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专题八 立体几何 ４４７
８．２ 空间点、线、面的位置关系
§
续表
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
考点 空间点、线、面的位置关系 直线ａ与平 有且只有
ａ α Ａ
１．平面的基本性质 面α相交 ⑨ ∩ ＝ 一个公共点
名称 图形 文字语言 符号语言 用途
如果一条直 直线ａ与平
ａ α 没有公共点
线上的两个 证明 点在 面α平行 ⑩ ∥
公理 Ａ ｌ，Ｂ “
１ 点在一个平 ① ∈ ∈ 面 内 或
（基本事 ｌ，且Ａ α，Ｂ ”
实 ２ ）
面
条
内
直 ， 线
那
在
么这
这 ∈ α ⇒ ｌ
∈
⊂ α “ 内
线 在 面 说明 直线ａ和平面α相交
、
直线ａ和平面α平行统称为
” 直线ａ在平面α外 记作ａ α．
个平面内 ， ⊄
４．两个平面的位置关系
确定一
Ａ Ｂ Ｃ不共 （１） 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种
过 不在一 ， ， 个平面 ：
② 线 有且只 ；
公理 条直线上的 ⇒ 判定两 位置关系 图形表示 符号表示 公共点
２ 有一个平面 （２）
（基本事 三点 有且 个 平 面
， α 使得 Ａ
实 ） 只 有 一 个 ， ∈ 重合
１ α Ｂ α Ｃ ； 平面α与
平面 ， ∈ ， 证明 α β 没有公共点
α （３） 平面β平行 ∥
∈ 点 线共面
、
如果两个不 证明
（１）
重合的平面 三 点 共 有无数个公共
（ 公 基 理 本事 ３ 有 点 ， 一 那 个 么 公 它 共 们 ③ Ｐ ∈ Ｐ β ∈ ⇒ α α ， ∩ 且 β “ 线 共点 ”“ ”； 三线 平 平 面 面 β α 相 与 交 α ∩ β ＝ ｌ 点 共 ， 线 且这些点
实 ） 有且只有一 ｌ，且Ｐ ｌ 确定两
３ ＝ ∈ （２）
条过该点的 平 面 的 注意 如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行
（１） ，
公共直线 交线 那么这两个平面不一定平行 即使一个平面内有无数条直线
；（２）
平行于同一 都与另一个平面平行 也不能推出这两个平面平行．
公理 若直线 ａ ，
４ 条直线的两 ∥ 判定直线 ５．异面直线
（基本事 ｂ ｂ ｃ 则ａ
条直线 平 ， ∥ ， 平行 定义 不同在任何一个平面内的两条直线．
实 ４ ） 行 ④ ∥ ｃ （１） ：
性质 两条异面直线既不相交也不平行．
（２） ：
说明 公理 基本事实 的推论 ６．异面直线所成的角
２（ １）
推论 经过一条直线和直线外一点 有且只有一个平面．
１ ，
推论 经过两条相交直线 有且只有一个平面．
２ ，
推论 经过两条平行直线 有且只有一个平面．
３ ，
２．空间两直线间的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
如图 直线ａ ｂ是异面直线 经过空间任一点Ｏ分别作直线
相交 在同一平面内 有且只有一个 ， ， ，
⑤ ａ′ ａ ｂ′ ｂ 我们把ａ′与ｂ′所成的锐角 或直角 叫做异面直线
平行 在同一平面内 零个 ∥ ， ∥ ， （ ）
⑥ ａ与ｂ所成的角 或夹角 ．
（ ）
异面 不同在任何一个平面内 零个 特别地 当两条异面直线所成的角是直角时 称这两条异面
⑦ ， ，
３．直线与平面的位置关系 直线互相垂直．
直线与平面的位置关系有且只有以下三种 ( ]
： 注意 异面直线所成的角的范围是 ，π 所以空间
０ ，
位置关系 图形表示 符号表示 公共点 ２
两直线垂直有两种情况 异面垂直和相交垂直．
———
直线ａ在 有无数个
ａ α
平面α内 ⑧ ⊂ 公共点
４４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 ＢＣ
４．（多选题）如图 在正四棱柱ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＡＢ ＡＡ
， － １ １ １ １ ， ＝ ２ １，
Ｅ Ｆ分别为ＡＢ ＢＣ的中点 异面直线ＡＢ 与Ｃ Ｆ所成角的余
考点 空间点、线、面的位置关系 ， ， ， １ １
弦值为ｍ 则
， （ ）
１．在正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 棱所在直线与直线ＢＡ 是异面
－ １ １ １ １ ， １
直线的条数为 ．ｍ ３
（ ） Ａ ＝
３
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 直线Ａ Ｅ与直线Ｃ Ｆ共面
答案 Ｃ Ｂ． １ １
２．已知正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ Ｆ分别为 ｍ ２
－ １ １ １ １ ， ， Ｃ． ＝
ＢＢ ＣＣ 的中点 那么异面直线ＡＥ与Ｄ Ｆ所 ３
１， １ ， １ 直线Ａ Ｅ与直线Ｃ Ｆ异面
成角的余弦值为 Ｄ． １ １
（ ） 答案 ＢＣ
４ ３ ５．设ａ ｂ ｃ是空间中的三条直线 下面给出四个命题
Ａ． Ｂ． ， ， ， ：
５ ５ 若ａ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ 若ａ ｂ ｂ ｃ 则ａ ｃ
① ∥ ， ∥ ， ∥ ；② ⊥ ， ⊥ ， ∥ ；
２ ５ 若ａ与ｂ相交 ｂ与ｃ相交 则ａ与ｃ相交
Ｃ． Ｄ． ③ ， ， ；
３ ７ 若ａ 平面α ｂ 平面β 则ａ ｂ一定是异面直线．
答案 Ｂ ④ ⊂ ， ⊂ ， ，
上述命题中正确的命题是 ． 填序号
３．（多选题）已知ｍ ｎ为两条不重合的直线 α β为两个不重合 （ ）
、 ， 、 答案
的平面 则下列说法正确的是 ①
， （ ） ６．已知直三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 中 ＡＢＣ ° ＡＢ ＢＣ ＣＣ
．若ｍ α ｎ β且α β 则ｍ ｎ － １ １ １ ，∠ ＝１２０ ， ＝２， ＝ １
Ａ ∥ ， ∥ ∥ ， ∥ 求异面直线ＡＢ 与ＢＣ 所成角的余弦值．
若ｍ ｎ ｍ α ｎ β 则α β ＝１， １ １
Ｂ． ∥ ， ⊥ ， ⊥ ， ∥
若ｍ ｎ ｎ α α β ｍ β 则ｍ β
Ｃ． ∥ ， ⊂ ， ∥ ， ⊄ ， ∥
若ｍ ｎ ｎ α α β 则ｍ β
Ｄ． ∥ ， ⊥ ， ⊥ ， ∥
３．（２０１８湖南衡阳模拟，６）如图 在正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中
， － １ １ １ １ ，
Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ分别为棱ＡＡ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ ＤＤ 的中点 则下列直线
， ， ， １， １ １， １ １， １ ，
中与直线ＥＦ相交的是
（ ）
考点 空间点、线、面的位置关系
１．（２０１８江西期中，４）如图 α β ｌ Ａ Ｂ α Ｃ β 且Ｃ ｌ 直
， ∩ ＝ ， ， ∈ ， ∈ ， ∉ ，
线ＡＢ ｌ Ｍ 过Ａ Ｂ Ｃ三点的平面记作γ 则γ与β的交线必
∩ ＝ ， ， ， ，
通过
（ ）
直线ＣＣ 直线Ｃ Ｄ 直线ＨＣ 直线ＧＨ
Ａ． １ Ｂ． １ １ Ｃ． １ Ｄ．
点Ａ 点Ｂ 答案 Ｃ 连接ＥＨ ＨＣ 则ＥＨ Ａ Ｄ ．
Ａ． Ｂ． ， １， １ １
点Ｃ但不过点Ｍ 点Ｃ和点Ｍ 又Ａ Ｄ ＦＣ
Ｃ． Ｄ． １ １∥ １，
答案 Ｄ Ａ Ｂ γ Ｍ ＡＢ Ｍ γ
∵ ， ∈ ， ∈ ，∴ ∈ ， ＦＣ １ Ｂ Ｃ １ Ａ Ｄ ＦＣ ＥＨ 且ＦＣ １ ＥＨ
又α β ｌ Ｍ ｌ Ｍ β １＝ １ １＝ １ １，∴ １∥ ， １＝ ，
∩ ＝ ， ∈，∴ ∈ ， 四边 ２ 形ＦＣ ＨＥ ２ 是梯形 ２
根据公理
３
可知
，
Ｍ在γ与β的交线上
， ∴ ＥＦ与ＨＣ １ 相交．故选 ，
同理可知 点Ｃ也在γ与β的交线上． ∴ １ Ｃ．
，
２．（２０１９云南腾冲质检三，５）下列说法正确的是
（ ）
若直线ｌ平行于平面α内的无数条直线 则ｌ α
Ａ． ， ∥
若直线ａ在平面α外 则ａ α
Ｂ． ， ∥
若直线ａ ｂ ｂ 平面α 则ａ α
Ｃ． ∥ ， ⊂ ， ∥
若直线ａ ｂ ｂ 平面α 那么直线ａ就平行于平面α内的无
Ｄ． ∥ ， ⊂ ，
数条直线
答案 Ｄ 对于选项 直线ｌ有可能在平面α内 错
Ａ， ，Ａ ；
对于选项 直线ａ在平面α外包括两种情形 即ａ α或ａ与 ４．（２０１７河北邯郸调研，５）如图 在三棱锥Ｓ ＡＢＣ中 Ｇ Ｇ 分
Ｂ， ， ∥ ， － ， １， ２
α相交 错 别是 ＳＡＢ和 ＳＡＣ的重心 则直线Ｇ Ｇ 与ＢＣ的位置关系是
，Ｂ ； △ △ ， １ ２
对于选项 直线ａ有可能在平面α内 错．故选 ．
Ｃ， ，Ｃ Ｄ （ ）
专题八 立体几何 ４４９
７．如图 正方形ＡＣＤＥ与等腰直角三角形 ＡＣＢ 所在的平面互相
，
垂直 且ＡＣ ＢＣ ＡＣＢ ° Ｆ Ｇ分别是线段ＡＥ ＢＣ的
， ＝ ＝２，∠ ＝９０ ， ， ，
中点 则异面直线ＡＤ与ＧＦ所成的角的余弦值为 ．
，
相交 平行
Ａ． Ｂ．
异面 以上都有可能
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ 连接ＳＧ 并延长交ＡＢ于Ｍ 连接ＳＧ 并延长交
１ ， ２
ＡＣ于Ｎ 连接 ＭＮ．由题意知 ＳＭ 为 ＳＡＢ 的中线 且 ＳＧ
， △ ， １ ＝
ＳＧ
２ ＳＭ ＳＮ为 ＳＡＣ的中线 且ＳＧ ２ ＳＮ 在 ＳＭＮ中 １ 答案 ３
， △ ， ２＝ ，∴ △ ，ＳＭ
３ ３ ６
ＳＧ
＝ＳＮ ２ ，∴ Ｇ １ Ｇ ２∥ ＭＮ ， 解析 取ＤＥ的中点Ｈ ， 连接ＨＦ ， ＧＨ．由题意 ， 知ＨＦ ＝ ２ １ ＡＤ
易知ＭＮ是 ＡＢＣ的中位线 ＭＮ ＢＣ 且ＨＦ ＡＤ．
△ ，∴ ∥ ， ∥
因此可得Ｇ Ｇ ＢＣ 即直线Ｇ Ｇ 与ＢＣ的位置关系是平行．故 ＧＦＨ 或其补角 为异面直线ＡＤ与ＧＦ所成的角．
１ ２∥ ， １ ２ ∴ ∠ （ ）
选 ． 在 ＧＨＦ中 可求得ＨＦ ＧＦ ＧＨ
Ｂ △ ， ＝ ２， ＝ ＝ ６，
５．（２０１９北京清华大学中学生标准学术能力试卷文，１０）已知正
ＨＦＧ ２＋６－６ ３．
四面体ＡＢＣＤ 点Ｅ为棱ＡＤ的中点 Ｏ为 ＢＣＤ的中心 则异 ∴ ｃｏｓ∠ ＝ ＝
， ， △ ， ２× ２× ６ ６
面直线ＥＯ与ＣＤ所成的角等于
（ ）
异面直线ＡＤ与ＧＦ所成的角的余弦值为 ３．
Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．９０° ∴
６
答案 Ｃ 在ＢＣ上取点Ｆ 使ＣＦ １ ＢＣ 在ＢＤ上取点Ｇ
， ＝ ， ，
３
使ＤＧ １ ＢＤ 连接ＦＧ ＡＦ ＦＥ．易知ＣＤ ＦＯ 所以直线ＦＯ与
＝ ， 、 、 ∥ ，
３
ＥＯ所成的角等于异面直线 ＥＯ 与 ＣＤ 所成的角 设正四面体
，
ＡＢＣＤ的棱长为 ２ ａ ， 所以ＥＯ ＝ ａ ， ＦＯ ＝ ３ ２ ａ ， ＦＥ ＝ ３ １９ａ ，△ ＥＦＯ ８．（２０１９河南安阳一模，１６）在正方体ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ， 点Ｏ
是底面ＡＢＣＤ的中心 过Ｏ点作一条直线ｌ与Ａ Ｄ平行 设直
中 ＥＯＦ ａ２ ＋ ９ ４ ａ２ － æ è ç ３ １９ａ ö ø ÷ ２ １ 因而 ＥＯＦ 线ｌ与直线ＯＣ １ 的夹 ， 角为θ ， 则 ｃｏｓ θ ＝ ． １ ，
，ｃｏｓ∠ ＝ ＝ － ， ∠ ＝
ａ ２ ａ ２ 答案 ３
２· ·
３ ６
° 所以异面直线ＥＯ与ＣＤ所成的角为 °． 解析 如图所示 设正方体的表面
１２０ ， ６０ ，
６．（２０１９四川成都一诊，９）在各棱长均相等的四面体 Ａ ＢＣＤ ＡＢＢ Ａ 的中心为 Ｐ 容易证明 ＯＰ
－ １ １ ，
中 已知Ｍ是棱ＡＤ的中点 则异面直线ＢＭ与ＡＣ所成角的余 Ａ Ｄ
， ， ∥ １ ，
弦值为 所以直线 ｌ 即为直线 ＯＰ 角 θ 即为
（ ） ，
ＰＯＣ 或其补角 ．
２ ２ ３ ２ ∠ １（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 设正方体的棱长为
３ ５ ６ ６ ２，
答案 Ｃ 设四面体Ａ ＢＣＤ的棱长为 取ＣＤ的中点Ｎ 连
－ ２， ， 则ＯＰ １ Ａ Ｄ ＯＣ ＰＣ
接ＭＮ ＢＮ ＝ １ ＝ ２， １＝ ６， １＝ ６，
， ， ２
Ｍ是棱ＡＤ的中点 ＭＮ ＡＣ
∵ ，∴ ∥ ， 则 ＰＯＣ ２＋６－６ １ ３．
ＢＭＮ 或其补角 是异面直线 ＢＭ 与 ｃｏｓ∠ １＝ ＝ ＝
∴ ∠ （ ） ２× ２× ６ ２ ３ ６
ＡＣ所成的角．
ＢＭ ＢＮ ＭＮ １ ＡＣ
∵ ＝ ＝ ４－１＝ ３， ＝ ＝１，
２
在 ＢＭＮ 中 ＢＭＮ
∴ △ ， ｃｏｓ ∠ ＝
ＢＭ２ ＭＮ２ ＢＮ２
＋ － ３＋１－３ ３
ＢＭ ＭＮ ＝ ＝ ，
２ · ２× ３×１ ６
异面直线ＢＭ与ＡＣ所成角的余弦值为 ３．
∴
６
４５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解题导引
考法一 平面的基本性质及其应用
例１ 已知空间四边形ＡＢＣＤ 如图
（
所示 Ｅ Ｆ分别是ＡＢ ＡＤ的中点 Ｇ Ｈ分
）， 、 、 ， 、
别是ＢＣ ＣＤ 上的点 且 ＣＧ １ ＢＣ ＣＨ
、 ， ＝ ， ＝
３ 解析 取ＢＣ的中点Ｆ，Ａ Ｄ 的中点Ｇ，
１ １
１ ＤＣ．求证 连接ＤＦ、Ｂ Ｆ、ＤＢ 、ＤＧ、ＧＢ 、ＧＦ，
：
１ １ １
３ （１） Ｅ 、 Ｆ 、 Ｈ 、 Ｇ四点共面 ； ∵ 棱长为 ２ 的正方体 ＡＢＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中，Ｅ 为 ＡＤ 的
三直线ＦＨ ＥＧ ＡＣ共点． 中点，
（２） 、 、
证明 （ １ ）如图所示，连接ＥＦ，ＧＨ． ∴ ＢＥ ∥ ＤＦ，Ａ １ Ｅ ∥ ＧＤ，
又Ａ Ｅ ＢＥ Ｅ，ＤＧ ＤＦ Ｄ，Ａ Ｅ、ＢＥ 平面Ａ ＢＥ，ＤＧ、ＤＦ
因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点， １ ∩ ＝ ∩ ＝ １ ⊂ １
平面ＤＦＢ Ｇ，
所以ＥＦ ＢＤ，且ＥＦ １ ＢＤ． ⊂ １
∥ ＝ 过点Ｂ 且与平面 Ａ ＢＥ 平行的正方体的截面为四边
２ ∴ １ １
形ＤＦＢ Ｇ，
又因为ＣＧ １ ＢＣ，ＣＨ １ ＤＣ， １
＝ ＝
３ ３ ＤＦ ＦＢ Ｂ Ｇ ＤＧ ，
∵ ＝ １＝ １ ＝ ＝ ４＋１＝ ５
所以ＧＨ ∥ ＢＤ，且ＧＨ ＝
３
１ ＢＤ，所以ＥＦ ∥ ＧＨ，且ＧＨ ＝
３
２ ＥＦ， ＤＢ １＝ ４＋４＋４＝２ ３ ，ＧＦ ＝２ ５－３＝２ ２ ，
所以四边形ＥＦＨＧ为梯形，因此Ｅ、Ｆ、Ｈ、Ｇ四点共面． 过点Ｂ 且与平面Ａ ＢＥ平行的正方体的截面面积为
∴ １ １
（ ）由（ ）可知四边形ＥＦＨＧ为梯形，
２ １ Ｓ １ ＤＢ ·ＧＦ １ ，
菱形ＦＢ １ ＧＤ＝ １ ＝ ×２ ３×２ ２＝２ ６
又因为ＧＨ ２ ＥＦ，所以两腰ＦＨ、ＥＧ延长必交于一点，记为 ２ ２
＝ 故选 ．
３ Ｃ
Ｏ，即ＥＧ ＦＨ Ｏ．因为直线ＦＨ 平面ＡＣＤ，Ｏ ＦＨ，所以Ｏ 平
∩ ＝ ⊂ ∈ ∈
面ＡＣＤ，因为ＧＥ 平面ＡＣＢ，Ｏ ＥＧ，因此Ｏ 平面ＡＢＣ，
⊂ ∈ ∈
又因为平面ＡＣＤ 平面ＡＢＣ ＡＣ，且点Ｏ为平面ＡＢＣ与平
∩ ＝
面ＡＣＤ的公共点，由公理 可得Ｏ ＡＣ，所以ＦＨ、ＥＧ、ＡＣ交于同
３ ∈
一点，即三直线ＦＨ、ＥＧ、ＡＣ共点．
方法总结 １．证明点共线问题的方法
：
公理法 先找出两个平面 然后证明这些点都是这两个
（１） ： ，
平面的公共点 再根据公理 证明这些点都在交线上．
， ３
同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点 答案 Ｃ
（２） ： ，
也在该直线上．
２．证明线共点问题的方法 先证两条直线交于一点 再证明
： ，
第三条直线经过该点． 考法二 求异面直线所成的角
３．证明点 直线共面问题的方法 例２ 在三棱锥Ｓ ＡＣＢ中 ＳＡＢ ＳＡＣ ＡＣＢ °
、 ： － ，∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０ ，
纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平
（１） ： ， 、 ＡＣ ＢＣ ＳＢ 则 ＳＣ 与 ＡＢ 所成角的余弦值为
面内． ＝２， ＝ １３， ＝ ２９，
．
辅助平面法 先证明部分点 线确定平面α 再证明其余
（２） ： 、 ， 解析 解法一：如图，分别取 ＡＣ，ＢＣ，
元素确定平面β 最后证明平面α β重合．
， ， ＳＢ的中点Ｄ，Ｅ，Ｆ，连接ＤＥ，ＤＦ，ＥＦ，则ＥＦ
ＳＣ，ＤＥ ＡＢ， ＤＥＦ或其补角即为异
∥ ∥ ∴ ∠
例 （２０１８黑龙江哈师大附中三模，１１）棱长为
２
的正方
面直线ＳＣ与ＡＢ所成角．过点Ｆ作ＦＧ ＡＢ
⊥
体 ＡＢＣＤ
－
Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ
１
Ｄ
１
中
，
Ｅ 为 ＡＤ 的中点
，
过点 Ｂ
１
且与平面 交ＡＢ于点Ｇ，连接ＤＧ，易知
△
ＤＦＧ为直角
Ａ ＢＥ平行的正方体的截面面积为 三角形．
１ （ ）
由题设可得 ＡＢ ，ＳＡ ，ＳＣ ， ＥＦ ，ＤＥ
Ａ．５ Ｂ．２ ５ Ｃ．２ ６ Ｄ．６ ＝ １７ ＝２ ３ ＝４ ∴ ＝２ ＝
１７，ＤＧ １３，ＦＧ ， ＤＦ ５ ．在 ＤＥＦ 中，由余弦定理
＝ ＝ ３ ∴ ＝ △
２ ２ ２
专题八 立体几何 ４５１
的推论得， ｃｏｓ∠ ＤＥＦ ＝ ＤＥ２ Ｄ ＋ Ｅ Ｅ · Ｆ２ Ｅ － Ｆ ＤＦ２ ＝ １７． 因为四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ为正四棱锥，Ｏ为正方形ＡＢＣＤ的中
２ １７ 心，所以ＰＯ 平面ＡＢＣＤ，所以ＡＯ为ＰＡ
解法二：如图，过点Ａ作ＡＤ ＢＣ，连 ⊥
在平面 ＡＢＣＤ 内的射影，所以 ＰＡＯ 为
接ＳＤ，ＤＣ，则四边形 ＡＤＣＢ 为平行四边 ∠
ＰＡ与平面 ＡＢＣＤ 所成的角，即 ＰＡＯ
形， ＳＣＤ或其补角即为所求角．由题 ∠ ＝
∴ ∠ °．因为ＰＡ ，所以ＯＡ ＯＢ ．因为ＰＯ
６０ ＝２ ＝ ＝１
可得，ＤＣ ＡＢ ，ＳＣ ，ＳＤ ，则 平面 ＡＢＣＤ，ＢＤ 平面 ＡＢＣＤ，四边形
＝ ＝ １７ ＝４ ＝５ ⊥ ⊂
ＳＣ２ ＤＣ２ ＳＤ２ ＡＢＣＤ为正方形，所以ＰＯ ＢＤ，ＡＣ ＢＤ，
ＳＣＤ ＋ － １７． ⊥ ⊥
ｃｏｓ∠ ＝ ＳＣ·ＤＣ ＝ 又因为ＰＯ ＡＣ Ｏ，所以ＢＤ 平面ＰＡＣ，因为ＯＥ 平面ＰＡＣ，
２ １７ ∩ ＝ ⊥ ⊂
解法三：如图，以Ａ为原点，以ＡＢ，ＡＳ所在直线分别为ｙ轴， 所以ＢＤ ＯＥ，所以 ＢＯＥ为直角三角形，因为ＯＢ ＯＥ ，所
⊥ △ ＝ ＝１
ｚ轴，以垂直于 ｙ 轴，ｚ 轴的直线为 ｘ 以 ＯＥＢ °，即异面直线ＰＡ与ＢＥ所成的角为 °．故选
∠ ＝４５ ４５ Ｃ．
轴，建立空间直角坐标系，则 Ｂ（ ， 答案 Ｃ
０
， ）， Ｓ （ ， ， ）， 例 （２０２０皖南八校第一次联考，１５）在长方体 ＡＢＣＤ
１７ ０ ０ ０ ２ ３ －
æ ö
Ｃç １３， ４ ， ÷， Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＢＣ ＣＣ ＡＤ Ｂ π 则直线ＡＢ 与ＢＣ 所
è２ ０ø １ １ １ １ ， ＝ １＝１，∠ １ ＝ ， １ １
１７ １７ ３
æ ö 成角的余弦值为 ．
→ＳＣ ç １３， ４ ， ÷，→ＡＢ 解题导引
∴ ＝è２ －２ ３ø
１７ １７
由ＢＣ ＡＤ 得 ＤＡＢ
＝ （ ０ ， １７ ， ０ ），设ＳＣ与ＡＢ所成的角为θ， ∵ →ＳＣ·→ＡＢ ＝４ ， ｜ →ＳＣ ｜｜ （ １ 或 ∥ 其补 １ 角 ∠ ）为所 １ 求 １ 的角 →
→ＳＣ·→ＡＢ
→ＡＢ ， θ ｜ ｜ １７．
｜＝４ １７ ∴ ｃｏｓ ＝ ＝ 在 ＢＡＤ 中，利用 ＡＤＢ
｜ →ＳＣ ｜｜ →ＡＢ ｜ １７ Ｒｔ△ １ ｔａｎ∠ １
求得ＡＢ的长 →
答案 １７ ＝ ３
１７ 在 ＡＢ Ｄ 中，利用余弦定理
方法总结 异面直线所成角的求解步骤 △ １ １ 结论
： 的推论求得 Ｄ ＡＢ 的余弦值 →
１．几何法 平移法 求异面直线所成角的一般步骤 ∠ １ １
（ ） ： 解析 如图， ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为长方体，
∵ － １ １ １ １
ＢＣ ＡＤ ， Ｄ ＡＢ （或其补角）为异面直线 ＡＢ 与
∴ １∥ １ ∴ ∠ １ １ １
ＢＣ 所成的角．
１
ＡＢ 平面ＡＤＤ Ａ ，ＡＤ 平面ＡＤＤ Ａ ， ＡＢ ＡＤ ，
∵ ⊥ １ １ １⊂ １ １ ∴ ⊥ １
在 ＢＡＤ 中，ＡＤ ２ ２ ， ＡＤ Ｂ π，
Ｒｔ△ １ １＝ １ ＋１ ＝ ２ ∠ １ ＝
３
ＡＢ ＡＢ
ＡＤ Ｂ ， ＡＢ ．
∴ ｔａｎ∠ １ ＝ＡＤ ＝ ＝ ３ ∴ ＝ ６
１ ２
在 ＡＢ Ｄ 中，ＡＢ （ ）２ ２ ，ＡＤ ，Ｂ Ｄ
△ １ １ １＝ ６ ＋１ ＝ ７ １＝ ２ １ １＝
（ ）２ ２ ，
６ ＋１ ＝ ７
２．向量法求异面直线所成角
ＡＤ２ ＡＢ２ Ｂ Ｄ２
建立空间直角坐标系后 确定两异面直线各自的方向向量 Ｄ ＡＢ １＋ １－ １ １ ２＋７－７ １４．
， ａ ｂ ∴ ｃｏｓ∠ １ １＝ ２ ＡＤ １ ·ＡＢ １ ＝ ２× ２× ７ ＝ １４
ａ ｂ 则两异面直线所成角θ满足 θ ｜ · ｜．
， ， ｃｏｓ ＝ ａ ｂ 异面直线ＡＢ 与ＢＣ 所成角的余弦值为 １４．
｜ ｜｜ ｜ ∴ １ １
１４
例 （２０１８广东东莞模拟，６）在正四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ中 ＰＡ
－ ，
直线ＰＡ与平面ＡＢＣＤ所成的角为 ° Ｅ为ＰＣ的中点 则
＝２， ６０ ， ，
异面直线ＰＡ与ＢＥ所成的角为
（ ）
° ° ° °
Ａ．９０ Ｂ．６０ Ｃ．４５ Ｄ．３０
解题导引
取底面中心为Ｏ， ＯＥＢ（或其补角）
∠
并连接ＯＥ，ＯＰ → 为所求的角 →
答案 １４
证明 ＰＡＯ ° 在 ＥＯＢ中求出答案
∠ ＝６０ → △ １４
解析 如图，连接ＡＣ，ＢＤ 交于点 Ｏ，连接 ＯＥ，ＯＰ．因为四
边形ＡＢＣＤ为正方形，所以Ｏ为ＡＣ的中点，
又因为Ｅ为ＰＣ的中点，所以ＯＥ ＰＡ，且ＯＥ １ ＰＡ ，
∥ ＝ ＝１
２
所以 ＯＥＢ（或其补角）是异面直线ＰＡ与ＢＥ所成的角．
∠
４５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考法二 求异面直线所成的角
４．（２０１９四川宜宾二诊，１０）在各棱长均相等的直三棱柱ＡＢＣ
－
考法一 平面的基本性质及其应用 Ａ Ｂ Ｃ 中 已知Ｍ是棱ＢＢ 的中点 Ｎ是棱ＡＣ的中点 则异
１ １ １ ， １ ， ，
１．（２０２０广西桂林、崇左、贺州 ５ 月联考，９）如图 在正方体 面直线Ａ Ｍ与ＢＮ所成角的正切值为
， １ （ ）
ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｍ Ｎ Ｐ分别是Ｃ Ｄ ＢＣ Ａ Ｄ 的中点 有
－ １ １ １ １ ， ， ， １ １， ， １ １ ， ６ ２
下列四个结论 Ａ． ３ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
： ３ ２
ＡＰ与ＣＭ是异面直线 ＡＰ ＣＭ ＤＤ 相交于一点 ＭＮ 答案 Ｃ
① ；② ， ， １ ；③ ∥
ＢＤ ＭＮ 平面ＢＢ Ｄ Ｄ．其中所有正确结论的序号是 ５．（２０２０浙江台州期末，８）如图 三棱柱
１；④ ∥ １ １ ，
ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的底面是边长为 的正三
（ ） － １ １ １ ２
角形 侧棱ＡＡ 底面 ＡＢＣ 且 ＡＡ
， １⊥ ， １＝ ２，
则异面直线Ａ Ｂ ＡＣ 所成的角的大小为
１ ， １
（ ）
π π
Ａ． Ｂ．
６ ４
π π
Ａ．①④ Ｂ．②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④ Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ ３ ２
答案 Ｄ
２．（２０２０河北正定中学第三次阶段质量检测，１５）如图 在棱长
， ６．（２０１９江西八校联考，１０）在四面体ＡＢＣＤ中 ＢＤ ＡＤ ＣＤ
为 的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 点Ｍ是ＡＤ中点 动点Ｐ在 ， ⊥ ， ⊥
２ － １ １ １ １ ， ， ＡＤ ， ＢＤ ⊥ ＢＣ ， ＢＤ ＝ ＡＤ ＝１， ＢＣ ＝２， 则异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角
底面ＡＢＣＤ内 不包括边界 使四面体 Ａ ＢＭＰ 体积为 ２ 则 的余弦值为
（ ）， １ ， （ ）
３
Ｃ Ｐ的最小值是 ． １０ ３ １０ １５ １０
１ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ １０ ５ １０
答案 Ｄ
７．（多选题）（２０２１届江苏金陵中学月考，
１１）如图 正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱
， － １ １ １ １
长为 则下列四个命题正确的是
１，
（ ）
．直线ＢＣ与平面ＡＢＣ Ｄ 所成的角等
Ａ １ １
于π
答案 ２ ４
３０
５
３．（２０２０广东六校联盟第三次联考，１６）已知正方体 ＡＢＣＤ 点Ｃ到平面ＡＢＣ Ｄ 的距离为 ２
－ Ｂ． １ １
２
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 以顶点Ａ为球心 ２ ３为半径作一个球 两条异面直线Ｄ Ｃ和ＢＣ 所成的角为π
１ １ １ １ １， ， ， Ｃ． １ １
３ ４
则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ．
三棱柱ＡＡ Ｄ ＢＢ Ｃ 的外接球半径为 ３
Ｄ． １ １－ １ １
答案 ５ ３π ２
答案 ＡＢＤ
６
Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ａ
Ａ． ， ， １ Ｂ． １， １，
Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ
Ｃ． １， １， Ｄ． １， ， １
答案 Ｄ 过点Ｂ作ＢＤ ＡＣ 则ＢＤ Ａ Ｃ
考法一 平面的基本性质及其应用 连接Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ＣＤ 如图所 ∥ 示 ， ∥ １ １，
１ ， １ ， ， ：
１．（２０１８山西临汾模拟，５）如图 在三棱台ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的 个
， － １ １ １ ６
顶点中任取 个点作平面α 设α 平面ＡＢＣ ｌ 若ｌ Ａ Ｃ 则
３ ， ∩ ＝ ， ∥ １ １，
这 个点可以是
３ （ ）
则平面α可以为平面Ａ ＢＤＣ
１ １，
则α 平面ＡＢＣ ＢＤ ｌ 且ｌ Ａ Ｃ
∩ ＝ ＝ ， ∥ １ １，
所以这 个点可以是Ａ Ｃ Ｂ．故选
３ １， １， Ｄ．
专题八 立体几何 ４５３
２．如图所示 Ｏ 是正方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的上底面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 故平面α与平面β重合．
， １ － １ １ １ １ １ １ １ １
的中心 Ｍ是对角线Ａ Ｃ和截面Ｂ Ｄ Ａ的交点． ｌ ｌ ｌ ｌ 四条直线共面．
， １ １ １ ∴ １，２，３，４
求证 Ｏ Ｍ Ａ三点共线． 评析 证法一与证法二是证明共面问题常用的方法，证法一是
： １、 、
先确定一个平面α，后证明其他的直线也在这个平面内，从而
使问题得证；证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在
α内或在β内，然后再证明α与β重合，从而使问题得证．证明
本题也可用反证法．
５．（２０１８河南濮阳一高１０ 月月考，１８）如图所示 空间四边形
，
ＡＢＣＤ中 Ｅ Ｆ Ｇ分别在ＡＢ ＢＣ ＣＤ上 且满足ＡＥ ＥＢ ＣＦ
， ， ， ， ， ， ∶ ＝ ∶
证明 连接ＡＣ． ＦＢ ＣＧ ＧＤ 过 Ｅ Ｆ Ｇ 的平面交 ＡＤ 于 Ｈ 连
＝２ ∶ １， ∶ ＝３ ∶ １， ， ， ，
Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｏ 接ＥＨ．
∵ １ １∩ １ １＝ １，
又Ｂ Ｄ 平面Ｂ Ｄ Ａ Ａ Ｃ 平面ＡＡ Ｃ Ｃ 求ＡＨ ＨＤ
１ １⊂ １ １ ， １ １⊂ １ １ ， （１） ∶ ；
Ｏ 平面Ｂ Ｄ Ａ Ｏ 平面ＡＡ Ｃ Ｃ． 求证 ＥＨ ＦＧ ＢＤ三线共点．
∴ １∈ １ １ ， １∈ １ １ （２） ： ， ，
Ａ Ｃ 平面Ｂ Ｄ Ａ Ｍ Ａ Ｃ 平面ＡＡ Ｃ Ｃ
∵ １ ∩ １ １ ＝ ， １ ⊂ １ １ ，
Ｍ 平面Ｂ Ｄ Ａ Ｍ 平面ＡＡ Ｃ Ｃ．
∴ ∈ １ １ ， ∈ １ １
又 Ａ 平面Ｂ Ｄ Ａ Ａ 平面ＡＡ Ｃ Ｃ
∵ ∈ １ １ ， ∈ １ １ ，
Ｏ Ｍ Ａ在平面Ｂ Ｄ Ａ和平面ＡＡ Ｃ Ｃ的交线上
∴ １、 、 １ １ １ １ ，
即Ｏ Ｍ Ａ三点共线．
１、 、
３．求证 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：
解析 已知 ＡＢ ＡＣ Ａ ＡＢ ＢＣ Ｂ ＡＣ ＢＣ Ｃ 且Ａ Ｂ Ｃ
： ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ， ， ＡＥ ＣＦ
不重合． 解析 ＥＦ ＡＣ 又ＥＦ 平面ＡＣＤ ＡＣ
（１）∵ ＥＢ＝ＦＢ＝２，∴ ∥ ， ⊄ ，
求证 直线ＡＢ ＢＣ ＡＣ共面．
： ， ， 平面ＡＣＤ ＥＦ 平面ＡＣＤ
证法一 ＡＢ ＡＣ Ａ 直线ＡＢ ＡＣ可确定一个平面α ⊂ ，∴ ∥ ，
：∵ ∩ ＝ ，∴ ， ， 又 ＥＦ 平面ＥＦＧＨ 平面ＥＦＧＨ 平面ＡＣＤ ＧＨ ＥＦ ＧＨ．
Ｂ ＡＢ Ｃ ＡＣ Ｂ α Ｃ α 故ＢＣ α ∵ ⊂ ， ∩ ＝ ，∴ ∥
∵ ∈ ， ∈ ，∴ ∈ ， ∈ ， ⊂ ， ＡＨ ＣＧ
因为直线ＡＢ ＢＣ ＡＣ都在平面α内 直线ＡＢ ＢＣ ＡＣ共面． 而ＥＦ ＡＣ ＡＣ ＧＨ ．
， ， ，∴ ， ， ∥ ，∴ ∥ ，∴ ＨＤ＝ＧＤ＝３
证法二 Ａ不在直线ＢＣ上 点Ａ和直线ＢＣ可确定一个平
：∵ ，∴ ＡＨ ＨＤ ．
面α ∴ ∶ ＝３ ∶ １
Ｂ ， ＢＣ Ｂ α 又 Ａ α 直线ＡＢ α （２） 证明 ：∵ ＥＦ ∥ ＧＨ ， 且 Ｅ ＡＣ Ｆ ＝ １ ， Ｇ ＡＣ Ｈ ＝ １ ，∴ ＥＦ ≠ ＧＨ ，
∵ ∈ ，∴ ∈ ， ∵ ∈ ，∴ ⊂ ， ３ ４
同理可得直线ＡＣ α 故直线ＡＢ ＢＣ ＡＣ共面． 四边形ＥＦＧＨ为梯形 直线ＥＨ ＦＧ必相交．
⊂ ， ， ， ∴ ，∴ ，
证法三 Ａ Ｂ Ｃ三点不在同一条直线 设ＥＨ ＦＧ Ｐ 则Ｐ ＥＨ 而ＥＨ 平面ＡＢＤ Ｐ 平面ＡＢＤ
：∵ ， ， ， ∩ ＝ ， ∈ ， ⊂ ，∴ ∈ ，
Ａ Ｂ Ｃ三点可以确定一个平面α Ａ α Ｂ α 同理 Ｐ 平面ＢＣＤ 而平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ ＢＤ Ｐ ＢＤ．
∴ ， ， ，∴ ∈ ， ∈ ， ， ∈ ， ∩ ＝ ，∴ ∈
直线ＡＢ α 同理ＡＣ α ＢＣ α ＥＨ ＦＧ ＢＤ三线共点．
∴ ⊂ ， ⊂ ， ⊂ ， ∴ ， ，
故直线ＡＢ ＢＣ ＡＣ共面．
， ，
４．（２０１７四川成都联考，１８）如图所示 已知ｌ ｌ ｌ ｌ 四条直 考法二 求异面直线所成的角
， １， ２， ３， ４
线两两相交且不过同一点 交点分别为Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ．求证 １．（２０１９辽宁辽阳一模，７）如图 长方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱
， ， ， ， ， ， ： ， － １ １ １ １
四条直线ｌ ｌ ｌ ｌ 共面． ＡＢ和Ａ Ｄ 的中点分别为Ｅ Ｆ ＡＢ ＡＤ ＡＡ 则异面
１，２，３，４ １ １ ， ， ＝６， ＝８， １＝７，
直线ＥＦ与ＡＡ 所成角的正切值为
１ （ ）
证明 证法一 Ａ Ｃ Ｅ不共线
：∵ ， ， ，
它们确定一个平面α 又Ａ ｌ Ｃ ｌ ｌ α
∴ ， ∈１， ∈１，∴ １⊂ ，
同理 ｌ α 又Ｂ ｌ Ｄ ｌ Ｂ α Ｄ α
，２⊂ ， ∈１， ∈２，∴ ∈ ， ∈ ，
ｌ α 同理 ｌ α
∴ ３⊂ ， ，４⊂ ，
故ｌ ｌ ｌ ｌ 四条直线共面．
１，２，３，４ ５ ７ ５ ７４ ７ ７４
证法二 点Ａ Ｃ Ｅ不共线 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
：∵ ， ， ， ７ ５ ７４ ７４
它们确定一个平面α 答案 Ａ 取Ａ Ｂ 的中点Ｇ 连接ＥＧ ＦＧ
∴ ， １ １ ， ， ，
又 Ａ ｌ Ｃ ｌ ｌ α 同理 ｌ α 易知ＥＧ ＦＧ 因为ＥＧ ＡＡ
∵ ∈１， ∈１，∴ １⊂ ， ，２⊂ ， ⊥ ， ∥ １，
又 Ｆ Ｄ Ｅ不共线 所以异面直线ＥＦ与ＡＡ 所成角为 ＦＥＧ或其补角
∵ ， ， ， １ ∠ ，
它们确定一个平面β．
∴ 在 ＥＦＧ中 ＦＧ ＥＧ 所以 ＦＥＧ ５ 故选
又Ｄ ｌ Ｆ ｌ Ｅ ｌ Ｆ ｌ △ ， ＝５， ＝７， ｔａｎ ∠ ＝ ， Ａ．
∈３， ∈３， ∈４， ∈４， ７
ｌ β ｌ β．
∴ ３⊂ ，４⊂
而不共线的三点Ｂ Ｃ Ｄ可确定一个平面
， ， ，
又Ｂ Ｃ Ｄ既在α内又在β内
， ， ，
４５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ＢＭ２ ＭＯ２ ＢＯ２
在 ＢＭＯ 中 由余弦定理得 ＢＭＯ ＋ －
△ ， ｃｏｓ∠ ＝ ＢＭ ＭＯ ＝
２· ·
３ ７
３＋ －
４ ４ ２
＝ ，
３ ３
２× ３×
２
异面直线ＢＭ与ＡＮ所成角的余弦值为 ２ ．故选
∴ Ｄ．
３
２．（２０１８广东珠海模拟，８）如图 在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ ４．（２０１８河南百校联盟联考，１１）如图所示 在四棱锥Ａ ＢＣＤＥ
， ， ＝４， ＝ ， －
Ｐ为边 ＡＢ 的中点 现将 ＤＡＰ 绕直线 ＤＰ 翻转至 ＤＡ′Ｐ 中 三角形ＡＣＤ与三角形ＡＤＥ均为正三角形 三角形ＡＣＥ为
２， ， △ △ ， ，
处 若Ｍ为线段Ａ′Ｃ的中点 则异面直线ＢＭ与ＰＡ′所成角的 直角三角形 四边形ＢＣＤＥ为平行四边形 Ｍ Ｎ分别为ＡＢ ＤＥ
， ， ， ， ， ，
正切值为 的中点 则异面直线ＣＥ与ＭＮ所成角的余弦值为
（ ） ， （ ）
１ １
Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．４
２ ４
答案 Ａ 如图 取Ａ′Ｄ的中点Ｎ 连接ＰＮ ＭＮ
１ ２ ６ ６
， ， ， ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ６ ３
４． 答案 Ｃ 取 ＡＥ 的中点 Ｐ ＡＣ
，
的中点 Ｑ 连接 ＤＰ ＤＱ ＭＱ ＰＱ
， ， ， ， ，
由三角形中位线的性质可得四边
形ＤＱＭＮ是平行四边形 所以ＭＮ
，
ＱＤ 又由三角形中位线的性质
Ｍ是Ａ′Ｃ 的中点 ＭＮ ＣＤ 且 ＭＮ １ ＣＤ 四边形 ∥ ，
∵ ，∴ ∥ ， ＝ ，∵ 得ＰＱ ＣＥ 所以 ＤＱＰ或其补角
２ ∥ ， ∠
就是异面直线 ＣＥ 与 ＭＮ 所成的
ＡＢＣＤ是矩形 Ｐ 是 ＡＢ 的中点 ＰＢ ＣＤ 且 ＰＢ １ ＣＤ
， ，∴ ∥ ， ＝ ，∴ 角 设ＣＤ 则在 ＤＱＰ中 ＤＰ ＤＱ ＰＱ
２ ， ＝２， △ ， ＝ ＝ ３， ＝ ２，
ＭＮ ＰＢ 且ＭＮ ＰＢ 四边形ＰＢＭＮ为平行四边形 ＭＢ
∥ ， ＝ ，∴ ，∴ ∥ 所以 ＤＱＰ （ ３） ２ ＋（ ２） ２ －（ ３） ２ ６．
ＰＮ Ａ′ＰＮ 或其补角 是异面直线ＢＭ与ＰＡ′所成的角．在 ｃｏｓ∠ ＝ ＝
，∴ ∠ （ ） ２× ３× ２ ６
Ａ′Ｎ
Ａ′ＰＮ中 Ａ′ＰＮ １ 异面直线ＢＭ与 ＰＡ′所 ５．（２０２０湖北部分重点中学 ９ 月摸底考试，１５）在正四面体
Ｒｔ△ ，ｔａｎ∠ ＝Ａ′Ｐ＝ ，∴
２ ＡＢＣＤ中 Ｍ是棱ＢＤ的中点 则异面直线ＡＢ与ＣＭ所成角的
， ，
成角的正切值为 １ ．故选 余弦值为 ．
Ａ．
２
３．（２０１８湖南永州三模，７）三棱锥Ａ ＢＣＤ的所有棱长都相等 答案 ３
－ ，
Ｍ Ｎ分别是棱ＡＤ ＢＣ的中点 则异面直线ＢＭ与ＡＮ所成角 ６
， ， ， 解析 取ＡＤ的中点Ｎ 连接ＭＮ ＣＮ 又因为Ｍ是ＢＤ的中
的余弦值为 ， ， ，
（ ） 点 所以ＭＮ ＡＢ 故 ＣＭＮ或其补角为异面直线ＡＢ与ＣＭ所
， ∥ ， ∠
１ ２ ３ ２ 成的角．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ４ ３ ３ 设ＡＢ 则ＭＮ 在 ＢＣＤ中 易求ＣＭ 同理可求ＣＮ
答案 Ｄ 如图 连接ＤＮ 取ＤＮ的中点Ｏ 连接ＭＯ ＢＯ ＝２， ＝１， △ ， ＝ ３，
， ， ， ， ， ＣＭ２ ＭＮ２ ＣＮ２
则 在 ＣＭＮ 中 ＣＭＮ ＋ －
＝ ３， △ ， ｃｏｓ ∠ ＝ ＣＭ ＭＮ ＝
２ ·
２ ２ ２
（ ３） ＋１ －（ ３） ３．又异面直线所成角的取值范围为
＝
２× ３×１ ６
( ]
π 所以异面直线ＡＢ与ＣＭ所成角的余弦值为 ３．
０， ，
２ ６
Ｍ是ＡＤ的中点 ＭＯ ＡＮ ＢＭＯ 或其补角 是异面
∵ ，∴ ∥ ，∴ ∠ （ ）
直线ＢＭ与ＡＮ所成的角 设三棱锥Ａ ＢＣＤ的所有棱长为
， － ２，
则ＡＮ ＢＭ ＤＮ ２ ２
＝ ＝ ＝ ２ －１ ＝ ３，
则ＭＯ １ ＡＮ ３ ＮＯ １ ＤＮ
＝ ＝ ＝ ＝ ，
２ ２ ２
则ＢＯ ＢＮ２ ＮＯ２ ３ ７
＝ ＋ ＝ １＋ ＝ ，
４ ２
专题八 立体几何 ４５５
考点 空间点、线、面的位置关系
１．（２０１６浙江，２，５分）已知互相垂直的平面α β交于直线ｌ．若
，
直线ｍ ｎ满足ｍ α ｎ β 则
， ∥ ， ⊥ ， （ ）
ｍ ｌ ｍ ｎ ｎ ｌ ｍ ｎ
Ａ． ∥ Ｂ． ∥ Ｃ． ⊥ Ｄ． ⊥
答案 Ｃ
２．（２０１６山东，６，５分）已知直线ａ ｂ分别在两个不同的平面α ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是相交直线
， ， Ａ． ＝ ， ，
β内．则 直线ａ和直线ｂ相交 是 平面α和平面β相交 的 ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是相交直线
“ ” “ ” Ｂ． ≠ ， ，
ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是异面直线
（ ） Ｃ． ＝ ， ，
充分不必要条件 必要不充分条件 ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是异面直线
Ａ． Ｂ． Ｄ． ≠ ， ，
充要条件 既不充分也不必要条件 答案 Ｂ
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ ６．（２０２０课标Ⅲ，１９，１２ 分）如图 在长方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
， － １ １ １ １
３．（２０１８课标Ⅱ，９，５分）在正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ为棱 中 点 Ｅ Ｆ 分别在棱 ＤＤ ＢＢ 上 且 ＤＥ ＥＤ ＢＦ ＦＢ ．
－ １ １ １ １ ， ， ， １， １ ， ２ ＝ １， ＝２ １
ＣＣ 的中点 则异面直线ＡＥ与ＣＤ所成角的正切值为 证明
１ ， （ ） ：
当ＡＢ ＢＣ时 ＥＦ ＡＣ
２ ３ ５ ７ （１） ＝ ， ⊥ ；
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 点Ｃ 在平面ＡＥＦ内．
２ ２ ２ ２ （２） １
答案 Ｃ
４．（２０１６课标Ⅰ，１１，５分）平面α过正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的
－ １ １ １ １
顶点Ａ α 平面ＣＢ Ｄ α 平面ＡＢＣＤ ｍ α 平面ＡＢＢ Ａ
， ∥ １ １， ∩ ＝ ， ∩ １ １＝
ｎ 则ｍ ｎ所成角的正弦值为
， ， （ ）
． ３ ． ２ ． ３ ． １
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
２ ２ ３ ３
答案 Ａ
５．（２０１９课标Ⅲ，８，５ 分）如图 点 Ｎ 为正方形 ＡＢＣＤ 的中心
， ，
ＥＣＤ为正三角形 平面ＥＣＤ 平面ＡＢＣＤ Ｍ是线段 ＥＤ 的
△ ， ⊥ ，
中点 则
， （ ）
考点 空间点、线、面的位置关系 若ｍ ｎ平行于同一平面 则ｍ与ｎ平行
Ｂ． ， ，
１．（２０１７课标Ⅰ，６，５分）如图 在下列四个正方体中 Ａ Ｂ为正 若α β不平行 则在α内不存在与β平行的直线
， ， ， Ｃ． ， ，
方体的两个顶点 Ｍ Ｎ Ｑ为所在棱的中点 则在这四个正方体 ··· ···
， ， ， ， 若ｍ ｎ不平行 则ｍ与ｎ不可能垂直于同一平面
中 直线ＡＢ与平面ＭＮＱ不平行的是 Ｄ． ， ，
， （ ） ··· ···
答案 Ｄ 若α β垂直于同一个平面γ 则α β可以都过γ
， ， ，
的同一条垂线 即α β可以相交 故 错 若ｍ ｎ平行于同一
， ， ， Ａ ； ，
个平面 则ｍ与 ｎ 可能平行 也可能相交 还可能异面 故
， ， ， ， Ｂ
错 若α β不平行 则α β相交 设α β ｌ 在α内存在直线
； ， ， ， ， ∩ ＝ ，
ａ 使ａ ｌ 则ａ β 故 错 从原命题的逆否命题进行判断 若
， ∥， ∥ ， Ｃ ； ，
ｍ与ｎ垂直于同一个平面 由线面垂直的性质定理知ｍ ｎ 故
， ∥ ，
正确．
Ｄ
３．（２０１５浙江文，４，５分）设α β是两个不同的平面 ｌ ｍ是两条
， ，，
不同的直线 且ｌ α ｍ β．
， ⊂ ， ⊂ （ ）
若ｌ β 则α β 若α β 则ｌ ｍ
Ａ． ⊥ ， ⊥ Ｂ． ⊥ ， ⊥
若ｌ β 则α β 若α β 则ｌ ｍ
Ｃ． ∥ ， ∥ Ｄ． ∥ ， ∥
答案 Ａ 对于选项 由面面垂直的判定定理可知选项
Ａ， Ａ
正确 对于选项 若α β ｌ α ｍ β 则ｌ与ｍ可能平行 可
答案 Ａ 选项中 ＡＢ ＭＱ 且ＡＢ 平面ＭＮＱ ＭＱ 平 ； Ｂ， ⊥ ，⊂ ， ⊂ ， ，
Ｂ ， ∥ ， ⊄ ， ⊂ 能相交 也可能异面 所以选项 错误 对于选项 当ｌ平行
面ＭＮＱ 则ＡＢ 平面ＭＮＱ 选项中 ＡＢ ＭＱ 且ＡＢ 平面 ， ， Ｂ ； Ｃ，
， ∥ ；Ｃ ， ∥ ， ⊄ 于α与β的交线时 ｌ β 但此时α与β相交 所以选项 错
ＭＮＱ ＭＱ 平面ＭＮＱ 则ＡＢ 平面ＭＮＱ 选项中 ＡＢ ＮＱ ， ∥ ， ， Ｃ
， ⊂ ， ∥ ；Ｄ ， ∥ ， 误 对于选项 若α β 则ｌ与ｍ可能平行 也可能异面 所
且ＡＢ 平面ＭＮＱ ＮＱ 平面ＭＮＱ 则ＡＢ 平面ＭＮＱ．故选 ． ； Ｄ， ∥ ， ， ，
⊄ ， ⊂ ， ∥ Ａ 以选项 错误．故选 ．
２．（２０１５安徽理，５，５分）已知ｍ ｎ是两条不同直线 α β是两 Ｄ Ａ
， ， ， ４．（２０１４辽宁，４，５分）已知ｍ ｎ表示两条不同直线 α表示平
个不同平面 则下列命题正确的是 ， ，
， （ ） 面．下列说法正确的是
若α β垂直于同一平面 则α与β平行 （ ）
Ａ． ， ，
４５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
若ｍ α ｎ α 则ｍ ｎ 若ｍ α ｎ α 则ｍ ｎ ＡＢ 平面ＳＣＤ
Ａ． ∥ ， ∥ ， ∥ Ｂ． ⊥ ， ⊂ ， ⊥ Ｂ． ∥
若ｍ α ｍ ｎ 则ｎ α 若ｍ α ｍ ｎ 则ｎ α ＳＡ与平面ＳＢＤ所成的角等于ＳＣ与平面ＳＢＤ所成的角
Ｃ． ⊥ ， ⊥ ， ∥ Ｄ． ∥ ， ⊥ ， ⊥ Ｃ．
答案 Ｂ 若ｍ α ｎ α 则ｍ与ｎ可能平行 相交或异面 ＡＢ与ＳＣ所成的角等于ＤＣ与ＳＡ所成的角
∥ ， ∥ ， 、 ， Ｄ．
故 错误 正确 若ｍ α ｍ ｎ 则 ｎ α或 ｎ α 故 错 答案 Ｄ 四边形ＡＢＣＤ是正方形 ＡＣ ＢＤ．
Ａ ；Ｂ ； ⊥ ， ⊥ ， ∥ ⊂ ， Ｃ ∵ ，∴ ⊥
误 若ｍ α ｍ ｎ 则ｎ与α可能平行 相交或ｎ α 故 错 又 ＳＤ 底面ＡＢＣＤ ＳＤ ＡＣ．
； ∥ ， ⊥ ， 、 ⊂ ， Ｄ ∵ ⊥ ，∴ ⊥
误．因此选 ． 其中ＳＤ ＢＤ Ｄ ＡＣ 面ＳＤＢ 从而ＡＣ ＳＢ．故 正确．易知
Ｂ ∩ ＝ ，∴ ⊥ ， ⊥ Ａ
５．（２０１４广东理，７，５分）若空间中四条两两不同的直线ｌ ｌ 正确．
１， ２， Ｂ
ｌ ｌ 满足ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ 则下列结论一定正确的是 设ＡＣ与ＤＢ交于Ｏ点 连接ＳＯ．
３，４， １⊥２，２⊥３，３⊥４， ，
则ＳＡ与平面ＳＢＤ所成的角为 ＡＳＯ ＳＣ与平面ＳＢＤ所成的角
（ ） ∠ ，
ｌ ｌ ｌ ｌ 为 ＣＳＯ
Ａ． １⊥４ Ｂ． １∥４ ∠ ，
ｌ 与ｌ 既不垂直也不平行 ｌ 与ｌ 的位置关系不确定 又ＯＡ ＯＣ ＳＡ ＳＣ ＡＳＯ ＣＳＯ．故 正确．
Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ４ ＝ ， ＝ ，∴ ∠ ＝∠ Ｃ
答案 Ｄ 由ｌ ｌ ｌ ｌ 可知ｌ 与ｌ 的位置不确定 由排除法可知选 ．
１⊥２，２⊥３ １ ３ ， Ｄ
若ｌ ｌ 则结合ｌ ｌ 得ｌ ｌ 所以排除选项 评析 本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线
１∥３， ３⊥４， １⊥４， Ｂ、Ｃ，
若ｌ ｌ 则结合ｌ ｌ 知ｌ 与ｌ 可能不垂直 所以排除选项 角的概念．属中档题．
１⊥３， ３⊥４， １ ４ ，
．故选 ． １０．（２０１７课标Ⅱ理，１０，５ 分）已知直三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 中
Ａ Ｄ － １ １ １ ，
评析 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间 ＡＢＣ ° ＡＢ ＢＣ ＣＣ 则异面直线ＡＢ 与ＢＣ 所成
∠ ＝１２０ ， ＝２， ＝ １＝１， １ １
想象能力、思维的严密性． 角的余弦值为
（ ）
６．（２０１４浙江文，６，５分）设ｍ ｎ是两条不同的直线 α β是两
， ， ， ３ １５ １０ ３
个不同的平面． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（ ） ２ ５ ５ ３
若ｍ ｎ ｎ α 则ｍ α 答案 Ｃ 本题考查直棱柱的性质和异面直线所成的角．
Ａ． ⊥ ， ∥ ， ⊥
若ｍ β β α 则ｍ α 将直三棱柱 ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 补形成直四棱柱 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ｂ． 若ｍ ∥ β ， ｎ ⊥ β ， ｎ α ⊥ 则ｍ α 如图 连接ＡＤ － Ｂ １ Ｄ １ １ 则ＡＤ ＢＣ ． － １ １ １ １
Ｃ． 若ｍ ⊥ ｎ ， ｎ ⊥ β ， β ⊥ α ， 则ｍ ⊥ α （ ）， １， １ １， １∥ １
Ｄ． ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥
答案 Ｃ 对于选项 均能举出ｍ α的反例 对于选
Ａ、Ｂ、Ｄ， ∥ ；
项 若ｍ β ｎ β 则ｍ ｎ 又ｎ α ｍ α 故选 ．
Ｃ， ⊥ ， ⊥ ， ∥ ， ⊥ ，∴ ⊥ ， Ｃ
７．（２０１３课标Ⅱ理，４，５分）已知ｍ ｎ为异面直线 ｍ 平面α ｎ
， ， ⊥ ，
平面β．直线ｌ满足ｌ ｍ ｌ ｎ ｌ α ｌ β 则
⊥ ⊥ ，⊥ ，⊄ ，⊄ ， （ ）
α β且ｌ α
Ａ． ∥ ∥
α β且ｌ β 则 Ｂ ＡＤ 为异面直线ＡＢ 与ＢＣ 所成的角 或其补角 易
Ｂ． α ⊥ 与β相交 ⊥ 且交线垂直于ｌ ∠ １ １ １ １ （ ），
Ｃ． ， 求得 ＡＢ ＢＣ ＡＤ Ｂ Ｄ ．由余弦定理得
α与β相交 且交线平行于ｌ １ ＝ ５， １ ＝ １ ＝ ２， １ １ ＝ ３
Ｄ． ，
答案 Ｄ 若α β 则ｍ ｎ 这与ｍ ｎ为异面直线矛盾 所 Ｂ ＡＤ １０．故选 ．
∥ ， ∥ ， 、 ， ｃｏｓ∠ １ １＝ Ｃ
以 不正确 α与β相交．将已知条件转化到正方体中 易知α ５
Ａ ， ， 方法总结 本题主要考查异面直线所成的角 求异面直线所
与β不一定垂直 但α与β的交线一定平行于ｌ 从而排除 ，
， ， Ｂ、 成角的方法有两种 一是定义法 二是用向量的夹角公式
．故选 ． ： ，
Ｃ Ｄ 求解．
导师点睛 对于此类题 放入正方体中判断起来比较快捷．
， １１．（２０１４大纲全国理，１１，５分）已知二面角α ｌ β为 ° ＡＢ
８．（２０１３广东理，６，５分）设ｍ ｎ是两条不同的直线 α β是两 － － ６０ ，
， ， ， α ＡＢ ｌ Ａ为垂足 ＣＤ β Ｃ ｌ ＡＣＤ ° 则异面直
个不同的平面．下列命题中正确的是 ⊂ ， ⊥ ， ， ⊂ ， ∈ ，∠ ＝１３５ ，
（ ） 线ＡＢ与ＣＤ所成角的余弦值为
若α β ｍ α ｎ β 则ｍ ｎ （ ）
Ａ． ⊥ ， ⊂ ， ⊂ ， ⊥
若α β ｍ α ｎ β 则ｍ ｎ １ ２ ３ １
Ｂ． ∥ ， ⊂ ， ⊂ ， ∥ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
若ｍ ｎ ｍ α ｎ β 则α β ４ ４ ４ ２
Ｃ． ⊥ ， ⊂ ， ⊂ ， ⊥ 答案 Ｂ 在平面α内过点Ｃ作ＣＥ ＡＢ 则 ＥＣＤ为异面
若ｍ α ｍ ｎ ｎ β 则α β ∥ ， ∠
Ｄ． ⊥ ， ∥ ， ∥ ， ⊥ 直线ＡＢ与ＣＤ所成的角 或其补角 不妨取ＣＥ 过点Ｅ
答案 Ｄ 若α β ｍ α ｎ β 则ｍ与ｎ可能平行 故 （ ）， ＝１，
⊥ ， ⊂ ， ⊂ ， ， Ａ 作ＥＯ β于点Ｏ．
错 若α β ｍ α ｎ β 则ｍ与ｎ可能平行 也可能异面 故 ⊥
错 ； 若 ∥ ｍ ， ｎ ⊂ ｍ ， α ⊂ ｎ ， β 则α与β可能相 ， 交 也可能平 ， 行 在平面β内过点Ｏ作ＯＨ ⊥ ＣＤ于点Ｈ ， 连接ＥＨ ， 则ＥＨ ⊥ ＣＤ．
Ｂ 故 ； 错 对 ⊥ 于 ， 项 ⊂ 由 ， ｍ ⊂ α ， ｍ ｎ 得ｎ α 又知 ， ｎ β 故α ， 因为ＡＢ ∥ ＣＥ ， ＡＢ ⊥ ｌ ， 所以ＣＥ ⊥ ｌ ， 又因为ＥＯ ⊥ β ， 所以ＣＯ ⊥ ｌ．
β 所 Ｃ 以 ； 项正 Ｄ 确． ， ⊥ ， ∥ ， ⊥ ， ∥ ， ⊥ 所以 ∠ ＥＣＯ为二面角α － ｌ － β的平面角 ， 即 ∠ ＥＣＯ ＝６０ °．
９．（ ， ２０１１辽 Ｄ 宁理，８，５分）如图 四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ的底面为正方 因为 ∠ ＡＣＤ ＝１３５ ° ， ＣＤ ⊥ ｌ ， 所以 ∠ ＯＣＨ ＝４５ °．
， －
形 ＳＤ 底面ＡＢＣＤ 则下列结论中不正确的是 在 ＥＣＯ中 ＣＯ ＣＥ ＥＣＯ ° １ ．
， ⊥ ， （ ） Ｒｔ△ ， ＝ ·ｃｏｓ∠ ＝１×ｃｏｓ６０ ＝
∙∙∙ ２
在 ＣＯＨ中 ＣＨ ＣＯ ＯＣＨ １ ° ２．
Ｒｔ△ ， ＝ ·ｃｏｓ∠ ＝ ×ｃｏｓ４５ ＝
２ ４
２
ＣＨ
在 ＥＣＨ中 ＥＣＨ ４ ２．
ＡＣ ＳＢ Ｒｔ△ ，ｃｏｓ∠ ＝ＣＥ＝ ＝
Ａ． ⊥ １ ４
专题八 立体几何 ４５７
所以异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角的余弦值为 ２．选 ． 直线ＡＢ与ａ成 °角时 ｎ →ＡＢ １ θ ２
Ｂ ６０ ，｜ｃｏｓ〈 １， 〉｜＝ ，∴ ｜ｃｏｓ ｜＝ ，
４ ２ ２
１２．（２０１４大纲全国文，４，５分）已知正四面体ＡＢＣＤ中 Ｅ是ＡＢ
的中点 则异面直线ＣＥ与ＢＤ所成角的余弦值为
，
｜ｓｉｎ
θ
｜ ＝
２
，∴ ｜ｃｏｓ〈
ｎ
２，
→ＡＢ
〉｜ ＝
１
，
即 ＡＢ 与 ｂ 所成角也是
， （ ） ２ ２
θ θ
１ ３ １ ３ °． ｎ →ＡＢ ｜ｃｏｓ ｜ ｜ｃｏｓ ｜ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６０ ∵ ｜ｃｏｓ〈 １， 〉｜＝ ＝ ≤ ，
答 ６ 案 Ｂ 如图 ６
，
取ＡＤ的中点 ３ Ｆ
，
连接ＥＦ
、
ＣＦ ３ ． 直线ＡＢ与ａ所成角的 １× 最小 ２ 值为 ２ °．综 ２ 上 和 是正确
∴ ４５ ，② ③
的 和 是错误的．故填 ．
，① ④ ②③
一题多解 过点Ｂ作ａ ａ ｂ ｂ 当直线ＡＢ与ａ成 °角
１∥ ， １∥ ， ６０
时 由题意 可知ＡＢ在由ａ ｂ 确定的平面上的射影为ＢＣ
， ， １， １ ，
且ＢＣ与ａ 成 °角 又ａ ｂ 故ＡＢ与ｂ所成角也是 °．
１ ４５ ， ⊥ ， ６０ ①
错 正确 当直线ａ ＢＣ时 ＡＢ与ａ所成角最小 故最小角
，② ； ∥ ， ，
为 °． 正确 错误．综上 正确的是 错误的是 ．
４５ ③ ，④ ， ②③， ①④
因为Ｅ Ｆ分别是ＡＢ ＡＤ的中点 所以ＥＦ １ ＢＤ 故 ＣＥＦ 注 一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影
、 、 ， ， ∠
（ ：
２
与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内
或其补角是异面直线ＣＥ ＢＤ所成的角．
、
的直线所成角的余弦值
）
设正四面体ＡＢＣＤ的棱长为ａ 易知ＣＥ ＣＦ ３ａ ＥＦ １ ａ． １４．（２０１５浙江，１３，５分）如图 在三棱锥Ａ ＢＣＤ中 ＡＢ ＡＣ
， ＝ ＝ ， ＝ ， － ， ＝ ＝
２ ２ ＢＤ ＣＤ ＡＤ ＢＣ 点Ｍ Ｎ分别为ＡＤ ＢＣ的中点 则异
在 ＣＥＦ 中 由 余 弦 定 理 可 得 ＣＥＦ ＝ ＝３， ＝ ＝２， ， ， ，
△ ， ｃｏｓ ∠ ＝ 面直线ＡＮ ＣＭ所成的角的余弦值是 ．
æ ö２ ( ) ２ æ ö２ ，
ç ３ａ÷ １ ａ ç ３ａ÷
è ø ＋ －è ø
２ ２ ２ ３．故选 ．
＝ Ｂ
３ａ １ ａ ６
２× ×
２ ２
１３．（２０１７课标Ⅲ理，１６，５分）ａ ｂ为空间中两条互相垂直的直
，
线 等腰直角三角形ＡＢＣ的直角边ＡＣ所在直线与ａ ｂ都垂
， ，
直 斜边ＡＢ以直线ＡＣ为旋转轴旋转 有下列结论
， ， ：
当直线ＡＢ与ａ成 °角时 ＡＢ与ｂ成 °角 答案 ７
① ６０ ， ３０ ；
８
当直线ＡＢ与ａ成 °角时 ＡＢ与ｂ成 °角
解析 连接ＤＮ 取ＤＮ的中点Ｈ 连接ＨＭ 由Ｎ Ｍ Ｈ均为
② ６０ ， ６０ ；
， ， ， 、 、
直线ＡＢ与ａ所成角的最小值为 ° 中点 知 ＨＭＣ 即为所求．因为ＡＢ ＡＣ ＢＤ ＣＤ ＡＤ
③ ４５ ； ， ｜ｃｏｓ∠ ｜ ＝ ＝ ＝ ＝３，
直线ＡＢ与ａ所成角的最大值为 °． ＢＣ 又Ｍ Ｎ为ＡＤ ＢＣ的中点 所以ＣＭ ＡＤ ＡＮ ＢＣ
④ ６０ ＝ ＝２， ， ， ， ⊥ ， ⊥ ，
其中正确的是 ． 填写所有正确结论的编号
（ ） 所以ＣＭ ＣＤ２ ＭＤ２ ＡＮ ＡＣ２ ＮＣ２ ＭＨ
答案 ＝ － ＝２ ２， ＝ － ＝２ ２， ＝
②③
解析 本题考查空间直线 平面间的位置关系． １ ＡＮ ＨＣ ＮＣ２ ＮＨ２ 则 ＨＭＣ
、 ＝ ２， ＝ ＋ ＝ ３， ｃｏｓ ∠ ＝
过点Ｃ作直线ａ ａ ｂ ｂ 则直线ＡＣ ａ ｂ 两两垂直．不妨 ２
分别以ａ ｂ ＡＣ １∥ 为 ， ｘ １ ｙ ∥ ｚ ， 轴建立空间 、 直 １、 角 １ 坐标系 取 ｎ ＣＭ２ ＋ ＭＨ２ － ＨＣ２ ７ ．故异面直线 ＡＮ ＣＭ 所成角的余弦值
为 １、 ａ １、 的方向向 、 量 、 ｎ 为ｂ 的方向 ， 向量 １ 令 ＝ ２ ＣＭ · ＭＨ ＝ ８ ，
（１，０，０） １ ， ２＝（０，１，０） １ ， 为 ７ ．
Ａ ．可设Ｂ θ θ 则→ＡＢ θ θ ．当
（０，０，１） （ｃｏｓ ，ｓｉｎ ，０）， ＝（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ，－１） ８
时间： 分钟 分值： 分
３０ ５０
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２５ ）
１．（２０２１届福建厦门二中１０月月考，６）直线ｌ 和ｌ 是异面直
１ ２
线 ｌ 在平面α内 ｌ 在平面β内 ｌ是平面α与平面β的交线
，１ ，２ ， ，
则下列命题正确的是
（ ）
ｌ至少与ｌ ｌ 中的一条相交 ｌ与ｌ ｌ 都相交
Ａ． １，２ Ｂ． １，２
ｌ至多与ｌ ｌ 中的一条相交 ｌ与ｌ ｌ 都不相交
Ｃ．
答案 Ａ
１，２ Ｄ． １，２
５ １０ １ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１０ １０ ２ ４
２．（２０２１届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，３）矩形 答案 Ｄ
ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＡＤ Ｅ Ｆ分别是边ＡＢ ＣＤ的中点 将正方 ３．（２０２０湖南长沙一中第二次月考，９）直三棱柱 ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ
形ＡＤＦＥ ， 沿Ｅ ＝ Ｆ ２ 折 ， 到 ＝ Ａ １， Ｄ ， ＦＥ的位置 使得 ， 二面角Ａ Ｅ ， Ｆ Ｂ的 中 ＢＢ 的中点为Ｍ ＢＣ的中点为Ｎ ＡＢＣ ° ＡＢ － １ １ ＢＣ １
大小为 ° 则异面直 １ 线 １ Ａ Ｆ与ＣＥ ， 所成角的余弦值 １－ 为 － Ｃ ， Ｃ １ 则异面直线 ， ＡＢ 与ＭＮ所成 ，∠ 角的正 ＝ 弦 １２ 值 ０ 为 ， ＝２，
１２０ ， １ ＝ １＝１， １ （ ）
（ ） ４ ３
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．０
５ ４
答案 Ａ
４５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
４．（２０１９湘东六校１２月联考，９）如图为一个正四面体的表面展 若直线ｌ与平面α平行 则ｌ与平面α内的直线平行或异面
Ｃ． ，
开图 Ｇ为ＢＦ的中点 则在原正四面体中 直线ＥＧ与直线ＢＣ 若平面α 平面β 直线ａ α 直线ｂ β 则ａ ｂ
， ， ， Ｄ． ∥ ， ⊂ ， ⊂ ， ∥
所成角的余弦值为 答案 ＡＣ
（ ）
８．（２０２０山东夏季高考模拟，１１）正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱
－ １ １ １ １
长为 Ｅ Ｆ Ｇ分别为ＢＣ ＣＣ ＢＢ 的中点．则
１， ， ， ， １， １ （ ）
３ ６ ３ ３３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ６ ６
答案 Ｃ
５．（２０１９豫南豫北精英对抗赛，６）在四面体ＡＢＣＤ中 ＣＡ ＣＢ
， ＝ ＝ 直线Ｄ Ｄ与直线ＡＦ垂直
ＣＤ ＢＤ ＡＢ ＡＤ 则异面直线ＡＢ与ＣＤ所成角的余弦 Ａ． １
＝ ＝２， ＝ ＝ ２， 直线Ａ Ｇ与平面ＡＥＦ平行
值为 Ｂ． １
（ ）
平面ＡＥＦ截正方体所得的截面面积为 ９
Ｃ．
２ ２ １４ ２ ８
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－ 点Ｃ与点Ｇ到平面ＡＥＦ的距离相等
３ ４ ４ ４ Ｄ．
答案 Ｂ 答案 ＢＣ
二、多项选择题 每题 分 共 分 ９．（２０２１届江苏苏州期初调研，１０）Ａ Ｂ是不在平面α内的任意
（ ５ ， ２０ ） ，
６．（２０２０山东日照校际联考，１１）对于四面体 ＡＢＣＤ 下列命题 两点 则
， ， （ ）
正确的是 在α内存在直线与直线ＡＢ异面
（ ） Ａ．
由顶点Ａ作四面体的高 其垂足是 ＢＣＤ的垂心 在α内存在直线与直线ＡＢ相交
Ａ． ， △ Ｂ．
分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 存在过直线ＡＢ的平面与α垂直
Ｂ． ， Ｃ．
若分别作 ＡＢＣ和 ＡＢＤ的边ＡＢ上的高 则这两条高所在 在α内存在直线与直线ＡＢ平行
Ｃ． △ △ ， Ｄ．
直线异面 答案 ＡＣ
最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于 三、填空题 共 分
Ｄ． ， （ ５ ）
最长棱 １０．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，１６）在矩形 ＡＢＣＤ
答案 ＢＤ 中 ＡＢ ＢＣ 将 ＡＢＤ 沿 ＢＤ 向上折起到 Ａ ＢＤ 的位
７．（２０２１ 届福建厦门二中１０月月考，７）下列命题正确的是 置 ， 得到 ＝ 四 １， 面体 ＝ Ａ ２， ＢＣＤ △ ．当四面体Ａ ＢＣＤ的体积最 △ 大 １ 时 异面
， １ １ ，
直线Ａ Ｂ与ＣＤ所成角的余弦值为 ．
若直线与平面有两个公共点 则直线在平面内
（ ）
１
Ａ． ， 答案 １
如果两条异面直线中的一条与一个平面平行 则另一条直线
Ｂ． ， ５
一定与该平面相交
专题八 立体几何 ４５９
１．（２０１９江西八校４月联考，５）设ｍ ｎ是两条不同的直线 α
， ， ，
β γ是三个不同的平面 给出下面四个命题
， ， ：
若α β β γ 则α γ 若α β ｍ α ｎ β 则ｍ ｎ
① ⊥ ， ⊥ ， ∥ ；② ⊥ ， ⊂ ， ⊂ ， ⊥ ；
若ｍ α ｎ α 则ｍ ｎ 若α β γ α ｍ γ β ｎ 则ｍ
③ ∥ ， ⊂ ， ∥ ；④ ∥ ， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ，
ｎ． 图 图
∥ １ ２
其中正确命题的序号是 平行 相交
（ ） Ａ． Ｂ．
异面且垂直 异面且不垂直
Ａ．①④ Ｂ．①② Ｃ．②③④ Ｄ．④ Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ 对于 垂直于同一个平面的两个平面可能相 答案 Ｂ 将图 标上字母如图所示
①， １ ，
交 也可能平行 所以命题 错误 对于 在两个相互垂直的
， ， ① ； ②，
平面内的两条直线可能平行 可能相交 也可能异面 所以命题
， ， ，
错误 对于 若ｍ α ｎ α 则直线ｍ与ｎ可能平行 也可
② ； ③， ∥ ， ⊂ ， ，
能异面 所以 错误 对于 由面面平行的性质定理可知命题 图
， ③ ； ④， １
正确 故选 ．
④ ， Ｄ 沿虚线折起后如图 ．
方法总结 对点 线 面的位置关系的判断 常采用穷举法 即 ２
、 、 ， ，
对各种位置关系都进行考虑 要充分利用几何模型的直观性．
，
２．（２０１９广西桂林高三４月联考，６）已知平面α β γ两两垂直
， ， ，
直线ａ ｂ ｃ满足ａ α ｂ β ｃ γ 则直线ａ ｂ ｃ的位置关系不
， ， ⊂ ， ⊂ ， ⊂ ， ， ，
可能是
（ ）
两两平行 两两垂直
Ａ． Ｂ．
两两相交 两两异面 图
Ｃ． Ｄ． ２
答案 Ａ 假设ａ ｂ ｃ三条直线两两平行 如图所示 设α
， ， ， ， ∩ 由图可知 点Ｄ Ｅ重合 点Ａ Ｃ重合 点Ｂ Ｆ重合 ＡＢＤ为
β ｌ ａ ｂ ａ β ｂ β ａ β．又知ａ α α β ｌ ａ ｌ ， 、 ， 、 ， 、 ，△
＝ ，∵ ∥ ， ⊄ ， ⊂ ，∴ ∥ ⊂ ， ∩ ＝ ，∴ ∥ ， 等边三角形 所以棱ＡＢ与ＣＤ所在直线相交且夹角为 °．故
又知α γ β γ α β ｌ ｌ γ 又知ａ ｂ ａ ｌ ａ γ 又 ， ６０
⊥ ， ⊥ ， ∩ ＝ ，∴ ⊥ ， ∥ ， ∥ ，∴ ⊥ ， 选 ．
知ｃ γ ａ ｃ 所以假设不成立．故三条直线ａ ｂ ｃ不可能两 Ｂ
⊂ ，∴ ⊥ ， ， ， 解后反思 本题考查折叠问题 主要弄清折叠前后点 线 角
两平行 因此选 ． ， 、 、
， Ａ 度的变化．
５．（２０１７内蒙古包头十校联考）在正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中
－ １ １ １ １ ，
点Ｐ在线段ＡＤ 上运动 则异面直线ＣＰ与ＢＡ 所成角θ的取
１ ， １
值范围是
（ ）
θ π θ π
３．（２０１８湖南益阳、湘潭两市联考，１０）如图 Ｇ Ｎ Ｍ Ｈ分别是 Ａ．０＜ ＜ Ｂ．０＜ ≤
， ， ， ， ２ ２
正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线ＧＨ ＭＮ是异面
， ， θ π θ π
直线的图形有 Ｃ．０≤ ≤ Ｄ．０＜ ≤
（ ） ３ ３
答案 Ｄ 如图 因为Ａ Ｂ ＣＤ 所以 Ｄ ＣＰ 或其补角 即
， １ ∥ １， ∠ １ （ ）
为异面直线ＣＰ与ＢＡ 所成的角 由题意知点Ｐ不能与Ｄ 重
１ ， １
合 当点Ｐ无限与Ｄ 靠近时 Ｄ ＣＰ无限接近于 当点Ｐ由
， １ ，∠ １ ０，
点Ｄ 向点 Ａ 移动时 Ｄ ＣＰ 变大 当点 Ｐ 与点 Ａ 重合时
１ ，∠ １ ， ，
( ]
Ｄ ＣＰ最大 为π 故 Ｄ ＣＰ的取值范围是 π 所以异
∠ １ ， ， ∠ １ ０， ，
３ ３
( ]
面直线ＣＰ与ＢＡ 所成角θ的取值范围是 π 选
Ａ．①③ Ｂ．②③ Ｃ．②④ Ｄ．②③④ １ ０， ， Ｄ．
答案 Ｃ 由题意可知题图 中 ＧＨ ＭＮ 因此直线ＧＨ与 ３
① ， ∥ ，
ＭＮ共面 题图 中 Ｇ Ｈ Ｎ三点共面 但Ｍ 平面ＧＨＮ 因此
； ② ， ， ， ， ∉ ，
直线ＧＨ与ＭＮ异面 题图 中 连接ＭＧ 则ＧＭ ＨＮ 因此直
； ③ ， ， ∥ ，
线ＧＨ与ＭＮ共面 题图 中 Ｇ Ｍ Ｎ 三点共面 但 Ｈ 平面
； ④ ， ， ， ， ∉
ＧＭＮ 所以直线ＧＨ与ＭＮ异面．故选 ．
， Ｃ
４．（２０２０北京西城二模，１０）佩香囊是端午节传统习俗之一．香
囊内通常填充一些中草药 有清香 驱虫 开窍的功效 因地方
， 、 、 ，
习俗的差异 香囊常用丝布做成各种不同的形状 形形色色 玲 ６．（２０１９ 福建四地七校 １０ 月联考，１０）如图 正方体 ＡＢＣＤ
， ， ， ， －
珑夺目．图 的 ＡＢＣＤ由六个正三角形构成．将它沿虚线折起 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 Ｐ Ｑ分别是线段ＡＤ 和Ｂ Ｃ上的动点
１ ▱ １ １ １ １ １， ， １ １ ，
来 可得如图 所示的六面体形状的香囊 那么在图 这个六 且满足ＡＰ Ｂ Ｑ 则下列命题错误的是
， ２ ， ２ ＝ １ ， （ ）
面体中 棱ＡＢ与ＣＤ所在直线的位置关系为
， （ ）
４６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
存在Ｐ Ｑ在某一位置时 ＡＢ ＰＱ ２２ ５ １３ １１
Ａ． ， ， ∥ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｂ．△
ＢＰＱ的面积为定值
答
２
案 Ｄ 本题以
３
圆锥为载体进行
１６
设题 考查异面直
３
线所成角的
当ＰＡ 时 直线ＰＢ 与ＡＱ是异面直线
定义及 求法 正切函数 平行线分线段成比
，
例 考查逻辑推理 数学
Ｃ． 无论Ｐ ＞０ Ｑ运 ， 动到任何 １ 位置 均有ＢＣ ＰＱ 运算的核心素 ， 养 考查学 ， 生的空间想象能力和 ， 分析问题 解决 、 问题
Ｄ． ， ， ⊥
答案 Ｂ 对于
Ａ，
当Ｐ
，
Ｑ分别为ＡＤ
１
和Ｂ
１
Ｃ的中点时
，
ＡＢ 的能力． ， 、
∥ ＰＱ ， 故 Ａ 正确．对于 Ｂ， 当点Ｐ在点Ａ处时 ，△ ＢＰＱ的面积为 如图 过点Ｓ作ＳＦ ＯＥ 交ＡＢ于点Ｆ 连
， ∥ ， ，
接ＣＦ 则 ＣＳＦ 或其补角 即为异面直
１ 当点 Ｐ 在 ＡＤ 的中点处时 ＢＰＱ 的面积为 ２ 所以 ， ∠ （ ）
； １ ，△ ，
２ ＢＰＱ的面积不为定值 故 错误．对于 当ＰＡ ４ 时 假设 线ＳＣ与ＯＥ所成的角． ∵ ＳＥ ＝ １ＳＢ ，∴ ＳＥ
△ ， Ｂ Ｃ， ＞０ ， ４
直线ＰＢ 与ＡＱ是共面直线 则ＡＰ与Ｂ Ｑ共面 与已知ＡＰ和
１ ， １ ， １ＢＥ 又ＯＢ ＯＦ １ＯＢ ．
Ｂ Ｑ异面相矛盾 所以直线ＰＢ 与ＡＱ是异面直线 故 正确 ＝ ， ＝３，∴ ＝ ＝１
１ ， １ ， Ｃ ； ３ ３
对于 ＢＣ垂直于ＰＱ在平面ＡＢＣＤ内的射影 由三垂线定理
Ｄ， ， ＳＯ ＯＣ ＳＯ ＯＣ ＳＣ ． ＳＯ
得ＢＣ ＰＱ 故 正确．综上 本题选 ． ∵ ⊥ ， ＝ ＝３，∴ ＝３ ２ ∵
⊥ ， Ｄ ， Ｂ ＯＦ ＳＦ ＳＯ２ ＯＦ２ ． ＯＣ ＯＦ ＣＦ ．
７．（２０１７辽宁五市八校第二次联考）设 Ｐ 是正方体 ＡＢＣＤ ⊥ ，∴ ＝ ＋ ＝ １０ ∵ ⊥ ，∴ ＝ １０
－
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的对角面ＢＤＤ Ｂ 含边界 内的点 若点 Ｐ 到平面 æ ö２
ＡＢ １ Ｃ １ 平 １ 面 １ ＡＢＡ 平面ＡＤＡ １ １ 的 （ 距离相 ） 等 则符合 ， 条件的点Ｐ （ １０） ２ －è ç３ ２ ø ÷
， １， １ ， ∴ 在等腰 △ ＳＣＦ 中 ，ｔａｎ∠ ＣＳＦ ＝ ２ ＝ １１．故
（ ） ３ ２ ３
仅有一个 有有限多个
２
Ａ． Ｂ．
有无限多个 不存在 选
Ｃ． Ｄ． Ｄ．
答案 Ａ 与平面 ＡＢＣ 平面 ＡＢＡ 距离相等的点位于平面 方法总结 解决异面直线成角问题常用平移法 平移直线有三种
ＡＢＣ Ｄ 上 ， １ 方法 中位 线 平行四边形 补体平移．本题可过点 ， Ｓ作ＳＦ ＯＥ 交
与平 １ 面 １ ＡＢＣ ； 平面ＡＤＡ 距离相等的点位于平面ＡＢ Ｃ Ｄ上 ＡＢ于 ： 点Ｆ 并 、 连接ＣＦ 得出 、 ＣＳＦ 或其补角 为异面直 ∥ 线ＳＣ ， 与
与平面ＡＢＡ ， 平面ＡＤＡ １ 距离相等的点位于平面ＡＣ １ Ｃ １ Ａ 上 ； ． ＯＥ所成的 ， 角 根据数量 ， 关系 ∠ 可得出 （ ＣＳＦ的 ） 值．
据此可知 满 １， 足题意的点 １ 位于平面ＡＢＣ Ｄ 平面ＡＢ Ｃ １ Ｄ １ 平面 １０．（２０１９河北 ， 衡水三模，１２）已知在高 ｔａｎ 为 ∠ 底面边长为 的正三棱
， １ １， １ １ ， ２， ３
ＡＣＣ Ａ 的公共点处 满足题意的点仅有一个 为正方体的中 柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 中 点Ｅ Ｆ Ｇ分别是Ａ Ｃ Ａ Ｂ ＡＢ上的点 且有
１ １ ， ， － １ １ １ ， ， ， １ １， １ １， ，
心．选 Ｃ Ｅ Ａ Ｆ ＢＧ 则过点Ｅ Ｆ Ｇ的平面截正三棱柱所得的截面
Ａ． １ ＝ １ ＝ ＝１， ， ，
８．（２０２０云南名校高三开学考试，１２）棱长为 的正方体ＡＢＣＤ 的面积为
２ － （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ Ｆ Ｇ分别是ＡＤ ＡＢ ＢＢ 的中点 那么正方体内过
１ １ １ １ ， ， ， ， ， １ ， １５ １５ ３ １５ ５ １５
Ｅ Ｆ Ｇ的截面面积为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， ， （ ） ４ ２ ４ ４
答案 Ｄ 如图所示 在平面ＡＢＢ Ａ 内 连接ＧＦ并延长与ＡＡ
Ａ．３ ２ Ｂ．３ ３ ， １ １ ， １
的延长线交于点Ｐ Ａ Ｆ ＢＧ ＡＢ ＡＧ Ａ Ｆ ＡＧ且
Ｃ．２ ３ Ｄ．２ ２ ，∵ １ ＝ ＝１， ＝３，∴ ＝２， １ ∥
答案 Ｂ 如图所示 过点Ｅ Ｆ Ｇ的截面是一个边长为 的正 Ａ Ｆ １ＡＧ Ａ 为ＡＰ的中点．连接ＰＥ并延长与ＡＣ的延长线交
， ， ， ２ １ ＝ ，∴ １
２
六边形 其面积为 ３ ２ ．故选 ． 于点Ｈ 交线段ＣＣ 于点Ｎ Ａ Ｅ ＡＣ Ａ 为ＡＰ的中点 Ｅ为
， ６× ×（ ２） ＝３ ３ Ｂ ， １ ，∵ １ ∥ ， １ ，∴
４ ＰＨ的中点 Ｃ Ｅ Ａ Ｃ Ａ Ｅ ＡＨ ＣＨ Ｎ为
，∵ １ ＝１， １ １＝３，∴ １ ＝２， ＝４， ＝１，∴
ＣＣ 的中点 连接ＧＨ交ＢＣ于点Ｍ 连接ＭＮ 则ＥＦ ＧＨ．由连线
１ ， ， ， ∥
知平面ＧＭＮＥＦ为所求截面． ＥＡ Ｆ ° Ａ Ｅ Ａ Ｆ ＥＦ
∵∠ １ ＝６０ ， １ ＝２， １ ＝１，∴
Ａ Ｂ ＧＨ ＡＢ 又知ＥＦ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ａ ＥＦ 平面
⊥ １ １，∴ ⊥ ， ⊥ １ ， １ ∩ １ １＝ １，∴ ⊥
ＡＢＢ Ａ ．又 ＡＢＣ ° ＢＭ 则ＣＭ 在 ＰＥＦ中 ＰＦ
１ １ ∵∠ ＝６０ ，∴ ＝２， ＝１， Ｒｔ△ ，
ＥＦ Ｓ １ １５．在 ＰＧＨ中 ＰＧ
＝ ５， ＝ ３，∴ △ ＰＥＦ＝ × ３× ５＝ Ｒｔ△ ， ＝２
２ ２
９．（２０２０贵州遵义绥阳一模，１１）如图 ， 在圆锥ＳＯ中 ， ＡＢ ， ＣＤ为底面 ５， ＧＨ ＝２ ３，∴ Ｓ △ ＰＧＨ＝ ２ １ ×２ ３×２ ５＝２ １５ ．在 △ ＭＮＨ中 ， ＮＨ ＝
圆的两条直径 ＡＢ ＣＤ Ｏ 且ＡＢ ＣＤ ＳＯ ＯＢ ＳＥ １ ＳＢ 则
， ∩ ＝ ， ⊥ ， ＝ ＝３， ＝ ， ＮＭ ＭＨ Ｓ １ ５ １５ 截面的面积Ｓ
４ ＝ ２， ＝ ３，∴ △ ＭＮＨ＝ × ３× ＝ ，∴ ＝
异面直线ＳＣ与ＯＥ所成角的正切值为 ２ ２ ４
（ ）
Ｓ Ｓ Ｓ １５ １５ ５ １５．故选 ．
△ ＰＧＨ－ △ ＰＥＦ－ △ ＭＮＨ＝２ １５－ － ＝ Ｄ
２ ４ ４
专题八 立体几何 ４６１
解析 连接ＢＣ 交Ｂ Ｃ于点Ｏ 则Ｏ为ＢＣ 的中点 连接
１ １ ， １ ，
ＯＤ．因为ＡＣ 平面ＣＤＢ ＡＣ 平面ＡＣ Ｂ 平面ＣＤＢ 平面
１∥ １， １⊂ １ ， １∩
ＡＣ Ｂ ＯＤ 所以ＡＣ ＯＤ 则Ｄ为ＡＢ的中点 于是 ＯＤＣ或
１ ＝ ， １∥ ， ， ∠
其补角即为直线ＡＣ 与ＣＤ所成的角．由ＡＣ ＢＣ ＡＢ
１ ＝２， ＝２ ２，
得 ＡＢ２ ＡＣ２ ＢＣ２ 则 ＡＣＢ ° 所以 ＤＣ １ ＡＢ
＝２ ３， ＝ ＋ ， ∠ ＝９０ ， ＝ ＝
２
．由ＢＣ ＡＡ ＢＢ 得ＣＢ ．则ＯＣ １ ＣＢ ．由ＡＣ
３ ＝ １＝ １＝２ ２， １＝４ ＝ １＝２
２
１１．（２０１６广西南宁二模，１６）已知两条不同的直线ｍ ｎ和两个不同
， ＣＣ ＡＡ 得ＡＣ 所以ＤＯ １ ＡＣ 所以
的平面α β 给出下列四个命题 ＝２， １＝ １＝２ ２， １＝２ ３， ＝ １＝ ３，
， ， ： ２
若ｍ α ｎ β 且α β 则ｍ ｎ ＤＣ２ ＤＯ２ ＯＣ２
① ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥ ； ＯＤＣ ＋ － ３＋３－４ １ ．
若ｍ α ｎ β 且α β 则ｍ ｎ ｃｏｓ∠ ＝ ＤＣ ＤＯ ＝ ＝
② ∥ ， ⊥ ， ⊥ ， ∥ ； ２ · ２× ３× ３ ３
若ｍ α ｎ β 且α β 则ｍ ｎ
③ ⊥ ， ∥ ， ∥ ， ⊥ ；
若ｍ α ｎ β 且α β 则ｍ ｎ．
④ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ⊥
其中正确命题的个数为 ．
答案
２
解析 中ｍ ｎ可能异面或相交 故不正确 因为ｍ α ｎ
① ， ， ；② ∥ ， ⊥
β 且α β成立时 ｍ ｎ两直线的位置关系可能是相交 平行 异
， ⊥ ， ， 、 、 １３．（２０１８皖南八校联考，１５）已知正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的体
面 故不正确 因为ｍ α α β可得出ｍ β 再由ｎ β可得出 － １ １ １ １
， ；③ ⊥ ， ∥ ⊥ ， ∥ 积为 点Ｍ在线段ＢＣ上 点Ｍ异于点Ｂ Ｃ 点Ｎ为线段
ｍ ｎ 故正确 分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直 １， （ ， ），
⊥ ， ；④ ， ＣＣ 的中点 若平面ＡＭＮ截正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 所得的
正确．故 正确． １ ， － １ １ １ １
③④ 截面为四边形 则线段ＢＭ长的取值范围为 ．
评析 本题考查了立体几何的几种基本关系，空间思维能力．
(
，
]
１２．（２０１７广西柳州模拟，１５）如图 在直三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 中 ＡＣ 答案 １
， － １ １ １ ， ０， ２
ＢＣ ＡＡ ＡＢ Ｄ是线段ＡＢ上一点 且ＡＣ 平面 解析 当点Ｍ为线段ＢＣ的中点时 由题意可知 截面为四
＝２， ＝ １＝２ ２， ＝２ ３， ， １∥ ， ，
ＣＤＢ 则直线ＡＣ 与ＣＤ所成角的余弦值为 ．
１， １ 边形ＡＭＮＤ 从而当 ＢＭ １ 时 截面为四边形 当ＢＭ １
１， ０＜ ≤ ， ， ＞
２ ２
时 平面ＡＭＮ与平面Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 也有交线 故截面为五边形
， １ １ １ １ ， ，
所以若平面ＡＭＮ截正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 所得的截面为四
－ １ １ １ １
( ]
边形 则线段ＢＭ长的取值范围为 １ ．
， ０，
２
答案 １
３
