北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§10.3 抛物线
— 五年高考 —
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,
到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
2.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P
作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 ( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案 B
3.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为√3的直线交C于点M(M在x
轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为 ( )
A.√5 B.2√2 C.2√3 D.3√3
答案 C
4.(2021北京,12,5分)已知抛物线C:y2=4x,C的焦点为F,点M在C上,若|FM|=6,则M的横坐标
是 .
答案 5
5.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,
PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
3
答案 x=-
2
1 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
解题指导 抛物线的问题,需要借助图形来分析,利用抛物线定义及平面几何知识建立关于p
的方程从而解决问题.
6.(2021上海,11,5分)已知抛物线:y2=2px(p>0),若第一象限的A,B在抛物线上,焦点为F,|AF|=2,|
BF|=4,|AB|=3,则直线AB的斜率为 .
√5
答案
2
解题指导 抛物线的问题的突破口是其定义,利用定义进行线段之间的转化,再结合平面几何
知识及斜率概念即可解决问题.
7.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分
别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
解析 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程
为y=1.
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1).
设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
{y=kx-1,
由 得x2+4kx-4=0.
x2=-4 y
设M(x,y),N(x,y),
1 1 2 2
y
1
则xx=-4,直线OM的方程为y= x.
1 2 x
1
x
1
令y=-1,得点A的横坐标x =- .
A y
1
x
2
同理得点B的横坐标x =- .
B y
2
设点D(0,n),
x x
( ) ( )
则⃗DA= - 1,-1-n ,⃗DB= - 2,-1-n ,
y y
1 2
2 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
x x
1 2
x x
⃗DA·⃗DB= 1 2 +(n+1)2=( x2 )( x2 )+(n+1)2
y y - 1 - 2
1 2
4 4
16
= +(n+1)2=-4+(n+1)2.
x x
1 2
令⃗DA·⃗DB=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
以下为教师用书专用(1—10)
1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点
A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
|BF|-1 |BF|2-1
A. B.
|AF|-1 |AF|2-1
|BF|+1 |BF|2+1
C. D.
|AF|+1 |AF|2+1
答案 A 过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,
则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.
S
△BCF
可知 =
S
△ACF
1
·|CB|·|CF|·sin∠BCF
2
1
·|CA|·|CF|·sin∠BCF
2
|CB| |BN|
= =
|CA| |AM|
|BF|-1
= ,故选A.
|AF|-1
3 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF
与C的一个交点.若⃗FP=4⃗FQ,则|QF|= ( )
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
答案 B ∵⃗FP=4⃗FQ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物
线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则
|QM| |PQ| |QM| 3
= ,即 = .∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
|FN| |PF| 4 4
5
3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x,y)是C上一点,|AF|= x,则x=
0 0 4 0 0
( )
A.1 B.2 C.4 D.8
1 (1 ) 1
答案 A 由y2=x得2p=1,即p= ,因此焦点F ,0 ,准线方程为l:x=- ,设A点到准线的距
2 4 4
1 5
离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x+ = x,解得x=1,故选A.
0 4 4 0 0
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.
4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为
直径的圆过点(0,2),则C的方程为 ( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
4 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
p
答案 C ∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=x + =5得M
M 2
( p √ ( p) ) (5 1√ ( p) )
5- , 2p 5- .从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为 , 2p 5- ,
2 2 2 2 2
1√ ( p)
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2= 2p 5- ,即p2-
2 2
10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.
5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|
AF|=3|BF|,则l的方程为( )
A.y=x-1或y=-x+1
√3 √3
B.y= (x-1)或y=- (x-1)
3 3
C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)
√2 √2
D.y= (x-1)或y=- (x-1)
2 2
答案 C 设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA,BB 垂直于准线于
1 1
|BC| |BC| 1
A,B.由抛物线的定义可设|BF|=|BB|=t,|AF|=|AA|=3t.由三角形的相似得 = = ,
1 1 1 1 |AB| 4t 2
π π 2
∴|BC|=2t,∴∠BCB= ,∴直线l的倾斜角α= 或 π.
1
6 3 3
又F(1,0),∴直线AB的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.
6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).
0
若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= ( )
A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5
5 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 B 由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
由|MF|= +2=3得p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
2
∴点M的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3,
故选B.
7.(2011课标文,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两
点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 ( )
A.18 B.24 C.36 D.48
答案 C 设抛物线方程为y2=2px(p>0).
p
∵当x= 时,|y|=p,
2
|AB| 12
∴p= = =6.
2 2
又P到AB的距离始终为p,
1
∴S = ×12×6=36.
△ABP
2
评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l的
距离为p.
8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右支与焦
a2 b2
点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为
.
√2
答案 y=± x
2
解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.
设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
6 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
{x2=2py,
因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4× p =y 1 + p +y 2 + p ,即y 1 +y 2 =p①.由 x2 y2 消去x,得a2y2-
2 2 2 - =1
a2 b2
2pb2y+a2b2=0,所以y+y=2pb2 ②.由①②可得b=√2,故双曲线的渐近线方程为y=±√2x.
1 2
a2 a 2 2
思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y+y 的值(用p表示).再联立双曲线和抛
1 2
b
物线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y+y.从而得 的值,近而
1 2
a
得渐近线方程.
b
解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|
a
AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的
方程求解.这样利用y+y 这个整体来建立等量关系便可求解.
1 2
9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位
下降1米后,水面宽 米.
答案 2√6
解析 建立坐标系如图所示.
则抛物线方程为x2=-2py.
∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±√6.
∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.
10.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是
.
7 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 9
解析 设M(x,y),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x+1=10,∴x=9,即点
0 0 0 0
M到y轴的距离为9.
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,
若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
A.(1 ) B.(1 ) C.(1,0) D.(2,0)
,0 ,0
4 2
答案 B
x2 y2
2.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则
3p p
p= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
3.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l,l,直
1 2
线l 与C交于A,B两点,直线l 与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( )
1 2
A.16 B.14 C.12 D.10
答案 A
4.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长
为4,则抛物线的焦点坐标为 .
答案 (1,0)
5.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
8 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
解题指导 (1)利用抛物线的焦点到准线的距离求出p的值,从而得出抛物线方程;(2)解决问题
的关键在于将其转化为向量的坐标运算问题,注意利用抛物线特殊的设点方式来简化求解过
程,将直线OQ的斜率最值问题转化为单变量最值问题,利用基本不等式的知识即可求得结果.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由已知不妨设点P(4 ,4x),Q(x,y),
x2 0 1 1
0
则 =(x-4 ,y-4x),
⃗PQ 1 x2 1 0
0
∵F(1,0),∴⃗QF=(1-x,-y),
1 1
∵ =9 ,∴
{x -4x2=9(1-x ),
⃗PQ ⃗QF 1 0 1
y -4x =9(- y ),
1 0 1
1
{x = (9+4x2),
整理得 1 10 0
4
y = x ,
1 10 0
y 4x
∴k OQ = 1= 0 ,
x 9+4x2
1 0
当k 最大时,x>0,
OQ 0
4
4 1
∴k = 9 ≤ = ,
OQ +4x 2√36 3
x 0
0
9
当且仅当4x= 时取“=”,
0 x
0
3
此时x= ,点P的坐标为(9,6),
0
2
1
因此k 的最大值为 .
OQ
3
9 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
解后反思 针对抛物线y2=2px(p>0)上的点A,常设A(2px2,2px)来简化计算.
3
6.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为
2
A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.
3
解析 设直线l:y= x+t,A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
2
(1)由题设得F(3
,0
),故|AF|+|BF|=x
1
+x
2
+3,
4 2
5
由题设可得x+x= .
1 2
2
{ 3
由
y= x+t,
可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
2
y2=3x
12(t-1)
则x+x=- .
1 2
9
12(t-1) 5 7 3 7
从而- = ,得t=- .所以l的方程为y= x- .
9 2 8 2 8
{ 3
(2)由 =3 可得y=-3y.由
y= x+t,
可得y2-2y+2t=0.所以y+y=2.从而-3y+y=2,故
⃗AP ⃗PB 1 2 2 1 2 2 2
y2=3x
y=-1,y=3.
2 1
1 4√13
代入C的方程得x=3,x= .故|AB|= .
1 2
3 3
思路分析 (1)由|AF|+|BF|=4确定A、B两点横坐标之和,联立直线l的方程(含参)与抛物线方
程,由根与系数的关系得A、B两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.
(2)P点在x轴上,由⃗AP=3⃗PB知A、B两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得A、B两
点纵坐标之和,二者联立,确定A、B的纵坐标,进而确定A、B的坐标,从而求得|AB|.
7.(2018课标Ⅱ,文20,理19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l
与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
10 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),
设A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
由{y=k(x-1), 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
y2=4x
Δ=16k2+16>0,故x+x=2k2+4.
1 2
k2
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x+1)+(x+1)=4k2+4.
1 2
k2
由题设知4k2+4=8,解得k=-1(舍去)或k=1,
k2
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),
所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x,y),则
0 0
{ y =-x +5,
0 0 {x =3, {x =11,
(y -x +1)2 解得 0 或 0
(x +1)2= 0 0 +16. y =2 y =-6.
0 2 0 0
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重
利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.
以下为教师用书专用(1—10)
k
1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,
x
则k= ( )
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2
k
答案 D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= (k>0)得k=1×2=2,故选D.
x
评析 利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.
11 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
1
2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线
2
C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设
椭圆E的方程为x2 +y2 =1(a>b>0),因为离心率e=c=1,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|
a2 b2 a 2
2b2 12
AB|= =2× =6.故选B.
a 4
评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.
3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为 (
)
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
p p p
答案 B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- ,由题设知- =-1,即 =1,所以焦点坐标为
2 2 2
(1,0).故选B.
1
4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y= x2的准线方程是 ( )
4
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
1 p
答案 A 由y= x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- =-1.
4 2
故选A.
5.(2013四川文,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-√3y=0的距离是 ( )
A.2√3 B.2 C.√3 D.1
答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F到直线x-
|2-√3×0|
√3y=0的距离d= =1.故选D.
√1+3
评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.
12 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交
于A,B两点,|AB|=4√3,则C的实轴长为 ( )
A.√2 B.2√2 C.4 D.8
答案 C 如图,AB为抛物线y2=16x的准线,
由题意可得A(-4,2√3).
设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.
评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴
长为2a.
7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两
点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B 不妨设C:y2=2px(p>0),A(x
1
,2
√2
),则x
1
=(2√2)2=4,由题意可知|OA|=|OD|,得(4) 2
2p p p
+8=(p) 2+5,解得p=4.故选B.
2
思路分析 设出抛物线C的方程,根据已知条件得出点A的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p的
方程,解方程得出结论.
8.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长
为4,则抛物线的焦点坐标为 .
答案 (1,0)
解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.
由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,
不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),
故|AB|=4√a=4,得a=1,
13 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).
9.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆
与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 .
答案 (x+1)2+(y-√3)2=1
解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.
由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,
因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,
所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,
所以OA=√3,即t=√3,
故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.
方法总结 求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或
D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,
常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.
10.(2014陕西文,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为 .
答案 x=-1
p
解析 由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=- =-1.故填x=-1.
2
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020山东滨州期末,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A
为垂足.若直线AF的斜率为-√3,则△PAF的面积为 ( )
A.2√3 B.4√3 C.8 D.8√3
14 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 B
2.(2021湖北九师联盟2月质检,8)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x
0
,2
√2
)(
x >
p)
0 2
p 1
是抛物线C上一点,以点M为圆心的圆与直线x= 交于E,G两点,若sin∠MFG= ,则抛物线C
2 3
的方程是 ( )
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x
答案 C
3.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线
y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=( )
A.4 B.6 C.8 D.10
答案 A
4.(2021广东肇庆二模,15)已知点P是抛物线x2=8y上的一个动点,则点P到点A(2,0)的距离与
到抛物线的准线的距离之和的最小值为 .
答案 2√2
5.(2020海南三模,15)已知圆x2-2x+y2-8=0的圆心是抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,过点F的直线
交该抛物线的准线于点A,与该抛物线的一个交点为B,且⃗FA=-3⃗FB,则|AB|= .
32
答案
3
考点2 抛物线的几何性质
1.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为
( )
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
答案 B
15 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
2.(2021百校大联考(六),12)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直
5
线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|= ,则该抛物线的方程是 ( )
2
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=6x
答案 B
3.(2021山东聊城二模,4)已知△ABC的三个顶点都在抛物线x2=8y上,且F为抛物线的焦点,若
1
⃗AF= (⃗AB+⃗AC),则|⃗AF|+|⃗BF|+|⃗CF|= ( )
3
A.6 B.8 C.10 D.12
答案 D
4.(2020福建泉州3月适应性线上测试)已知C:y2=2px(p>0)的准线l与x轴交于点A,点B,P在
|PF|
C上,△ABF是面积为2的等腰直角三角形(F是焦点),则C的方程为 , 的最小
|PA|
值为 .
√2
答案 y2=4x;
2
5.(2020广东六校联盟第三次联考,19)已知O为坐标原点,过点M(1,0)的直线l与抛物线
C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且⃗OA·⃗OB=-3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线l'⊥l交抛物线C于P,Q两点,记△OAB,△OPQ的面积分别为S,S,证明: 1 +
1 2
S2
1
1 为定值.
S2
2
解析 (1)设直线l的方程为x=my+1,
与抛物线C:y2=2px(p>0)联立,消去x得y2-2pmy-2p=0.
设A(x,y),B(x,y),则y+y=2pm,yy=-2p,
1 1 2 2 1 2 1 2
由⃗OA·⃗OB=-3,得xx+yy=(my+1)(my+1)+yy=(1+m2)yy+(y+y)m+1=(1+m2)·(-2p)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
+2pm2+1=-2p+1=-3,解得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:由(1)知,点M(1,0)是抛物线C的焦点,
16 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
所以|AB|=x+x+p=my+my+2+p=4m2+4,
1 2 1 2
又原点到直线l的距离为d= 1 ,
√1+m2
所以S=1× 1 ×4(m2+1)=2 ,
1 √1+m2
2 √1+m2
又直线l'过点M,且l'⊥l,
所以S=2√ ( 1) 2 =2√1+m2 ,
2 1+ -
m m2
所以 1 + 1 = 1 + m2 =1,
S2 S2 4(1+m2) 4(1+m2) 4
1 2
1 1
即 + 为定值.
S2 S2
1 2
思路分析 (1)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程,利用
根与系数的关系表示出y+y,yy,从而由⃗OA·⃗OB=-3求得p的值;
1 2 1 2
(2)由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离,计算△OAB的面积S,同理,求出△OPQ的面
1
积S,再求 1 + 1 的值.
2
S2 S2
1 2
B组 综合应用题组
时间 : 50 分钟 分值 : 75 分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
1.(2021河北石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线
交y轴于点N.若⃗MF=2⃗FN,则|MF|的值为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 A
2.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为C在第一象限上一点,
若PF的中点到y轴的距离为3,则直线PF的斜率为( )
A.√2 B.2√2 C.2 D.4
17 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 B
3.(2021辽宁二模,4)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年),大
约100年后,阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲
线的光学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行
于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经过抛物线
的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到
抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为 ( )
A.(1 1) B.(1 1) C.( 1 1) D.( 1 1)
,- ,- ,- ,-
4 2 8 4 16 4 64 8
答案 D
4.(2020福建3月质量检测,7)设抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E
的准线的垂线,垂足分别是A',B',则四边形AA'B'B的面积等于( )
A.4√3 B.8√3 C.16√3 D.32√3
答案 C
5.(2020山东潍坊模拟,8)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平
行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点
A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则△ABM的周长为 ( )
71 83
A. +√26 B.9+√10 C. +√26 D.9+√26
12 12
答案 D
二、多项选择题(每小题5分,共15分)
6.(2020山东德州期末,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为√3且经过点
F,直线l与抛物线C交于A、B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则
以下结论正确的是 ( )
A.p=4 B.⃗DF=⃗FA
C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4
答案 ABC
18 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
7.(2021湖南衡阳联考(一),11)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C的两条切
线,切点分别为A、B,下列说法正确的是 ( )
A.p=1
B.TA⊥TB
1
C.直线AB的斜率为
2
D.线段AB中点的横坐标为1
答案 BCD
8.(2021江苏南通3月联考,11)设A,B是抛物线y=x2上的两点,O是坐标原点,下列结论成立的
是 ( )
A.若OA⊥OB,则|OA||OB|≥2
B.若OA⊥OB,则直线AB过定点(1,0)
C.若OA⊥OB,则O到直线AB的距离不大于1
1
D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|= ,则|BF|=1
3
答案 ACD
三、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2021山东济南十一学校联考,15)已知点M(-4,-2),抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛
物线上一点,过P作PQ⊥l,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l,l 与l交于点R,则|QR|+|MR|的
1 1
最小值为 .
答案 5
10.(2021河北二轮复习联考(一),16)如图,抛物线C:x2=4y的焦点为F,P为抛物线C在第一象限
内的一点,抛物线C在点P处的切线PM与圆F相切(切点为M)且交y轴于点Q,过点P作圆
F的另一条切线PN(切点为N),交y轴于T点.若|FQ|=|FP|,则|FT|的最小值为 .
19 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
16
答案
9
四、解答题(共25分)
11.(2020广东深圳线上统一测试,19)已知以F为焦点的抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,-2),直线
l与C交于A,B两点,M为AB中点,且⃗OM+⃗OP=λ⃗OF.
(1)当λ=3时,求点M的坐标;
(2)当⃗OA·⃗OB=12时,求直线l的方程.
解析 (1)将P(1,-2)代入抛物线C的方程y2=2px,得p=2,所以C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),
当λ=3时,⃗OM+⃗OP=3⃗OF,则(x ,y )+(1,-2)=3(1,0),可得M(2,2).
M M
(2)设A(x,y),B(x,y),M(x,y),
1 1 2 2 0 0
由⃗OM+⃗OP=λ⃗OF,可得(x+1,y-2)=(λ,0),所以y=2,
0 0 0
y - y
所以直线l的斜率存在且斜率k= y 1 - y 2= y2 1 y 2 2 = 4 = 2 =1,设直线l的方程为y=x+b,
x -x 1- 2 y + y y
1 2 1 2 0
4 4
联立{y=x+b, 消去y,
y2=4x,
整理得x2+(2b-4)x+b2=0,
由Δ=(2b-4)2-4b2=16-16b>0,可得b<1.
因为x+x=4-2b,xx=b2,
1 2 1 2
所以yy=xx+b(x+x)+b2=4b,
1 2 1 2 1 2
所以⃗OA·⃗OB=xx+yy=b2+4b=12,
1 2 1 2
解得b=-6或b=2(舍),所以直线l的方程为y=x-6.
12.(2021湖北武汉4月质检,21)设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线E
于A,B两点.当l与x轴垂直时,△AOB的面积为8,其中O为坐标原点.
(1)求抛物线E的标准方程;
20 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
(2)若l的斜率存在且为k,点P(3,0),直线AP与E的另一交点为C,直线BP与E的另一交点为
1
D,设直线CD的斜率为k,证明: k 为定值.
2 2
k
1
解析 (1)当l与x轴垂直时,不妨设A(p ),B p,-p ,∴|AB|=2p,则S =1·2p·p
,p △AOB
2 2 2 2
=8,∴p=4,∴y2=8x.
(2)证明:设A(x,y),B(x,y),C(x,y),D(x,y),
1 1 2 2 3 3 4 4
y - y
y - y 1 2 8 8
1 2
直线l的斜率为k= =1 = ,同理可得k= ,直线l的方程为y-y=
1 x -x (y2- y2) y + y 2 y + y 1
1 2 8 1 2 1 2 3 4
8
(x-x),则(y+y)y-yy=8x.
y + y 1 1 2 1 2
1 2
又点F(2,0)在直线l上,所以-yy=16,
1 2
同理,直线BD的方程为(y+y)y-yy=8x,
2 4 2 4
由点P(3,0)在直线BD上,得-yy=24,
2 4
同理可得yy=-24,
1 3
y + y
所以 k = y + y = 1 2 =y y =-16 =2,所以 k 为定值.
2 1 2 -24 -24 1 2 2
k y + y + -24 -24 3 k
1 3 4 y y 1
1 2
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)已知O为坐标原点,F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,A为C上一点,且|AF|
3p
= .若动点M在C的准线上,则|OM|+|AM|的最小值是 ( )
2
3√3
A.p B.√3p C.√6p D. p
2
答案 C
2.(2021 5·3原创题)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家,他的数学贡献史无前例,因
此他享有“数学之神”的称号.他最早利用逼近的思想方法得到了抛物线的弦与抛物线所围
成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二.抛物线的弦与弦的端点处的两条切
21 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形,这条弦叫阿基米德三角形的底边,两切线的交点
叫阿基米德三角形的顶点.已知A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,P(m,-2)为该抛物线阿
基米德三角形PAB的顶点.则有如下结论:①阿基米德三角形的底边所在直线过定点(0,2);②
设M为弦AB的中点,则MP∥y轴;③当阿基米德三角形的底边最短时,弦AB与抛物线所围成
16√2
的封闭图形面积为 ;④设F为抛物线的焦点,则|AF|,|PF|,|BF|成等比数列.其中不正确的
3
结论个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 D
3.(2021 5·3原创题)已知直线l:y=k(x+3)与抛物线C:y2=x交于A,B两点,过线段AB的中点作直
线l'平行于x轴,交C于点M,若△ABM的面积为1,则实数k= .
1
答案 ±
4
4.(2021 5·3原创题)已知A(x,y),B(x,y)是抛物线y2=x上的两点,若x+x=1,则线段AB长度的
1 1 2 2 1 2
最大值为 ,线段AB最长时直线AB的方程为 .
3 √2 √2
答案 ;y=√2x- 或y=-√2x+
2 4 4
5.(2021 5·3原创题)已知抛物线C :y2=2px(p>0)过圆C :(x-1)2+(y-1)2=1的圆心P,圆C 与y轴切
1 2 2
于点E,O为坐标原点,过OE的中点G作直线l,与抛物线C 交于不同的两点M,N,过点M作x
1
轴的垂线,分别与直线OP,ON交于点A,B.
(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
1
(2)求证:A为线段BM的中点.
1
解析 (1)易知圆C 的圆心为P(1,1),因为抛物线C 过圆C 的圆心,所以2p=1,解得p= ,所以
2 1 2
2
C
1
的方程为y2=x,焦点坐标为(1
,0
),准线方程为x=-1.
4 4
(2)证明:由题得点E(0,1),点G(
0,
1),直线OP:y=x,设直线l:y=kx+1(k≠0),M(
y2
,y
1
),N(
y2
,y
2
),
2 2 1 2
22 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
{ 1
由 y=kx+ , 得ky2-y+1=0,
2
2
y2=x,
1 1
从而有y+y= ,yy= ,
1 2 1 2
k 2k
直线ON:y= 1 x,因而有A( y2, y2),B( y2, y 1 2 ) ,y M +y B =y 1 + y 1 2 = y 1 y 2 + y 1 2 = y 1 (y 1 + y 2 ) = y 1
y 1 1 1 y y y y k y
2 2 2 2 2 2
=2yy·y =2 ,即y +y =2y ,所以A为线段BM的中点.
1 2 1 y2 M B A
y 1
2
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)已知O为坐标原点,F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,A为C上一点,且|AF|
3p
= .若动点M在C的准线上,则|OM|+|AM|的最小值是 ( )
2
3√3
A.p B.√3p C.√6p D. p
2
答案 C
2.(2021 5·3原创题)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家,他的数学贡献史无前例,因
此他享有“数学之神”的称号.他最早利用逼近的思想方法得到了抛物线的弦与抛物线所围
成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二.抛物线的弦与弦的端点处的两条切
线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形,这条弦叫阿基米德三角形的底边,两切线的交点
叫阿基米德三角形的顶点.已知A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,P(m,-2)为该抛物线阿
基米德三角形PAB的顶点.则有如下结论:①阿基米德三角形的底边所在直线过定点(0,2);②
设M为弦AB的中点,则MP∥y轴;③当阿基米德三角形的底边最短时,弦AB与抛物线所围成
16√2
的封闭图形面积为 ;④设F为抛物线的焦点,则|AF|,|PF|,|BF|成等比数列.其中不正确的
3
结论个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
23 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
答案 D
3.(2021 5·3原创题)已知直线l:y=k(x+3)与抛物线C:y2=x交于A,B两点,过线段AB的中点作直
线l'平行于x轴,交C于点M,若△ABM的面积为1,则实数k= .
1
答案 ±
4
4.(2021 5·3原创题)已知A(x,y),B(x,y)是抛物线y2=x上的两点,若x+x=1,则线段AB长度的
1 1 2 2 1 2
最大值为 ,线段AB最长时直线AB的方程为 .
3 √2 √2
答案 ;y=√2x- 或y=-√2x+
2 4 4
5.(2021 5·3原创题)已知抛物线C :y2=2px(p>0)过圆C :(x-1)2+(y-1)2=1的圆心P,圆C 与y轴切
1 2 2
于点E,O为坐标原点,过OE的中点G作直线l,与抛物线C 交于不同的两点M,N,过点M作x
1
轴的垂线,分别与直线OP,ON交于点A,B.
(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
1
(2)求证:A为线段BM的中点.
1
解析 (1)易知圆C 的圆心为P(1,1),因为抛物线C 过圆C 的圆心,所以2p=1,解得p= ,所以
2 1 2
2
C
1
的方程为y2=x,焦点坐标为(1
,0
),准线方程为x=-1.
4 4
(2)证明:由题得点E(0,1),点G(
0,
1),直线OP:y=x,设直线l:y=kx+1(k≠0),M(
y2
,y
1
),N(
y2
,y
2
),
2 2 1 2
{ 1
由 y=kx+ , 得ky2-y+1=0,
2
2
y2=x,
1 1
从而有y+y= ,yy= ,
1 2 1 2
k 2k
24 / 25北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
直线ON:y= 1 x,因而有A( y2, y2),B( y2, y 1 2 ) ,y M +y B =y 1 + y 1 2 = y 1 y 2 + y 1 2 = y 1 (y 1 + y 2 ) = y 1
y 1 1 1 y y y y k y
2 2 2 2 2 2
=2yy·y =2 ,即y +y =2y ,所以A为线段BM的中点.
1 2 1 y2 M B A
y 1
2
25 / 25
