北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.2 直线、圆的位置关系
【5 年高考】
考点 直线、圆的位置关系
1.(2020课标Ⅲ文,8,5分)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 B
2.(2020课标Ⅱ,文8,理5,5分)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ( )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B
3.(2020北京,5,4分)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 A
4.(2020课标Ⅰ文,6,5分)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
1
5.(2020课标Ⅲ理,10,5分)若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2= 都相切,则l的方程为( )
5
1 1 1 1
A.y=2x+1 B.y=2x+ C.y= x+1 D.y= x+
2 2 2 2
答案 D
6.(2020课标Ⅰ理,11,5分)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线
PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
答案 D
7.(2018课标Ⅲ,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取
值范围是 ( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2]
答案 A
8.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
答案 A
9.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( )
A.1 B.2 C.√2 D.2√2
答案 C
10.(2018北京,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的
最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
11.(2020江苏,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P(√3 ),A,B是圆C:x2+( 1) 2 =36上的两个动
,0 y-
2 2
点,满足PA=PB,则△PAB面积的最大值是 .
答案 10√5
12.(2018课标Ⅰ,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .
答案 2√2
13.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为
.
答案 4π
14.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交
于C,D两点.则|CD|= .
答案 4
15.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的
圆C与直线l交于另一点D.若⃗AB·⃗CD=0,则点A的横坐标为 .
答案 3
16.(2017课标Ⅲ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m
变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 直线、圆的位置关系
1.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y-1=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平行”的 ( )
1 2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
a 1
答案 A 由l∥l,得- =- ,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l∥l”的充分不必要条件,
1 2 2 a+1 1 2
故选A.
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.
2.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
|c|
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得 =√5,解得
√5
c=±5.故选A.
3.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线
的斜率为( )
5 3 3 2 5 4 4 3
A.- 或- B.- 或- C.- 或- D.- 或-
3 5 2 3 4 5 3 4
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ |-3k-2-2k-3| =1,解得k=-4或k=-3.
√k2+1 3 4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
4.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条
切线,切点为B,则|AB|= ( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点
C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.故选C.
√|AC|2-22 √40-4
5.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的取值范围是 (
0 0
)
A.[-1,1] B.[ 1 1] C.[- , ] D.[ √2 √2]
- , √2√2 - ,
2 2 2 2
答案 A 解法一:过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使∠OMN=45°,
则∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x≤1,故选A.
0
解法二:过O作OP⊥MN于P,则|OP|=|OM|sin 45°≤1,
∴|OM|≤ √2 ,即 √x2+1 ≤ √2 ,
0
∴ ≤1,即-1≤x≤1,故选A.
x2 0
0
评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
6.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是 ( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
答案 B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=√2-a,圆心到直线
|-1+1+2|
x+y+2=0的距离d= =√2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.
√2
7.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是 (
)
A.( π] B.( π] C.[ π] D.[ π]
0, 0, 0, 0,
6 3 6 3
答案 D 过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
π
显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=√(-√3)2+(-1)2=2,PA=√3,OA=1,因此∠OPA= ,由对称性知,直线
6
PB的倾斜角为π.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是[ π].故选D.
0,
3 3
8.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+
(y-1)2=1的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,所以圆心
|a|
M到直线x+y=0的距离d= =√a2-2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则
√2
R-r<√2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.
思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径,根据两圆圆
心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
9.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,
则m的最大值为 ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B 若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1
与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m的最大值为6.选B.
10.(2013重庆理,7,5分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C,C 上的动点,P为x轴上
1 2 1 2
的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ( )
A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17
答案 A 圆C,C 如图所示.
1 2
设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC|-1,同理可得|PN|的最小值为|PC|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|
1 2
PC|+|PC|-4.作C 关于x轴的对称点C'(2,-3),连接C'C,与x轴交于点P,连接PC,根据三角形两边之和大于
1 2 1 1 1 2 1
第三边可知|PC|+|PC|的最小值为|C'C|,则|PM|+|PN|的最小值为5√2-4.选A.
1 2 1 2
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段
长的和转化成两点间的距离是本题的关键.
11.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
答案 1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 依题意m≠0,所以由( 2)×1=-1,得m=1.
-
m 2
评析 本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.
{x=2+2cosθ,
12.(2019天津理,12,5分)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆 (θ为参数)相切,则a的值为 .
y=1+2sinθ
3
答案
4
解析 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系,通过直线与圆相切的条件考查了数学运算和数形结合
的思想方法,体现了直观想象、数学运算的核心素养.
解法一:由圆的参数方程知圆心为(2,1),半径r=2,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
|2a-1+2| =2,解得a=3.
√a2+(-1)2 4
解法二:如图,由圆的参数方程消去θ,得普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,设圆心为C,圆与y轴切于点D,易知直线过
1 1 1-tan2θ 3
定点A(0,2),设∠CAD=θ,易求得tan θ=2,则a= =- =- = .
tan(180°-2θ) tan2θ 2tanθ 4
{ x=-1+ √2 t,
13.(2018天津理,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线 2 (t为参数)与该圆相交于A,B两
√2
y=3- t
2
点,则△ABC的面积为 .
1
答案
2
解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系.
圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=0.圆心C(1,0)到直线的距离d=
|1+0-2| =√2,|AB|=2√
12-
(√2) 2 =
√2
,
√2 2 2
1 1 √2 1
所以△ABC的面积为 |AB|·d= ×√2× = .
2 2 2 2
方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解.
14.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x
轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .
答案 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 由题意可知直线l过定点(-3,√3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,所
以圆心到直线AB的距离为d= =3,又由点到直线的距离公式可得d=
|3m-√3|
=3,
√(2√3)2-(√3)2
√m2+1
√3 √3
解得m=- ,所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|
3 3
CH|=2√3,
2√3
在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|= =4.
cos30°
解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.
15.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆
中,半径最大的圆的标准方程为 .
答案 (x-1)2+y2=2
解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距
离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
√(2-1)2+(-1-0)2 √2
16.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边
三角形,则实数a= .
答案 4±√15
解析 易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为 ,即
|a+a-2|
= ,解得
√3 √3
√a2+1
a=4±√15.经检验均符合题意,则a=4±√15.
评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高.
17.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若⃗OM·⃗ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以
|2k-3+1|
<1.
√1+k2
4-√7 4+√7
解得 <k< .
3 3
所以k的取值范围为(4-√7 4+√7).(5分)
,
3 3
(2)设M(x,y),N(x,y).
1 1 2 2
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4(1+k) 7
所以x+x= ,xx= . (7分)
1 2 1+k2 1 2 1+k2
⃗OM·⃗ON=xx+yy
1 2 1 2
=(1+k2)xx+k(x+x)+1
1 2 1 2
4k(1+k)
= +8.
1+k2
4k(1+k)
由题设可得 +8=12,解得k=1,
1+k2
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2. (12分)
18.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
1
(1)求圆C 的圆心坐标;
1
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理
由.
解析 (1)圆C 的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
1
(2)设A(x,y),B(x,y)(x≠x),M(x,y),
1 1 2 2 1 2 0 0
x +x y + y
1 2 1 2
则x= ,y= .
0 0
2 2
由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C 的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
1
6
由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x+x= ,
1 2 1+t2
3 3t
所以x= ,代入直线l的方程,得y= .
0 1+t2 0 1+t2
因为 + = 9 + 9t2 =9(1+t2)= 9 =3x,
x2 y2 0
0 0 (1+t2)2 (1+t2)2 (1+t2)2 1+t2
所以(
x -
3) 2 +
y2
=9.
0 2 0 4
4 5
由(*)解得t2< ,又t2≥0,所以 <x≤3.
0
5 3
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为( 3) 2 +y2=9(5 ).
x- <x≤3
2 4 3
(3)由(2)知,曲线C是在区间(5 ]上的一段圆弧.
,3
3
如图,D(5 2√5),E(5 2√5),F(3,0),直线L过定点G(4,0).
, ,-
3 3 3 3
联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
