文档文本内容
8.2 点、线、面的位置关系
基础篇
3. 考点 一 点、线、面的位置关系 空间点、线、面的位置关系
1. 四个基本事实 直线与直线 直线与平面 平面与平面
基本事实 过不在一条直线上的三个点 有
１: ꎬ 平行
且只有一个平面.用途 确定一个平面
关系
:① ꎻ
判断两个平面是否重合 证明点 线共面.
② ꎻ③ 、
基本事实 如果一条直线上的两点在一个
相交
２:
平面内 那么这条直线在这个平面内.用途 关系
ꎬ :
证明 点在面内 或 线在面内 .
“ ” “ ”
基本事实 如果两个不重合的平面有一个 独有
３:
公共点 那么它们有且只有一条过该点的公 关系
ꎬ
共直线.用途 证明 三点共线 三线共
:① “ ”“ 4. 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对
点 确定两平面的交线.
”ꎻ② 应平行 那么这两个角相等或互补.
基本事实 平行于同一条直线的两条直线 ꎬ
４:
平行.用途 判断直线平行.
考点 二 异面直线所成的角
:
2.
三个推论
1.
定义：设 ａ ｂ 是两条异面直线 经过空间中
ꎬ ꎬ
推论 经过一条直线和这条直线外一点 有
１: ꎬ 任一点 Ｏ 作直线 ａ′ ａ ｂ′ ｂ 把 ａ′与 ｂ′所成
∥ ꎬ ∥ ꎬ
且只有一个平面.
的锐角或直角叫做异面直线 ａ 与 ｂ 所成的角
推论 经过两条相交直线 有且只有一个
２: ꎬ 或夹角 .
( )
平面.
æ ù
2. ú
异面直线所成角的范围：ç π .
推论 经过两条平行直线 有且只有一个 ú
è０ꎬ û
３: ꎬ
２
平面.
注意 空间两直线垂直有两种情况:相交垂直和异面
垂直.
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２８８
综合篇
考法 一 点、线、面位置关系的判定及其
一点 再证明第三条直线经过该点.
ꎬ
3.
应用 证明点、直线共面问题的方法
纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关
1. 证明点共线问题的方法 １) : ꎬ
点 线在此平面内.
基本事实法 先找出两个平面 然后证明这 、
１) : ꎬ
辅助平面法 先证明部分点 线确定平面 α
些点都是这两个平面的公共点 再根据基本 ２) : 、 ꎬ
ꎬ
再证明其余元素确定平面 β 最后证明平面
事实 证明这些点都在交线上. ꎬ
３
α β 重合.
同一法 选择其中两点确定一条直线 然后
ꎬ
２) : ꎬ
例1 ( 辽宁丹东质量测试二ꎬ )如图ꎬ在
证明其余点也在该直线上.
２０２１ ６
2. 证明线共点问题的方法：先证两条直线交于 长方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中ꎬＥꎬＦ 分别为 Ｃ Ｄ ꎬ
－
１ １ １ １ １ １
Ｂ Ｃ 的中点ꎬＯꎬＭ 分别为 ＢＤꎬＥＦ 的中点ꎬ则下
１ １
列说法错误的是 ( )
四点 ＢꎬＤꎬＥꎬＦ 在同一平面内
Ａ.
三条直线 ＢＦꎬＤＥꎬＣＣ 有公共点
Ｂ. １
直线 Ａ Ｃ 与直线 ＯＦ 不是异面直线
Ｃ. １
直线 Ａ Ｃ 上存在点 Ｎꎬ使 ＭꎬＮꎬＯ 三点共线
Ｄ. １
解析 如图所示ꎬ连接 Ｂ Ｄ ꎬ
１ １
则 Ｂ Ｄ ＢＤꎬＢ Ｄ ＥＦꎬ所以 ＢＤ ＥＦꎬ所以
１ １∥ １ １∥ ∥
四点 ＢꎬＤꎬＥꎬＦ 在同一平面内ꎬ故 正确ꎻ
Ａ
延长 ＢＦꎬＤＥꎬ则 ＢＦꎬＤＥ 相交于点 Ｐꎬ又 ＢＦ
⊂
平面 ＢＣＣ Ｂ ꎬＤＥ 平面 ＤＤ Ｃ Ｃꎬ则 Ｐ 平面
１ １ ⊂ １ １ ∈
ＢＣＣ Ｂ ꎬＰ 平面 ＤＤ Ｃ Ｃꎬ又平面 ＢＣＣ Ｂ 平
１ １ ∈ １ １ １ １∩
面 ＤＤ Ｃ Ｃ ＣＣ ꎬ所以 Ｐ ＣＣ ꎬ即三条直线
１ １ ＝ １ ∈ １
ＢＦꎬＤＥꎬＣＣ 有公共点 Ｐꎬ故 正确ꎻ
１ Ｂ
因为 Ａ Ｃ 为长方体的体对角线ꎬ所以直线 Ａ Ｃ
１ １
与直线 ＯＦ 不可能在同一平面内ꎬ所以直线
Ａ Ｃ 与直线 ＯＦ 是异面直线ꎬ故 错误ꎻ
１ Ｃ
Ａ ꎬＯꎬＣꎬＣ 均在平面 ＡＡ Ｃ Ｃ 内ꎬ连接 ＯＭꎬ则
１ １ １ １
ＯＭ 与直线 Ａ Ｃ 相交ꎬ所以直线 Ａ Ｃ 上存在点
１ １
Ｎꎬ使 ＭꎬＮꎬＯ 三点共线ꎬ故 正确.故选 .
Ｄ Ｃ
答案
Ｃ
名师点睛.证明三点共线的关键是“找两个相交平
１
面”ꎻ
.证明三线共点的步骤是先证明两直线交于一点ꎬ再
２
证明该交点在第三条直线上.
专
题
八
立
体
几
何
２８９
考法 二 异面直线所成的角的求解方法
1.
定义法（平移法）
具体步骤如下
:
2. 向量法
设异面直线ａ ｂ 的方向向量分别为ａ ｂ 则异
ꎬ ꎬ ꎬ
面直线 ａ ｂ 所成角的余弦值等于 ａ ｂ
ꎬ ｜ｃｏｓ‹ ꎬ ›｜
ａ ｂ
｜ ｜.
＝ ａ ｂ
｜ ｜ ｜ ｜
例2 ( 课标 ꎬ ꎬ 分)在长方体 ＡＢＣＤ
２０１８ Ⅱ ９ ５ －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中ꎬＡＢ ＢＣ ꎬＡＡ ꎬ则异面直线
１ １ １ １ ＝ ＝１ １ ＝ ３
ＡＤ 与 ＤＢ 所成角的余弦值为 ( )
１ １
１ ５ ５ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
５ ６ ５ ２
解析 解法一(平移法):如
图ꎬ将长方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
－
１ １ １ １
补成长方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ꎬ
－
２ ２ ２ ２
使 ＡＡ Ａ Ａ ꎬ连接 Ｂ Ｃ ꎬＤＣ ꎬ
＝
１ １ ２ １ ２ ２
易知 ＡＤ Ｂ Ｃ ꎬ ＤＢ Ｃ 或
１∥ １ ２ ∴ ∠ １ ２
其补角为异面直线 ＡＤ 与 ＤＢ
１ １
所成的角.
易知 Ｂ Ｃ ＡＤ ꎬＤＢ ２ ２ ꎬＤＣ
１ ２ ＝ １ ＝２ １ ＝ １ ＋１ ＋３ ＝ ５ ２
ＤＣ２ ＣＣ２ ２ ( )２ .在 ＤＢ Ｃ
＝ ＋ ２ ＝ １ ＋ ２ ３ ＝ １３ △ １ ２
ＤＢ２ Ｂ Ｃ２ ＤＣ２
中ꎬ ＤＢ Ｃ １ ＋ １ ２ － ２ ５＋４－１３
ｃｏｓ∠ １ ２ ＝ ＤＢ Ｂ Ｃ ＝ ＝
２ １ １ ２ ２× ５×２
５ꎬ 异面直线 ＡＤ 与 ＤＢ 所成角的余弦值
－ ∴ １ １
５
为 ５.
５
解法二（向量法）:以 Ａ 为原 Ｓ 可能是五边形ꎻ
１ ②
点建立空间直角坐标系(如
ｔ 时ꎬＳ 的面积为９ꎻ
③ ＝１
图)ꎬ则Ａ( ꎬ ꎬ )ꎬＤ ( ꎬ ꎬ ２
０ ０ ３ １ ０ １
)ꎬＤ( ꎬ ꎬ )ꎬＢ ( ꎬ ꎬ )ꎬ所 ｔ ３时ꎬＳ 将棱 Ｃ Ｄ 截成长度比为 的
０ ０ １ ３ １ １ ０ ０ ④ ＝ １ １ ２ ∶ １
２
以ＡＤ→ ( ꎬ ꎬ )ꎬＤＢ→ ( ꎬ ꎬ )ꎬ
１ ＝ ０ １ － ３ １ ＝ １ －１ － ３ 两部分.
ＡＤ→ＤＢ→ 解析 当 ｔ 时ꎬＱ 与 Ｃ 重合ꎬ取 Ａ Ｄ 的
所 以 ‹ ＡＤ→ꎬ ＤＢ→› １ １ ① ＝２ １ １ １
ｃｏｓ １ １ ＝ ＡＤ→ ＤＢ→ ＝ 中点 Ｆꎬ连接 ＡＦꎬＣ ＦꎬＣ ＰꎬＡＰꎬ如图 ꎬ根据正
｜ １｜ ｜ １｜ １ １ ａ
( ) ( ) ( ) 方体的性质可知 ＡＦ ＰＣ ꎬＡＦ ＰＣ ꎬ且 ＰＣ
０×１＋１× －１ ＋ － ３ × － ３ ５.则异面直 ∥ １ ＝ １ １ ＝
＝
Ｃ Ｆ ＡＦ ＡＰꎬ所以截面 ＡＰＣ Ｆ 为菱形ꎬ故
２× ５ ５ １ ＝ ＝ １ ①
线 ＡＤ 与 ＤＢ 所成角的余弦值为 ‹ＡＤ→ꎬ
错误.
１ １ ｜ ｃｏｓ １
ＤＢ→› ５ꎬ故选 .
１ ｜ ＝ Ｃ
５
答案
Ｃ
考法 三 空间几何体的截面问题
1. 图
截面的定义：用一个平面去截空间几何体
ａ
ꎬ
该平面与几何体表面的交线围成的封闭的平 对于 ꎬ当ｔ ＣＱ ３时ꎬ延长ＡＰꎬ交ＤＣ 的延
②④ ＝ ＝
２
面图形叫做截面.
长线于 Ｏꎬ连接 ＯＱ 并延长ꎬ交 Ｃ Ｄ 于 Ｒꎬ
2. 作出几何体的截面的常用方法：相交法 平 １ １
ꎬ
行法. 在 Ａ Ｄ 上截取 Ａ Ｆ ４ꎬ连接 ＡＦꎬＦＲꎬＰＱꎬ由于
＝
１ １ １
３
名师点睛
空间几何体的截面的作图主要原理:两个公理及两个性 Ａ ＦＡ ＱＰＣ ３ꎬ易知 ＡＦ ＰＱꎬ结合
ｔａｎ∠ １ ＝ｔａｎ∠ ＝ ∥
２
质.两个公理:( )如果两个不重合的平面有一个公共
１ ＡꎬＰꎬＯꎬＱꎬＲ 共面可知 ＡＰＱＲＦ 为截面 Ｓꎬ如
点ꎬ那么它们相交于过此点的一条直线ꎻ( )如果一条直
２ 图 .
线上的两点在一个平面内ꎬ那么这条直线上所有的点都 ｂ
在这个平面内.
两个性质:( )如果一条直线平行于一个平面ꎬ经过这条
１
直线的平面与这个平面相交ꎬ那么这条直线就和交线平
行ꎻ( )如果两个平面平行ꎬ第三个平面和它们相交ꎬ那
２
么两条交线平行.
5 图
年 例3 ( 湖南株洲模考ꎬ )正方体 ＡＢＣＤ ｂ
由点 Ｐ 是 ＢＣ 的中点ꎬ可得 ＣＯ ＣＤ ＡＢ ꎬ
高 ２０２２ ９ －
＝ ＝ ＝２
考
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 ꎬ设 Ｐ 为 ＢＣ 的中点ꎬＱ 为
年 3 １ １ １ １ ２ 又 Ｃ １ Ｒ Ｃ １ Ｑ １ꎬ Ｓ 与 Ｃ Ｄ 的交点 Ｒ 满足
模 线段ＣＣ 上的动点ꎬＣＱ ｔ( ｔ )ꎬ过点ＡꎬＰꎬ ＣＯ ＝ ＣＱ ＝ ∴ １ １
拟 １ ＝ ０< ≤２ ３
Ｑ 的平面截该正方体所得截面记为 Ｓ.以下结
A Ｃ Ｒ ２ꎬ即 Ｓ 将棱 Ｃ Ｄ 截成长度比为 的
版 论正确的有 .(填上所有正确结论的 １ ＝ １ １ ２ ∶ １
３
高
序号) 两部分.故 正确.
考
②④
数
学 Ｓ 不可能是菱形ꎻ 对于 ꎬ当 ｔ ＣＱ 时ꎬ根据正方体的性质可
① ③ ＝ ＝１
２９０
知 ＰＱ ＡＤ ꎬＰＱ １ＡＤ ꎬ且 ＡＰ Ｄ Ｑꎬ如图 ꎬＳ ３ ２ ９.故 正确.故答案为 .
∥ １ ＝ １ ＝ １ ｃ × ＝ ③ ②③④
２ ２ ２
为等腰梯形ꎬ 答案
②③④
名师点睛画截面图形的关键是画出与多面体的面的
交线ꎬ画交线常用的方法是平行法和相交法.平行法是
利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理ꎬ画
出平行线ꎻ相交法是延长两条直线相交得出两个面的
一个交点ꎬ找到两个公共点即找到了交线.
图
ｃ
可得 ＰＱ ꎬＡＤ ꎬ等腰梯形的高为
＝ ２ １ ＝ ２ ２
æ ö
２
çç ２ ÷÷ ３ ２ꎬ则 Ｓ 的面积为１ ( )
５－è ø ＝ × ２＋２ ２
２ ２ ２
专
题
八
立
体
几
何
２９１
