北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§8.2 空间点、线、面的位置关系
专题检测
1.(2019江西八校4月联考,5)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下面四个命题:
①若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,则
m∥n.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.④
答案 D 对于①,垂直于同一个平面的两个平面可能相交,也可能平行,所以命题①错误;对于②,在两个相互
垂直的平面内的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面,所以命题②错误;对于③,若m∥α,n⊂α,则直线m与
n可能平行,也可能异面,所以③错误;对于④,由面面平行的性质定理可知命题④正确,故选D.
方法总结 对点、线、面的位置关系的判断,常采用穷举法,即对各种位置关系都进行考虑,要充分利用几何
模型的直观性.
2.(2019广西桂林高三4月联考,6)已知平面α,β,γ两两垂直,直线a,b,c满足a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a,b,c的位置
关系不可能是 ( )
A.两两平行 B.两两垂直
C.两两相交 D.两两异面
答案 A 假设a,b,c三条直线两两平行,如图所示,设α∩β=l,∵a∥b,a⊄β,b⊂β,∴a∥β.又知a⊂α,α∩β=l,∴a∥l,又
知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,∴l⊥γ,又知a∥b,a∥l,∴a⊥γ,又知c⊂γ,∴a⊥c,所以假设不成立.故三条直线a,b,c不可能两两
平行,因此选A.
3.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线
GH,MN是异面直线的图形有 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
答案 C 由题意可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面
GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;题图④中,G,M,N三
点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH与MN异面.故选C.
4.(2020北京西城二模,10)佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍
的功效,因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.图1的▱ABCD由六个正
三角形构成.将它沿虚线折起来,可得如图2所示的六面体形状的香囊,那么在图2这个六面体中,棱AB与CD
所在直线的位置关系为 ( )
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图1
图2
A.平行 B.相交
C.异面且垂直 D.异面且不垂直
答案 B 将图1标上字母如图所示,
图1
沿虚线折起后如图2.
图2
由图可知,点D、E重合,点A、C重合,点B、F重合,△ABD为等边三角形,所以棱AB与CD所在直线相交且
夹角为60°.故选B.
解后反思 本题考查折叠问题,主要弄清折叠前后点、线、角度的变化.
5.(2017内蒙古包头十校联考)在正方体ABCD-ABCD 中,点P在线段AD 上运动,则异面直线CP与BA 所
1 1 1 1 1 1
成角θ的取值范围是 ( )
π π
A.0<θ< B.0<θ≤
2 2
π π
C.0≤θ≤ D.0<θ≤
3 3
答案 D 如图,因为AB∥CD,所以∠DCP(或其补角)即为异面直线CP与BA 所成的角,由题意知点P不能
1 1 1 1
与D 重合,当点P无限与D 靠近时,∠DCP无限接近于0,当点P由点D 向点A移动时,∠DCP变大,当点P与
1 1 1 1 1
点A重合时,∠D
1
CP最大,为π,故∠D
1
CP的取值范围是(
0,
π],所以异面直线CP与BA
1
所成角θ的取值范
3 3
围是( π],选D.
0,
3
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6.(2019福建四地七校10月联考,10)如图,正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,P,Q分别是线段AD 和BC上的
1 1 1 1 1 1
动点,且满足AP=BQ,则下列命题错误的是 ( )
1
A.存在P,Q在某一位置时,AB∥PQ
B.△BPQ的面积为定值
C.当PA>0时,直线PB 与AQ是异面直线
1
D.无论P,Q运动到任何位置,均有BC⊥PQ
答案 B 对于A,当P,Q分别为AD 和BC的中点时,AB∥PQ,故A正确.对于B,当点P在点A处时,△BPQ的
1 1
1 √2
面积为 ;当点P在AD 的中点处时,△BPQ的面积为 ,所以△BPQ的面积不为定值,故B错误.对于C,当
1
2 4
PA>0时,假设直线PB 与AQ是共面直线,则AP与BQ共面,与已知AP和BQ异面相矛盾,所以直线PB 与
1 1 1 1
AQ是异面直线,故C正确;对于D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PQ,故D正确.
综上,本题选B.
7.(2017辽宁五市八校第二次联考)设P是正方体ABCD-ABCD 的对角面BDDB(含边界)内的点,若点P到
1 1 1 1 1 1
平面ABC,平面ABA,平面ADA 的距离相等,则符合条件的点P ( )
1 1
A.仅有一个 B.有有限多个
C.有无限多个 D.不存在
答案 A 与平面ABC,平面ABA 距离相等的点位于平面ABCD 上;
1 1 1
与平面ABC,平面ADA 距离相等的点位于平面ABCD上;
1 1 1
与平面ABA,平面ADA 距离相等的点位于平面ACCA 上.
1 1 1 1
据此可知,满足题意的点位于平面ABCD,平面ABCD,平面ACCA 的公共点处,满足题意的点仅有一个,为
1 1 1 1 1 1
正方体的中心.选A.
8.(2020云南名校高三开学考试,12)棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中,E,F,G分别是AD,AB,BB 的中点,那
1 1 1 1 1
么正方体内过E,F,G的截面面积为 ( )
A.3√2 B.3√3 C.2√3 D.2√2
√3
答案 B 如图所示,过点E,F,G的截面是一个边长为√2的正六边形,其面积为6× ×(√2)2=3√3.故选B.
4
9.(2020贵州遵义绥阳一模,11)如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且
1
AB⊥CD,SO=OB=3,SE= SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为 ( )
4
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√22 √5 13 √11
A. B. C. D.
2 3 16 3
答案 D 本题以圆锥为载体进行设题,考查异面直线所成角的定义及求法,正切函数,平行线分线段成比例,
考查逻辑推理、数学运算的核心素养,考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.
1
如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或其补角)即为异面直线SC与OE所成的角.∵SE=
4
1 1
SB,∴SE= BE,又OB=3,∴OF= OB=1.
3 3
∵SO⊥OC,SO=OC=3,∴SC=3 .∵SO⊥OF,∴SF= = .∵OC⊥OF,∴CF= .
√2 √SO2+OF2 √10 √10
√
(√10)2-
(3√2) 2
∴在等腰△SCF中,tan∠CSF= 2 = √11 .故选D.
3
3√2
2
方法总结 解决异面直线成角问题常用平移法,平移直线有三种方法:中位线、平行四边形、补体平移.本题
可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,得出∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据数量
关系可得出tan∠CSF的值.
10.(2019河北衡水三模,12)已知在高为2,底面边长为3的正三棱柱ABC-ABC 中,点E,F,G分别是
1 1 1
AC,AB,AB上的点,且有CE=AF=BG=1,则过点E,F,G的平面截正三棱柱所得的截面的面积为 ( )
1 1 1 1 1 1
√15 √15 3√15 5√15
A. B. C. D.
4 2 4 4
答案 D 如图所示,在平面ABBA 内,连接GF并延长与AA 的延长线交于点
1 1 1
1
P,∵AF=BG=1,AB=3,∴AG=2,AF∥AG且AF= AG,∴A 为AP的中点.连接PE并延长与AC的延长线交于点
1 1 1 1
2
H,交线段CC 于点N,∵AE∥AC,A 为AP的中点,∴E为PH的中点,∵CE=1,AC=3,∴AE=2,AH=4,CH=1,∴N为
1 1 1 1 1 1 1
CC 的中点,连接GH交BC于点M,连接MN,则EF∥GH.由连线知平面GMNEF为所求截面.
1
∵∠EAF=60°,AE=2,AF=1,∴EF⊥AB,∴GH⊥AB,又知EF⊥AA,AA∩AB=A,∴EF⊥平面ABBA.又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 √15
∵∠ABC=60°,∴BM=2,则CM=1,在Rt△PEF中,PF=√5,EF=√3,∴S = ×√3×√5= .在Rt△PGH中,PG=2
△PEF
2 2
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1 1 √5 √15
√5,GH=2√3,∴S = ×2√3×2√5=2√15.在△MNH中,NH=NM=√2,MH=√3,∴S = ×√3× =
△PGH
2
△MNH
2 2 4
√15 √15 5√15
,∴截面的面积S=S -S -S =2√15- - = .故选D.
△PGH △PEF △MNH
2 4 4
11.(2016广西南宁二模,16)已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:
①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;
②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;
③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;
④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.
其中正确命题的个数为 .
答案 2
解析 ①中m,n可能异面或相交,故不正确;②因为m∥α,n⊥β,且α⊥β成立时,m,n两直线的位置关系可能是
相交、平行、异面,故不正确;③因为m⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正确;④分别垂直于两
个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确.
评析 本题考查了立体几何的几种基本关系,空间思维能力.
12.(2017广西柳州模拟,15)如图,在直三棱柱ABC-ABC 中,AC=2,BC=AA=2√2,AB=2√3,D是线段AB上一
1 1 1 1
点,且AC∥平面CDB,则直线AC 与CD所成角的余弦值为 .
1 1 1
1
答案
3
解析 连接BC 交BC于点O,则O为BC 的中点,连接OD.因为AC∥平面CDB,AC⊂平面ACB,平面
1 1 1 1 1 1 1
CDB∩平面ACB=OD,所以AC∥OD,则D为AB的中点,于是∠ODC或其补角即为直线AC 与CD所成的角.
1 1 1 1
1
由AC=2,BC=2√2,AB=2√3,得AB2=AC2+BC2,则∠ACB=90°,所以DC= AB=√3.由BC=AA=BB=2√2,得
1 1
2
1 1
CB=4.则OC= CB=2.由AC=2,CC=AA=2√2,得AC=2√3,所以DO= AC=√3,所以cos∠ODC=
1 1 1 1 1 1
2 2
DC2+DO2-OC2 3+3-4 1
= = .
2DC·DO 2×√3×√3 3
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13.(2018皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-ABCD 的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N
1 1 1 1
为线段CC 的中点,若平面AMN截正方体ABCD-ABCD 所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为
1 1 1 1 1
.
答案 ( 1]
0,
2
1
解析 当点M为线段BC的中点时,由题意可知,截面为四边形AMND,从而当0<BM≤ 时,截面为四边形,当
1
2
1
BM> 时,平面AMN与平面ABCD 也有交线,故截面为五边形,所以若平面AMN截正方体ABCD-ABCD
1 1 1 1 1 1 1 1
2
所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为( 1].
0,
2
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