化树的总费用为w元，
由题意得w=120m+50(24−m)=70m+1200．
∵70>0，∴w随m的增大而增大，
∴当m=18时，w =18×70+1200=2460（元）．
最小此时B种绿化树的数量为24−18=6（棵）．
答：购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元．
【点睛】本题考查了二元一次的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，熟练找出等
量关系和不等关系是解题的关键．
5.李老师计划组织学生暑假去北京研学旅行，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人
2000元，且提供的服务完全相同，针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社
表示，若人数不超过20人，每人都按八五折收费，超过20人时，其中20人每人仍按报价的八五折收费，
则超出部分每人按七折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社研学旅行的人数均为x人．
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团研学旅行的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；
(2)若李老师组团参加研学旅行的人数共有25人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助李老师选择收
取总费用较少的一家．
【答案】(1)甲旅行社：y=2000x×0.8=1600x；乙旅行社：¿
(2)甲旅行社
【分析】（1）根据题意可以得到甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y（元）与x（人）之间的函数
关系式；
（2）将x=25分别代入（1）中的函数解析式，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，
甲旅行社：y=2000x⋅0.8=1600x；
当0≤x≤20时，y=2000x⋅0.85=1700x，
当x>20时，y=2000⋅20⋅0.85+(x−20)⋅2000⋅0.7=1400x+6000，
故乙旅行社：¿
（2）解：依题意，把x=25代入y=1600x，
则甲旅行社：y=1600×25=40000；
因为25>20
所以把x=25代入y=1400x+6000中，
则乙旅行社：y=1400×25+6000=41000；
因为41000>40000，
所以选择甲旅行社．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次
函数的性质解答．
6.针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知
生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；
(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且不低于8760元，求符合生产条件的生产方案
有哪几种；
(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种
生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？
【答案】(1)甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克
(2)符合生产条件的生产方案有3种．方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41
箱，B产品39箱；方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
(3)应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本
为12340元
【分析】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．根据“购买甲、乙两种材料
各1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．”列方程组，解方程
组即可得到答案；
（2）求出生产1箱A产品所需材料费和生产1箱B产品所需材料费，设生产A产品m箱，则生产B产品
(80−m)箱．依题意得到关于m的不等式组，求出不等式组的整数解，写出方案即可；
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，根据题意得到w的一次函数表达式，根据一次函数的性质结合
（2）中的方案得到答案．
【详解】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．
依题意，得¿
解得¿，
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为20×3+40=100（元），
生产1箱B产品所需材料费为20×2+40×2=120（元）．
设生产A产品m箱，则生产B产品(80−m)箱．
依题意，得¿
解得40≤m≤42．
又m为整数，
∴m可以取40，41，42．
∴符合生产条件的生产方案有3种．
方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为w元．
根据题意，得w=(100+40)m+(120+50)(80−m)=−30m+13600．
∵−30<0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m=42时，w取得最小值，最小值为−30×42+13600=12340（元）．
答：应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成
本为12340元．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，读懂
题意，正确列出一元一次不等式组和一次函数是解题的关键．
7.某校为改善办学条件，计划购进A、B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，
具体情况如表：
线下 线上
规
格
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
A 240 0 210 20
B 300 0 250 30
(1)如果在线上购买A、B两种书架20个，共花费y元，设其中A种书架购买x个，求y关于x的函数关系
式；
(2)在（1）的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计
算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【答案】(1)y=−50x+5600
(2)购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元
【分析】（1）设其中A种书架购买x个，则B种书架购买(20−x) 个，根据表中的单价及运费列出函数
关系式即可；
（2）根据购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，求出x的取值范围，再根据第（1）小题的函数关
系式，求出y的最小值即线上的花费，再求出线下需要的花费，即可求解．
【详解】（1）由题意得
y=210x+250(20−x)+20x+30(20−x)
整理得y=−50x+5600
（2）由题意得20−x≥2x20
解得x≤
3
∵−50<0
∴ y随x的增大而减小
∴ 当x=6时，y最小为−300+5600=5300
线下购买时的花费为240×6+300×14=5640
此时，购买B种书架20-6=14个
线上比线下节约5640-5300=340元
所以，购买A种书架6个，购买B种书架14个；线上比线下节约340元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确理解题意，找到数量关系是解题
的关键．
题型 五： 分段计费问题
1.某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价
器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所示．
(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)y=2x+2.5(x>3)
(2)13km
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把y=28.5代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是8.5元．
当x>3时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由函数图象过点(3,8.5),(6,14.5)，
得¿解得¿
故当行驶里程超过3km时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.5(x>3)．
（2）解：∵28.5>8.5，∴令y=28.5，即28.5=2x+2.5，解得x=13．
答：这位乘客乘车的里程是13km．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
2.某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计
费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
60
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50× =30（元），
100
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数
解析式的步骤是解题关键．
3.某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为
极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水
费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：
(1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？
(2)写出y与x的函数解析式．
(3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？
【答案】(1)10元
(2)y=¿
(3)21吨
【分析】（1）根据图象可知，用水15吨交水费30元，依此求出基本段每吨水费，再用基本段每吨水费
乘以5吨，可得应交水费；
（2）分0≤x≤15，1522三种情况，利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
（3）根据图象可知，用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，由于30<48<51，所以该用户用
水大于15吨且小于22吨，将y=48代入（2）中对应的函数解析式，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵用水15吨交水费30元，
∴基本段每吨水费30÷15=2元，
∴若某用户该月用水5吨，问应交水费2×5=10元；
（2）解：分三种情况：
①当0≤x≤15时，设y=k x，
1
∵(15，30)，在直线y=k x上，
1
∴30=15k ，解得k =2，
1 1
∴y=2x；②当1522时，同理求得y=4x−37．
综上所述，y与x的函数解析式为y=¿；
（3）解：若某月一用户交水量48元，设该用户用水x吨．
∵用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，
而30<48<51，
∴15300 y=180×0.55+(300−180)×(0.55+0.1)+(x−300)×(0.55+0.3)=0.85x−78，
综上，y与x的函数关系式为y=¿；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为0.65×200−18=112（元）；
20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费0.65×260−18=151（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
5.某景区售票处规定：非节假日的票价打7折售票．节假日根据团队人数x（人）实行分段售票，若
x≤10，则按原票价售票；若x>10，则其中10人按原票价售票，超过部分的按原价打8折售票．某旅行
社带团到该景区游览，设在非节假日的购票款为y 元，在节假日的购票款为y 元，y 、y 与x之间的函
1 2 1 2
数图象如图所示．
（1）图象中m=_______，n=_________．
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团（人数超过10人）与5月10日（非节假日）带乙团到该景区游览，
两团合计100人，共付门票款6240元，求甲团人数与乙团人数．
【答案】（1）560，1440；（2）甲团有60人，乙团有40人
【分析】（1）根据图像可知门票定价为80元每人，继而可求得打7折的价格，即可求得m，由题可知
10人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，继而可得n=800+640=1440；
（2）设甲团有m人，乙团有n人，根据题意分情况列出方程组即可求解．【详解】解：（1）由图可知门票定价为80元每人，
∴10人应花费800元，
∴打7折得到的价格为800×0.7=560元，即m=560，
由题可知10人之外的另10人花费为80×10×0.8=640元，
∴n=800+640=1440，
故答案为：560，1440；
（2）设甲团有a人，乙团有b人，
依题意，得：
¿，
解得¿，
答：甲团有60人，乙团有40人．
【点睛】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系
式．
6.据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如
图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方
米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元；方案二如图2表格所示，
每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2(精确到
0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一级 0~15（含15） 2.61
第二级 15~25（含25） 3.92
第三级 25以上 n
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用
a的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说
明理由．
【答案】(1)每立方米1.84元
(2)m=140，y=2.8x (x≥0)
(3)现行的：b=1.84a；方案一：b=2.8a；方案二：当0≤a≤15，b=2.61a；当1525时，b=5.22a−52.15
(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元先得出现行的用水价，即可再求得m的值，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1）92÷50=1.84，
故现行的用水价是每立方米1.84元；
（2）1.84+0.96=2.8，
m=2.8×50=140，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx (x≥0)，
则140=50k，
∴k=2.8，
∴y=2.8x(x≥0)；
（3）现行的：b=1.84a；
方案一：b=2.8a；
方案二：∵第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2，
∴n=2.61×2=5.22，
当0≤a≤15，b=2.61a；
当1525时，b=5.22(a−25)+15×2.61+10×3.92=5.22a−52.15；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量：(13×1+14×2+15×4+16×3)÷10=14.9 <15，当0≤a≤15时，水价为2.61元，此时方案一的水价为2.8元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
题型 六： 调运问题
1.某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，
乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调
运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘
机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全
部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
甲
乙地
地
A
x
省
B省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？
【答案】(1)27−x，28−x，x−3
(2)y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）
(3)两种；从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台，从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台．
【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及A、B两省挖掘机台数用未知数表示出分配方案；
（2）利用x就可以表示出A省，B省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，得到函数解析式；
（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于x的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：从A调往甲地x台挖掘机，甲地需要27台，则从B省调（27−x）台到甲地；因为A
省共28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩（28−x）台调往乙地，乙地需要25台，已经从
A省调（28−x）台到乙地，B省共24台挖掘机，从B省调（27−x）台到甲地后还剩
24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地，
故答案为：27−x，28−x，x−3．
（2）解：由题意得：y＝0.4x＋0.3（28−x）＋0.5（27−x）＋0.2（x−3），
即：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27），
故y与x之间的函数关系式为：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）．
（3）解：依题意得：−0.2x＋21.3≤16.2，解得：x≥25.5，
又∵3≤x≤27，且x为整数，
∴x＝26或27，
∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：
方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台，
0.4×26＋0.3×2＋0.5×1＋0.2×23＝16.1（万元）；
方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台，
0.4×27＋0.3×1＋0.2×24＝15.9（万元），
∵15.9＜16.1，
∴调运方案二的总耗资最少．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用及调运方案问题，根据已知表示出从B省调（27−x）台到甲
地后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地是解题关键．
2.自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，现某国药集团在甲、乙仓库共存放
新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫
苗乙仓库比甲仓库多30万剂．
（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？
（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，
请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；
其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如下表：
运费定价 调运疫苗不超过130万剂时 调运疫苗超过130万剂时
甲仓库
135元/万剂 不优惠 优惠10%m元/万剂
乙仓库 105元/万剂 不优惠
（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运
疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？
【答案】（1）甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为240万剂，210万剂；（2）当0＜m≤130时，
W =30m+31500, 当135＜m≤240时，W =16.5m+31500；（3）此次调运疫苗最低总运费不在国家
审批的范围内，理由见解析．
【分析】（1）设甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为x万剂，y万剂，再根据相等关系列方程组，解方程
组即可得到答案；
（2）分两种情况讨论，当0＜m≤130时， 当135＜m≤240时，再根据总费用等于运输两种疫苗的费用之和可得函数关系式；
（3）当0＜m≤130时， 由W =30m+31500≤33000时，可得m≤50, 结合乙的总库存只有210万剂，
所以从甲仓库调运的一定会超过50万剂，所以此种情况不合国家要求，当135＜m≤240时，由
1000 10
W =16.5m+31500≤33000时，可得m≤ =90 , 所以此种情况也不合国家要求，从而可得答案．
11 11
【详解】解：（1）设甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为x万剂，y万剂，则
x+ y=450
{
x−60%x+30= y−40% y
x+ y=450
整理得：{
3 y−2x=150
x=240
解得：{
y=210
答：甲、乙两仓库各存放新冠疫苗分别为240万剂，210万剂，
（2）当0＜m≤130时，
W =135m+105(300−m)=30m+31500,
当135＜m≤240时，
W =135×(1−10%)m+105(300−m)=16.5m+31500.
（3）当0＜m≤130时，W =30m+31500,
当W =30m+31500≤33000时，
∴m≤50,
即当从甲仓库调运50万剂，但乙的总库存只有210万剂，所以从甲仓库调运的一定会超过50万剂，所以
此种情况不合国家要求，
当135＜m≤240时，
W =16.5m+31500≤33000时，
1000 10
∴m≤ =90 ,
11 11
∴ 此种情况也不合国家要求，
综上：此次调运疫苗最低总运费不在国家审批的范围内．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，列一次函数关系式，一元一次不等式的应用，掌握以上
知识是解题的关键．
3.进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，我县某公司积极响应党的号召，帮助运
送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨第一次 3 2 24
第二次 2 5 38
(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；
(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数
w和m的关系式．
【答案】(1)甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
(2)w=−2m+60．
【分析】（1）根据3辆甲种货车与2辆乙种货车分别装满共运输24吨物资，2辆甲种货车与5辆乙种货
车分别装满共运输38吨物资，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种货车每次装满
分别能运输多少吨物资；
（2）甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，即可可以写出w与m之间的函数关系式．
【详解】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资，
依题意得¿，
解得，¿，
答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
（2）解：甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，
w=4m+6(10−m)=−2m+60，
即w与m之间的函数关系式为w=−2m+60．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
方程组和一次函数关系式．
4.计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B
地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整
数）．
A地 B地
甲厂 7 10
乙厂 10 15
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地
__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且10，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
60−x≥0；70−x≥0；x−30≥0
∴30≤x≤60．
∴当x=30时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：y=(7+m)x+10(60−x)+10(70−x)+(15−2m)(x−30)
=(2−m)x+850+60m．
当m=2时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当10，y随x的增加而增加，当x=30时，运费最低=910+30m（百元）；
当20
∴w随x的增大而增大，
由（1）知：0≤x≤200，
∴当x=0时，w =4×0+125040=125040（元），
最小
此时的调运方案是：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地．
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用
是125040元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意，列出方程组和函数
关系式是解题的关键．
6.6月份以来，猪肉价格一路上涨，为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组
织10辆，10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输分别是18辆、10辆．已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别为200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别为
300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别为400元和500元．若从A、B两市都派x辆车到D市，
当这28辆运输车全部派出时，
(1)求总运费W（元）与x（辆）之间的关系式，并写出x的取值范围；
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案．
【答案】(1)W＝－800x+17200， 5≤x≤9；
(2)A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆
【分析】（1）根据题意可得，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－
2x）辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，再利用总运费=各路运费之和，即可得出可得出结论；
（2）由（1）中函数关系式W =−800x+17200和—次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－
2x）辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，
则W＝200x+800（10－x）+300x+700（10－x）+400（18－2x）+500（2x－10）
＝－800x+17200，
∵ 10－x≥0，18－2x≥0，2x－10≥0
∴ x≤10 ， x≤9， x≥5 ．
∴ 5≤x≤9．
（2）由（1） W＝－800x+17200，
∵ －800＜0，
∴W随x增大而减小，
∴当x ＝9时
最大
W ＝－800×9+17200
最低
＝－7200+17200
＝10000，
∴10－x＝10－9＝1 ，18−2x＝18−2×9＝0，2x－10＝8，
∴总运费W最低时，A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意表示出总运费是解题的关键．
7.在抗击新型冠状病毒期间，科学合理调运各种防控物资是重要任务之一．在某市的甲、乙、丙、丁四
地中，已知某种消毒液甲地需要10吨，乙地需要8吨，正好丙地储备有12吨，丁地储备有6吨．该市新
冠肺炎疫情防控应急指挥部决定将这18吨消毒液全部调往甲、乙两地．已知消毒液的运费价格如下表
（单位：元/吨）．又知从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙地共需440元．如果设从丙地调运x吨到甲地．
起点/终点 甲地 乙地
丙地 a b
丁地 35 70
（1）确定表中a，b的值；
（2）求调运18吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；
（3）求出总运费最低的调运方案，并求出最低运费是多少．
【答案】（1）a＝60，b＝100；（2）y＝－5x+1270；（3）总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到
甲地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地调运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【分析】（1）根据“从丙地调运2吨到甲地、3吨到乙地共需420元；从丙地调运4吨到甲地、2吨到乙
地共需440元”建立二元一次方程组求解即可；
（2）根据“总运费=丙到甲的运费+丙到乙的运费+丁到甲的运费+丁到乙的运费”建立函数关系式，再化
简计算即可；
（3）根据“运往各地的消毒液吨数不小于0”建立不等式组，从而求出x范围，再结合（2）中的关系式
求最小值即可．
【详解】解：（1）由题意可知：¿，
解得：¿，
答：a＝60，b＝100；
（2）从丙地调运x吨到甲地，则丙地调运（12－x）吨到乙地，丁地调运到甲地（10－x）吨，丁地调运
到乙地（x－4）吨，
∴y＝60x+100(12－x)+35(10－x)+70(x－4)＝－5x+1270；
（3）由题意可知：¿，
解得：4≤x≤10，
∵y＝－5x+1270，－5＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，y有最小值，最小值为y＝－5×10+1270＝1220，
∴总运费最低的调运方案为：丙地调运10吨到甲地，丙地调运2吨到乙地，丁地调运0吨到甲地，丁地
调运6吨到乙地，最低费用是1220元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及解不等式组，弄清题意，正确找出题中
的数量关系是解题的关键．
8.“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购
进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表销售量/件
月份 销售额/元
雪容
冰墩墩
融
第1个月 100 40 14800
第2个月 160 60 23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
(2)若某公司购进冰墩墩200件，雪容融300件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰
墩墩运往甲、乙两地的运费分别为8元和10元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为7元和11元．若
运往甲地的吉祥物共240件，运往乙地的吉祥物共260件．
①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，请写出w与a的函数关系式；
②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？
【答案】(1)此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元
(2)①w=2a+4340 (80≤a≤120)；②运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲
地的为雪容融160件，运往乙地的为雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500
元
【分析】（1）设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，利用销售总
额=销售单价×销售数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，
运往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，根据题意列出函数关系式即可求解；
②根据一次函数的的性质，结合自变量的范围，即可求解．
【详解】（1）解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为x元，“雪容融”玩具的零售价格为y元，
依题意得：¿，
解得：¿；
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元．（2）①设运往甲地的为冰墩墩a件(80≤a≤120)，总运费为w元，则运往乙地的为冰墩墩(200−a)件，
运往甲地的为雪容融(240−a)件，运往乙地的为雪容融(60+a)件，
∴w=8a+10(200−a)+7(240−a)+11(60+a)=2a+4340，
∴w=2a+4340 (80≤a≤120)，
②∵w=2a+4340 (80≤a≤120)，
2>0，当a=80时，w最小，最小值为2×80+4340=4500（元）
答：运往甲地的为冰墩墩80件，运往乙地的为冰墩墩120件，运往甲地的为雪容融160件，运往乙地的为
雪容融140件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是4500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组与函数关系式是解
题的关键．
题型 七： 计时问题
1.某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，
该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上
的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下
实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间x(h) 0 2 4 6 8
1 4
电子秤读数y（克） 6 30 54
8 2
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中
的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函
数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【答案】(1)作图见解析
(2)在同一直线上．函数表达式为：y=6x+6
(3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．
（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，
利用待定系数法求解函数表达式．
（3）根据（2）中的表达式可求出当x=9时，精密电子秤的读数．
（4）根据（2）中的表达式可求出当y=72时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时
间．
【详解】（1）解：如图所示（2）
解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：y=kx+b
将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得¿
解得¿
∴函数表达式为：y=6x+6
（3）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当x=9时，y=60
∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．
（4）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当y=72时，x=11
∵起始时间是上午7:30
∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数
自变量或函数值是解决本题的关键．
2.漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数
思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时
工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数据，得到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)h=0.4t+1.2，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位h(cm)与时间t(min)满足一次函数关系式，设水位h(cm)与时间
t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令h=21，求解t值即可．
【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位h(cm)与时
间t(min)满足一次函数关系式．
设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中任意两组数据得：
¿，
解得：¿，
∴h=0.4t+1.2，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2；
画出的函数图像如下：
（2）由（1）可知，水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2，当h=4.8时， 4.8=0.4t+1.2
解得：t=9．
答：当水位h为4.8cm时，对应的时间为9min．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关
键．
3.如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人
们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y（厘米）表示壶底到水面的高度，y是x
的一次函数．某次计时过程中，如表记录了四组数据，其中只有一组数据记录错误，它是（ ）
组数 1 2 3 4
漏水时间x/h 1 2.5 4 5.5
壶底到水面的高度
13 9 7 4
y/cm
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
【答案】B
8 47
【分析】设y=kx+b，将(1,13)，(2.5,9)代入求出y=− x+ ，再将(4,7)，(5.5,4)代入解析式可得：
3 3
第一组数据或第二组数据错误，故将(4,7)，(5.5,4)代入y=kx+b可得解析式为：y=−2x+15，再将第
一组数据或第二组数据代入即可求出答案．
【详解】解：∵y是x的一次函数，故设y=kx+b，
将(1,13)，(2.5,9)代入可得：¿，解得：¿，
8 47
此时函数解析式为：y=− x+ ，
3 3
8 47
将(4,7)代入解析式可得：y=− ×4+ =5≠7，
3 3
8 47
将(5.5,4)代入解析式可得：y=− ×5.5+ =1≠4，
3 3
∴可得出是第一组数据或第二组数据错误，
将(4,7)，(5.5,4)代入y=kx+b可得：¿，解得：¿，∴函数解析式为：y=−2x+15，
将(1,13)代入解析式可得：y=−2×1+15=13，
将(2.5,9)代入解析式可得：y=−2×2.5+15=10≠9，
∴第二组数据错误．
故选：B
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是判断出第一组数据或第二
组数据错误．
4.沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃
球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不
计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时
间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面玻璃球剩余沙粒1140粒，当流
入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
【答案】(1)y=−20x+1200(x≥0)
(2)60秒
【分析】（1）设一次函数的解析式y=kx+b，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令y=0，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式y=kx+b．
将(3,1140)和(9,1020)分别代入．得
¿
解得¿．
∴y=−20x+1200(x≥0)．
（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴y=0．
即−20x+1200=0，解得x=60．∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
题型 八： 体积问题
1.如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为
止．容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图象如图2所示．
(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
【答案】(1)15min
(2)27000cm3
【分析】（1）待定系数法求出BD得解析式即可，令y=0时，求出x值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【详解】（1）解：设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点(3,60)和(9,30)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿，
∴直线BD的解析式为y=−5x+75．
令y=0，即−5x+75=0，解得x=15，
故容器注满水所需的时间为15min．
（2）解：由图像AB段可知正方体的高为90−60=30(cm)，
即正方体的边长为30cm，
故正方体的体积为30×30×30=27000(cm3)．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
2.如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满水为止．设注水t(min)，水箱A的水位
高度为 ，水箱 中的水位高度为 ，根据图中数据解答下列问题（抽水水管的体积忽略不
y (dm) B y (dm)
A B
计）
（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出y 、y 与t之间的函数表达式；
A B
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【答案】（1）36dm3；（2）y =t(0≤t≤6)，y =−0.6t+6(0≤t≤6)；（3）水位高度差为2dm．
A B
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水
箱B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别
求出两水箱中水位的高度即可解答．
【详解】解:(1)水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
6t
（2）根据题意得：y = =t(0⩽t⩽6)；
A 2×3
6t
y =6− =−0.6t+6(0⩽t⩽6)；
B 2×5
1
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，y = ×6=3，
B 2
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面
积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．
3.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，
解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
【答案】(1)2；(2)y=2x+30；(3)放入8个小球．
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高 2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时
水面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式．
（3）列方程可求出量筒中小球的个数．
【详解】(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高（36-30）÷3=2cm．
故答案为2；
(2)设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则¿，
解，得¿．
则所求表达式为y=2x+30；
(3)由题意，得2x+30=49-3，
解，得x=8．
所以要放入8个小球．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为
模型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
4.下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务：
年*月*日 星期日利用一次函数知识解决化学问题
今天我看到一则化学实验材料：
如图1，在一支10ml的试管中充满了NO 和O 的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发
2 2
生化学反应．
4NO +O +2H O=4HNO ①
2 2 2 3
当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应．如果反应后NO 仍有剩余，则NO 会和水继
2 2 2 2 2 2
续发生化学反应．
3NO +H O =2HNO +NO②
2 2 2 3
化学反应②中参与反应的NO 与生成的NO的体积比为3:1．
2
根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中
的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题．
设原混合气体中NO 的体积为xml，O 的体积为(10−x)ml，完全反应后试管内乘余气体的体积为yml
2 2
．
情况一：由反应①可知，当NO 和O 的体积比为4:1时，NO 和O 恰好完全反应，此时x=8，y=0．
2 2 2 2
x
情况二：当x<8时，由反应①可知NO 全部参加反应，O 过量，参加反应①的O 的体积 ，剩余O 的体
2 2 2 4 2
x 5x
积为10−x− =10− ．
4 4
5x 5x
因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积y=10− ，即y=− +10．
4 4
在平面直角坐标系中画出当0 h时，第二部手机电量超过第一部手机电量
13
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，根据E>E ，得出40t+10>14t+30，求出t的
1 1
范围即可．
【详解】（1）解：设线段BC对应的函数表达式为E=kt+b(k≠0)，
(1 ) ( 1 )
由图象知，经过 ,20 , 2 ,100 ，
4 4
¿，
解得：¿，
(1 1)
∴线段BC对应的函数表达式为E=40t+10 ≤t≤2 ．
4 4
（2）解：设线段DF对应的函数表达式为E =k t+b ，由图像知，经过(0,30),(5,100)．
1 1 1
¿，
解得：¿，
∴线段DF对应的函数表达式为E =14t+30，
1
方法一：当E=E 时，40t+10=14t+30，
1
10
解得t= ，
1310
由图象可知，当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
方法二：当E>E 时，40t+10>14t+30，
1
10
解得t> h．
13
10
∴当t> h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
13
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象
比较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问
题的能力．
9.某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人
员工资等）为800元．为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收
费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车可达1440辆次；若
停车费超过5元，则每超过1元，每天来此处停放的小车就减少120辆次．为便于结算，规定每辆次小车
的停车费x（元）只取整数，用y（元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2512元．（日
净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出）
（1）当x ≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要
求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？
【答案】（1）y＝1440x﹣800；每辆次小车的停车费最少不低于3元；（2）y＝﹣120x2+2040x﹣800；
（3）每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【分析】（1）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的
关系式，然后根据日净收入不低于2512元，列出不等式，即可求出x的最小整数值；
（2）根据题意和公式：日净收入＝每天共收取的停车费﹣每天的固定支出，即可求出y与x的关系式；
（3）根据x的取值范围，分类讨论：当x≤5时，根据一次函数的增减性，即可求出此时y的最大值；当
x＞5时，将二次函数一般式化为顶点式，即可求出此时y的最大值，从而得出结论.
【详解】解：（1）由题意得：y＝1440x﹣800
∵1440x﹣800≥2512，
∴x≥2.3
∵x取整数，
∴x最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元．
答：每辆小车的停车费最少不低于3元；（2）由题意得：
y＝[1440﹣120（x﹣5）]x﹣800
即y＝﹣120x2+2040x﹣800
（3）当x≤5时，
∵1440＞0，
∴y随x的增大而增大
∴当x=5时，最大日净收入y＝1440×5﹣800＝6400（元）
当x＞5时，
y＝﹣120x2+2040x﹣800
＝﹣120（x2﹣17x）﹣800
17
＝﹣120（x﹣ ）2+7870
2
17
∴当x＝ 时，y有最大值．但x只能取整数，
2
∴x取8或9．
1
显然，x取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y＝﹣120× +7870＝7840（元）
4
∵7840元＞6400元
∴每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
答：每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入为7840元．
【点睛】此题考查的是一次函数和二次函数的综合应用，掌握实际问题中的等量关系、一次函数的增减
性和利用二次函数求最值是解决此题的关键.
题型 十： 几何问题
2
1.如图所示，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角
3
△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
1 1 1
A．y= x+2 B．y=− x+2 C．y= x+2 D．y=−2x+2
3 5 4【答案】B
【分析】过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及
AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，
AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点
的直线对应的函数表达式．
2
【详解】解：对于直线y= x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
3
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
¿，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴ ¿，解得¿．
1
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=− x+2．
5
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判
定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
2.已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后
的直线对应的函数表达式为 ．
【答案】y=√3x−6【分析】设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，
根据A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，可得△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=4，
1
∠BAC=60°，从而可得CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，记知C(2√3，0)，又∠CED=60°，
2
4√3
可求出E( ，−2)，再用待定系数法可得答案．
3
【详解】解：设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于
D，如图：
∵A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵A(0,−2)，B(0,2)，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，
2
∴C(2√3，0)，
∵∠CED=60°，
CD 2√3
∴ED= = ，
√3 3
4√3
∴AE=AD−ED= ，
3
4√3
∴E( ，−2)，
3
4√3
设直线CE解析式为y=kx+b，将C(2√3，0)，E( ，−2)代入得：
3
¿，
解得¿，∴直线CE解析式为y=√3x−6；
故答案为：y=√3x−6．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换−旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线
3.甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分
别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻
为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐
标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值
为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，解得 ，
小亮对应函数图象的解析式为 ，
设小莹对应函数图象的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，小莹对应函数图象的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟
练运用数形结合思想．
4.一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路
线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A
地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合
图象解答下列问题：
(1)A，B两地之间的距离是______千米， ______；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【答案】(1)60，1；(2) ；(3) 小时或 小时或 小时
【分析】（1）根据货车从A地到B地花了 小时结合路程 速度 时间即可求出A、B两地的距离；根
据货车装货花了15分钟即可求出a的值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解： 千米，
∴A，B两地之间的距离是60千米，
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴ ，
故答案为：60，1
（2）解：设线段 所在直线的解析式为
将 ， 代入 ，得
解得 ，
∴线段 所在直线的函数解析式为
（3）解：设货车出发x小时两车相距15千米，
由题意得，巡逻车的速度为 千米/小时
当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则 ，
解得 （所去）；
当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则 ，
解得 ；
∵ ，
∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，
当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则 ，
解得 ；当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则 ，
解得 ；
综上所述，当货车出发 小时或 小时或 小时时，两车相距15千米．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读
懂函数图象是解题的关键．
5.如图，菱形ABCD的顶点A(1,0)、B(7,0)在x轴上，∠DAB=60°，点E在边BC上且横坐标为8，点
5
F为边CD上一动点，y轴上有一点P(0,− √3)．当点P到EF所在直线的距离取得最大值时，点F的坐
3
标为 ．
【答案】(6，3√3)
【分析】依据直线EF过定点E，则定点P到直线EF的最大距离就是PE长，利用直线PE的解析式求出直
线EF的解析式，则F点坐标可求出来．
【详解】解：如图，AB=AD=6，
∵∠DAB=60°，
∴D(4，3√3)，
∵点E在边BC上且横坐标?为8，
∴E(8,√3)，C(10，3√3)，
∵直线EF过定点E，
∴PE⊥EF时，点P到EF所在直线的距离取得最大值．
5√3
∵P(0,− )，E(8,√3)，
3
5√3
设PE解析式为y=kx− ，代入点E坐标得，
3
5√3 √3
∴ √3=8k− ，即k= ．
3 3∴此刻直线EF的k值为：k =−√3，
EF
设直线EF解析式为：y=−√3x+m，代入点E坐标得：√3=−8√3+m，
∴m=9√3，
∴直线EF的解析式为：y=−√3x+9√3，
令y=3√3，则3√3=−√3x+9√3，解得x=6．
∴此刻点F的坐标为：(6，3√3)．
故答案为：(6，3√3)．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及菱形的性质，本题的关键就是能看到点到直线的最大距离就是P
到定点E的长．
6.矩形OABC在平面直角坐标系如图所示，OA=12，OC=24，点E、F分别是OA、OC上的动点，点E、
F分别从A、O同时出发，沿OA、OC方向，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点O、
C运动，当运动 秒时，EF∥AC；当EF⊥OB时，直线EF的解析式为 ．
48
【答案】 6 y=−2x+
5
【分析】首先设当运动t秒时，EF∥AC，由此得AE=t，OF=2t，OE=12−t，再根据EF∥AC得
△OEF和△OAC相似，根据相似三角形的性质可求出t的值，当EF⊥OB时，△EOF∽△OCB，
OE OF
则有 = ，再列方程求出t的值，然后再求出点E与点F的坐标，最后根据待定系数法可求出直线
OC BC
EF的解析式．
【详解】解：设当运动t秒时，EF//AC，
依题意得：AE=t，OF=2t，
∵四边形OABC为矩形，OA=12，OC=24，∴OE=OA−AE=12−t，
∵EF∥AC，
∴△OEF∽△OAC，
∴OE:OA=OF:OC，
即：(12−t):12=2t:24，
解得：t=6，
当EF⊥OB时，且∠EOF=90°，
∴∠OEF+∠EOB=90°,∠BOC+∠EOB=90°,
∴∠OEF=∠BOC,
又∠EOF=∠OCB=90°，
∴△EOF∽△OCB，
OE OF
则有 = ，
OC BC
12−t 2t
∴ =
24 12
12
∴t=
5
( 48) (24 )
∴点E的坐标为 0, ，点F的坐标为 ,0 ，
5 5
设直线EF的解析式为：y=kx+b，
( 48) (24 )
将点E 0, ，F ,0 代入y=kx+b，
5 5
得：¿，解得：¿，
48
∴直线EF的解析式为：y=−2x+ ．
5
48
故答案为：6，y=−2x+ ．
5
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键
是熟练掌握系数法求一次函数的解析式，难点是根据相似三角形的性质求出点E，F的坐标．
7.如图，直线l对应的函数表达式为 ，在直线l上，顺次取点 ， ， ，
y=x+1 A (1,2) A (2,3) A (3,4)
1 2 3
，……， ，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为 ；
A (4,5) A (n,n+1) S =3×2−2×1
4 n 1S =4×3−3×2；S =5×4−4×3；……
2 3
猜想并填空：
(1)S = ______；
5
(2)S = ______（用含n的式子表示）；
n
(3)S +S +S +⋅⋅⋅+S = ______（用含n的式子表示，要化简）．
1 2 3 n
【答案】(1)7×6−6×5；（或12）
(2)(n+2)(n+1)−(n+1)n；或2(n+1)
(3)n2+3n
【分析】（1）由题意可知A (5,6)、A (6,7)，再借助矩形面积公式计算即可；
5 6
（2）分别求出S 、S 、S 、S 的表达式，找出规律，根据规律解答即可；
1 2 3 4
（3）根据S 、S 、S 、S 、……、S 的表达式的规律，相加后进行化简计算即可．
1 2 3 4 n
【详解】（1）解：由题意可知A (5,6)、A (6,7)，
5 6
∴S =7×6−6×5=12，
5
故答案为：7×6−6×5；（或12）
（2）由题意可知：
S =3×2−2×1=2×(1+1)，
1
S =4×3−3×2=2×(2+1)，
2
S =5×4−4×3=2×(3+1)，
3
S =6×5−5×4=2×(4+1)，
4
……
S =(n+2)(n+1)−(n+1)n=2×(n+1)，
n
故答案为：(n+2)(n+1)−(n+1)n；或2(n+1)
（3）S +S +S +⋅⋅⋅+S
1 2 3 n
=3×2−2×1+4×3−3×2+5×4−4×3+⋅⋅⋅+(n+2)(n+1)−(n+1)n
=(n+2)(n+1)−2
=n2+3n故答案为：n2+3n
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据点的
坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题关键．
8.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，点
C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且
AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，DQ的长为 ．
5√10 5
【答案】 / √10
4 4
【分析】如图所示，作点A关于BC的对称点F，连接FP，过点Q作QG∥AF交PF于G，过点D作
DE∥GQ且DE=GQ，连接GE，BF，先证明△BOC是等腰直角三角形，得到∠ABC=45°，由轴对
称的性质可得FB=AB=4，∠FBC=∠ABC=45°，则∠ABF=90°，由此可得F(3,4)，AF=4√2，
△ABF是等腰直角三角形，则∠BAF=45°；设AF与y轴交于N，过点E作EM⊥y轴于M，证明
QG PQ PG 1 1 1
△PQG∽△PAF，得到 = = = ，则QG= AF=√2，PG= PF，DE=QG=√2，证
AF PA PF 4 4 4
明四边形DQGE是平行四边形，得到DQ=EG；证明△MDE是等腰直角三角形，得到
√2 1 1
DM=ME= DE=1，则E(1,−2)；由轴对称的性质可得PA=PF，则PG= PF= PA，
2 4 4
3 3
GF= PA，故当FG+EG最小时， AP+DQ最小，即3AP+4DQ最小，即当E、F、G三点共线时，
4 4
3AP+4DQ最小，求出直线EF解析式为y=3x−5，同理可得直线BC的解析式为y=−x+3，则当
3AP+4DQ最小时点P的坐标为(2,1)，利用勾股定理求出PF=√10，PE=√10，则
5√10
DQ=EG=PE+PG= ．
4
【详解】解：如图所示，作点A关于BC的对称点F，连接FP，过点Q作QG∥AF交PF于G，过点D作
DE∥GQ且DE=GQ，连接GE，BF，∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，AB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵点F与点A关于直线BC对称，
∴FB=AB=4，∠FBC=∠ABC=45°，
∴∠ABF=90°，
∴F(3,4)，AF=√AB2+BF2=4√2，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF=45°，
设AF与y轴交于N，过点E作EM⊥y轴于M，
∵AQ=3PQ，
1 3
∴PQ= PA，AQ= PA，
4 4
∵QG∥AF，
∴△PQG∽△PAF，
QG PQ PG 1
∴ = = = ，
AF PA PF 4
1 1
∴QG= AF=√2，PG= PF，
4 4
∴DE=QG=√2，
又∵DE∥GQ，
∴四边形DQGE是平行四边形，
∴DQ=EG，
∵DE∥GQ，AF∥GQ，
∴DE∥AF，
∴∠EDM=∠ANO=90°−∠NAO=45°，∴△MDE是等腰直角三角形，
√2
∴DM=ME= DE=1，
2
∴OM=2，
∴E(1,−2)；
由轴对称的性质可得PA=PF，
1 1
∴PG= PF= PA，
4 4
3
∴GF= PA，
4
3
∵要使3AP+4DQ最小，即要使 AP+DQ最小，
4
3
∴当FG+EG最小时， AP+DQ最小，即3AP+4DQ最小，
4
∴当E、F、G三点共线时，3AP+4DQ最小，
设直线EF解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴直线EF解析式为y=3x−5，
同理可得直线BC的解析式为y=−x+3，
联立¿，解得¿，
∴当3AP+4DQ最小时点P的坐标为(2,1)，
∴PF=√(3−2) 2+(4−1) 2=√10，PE=√(1−2) 2+(−2−1) 2=√10，
1 √10
∴PG= PF= ，
4 4
5√10
∴DQ=EG=PE+PG= ，
4
5√10
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似
三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定3AP+4DQ最小的情形
是解题的关键．
9.阅读材料解答问题：
自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |；
1 2 1 2 1 2 1 2
若|x ﹣x |＜|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y ﹣y |．
1 2 1 2 1 2 1 2
例如：如图1所示，点P （1，2），点P （3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 与点P 的“非常距
1 2 1 2
离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P Q与线段P Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P Q与垂直
1 2 1
于x轴的直线P Q的交点）
2
问题解决：
（1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”．
应用拓展：
3
（2）已知点C（ ，0），点D为y轴上的一个动点：
2
①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为 ；
②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为 ；
问题延伸：
3
（3）已知：E是直线y＝ x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距
4
离”的最小值及相应点E的坐标．
3 ( 8 15)
【答案】（1）3；（2）①（0，3）或（0，﹣3）；② （3）E − ,
2 7 7
【分析】（1）根据若|x -x |＜|y -y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|y -y |解答即可；
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）①根据点D位于y轴上，可以设点D的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=3，
据此可以求得y的值；
3 3
②设点D的坐标为（0，y），根据|- -0|≥|0-y|，得出点C与点D的“非常距离”最小值为|- -0|，即可
2 2
得出答案；
3
（2）设点E的坐标为（x ， x +3）．根据材料“若|x -x |≥|y -y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x -
0 4 0 1 2 1 2 1 2 13
x |”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x = x +2，据此可以求得点E的坐标．
2 0 4 0
【详解】（1）∵|﹣1﹣2|＝3，|0﹣3|＝3，
∴3＝3
∴点A与点B的“非常距离”为3．
（2）①∵D为y轴上的一个动点，
∴设点D的坐标为（0，y）．
3 3
∵|﹣ ﹣0|＝ ，点C与点D的“非常距离”为3，
2 2
∴|0﹣y|＝3，
解得，y＝3或y＝﹣3，
∴点D的坐标是（0，3）或（0，﹣3），
故答案为（0，3）或（0，﹣3）；
3 3
②当|﹣ ﹣0|≥|0﹣y|时，点C与点D的“非常距离”为 ，
2 2
3
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为 ．
2
3
故答案为 ；
2
（2）如图2，取点E与点F的“非常距离”的最小值时，
需要根据运算定义“若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 与点P 的“非常距离”为|x ﹣x |”解答，
1 2 1 2 1 2 1 2
此时|x ﹣x |＝|y ﹣y |，即AE＝AF，
1 2 1 2
3
∵E是直线y＝ x+3上的一个动点，点F的坐标是（0，1），
4
3
∴设点E的坐标为（x ， x +3），
0 4 0
3
∴﹣x ＝ x +2，
0 4 08
此时，x ＝﹣ ，
0 7
8
∴点E与点F的“非常距离”的最小值为：|x |＝ ，
0 7
8 15
此时E（﹣ ， ）．
7 7
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“非常距离”的定义，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
1
10.如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线
3
4
y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值
3
时，3BH+5DH的最小值是 ．
39
【答案】
2
【分析】作出点C(3，−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利
(11 )
用解直角三角形求得F ，0 ，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，
3
过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
1
【详解】解：∵直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
3
∴B(0，2)，A(6，0)，
作点B关于x轴的对称点B'(0，−2)，把点B'向右平移3个单位得到C(3，−2)，
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB'是平行四边形，
此时，BE=B'E=CF，
∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，则CP=2，OP=3，
∵∠CFP=∠AFD，
∴∠FCP=∠FAD，
∴tan∠FCP=tan∠FAD，
PF OB PF 2
∴ = ，即 = ，
PC OA 2 6
2 (11 )
∴PF= ，则F ，0 ，
3 3
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则¿，解得¿，
∴直线CD的解析式为y=3x−11，
联立，¿，解得¿，
(39 7 )
即D ， ；
10 10
过点D作DG⊥y轴于点G，
直线y=− 4 x+2与x轴的交点为Q (3 ，0 ) ，则BQ=√OQ2+OB2= 5 ，
3 2 2
3
OQ 2 3
∴sin∠OBQ= = = ，
BQ 5 5
2
3
∴HG=BHsin∠GBH= BH，
5(3 )
∴3BH+5DH=5 BH+DH =5(HG+DH)=5DG，
5
39 39
即3BH+5DH的最小值是5DG=5× = ，
10 2
39
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
2
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象l 经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=− x
1 3
的图象l 交于点B(m,2)，与x轴交于点C．
2
(1)求m的值及直线l 的解析式；
1
(2)求S 的面积；
△BOC
(3)设直线x=a与直线l ，l 交于E，F两点，当S =3S 时，请直接写出a的值．
1 2 △EFB △BOC
【答案】(1)m=−3，y=2x+8
(2)4
(3)a的值为0或−6
2
【分析】（1）把B(m,2)代入y=− x中求出m的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直
3
线l 的解析式；
1
（2）求出点C的坐标为(−4,0)，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）分三种情况进行求解即可．
2
【详解】（1）解：把B(m,2)代入y=− x中，解得m=−3，
3
∴B(−3,2)，将B(−3,2)，A(−2,4)代入y=kx+b中，
得¿
解得¿，
∴直线l 的解析式为y=2x+8；
1
（2）令2x+8=0，解得x=−4，
∴点C的坐标为(−4,0)，
1
∴S = ⋅OC⋅|y |=4；
△BOC 2 B
( 2 )
（3）由题意可知，点E的坐标为(a,2a+8)，点F的坐标为 a,− a ，
3
| 2 | | 8 |
∴EF= 2a+8+ a = 8+ a ，点B到直线x=a的距离为|a+3|，
3 3
∴S =3S =12，
△EFB △BOC
1 ( 8 )
结合图象分析，当a>−3时，S = × 8+ a ×(a+3)=12，解得a =0，a =−6（舍）；
△EFB 2 3 1 2
当a=−3时，不存在S ；
△EFB
1 ( 8 )
当a<−3时，S = × −8− a ×(−a−3)=12，
△EFB 2 3
解得a =0（舍），a =−6，
1 2
综上所述，a的值为0或−6．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知
识，分类讨论和数形结合是解题的关键．
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，
BE=3．动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，△APE
的面积为y ．．
1(1)请直接写出y 与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
1
(2)请在直角坐标系中画出y 的图象，并写出函数y 的一条性质；
1 1
(3)若直线y 的图象如图所示，结合你所画y 的函数图象，直接写出当y >y 时x的取值范围．（保留一
2 1 1 2
位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y =¿
1
(2)当0≤x≤5时，y 随x的增大而减小，当5y 时x的取值范围为：0≤x<3.3或7.1
