北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
模块卷(二)
时间:110分钟 分值:140分
三角函数、向量、数列
一、选择题:本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020陕西合阳中学9月月考,4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π)的部分图象如图所示,则
A>0,ω>0,|φ|<
2
φ= ( )
π π π π
A. B. C.- D.-
6 3 6 3
T 5π π π 2π
答案 B 根据题图得A=2, = - = ,∴T=π,∴ =π,又ω>0,∴ω=2.
2 6 3 2 |ω|
∴f(x)=2sin(2x+φ).将(π )代入得2sin(2π )=0,∴2π+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-2π(k∈Z),又|φ|<π,
,0 +φ
3 3 3 3 2
π
∴φ= ,故选B.
3
2.(2020宁夏兴庆月考,4)已知数列{a}满足a =a+2n,a=1,则a = ( )
n n+1 n 1 15
A.111 B.211 C.311 D.411
答案 B 数列{a}满足a =a+2n,
n n+1 n
则n≥2时,a-a =2(n-1),
n n-1
a -a =2(n-2),……,a-a=2×2,a-a=2×1,
n-1 n-2 3 2 2 1
∴a-a=2(1+2+3+…+n-1)(n≥2),
n 1
n(n-1)
∴a=2(1+2+3+…+n-1)+1=2× +1=n2-n+1(n≥2).
n
2
当n=1时,a=1也符合上式,∴a=n2-n+1(n∈N*).
1 n
则a =152-15+1=211.
15
故选B.
3.(2019江西吉安期末,5)已知tan(-2 019π+θ)=-2,则2 sin( π)sin( π)=( )
√2 θ- θ+
6 4
2√3+1 2√3+3 3
A.-2 B. C. D.
5 5 5
答案 B ∵tan(-2 019π+θ)=-2,∴tan θ=-2.
则2 sin( π)sin( π)
√2 θ- θ+
6 4
=(√3sin θ-cos θ)(sin θ+cos θ)
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=√3sin2θ-cos2θ+(√3-1)sin θcos θ
=√3sin2θ-cos2θ+(√3-1)sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
=√3tan2θ-1+(√3-1)tanθ
tan2θ+1
4√3-1-2(√3-1)
=
4+1
2√3+1
= .故选B.
5
方法总结 同角三角函数基本关系的应用技巧:
sinα
(1)弦切互化:利用公式tan α= 实现角α的弦切互化;
cosα
(2)和(差)积转换:利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α进行变形、转化;
(3)巧用“1”的变换:1=sin2α+cos2α=cos2α(tan2α+1)=sin2α(
1+
1 )=tan π.
tan2α 4
5 4
4.(2018吉林第一次调研,7)已知α,β为锐角,且cos α= ,cos(α+β)=- ,则cos β= ( )
13 5
56 16 16 56
A.- B.- C. D.
65 65 65 65
5 12
答案 C ∵α为锐角,cos α= ,∴sin α= ,
13 13
∵α,β∈( π),∴α+β∈(0,π),
0,
2
4 3
又∵cos(α+β)=- ,∴sin(α+β)= .
5 5
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
4 5 3 12 16
=- × + × = ,故选C.
5 13 5 13 65
π
5.(2019广东东莞第二次调研,8)将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)
4
( )
π
A.周期为π,最大值为1,图象关于直线x= 对称,为奇函数
2
B.周期为π,最大值为1,图象关于点(3π )对称,为奇函数
,0
8
C.周期为π,最大值为1,在( 3π π)上单调递减,为奇函数
- ,
8 8
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D.周期为π,最大值为1,在( π)上单调递增,为奇函数
0,
4
答案 D 将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移π个单位后得到函数g(x)=cos( π)=sin 2x的图象,则函
2x-
4 2
数g(x)的周期为π,最大值为1,在( 3π π)上单调递减,在( π π)上单调递增,并且为奇函数,其图
- ,- - ,
8 4 4 4
象关于直线x=kπ+π(k∈Z)对称,关于点(kπ )对称,结合四个选项知选D.
,0
2 4 2
6.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{a}的前n项和为S,且满足
n n
3S
a 2 ,2a 5 ,3a 8 成等差数列,则 3 = ( )
S
6
13 13 9 11
A. B. C. D.
4 12 4 12
答案 C 设等比数列{a}的公比为q(q≠1),
n
∵a,2a,3a 成等差数列,∴4a=a+3a,
2 5 8 5 2 8
即4aq4=aq+3aq7,3q6-4q3+1=0,
1 1 1
1
解得q3= 或q3=1(舍去),
3
3× a 1 (1-q3) 3× ( 1- 1)
∴ 3S 3= 1-q = 3 =9 ,故选C.
S a (1-q6) 1 4
6 1 1-
1-q 9
7.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{a}满足a=1,a -a≥2(n∈N*),且S 为{a}的前n项和,则 ( )
n 1 n+1 n n n
A.a≥2n+1 B.S≥n2
n n
C.a≥2n-1 D.S≥2n-1
n n
答案 B 由题意得a-a≥2,a-a≥2,a-a≥2,……,a-a ≥2(n≥2),
2 1 3 2 4 3 n n-1
∴a-a+a-a+a-a+…+a-a ≥2(n-1)(n≥2),
2 1 3 2 4 3 n n-1
∴a-a≥2(n-1)(n≥2),又∵a=1,∴a≥2n-1(n≥2),
n 1 1 n
又a=1适合上式,∴a≥2n-1(n∈N*).
1 n
∴a≥1,a≥3,a≥5,……,a≥2n-1,
1 2 3 n
∴a+a+a+…+a≥1+3+5+…+2n-1,
1 2 3 n
n(1+2n-1)
∴S≥ =n2.故选B.
n
2
8.(2020广西桂林十八中8月月考,6)已知向量a,b满足|a|=√2,|b|=1,且|b+a|=2,则向量a与b的夹角的余弦值
为 ( )
√2 √2 √2 √2
A. B. C. D.
2 3 8 4
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1
答案 D 由|b+a|=2得(b+a)2=4,即a2+2a·b+b2=4.又∵|a|=√2,|b|=1,∴2+2a·b+1=4,解得a·b= .设向量a与b的
2
1
a·b 1 √2
夹角为θ,则有cos θ= = 2 = = ,故选D.
|a||b| 2√2 4
√2×1
9.(2020福建莆田一中摸底,6)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延
长线与CD交于点F,若⃗AC=a,⃗BD=b,则⃗AF= ( )
1 1 1 1
A. a+ b B. a+ b
4 2 2 4
2 1 1 2
C. a+ b D. a+ b
3 3 3 3
1 1 1 1
答案 C ∵⃗AC=a,⃗BD=b,∴⃗AD=⃗AO+⃗OD= ⃗AC+ ⃗BD= a+ b.
2 2 2 2
|DE| 1 1
∵E是OD的中点,∴ = ,∴|DF|= |AB|,
|EB| 3 3
∴
⃗DF
=1
⃗AB
=1(
⃗OB
-
⃗OA
)=1×(1
⃗AC-
1
⃗BD
)=1a-1b,∴
⃗AF
=
⃗AD
+
⃗DF
=1a+1b+1a-1b=2a+
3 3 3 2 2 6 6 2 2 6 6 3
1
b,故选C.
3
10.(2020湖北汉阳模拟,8)若M为△ABC所在平面内一点,且满足(⃗MB-⃗MC)·(⃗MB+⃗MC-2⃗MA)=0,则△ABC
为 ( )
A.直角三角形 B.一般等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 B 由(⃗MB-⃗MC)·(⃗MB+⃗MC-2⃗MA)=0,可知⃗CB·(⃗AB+⃗AC)=0,设BC的中点为D,则⃗AB+⃗AC=2
⃗AD,故⃗CB·⃗AD=0,所以CB⊥AD,又∵D是BC的中点,∴△ABC为等腰三角形,由已知条件得不到直角或等边
关系,故△ABC为一般等腰三角形.故选B.
11.(2018安徽师大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,⃗BA·⃗BC=⃗BA2,点P是△ABC所在平面内一点,则当
⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2 取得最小值时,⃗AP·⃗BC= ( )
27 27
A. B.- C.9 D.-9
2 2
答案 D ∵⃗BA·⃗BC=|⃗BA|·|⃗BC|·cos∠ABC=|⃗BA|2,
∴|⃗BC|·cos∠ABC=|⃗BA|=6,
π
∴⃗CA⊥⃗AB,即∠BAC= ,
2
以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,
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则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),x,y∈R,
则⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2
=3x2-12x+3y2-6y+45
=3[(x-2)2+(y-1)2+10],
∵x,y∈R,∴当x=2,y=1时,⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2取得最小值,
此时⃗AP·⃗BC=(2,1)·(-6,3)=-9,故选D.
1
12.(2019浙江金丽衢联考,10)数列{a}满足:a=1,a =a+ ,则a 的值所在区间为 ( )
n 1 n+1 n a 2 018
n
A.(0,100) B.(100,200)
C.(200,300) D.(300,+∞)
答案 A 由a =a+ 1 ,得a -a= 1 .又a=1,所以数列{a}是递增的,即a≥1.因为 = + 1 +2,即 -
n+1 n n+1 n 1 n n a2 a2 a2
a a n+1 n a2 n+1
n n n
1
= +2≤3,
a2
n a2
n
所以 a2 - a2≤3, a2 - a2≤3, a2 - a2≤3,……, a2 - a2 ≤3,
2 1 3 2 4 3 2 018 2 017
上面各式相加,得 - ≤3×2 017,
a2 a2
2 018 1
所以a 2 018 ≤ √a2+3×2 017 < √10 000 =100,故选A.
1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020河南、河北两省9月联考,14)若sin( π)=7√2,α∈(0,π),则tan α= .
α-
4 10
4 3
答案 - 或-
3 4
解析 ∵sin( π)=7√2,∴√2(sin α-cos α)=7√2,即sin α-cos α=7①,两边平方得1-2sin α·cos α=
α-
4 10 2 10 5
49
,
25
24
∴2sin α·cos α=- .
25
1
∴(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α= ,
25
1
∴sin α+cos α=± ②,
5
4 3
{ sinα= , { sinα= ,
由①②解得 5 或 5
3 4
cosα=- , cosα=- ,
5 5
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sinα 4 3
∴tan α= =- 或- .
cosα 3 4
14.(2020山西康杰中学等四校9月联考,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,
2S
sin(A+C)= ,且A,B,C成等差数列,则C的大小为 .
b2-c2
π
答案
6
π 2S
解析 在△ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C,又知A+B+C=π,∴B= .由sin(A+C)= 得sin B=
3 b2-c2
acsinB
,又sin B≠0,则b2-c2=ac①.
b2-c2
π
∵B= ,∴b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac②.
3
a2+b2-c2 4c2+3c2-c2 √3
由①②得a=2c,b=√3c,∴cos C= = = .
2ab 2×2c×√3c 2
π
又∵C∈(0,π),∴C= .
6
15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若⃗AC·⃗BE=1,则AB的长为 .
1
答案
2
1
解析 解法一:由题意可知,⃗AC=⃗AB+⃗AD,⃗BE=- ⃗AB+⃗AD.
2
因为
⃗AC
·
⃗BE
=1,所以(
⃗AB
+
⃗AD
)·(
-
1
⃗AB+⃗AD
)=1,
2
1 1
即⃗AD2+ ⃗AB·⃗AD- ⃗AB2 =1. ①
2 2
因为|⃗AD|=1,∠BAD=60°,
1
所以⃗AB·⃗AD= |⃗AB|,
2
1 1
因此①式可化为1+ |⃗AB|- |⃗AB|2=1.
4 2
1
解得|⃗AB|=0(舍去)或|⃗AB|= ,
2
1
所以AB的长为 .
2
解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,过D作DM⊥AB于点M.
1 √3
由AD=1,∠BAD=60°,可知AM= ,DM= ,
2 2
∴D(1 √3).
,
2 2
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设| |=m(m>0),则B(m,0),C( 1 √3),
⃗AB m+ ,
2 2
因为E是CD的中点,所以E(m 1 √3).
+ ,
2 2 2
所以 =(1 1 √3), =( 1 √3).
⃗BE - m, ⃗AC m+ ,
2 2 2 2 2
由 · =1可得( 1)(1 1 )+3=1,
⃗AC ⃗BE m+ - m
2 2 2 4
1
即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或m= .
2
1
故AB的长为 .
2
2n+3
16.(2018广东佛山教学质量检测(二),16)数列{a}满足a+3a+…+(2n-1)a=3- ,n∈N*,则a+a+…+a=
n 1 2 n 2n 1 2 n
.
1
答案 1-
2n
2n+3
解析 因为a+3a+…+(2n-1)a=3- ,
1 2 n 2n
2n+1
所以a+3a+…+(2n-3)a =3- (n≥2),
1 2 n-1 2n-1
2n-1 1
两式相减得(2n-1)a= (n≥2),∴a= (n≥2).
n 2n n 2n
5 1 1
当n=1时,a=3- = ,适合上式,∴a= (n∈N*).
1 2 2 n 2n
1( 1 )
1-
因此a+a+…+a=2 2n =1- 1 .
1 2 n
1
2n
1-
2
三、解答题:共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2020豫北六校对抗赛,17)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
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(3)若(a-b)⊥(a+λb),求实数λ的值.
解析 (1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=43,
|a|=4,|b|=3,
1
∴64-8×4×3cos θ+27=43,∴cos θ= .
2
π
∵θ∈[0,π],∴θ= .
3
√ 1
(2)由(1)得|a+b|=√(a+b)2=√a2+2a·b+b2= 42+2×4×3× +32 =√37.
2
(3)∵(a-b)⊥(a+λb),∴(a-b)·(a+λb)=0,
1 1
∴(a-b)·(a+λb)=a2+λa·b-a·b-λb2=0,即42+λ×4×3× -4×3× -9λ=0,
2 2
10
∴3λ=10,∴λ= .
3
18.(12分)(2019安徽合肥第一次教学质量检测,17)已知函数f(x)=cos 2x+sin( π).
2x-
6
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈( π), f(α)=1,求cos 2α.
0,
2 3
√3 1
解析 (1)∵f(x)=cos 2x+ sin 2x- cos 2x
2 2
=√3sin 2x+1cos 2x=sin( π),
2x+
2 2 6
∴函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)由f(α)=1可得,sin( π)=1.
2α+
3 6 3
∵α∈( π),∴2α+π∈(π 7π).
0, ,
2 6 6 6
又∵0<sin( π)=1<1,∴2α+π∈(π ),
2α+ ,π
6 3 2 6 2
∴cos( π)=-2√2,
2α+
6 3
∴cos 2α=cos
[(
2α+
π)
-
π]
6 6
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=cos( π)cosπ+sin( π)sinπ=1-2√6.
2α+ 2α+
6 6 6 6 6
19.(12分)(2020宁夏银川二中9月月考,17)已知向量m=(
√3sin
x
,1
),n=(
cos
x
,cos2
x),记
4 4 4
f(x)=m·n.
(1)若f(x)=1,求cos( π)的值;
x+
3
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求f(2A)的取值范围.
x x x
解析 (1)f(x)=m·n=√3sin cos +cos2
4 4 4
=√3sin x+1cos x+1=sin(x π)+1,
+
2 2 2 2 2 2 6 2
由f(x)=1,得sin(x π)=1,
+
2 6 2
所以cos( π)=1-2sin2(x π)=1.
x+ +
3 2 6 2
(2)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin(B+C),
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,
1
所以cos B= ,
2
π π 2 2
又0<B< ,所以B= ,则A+C= π,A= π-C,
2 3 3 3
π π π π
又0<C< ,0<A< ,则 <A< ,
2 2 6 2
又因为f(2A)=sin( π)+1,π<A+π<2π,
A+
6 2 3 6 3
所以√3<sin( π)≤1,
A+
2 6
所以f(2A)的取值范围是(√3+1 3].
,
2 2
20.(12分)(2018福建福州八校联考,21)数列{a}中,a=3,a =2a+2(n∈N*).
n 1 n+1 n
(1)求证:{a+2}是等比数列,并求数列{a}的通项公式;
n n
n 1 4
(2)设b= ,S=b+b+b+…+b,证明:对任意n∈N*,都有 ≤S< .
n a +2 n 1 2 3 n 5 n 5
n
解析 (1)由a =2a+2(n∈N*),得a +2=2(a+2),
n+1 n n+1 n
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又∵a=3,∴a+2=5,
1 1
∴{a+2}是首项为5,公比为2的等比数列,
n
∴a+2=5×2n-1,
n
∴a=5×2n-1-2.
n
n
(2)证明:由(1)可得b= ,
n 5×2n-1
∴S n = 1( 1+ 2 + 3 +…+ n ),①
5 2 22 2n-1
1S n = 1(1 + 2 + 3 +…+ n ),②
2 5 2 22 23 2n
①-②化简可得S n = 2( 1+ 1 + 1 +…+ 1 - n )
5 2 22 2n-1 2n
1
(1- )
=2 2n - n = 2( 2- 2+n).
5 1 2n 5 2n
1-
2
4 n+1
∴S< ,又∵S -S=b = >0,
n 5 n+1 n n+1 5×2n
1
∴数列{S}单调递增,则S≥S= ,
n n 1
5
1 4
∴对任意n∈N*,都有 ≤S< .
n
5 5
21.(12分)(2019浙江绍兴数学调测,20)已知数列{a}是公差为2的等差数列,且a,a+1,a +1成等比数列.数列
n 1 5 23
{b}满足:b+b+…+b=2n+1-2.
n 1 2 n
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
1
{ ,n为奇数,
a a
(2)令数列{c n }的前n项和为T n ,且c n = n n+2 若对n∈N*,T 2n ≥T 2k 恒成立,求正整数k的值.
1
- ,n为偶数.
b
n
解析 (1)由已知得 =a(a +1),即 =a·(a+45),所以a=3,所以a=2n+1.
(a +1)2 1 23 (a +9)2 1 1 1 n
5 1
当n=1时,b=2,当n≥2时,b=2n+1-2n=2n,又b=2适合上式,所以b=2n(n∈N*).
1 n 1 n
1 1 1 ( 1 1 1 )
+ +…+
(2)因为T = + +…+ -
2n 3×7 7×11 (4n-1)×(4n+3) 22 24 22n
=1(1 - 1 )- 1( 1- 1 )=-1+ 1 ( 1 - 3 ),
4 3 4n+3 3 4n 4 12 4n-1 4n+3
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北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
所以T 2n+2 -T 2n = 1 ( 1 - 3 - 1 + 3 )
12 4n 4n+7 4n-1 4n+3
= 1 [ 12 - 3 ]
12 (4n+3)(4n+7) 4n
= 1 [ 1- (4n+3)(4n+7)].
(4n+3)(4n+7) 4n+1
(4n+3)(4n+7)
设d= ,则
n 4n+1
(4n+7)(4n+11) (4n+3)(4n+7)
d -d= -
n+1 n 4n+2 4n+1
(4n+7)(-12n-1)
= <0恒成立,
4n+2
因此d>d>d>d>…,由于d>1,d>1,d>1,d<1,……,
1 2 3 4 1 2 3 4
因此T-T<0,T-T<0,T-T<0,T -T>0,
4 2 6 4 8 6 10 8
所以{T }中T 最小,所以k的值为4.
2n 8
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