北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
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综合测试卷(四)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020山东潍坊模拟)已知集合A={x|x2-1≥0},B={y|y=ex},则A∩B =( )
A.(0,+∞) B.(-∞,1]
C.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
答案 C 因为x2-1≥0,所以x≥1或x≤-1,所以A=(-∞,-1]∪[1,+∞).又因为y=ex>0,所以B=(0,+∞),所以
A∩B=[1,+∞),故选C.
2.(2018安徽马鞍山二模,3)已知复数z满足zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3+4i (3+4i)(-i)
答案 D 由zi=3+4i,得z= = =4-3i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),该点
i -i2
位于第四象限.故选D.
3.(2020陕西汉中重点中学第一次联考,7)若logx+logy=1,则 ( )
2 4
A.x2y=2 B.x2y=4 C.xy2=2 D.xy2=4
1 1 1 1
答案 B log 2 x+log 4 y=log 2 x+
2
log 2 y=log 2 x+log 2y2 =log 2 (x y2)=1,所以x y2 =2,两边平方得x2y=4.故选B.
4.(2020河南安阳二模,7)已知m,l是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列可以推出α⊥β的是 (
)
A.m⊥l,m⊂β,l⊥α B.m⊥l,α∩β=l,m⊂α
C.m∥l,m⊥α,l⊥β D.l⊥α,m∥l,m∥β
答案 D 在A中,m⊥l,m⊂β,l⊥α,则α与β相交或平行,故A错误;
在B中,m⊥l,α∩β=l,m⊂α,则α与β有可能相交但不垂直,故B错误;
在C中,m∥l,m⊥α,l⊥β,则α∥β,故C错误;
在D中,l⊥α,m∥l,则m⊥α,又m∥β,则α⊥β,故D正确.故选D.
5.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则
四边形APBC面积的最小值为 ( )
A.√3 B.2√3
C.√5 D.2√5
1
答案 A 如图所示.圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为1,PA=PB,则S =2× ·|PB|·|CB|,又∵△PCB
四边形APBC
2
为直角三角形,∴|PB|= = ,因此S = ,若四边形APBC
√|PC|2-|CB|2 √|PC|2-1 四边形APBC √|PC|2-1
的面积最小,则|PC|最小,当CP垂直于直线3x-4y+4=0时,|CP|取最小值,即点C到直线3x-4y+4=0的距离,|PC|
|3×2-4×0+4|
min
= =2,故四边形APBC面积的最小值为√22-1=√3.故选A.
5
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6.已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率为√3,过F 的直线l交C于A,B两点,若
1 2 2
a2 b2 3
△AFB的周长为4√3,则C的方程为 ( )
1
x2 y2 x2
A. + =1 B. +y2=1
3 2 3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
12 8 12 4
c √3
答案 A ∵△AFB的周长为4√3,∴由椭圆的定义可知4a=4√3,∴a=√3,∵e= = ,∴c=1,∴b2=2,∴方程为
1
a 3
x2 y2
+ =1,故选A.
3 2
7.(2020广东广州综合测试一,10)已知点P(x,y)是曲线C:y=x3-x2+1上的点,曲线C在点P处的切线与直线
0 0
y=8x-11平行,则( )
4
A.x=2 B.x=-
0 0
3
4 4
C.x=2或x=- D.x=-2或x=
0 0 0 0
3 3
答案 B 由y=x3-x2+1可得y'=3x2-2x,则切线斜率k=y' | =3 x2 -2x 0 ,又切线平行于直线y=8x-11,∴3 x2
x=x 0 0 0
4
-2x
0
=8,∴x
0
=2或- .①当x
0
=2时,切点为(2,5),切线方程为y-5=8(x-2),即8x-y-11=0,与已知直线重合,不合题意,
3
舍去;②当x
0
=-4时,切点为(
-
4
,-
85),切线方程为y+85=8(
x+
4),即y=8x+203,与y=8x-11平行,故
3 3 27 27 3 27
选B.
8.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上
的动点,则⃗AE·⃗BE的最小值为 ( )
21 3 25
A. B. C. D.3
16 2 16
答案 A 本题主要考查数量积的综合应用.
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解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B
(3 √3),C(0, ),设E(0,t),t∈[0, ],∴ · =(-1,t)·( 3 √3)=t2-√3t+3,∵t∈[0, ],∴当t=-
, √3 √3 ⃗AE ⃗BE - ,t- √3
2 2 2 2 2 2
√3
- √3 3 √3 √3 3 21
2 = 时,⃗AE·⃗BE取得最小值,(⃗AE·⃗BE) = - × + = .故选A.
min
4 16 2 4 2 16
2×1
解法二:令⃗DE=λ⃗DC(0≤λ≤1),由已知可得DC=√3,
∵⃗AE=⃗AD+λ⃗DC,∴⃗BE=⃗BA+⃗AE=⃗BA+⃗AD+λ⃗DC,
∴⃗AE·⃗BE=(⃗AD+λ⃗DC)·(⃗BA+⃗AD+λ⃗DC)
=⃗AD·⃗BA+|⃗AD|2+λ⃗DC·⃗BA+λ2|⃗DC|2
3 3
=3λ2- λ+ .
2 2
3
- 1 21
当λ=- 2 = 时,⃗AE·⃗BE取得最小值 .故选A.
4 16
2×3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.定义:若函数F(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],则称区间[a,b]是函数F(x)的“完美区间”,另外,定义区间[a,b]
的“复区间长度”为2(b-a),已知函数f(x)=|x2-1|,则 ( )
A.[0,1]是f(x)的一个“完美区间”
B.[1-√5 1+√5]是f(x)的一个“完美区间”
,
2 2
C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+√5
D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2√5
答案 AC 当x∈[0,1]时,f(x)=1-x2,易知f(x)在[0,1]上单调递减,f(0)=1,f(1)=0,故值域为[0,1],所以[0,1]是f(x)的一
个“完美区间”,故A正确.
1-√5
由于 <0,f(x)≥0恒成立,故B错误.
2
由定义域为[a,b],f(x)≥0,可知0≤a<b,
当b≤1时,[a,b]⊆[0,1],此时f(x)=|x2-1|=1-x2,则函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,
因为函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],
所以 {f (a)=1-a2=b, 所以a2+b=b2+a=1,则a2-a=b2-b,
f (b)=1-b2=a,
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所以a2-a+1=b2-b+1,即( 1) 2 =( 1) 2 ,所以a-1=b-1或a-1=1-b,整理得a+b=1或a=b(舍去),
a- b-
4 4 2 2 2 2 2 2
又因为a+b2=1,所以b=b2,解得b=0(舍去)或b=1,则a=1-b=0,此时a2+b=0+1=1,所以a=0,b=1是方程组
{f (a)=1-a2=b,
的唯一解,
f (b)=1-b2=a
故此情况下存在a=0,b=1,使得区间[a,b]是函数f(x)的“完美区间”,此区间[a,b]的“复区间长度”为2×(1-
0)=2.
当b>1时,
①若0≤a<1,则1∈[a,b],此时f(x) =f(1)=0,若函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],则a=0,f(b)=b,
min
1-√5 1+√5
因为b>1,所以f(b)=|b2-1|=b2-1=b,即b2-b-1=0,解得b= (舍去)或b= ,
2 2
1+√5
故此情况下存在a=0,b= ,使得区间[a,b]是函数f(x)的“完美区间”,此区间[a,b]的“复区间长度”为
2
2×(1+√5 )=1+ .
-0 √5
2
②当a≥1时,f(x)=x2-1,x∈[a,b],函数f(x)在[a,b]上单调递增,
若函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b],则{f (a)=a2-1=a,
f (b)=b2-1=b,
所以a与b是方程x2-x-1=0的两个不等实根,
{ a=
1-√5
,
解得x=1-√5,x=1+√5,所以 2 因为a=1-√5<1,所以此情况不满足题意.
1 2
2 2 1+√5 2
b= ,
2
综上所述,函数f(x)=|x2-1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+(1+√5)=3+√5,故C正确,D错误.
故选AC.
10.已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x,y)为C上任意一点,且直线PA,PB的
0 0
a2 b2
9
斜率分别为k ,k ,且k ·k = ,则下列结论正确的是 ( )
PA PB PA PB
4
3
A.双曲线的渐近线方程为y=± x
2
5
B.双曲线的渐近线方程为y=± x
2
√13
C.双曲线的离心率为
2
13
D.双曲线的离心率为
4
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x2 y2 x2 y2 x2-x2 y2- y2 x2-x2 a2
答案 AC 设点A(x,y),B(-x,-y),则 - =1.又∵ 0- 0=1,∴两式相减得 0 = 0 ,∴ 0 = .
a2 b2 a2 b2 a2 b2 y2- y2 b2
0
又∵k PA ·k PB = y 0 - y · y 0 + y =9,∴b2 =9,∴b=3,∴双曲线的渐近线方程为y=±3x,故选项A正确,选项B错
x -x x +x 4 a2 4 a 2 2
0 0
误;
又∵b2 =c2-a2 =e2-1=9,∴e=√13,故选项C正确,选项D错误.
a2 a2 4 2
故选AC.
思路分析 设点A(x,y),B(-x,-y),利用点差法得到k ·k =b2 ,即可得到b=3,从而求出双曲线的渐近线与离心
PA PB
a2 a 2
率.
11.(2020山东百师联盟测试五,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确
的是( )
A.函数f(x)的周期为π
5π
B.函数f(x)图象的一条对称轴方程为x=
12
C.函数f(x)的递减区间为[ 5π π ](k∈Z)
kπ- ,kπ+
12 12
D.当x∈[π π]时,函数f(x)的值域为[ √3 ]
, - ,1
6 2 2
T π π π 2π π
答案 AC 由题中图象知,A=1, = - = ⇒T=π,所以ω= =2,根据五点作图法得2× +φ=0⇒φ=-
4 3 12 4 T 3
2π,则f(x)=sin( 2π),对称轴方程为x=kπ+ π ,k∈Z,单调减区间为[ 5π π ],k∈Z.
2x- kπ- ,kπ+
3 3 2 12 12 12
当x∈[π π]时,2x-2π∈[ π π],f(x)=sin( 2π)∈[ √3 √3].故选AC.
, - , 2x- - ,
6 2 3 3 3 3 2 2
12.(2020福建泉州毕业班适应性线上测试)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1,则 (
)
A.f(x)是周期函数
B.当n为偶数时,f(n)=0
C.f(1)+22f(2)+32(3)+…+62f(6)=16
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D.f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1
答案 ABD 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
又f(1+x)=f(1-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可得函数f(x)的周期为4,选项A正确;f(-2)=-f(2)=-f(0)=0,即f(-2)=f(2)=f(0),又因为函数
f(x)的周期为4,所以当n为偶数时,f(n)=0,选项B正确;
因为f(-1)=-f(1)=-1,周期T=4,
所以f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=1-32+52=17,
所以选项C是错的;
f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=1-32+52-72+92-…+(4n+1)2
=1+(52-32)+(92-72)+…+[(4n+1)2-(4n-1)2]
=1+2[3+5+7+9+…+(4n-1)+(4n+1)]
2n(3+4n+1)
=1+2× =1+2n(4n+4)=8n2+8n+1,
2
所以选项D正确,故选ABD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cosα=1,cos(α+β)=-1,且α,β∈( π),则cos(α-β)= .
0,
3 3 2
23
答案
27
解析 ∵α∈( π),∴2α∈(0,π).
0,
2
1 7
∵cosα= ,∴cos2α=2cos2α-1=- ,
3 9
4√2
∴sin2α=√1-cos22α= ,
9
而α,β∈( π),∴α+β∈(0,π),
0,
2
2√2
∴sin(α+β)=√1-cos2(α+β)= ,
3
∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)
=( 7)×( 1)+4√2×2√2
- -
9 3 9 3
23
= .
27
14.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷
是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、
寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气,其日影子长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、
霜降三个节气日影子长之和为16.5尺,这十二个节气的所有日影子长之和为84尺,则夏至的日影子长为
尺.
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答案 1.5
解析 设此等差数列{a}的公差为d,前n项和为S,
n n
{ 12×11
由题意得{ S 12 =84, 即 12a 1 + 2 d=84, 解得{a 1 =1.5,
a +a +a =16.5, d=1.
1 5 9 3a =3(a +4d)=16.5,
5 1
所以夏至的日影子长为1.5尺.
15.(2020天津南开中学第五次统练,13)已知函数f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,若函数f(x)在x=1处取得极大值,则实数
a的取值范围是 .
答案 (1 )
,+∞
2
1
解析 f'(x)=lnx-2ax+2a,令g(x)=lnx-2ax+2a(x>0),∴g'(x)= -2a,
x
1
若a≤0,则g'(x)= -2a>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0,当x∈(0,1)时,g(x)=f'(x)<0,f(x)单调递减,当
x
x∈(1,+∞)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)单调递增,故函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.
1 1 1 1
若a>0,则0<x< 时,g'(x)= -2a>0,g(x)单调递增,x> 时,g'(x)= -2a<0,g(x)单调递减,g(1)=f'(1)=0,
2a x 2a x
1
∵f(x)在x=1处取得极大值,∴x<1时,g(x)=f'(x)>0,x>1时,g(x)=f'(x)<0,即函数f(x)在x=1的两侧先增后减,则
2a
<1,解得a>1.综上,a的取值范围是(1 ).
,+∞
2 2
16.(2020山东第一次仿真联考,15)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,PC=PD=√5,平面
PCD⊥平面ABCD,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 .
41π
答案
4
解析 取CD的中点E,连接PE.
1
因为PC=PD=√5,DE= CD=1,所以PE⊥CD,则PE=2,
2
连接AC,BD,交于点O,则O 为四边形ABCD的中心,
1 1
过四边形ABCD的中心O 作平面ABCD的垂线l,过三角形PCD的外心O 作平面PCD的垂线l,设l∩l=O,
1 1 2 2 1 2
则O为四棱锥P-ABCD外接球的球心,
设OO=h,四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,
1
3 9 41
则R2=h2+2=(2-h)2+1,解得h= ,则h2= ,R2= ,
4 16 16
41π
故四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4πR2= .
4
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四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知{a}是递增的等差数列,且a,a 是方程x2-5x+6=0的根,数列{b}的前n项和为S,且
n 2 4 n n
S=2b-2(n∈N*).
n n
(1)求数列{a},{b}的通项公式;
n n
(2)若c=a·b(n∈N*),求数列{c}的前n项和T.
n n n n n
解析 (1)因为na -(n+1)a=1,
n+1 n
a a 1 1 1
n+1 n
所以 - = = - ,
n+1 n n(n+1) n n+1
a a 1 1
n n-1
所以 - = - (n≥2),
n n-1 n-1 n
……,
a a 1
2- 1=1-
,
2 1 2
a 1
n
所以 -a=1- (n≥2).
n 1 n
a 2n-1
又a=1,所以 n= ,所以a=2n-1(n≥2).
1 n n n
又a=1也符合上式,
1
所以a=2n-1(n∈N*).
n
2n-1
(2)结合(1)得b= ,
n 3n-1
1 3 5 7 2n-1
所以S
n
=
30
+
31
+
32
+
33
+…+
3n-1
,①
1 1 3 5 2n-1
3
S
n
=
31
+
32
+
33
+…+
3n
,②
①-②,整理得2S
n
=1+2(1
+
1
+…+
1 )- 2n-1
3 3 32 3n-1 3n
1[ (1) n-1]
2× 1-
=1+ 3 3 - 2n-1 =2- 2n+2 ,
1
3n 3n
1-
3
n+1
所以S=3- .
n 3n-1
18.(12分)(2020山东烟台一中期末,17)在条件:
①(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,②asinB=bcos( π),③bsinB+C=asinB中任选一个,补充到下面问题中,并
A+
6 2
给出问题解答.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+c=6,a=2√6, .求△ABC的面积.
解析 若选①:
由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,
第8页共12页第8页共12页
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b2+c2-a2 bc 1
所以cosA= = = ,
2bc 2bc 2
π
因为A∈(0,π),所以A= ,
3
又a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,a=2√6,b+c=6,
所以bc=4,
1 1 π
所以S = bcsinA= ×4×sin =√3.
△ABC
2 2 3
若选②:
由正弦定理得sinAsinB=sinBcos( π).
A+
6
因为0<B<π,所以sinB≠0,所以sinA=cos( π),
A+
6
√3 1 √3
化简得sinA= cosA- sinA,即tanA= ,
2 2 3
π π
因为0<A<π,所以A= .又因为a2=b2+c2-2bccos ,
6 6
所以bc=(b+c)2-a2 =62-(2√6)2
,即bc=24-12 ,
√3
2+√3 2+√3
1 1 1
所以S = bcsinA= ×(24-12√3)× =6-3√3.
△ABC
2 2 2
若选③:
B+C
由正弦定理得sinBsin =sinAsinB,
2
因为0<B<π,所以sinB≠0,
B+C
所以sin =sinA,又因为B+C=π-A,
2
A A A
所以cos =2sin cos ,
2 2 2
A π A
因为0<A<π,所以0< < ,所以cos ≠0,
2 2 2
A 1 A π π
所以sin = ,即 = ,所以A= .
2 2 2 6 3
1 1 π
则a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又a=2√6,b+c=6,所以bc=4,所以S = bcsinA= ×4×sin =√3.
△ABC
2 2 3
19.(12分)(2019广东湛江一模,17)在等差数列{a}和等比数列{b}中,a=0,b=1,且a=b,a=b.
n n 2 2 3 3 4 4
(1)求a 和b;
n n
(2)求数列{nb}的前n项和S.
n n
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解析 (1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列{b}的公比为q,∵a=0,b=1,且
n n 2 2
1
a=b,a=b,∴a+d=0,bq=1,a+2d=bq2,a+3d=bq3,四式联立解得a=-2,d=2,b=
3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1
2
,q=2,∴a=-2+2(n-1)=2n-4,b=2n-2.
n n
1
(2)数列{nb}的前n项和S= +2+3×2+4×22+…+n·2n-2,
n n
2
∴2S=1+2×2+3×22+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1,
n
1
1 (1-2n)
∴-S= +1+2+22+…+2n-2-n·2n-1=2 -n·2n-1,
n
2
1-2
1
即S=(n-1)·2n-1+ .
n
2
20.(12分)(2016课标Ⅰ理,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零
件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每
个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用
期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三
年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别
为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22,
P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,
EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.
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当n=20时,
EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
21.(12分)(2020天津七中一模,19)已知椭圆M:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为1,点P( 3)在椭圆M上.
1,
a2 b2 2 2
(1)求椭圆M的方程;
(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C、D两点,A、B分别为椭圆M的左、右顶点,记△ABD与
△ABC的面积分别为S 和S,求|S-S|的取值范围.
1 2 1 2
解析 (1)由e=c=√ 1- b2 =1 ,得3a2=4b2①,将P( 1, 3)代入椭圆方程,得 1 + 9 =1②,由①②得a=2,b=
a a2 2 2 a2 4b2
x2 y2
√3,所以椭圆M的方程为 + =1.
4 3
(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=1,
△ABD与△ABC的面积相等,|S-S|=0,当直线l的斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x-1),设
1 2
{y=k(x-1),
C(x,y),D(x,y),联立
1 1 2 2 x2 y2
+ =1,
4 3
消掉y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
显然Δ>0,方程有根,
且x+x=
8k2 ,xx=4k2-12,
1 2 1 2
3+4k2 3+4k2
-6k
所以y+y=k(x+x-2)= ,
1 2 1 2 3+4k2
12|k|
此时|S-S|=2(|y|-|y|)=2|y+y|= ,
1 2 2 1 2 1 3+4k2
12
12|k|
因为k≠0,所以|S-S|= = 3
1 2 3+4k2 +4|k|
|k|
12
12 √3
≤ √ 3 = =√3,当且仅当k=± 时等号成立,
2 ×4|k| 2√12 2
|k|
所以|S-S|的最大值为√3,则0≤|S-S|≤√3,
1 2 1 2
所以|S-S|的取值范围为[0,√3].
1 2
1
22.(12分)(2021届浙江杭州模拟)已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-lnx.
4
(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
解析 (1)由题意可知f'(x)=3x2+a.
设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x,0),则f(x)=0,f'(x)=0,
0 0 0
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1
即 { x3 0 +ax 0 + 4 1 =0, 解得 {x 0 = 2 ,
3
3x2+a=0, a=- .
0 4
3
因此,当a=- 时,x轴为曲线y=f(x)的切线.
4
(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0,故h(x)在(1,+∞)内无零点.
5
当x=1时,若a≥- ,
4
5
则f(1)=a+ ≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;
4
5
若a<- ,则f(1)<0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零点.
4
当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数.
(i)若a≤-3或a≥0,则f'(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.
1 5
而f(0)= ,f(1)=a+ ,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)内有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)内没有零点.
4 4
(ii)若-3<a<0,则f(x)在( √ a)内单调递减,在(√ a )内单调递增,故在(0,1)内,当x=√ a时,f(x)取得
0, - - ,1 -
3 3 3
最小值,最小值为f(√ a)=2a√ a+1.
- -
3 3 3 4
①若f(√ a)>0,即- 3 <a<0,f(x)在(0,1)内无零点;
-
3 4
②若f(√ a)=0,即a=- 3 ,则f(x)在(0,1)内有唯一零点;
-
3 4
③若f(√ a)<0,即-3<a<- 3 ,因为f(0)= 1 ,f(1)=a+ 5 ,
-
3 4 4 4
5 3
所以当- <a<- 时,f(x)在(0,1)内有两个零点;
4 4
5
当-3<a≤- 时,f(x)在(0,1)内有一个零点.
4
3 5 3 5 5 3
综上,当a>- 或a<- 时,h(x)有一个零点;当a=- 或a=- 时,h(x)有两个零点;当- <a<- 时,h(x)有三个零点.
4 4 4 4 4 4
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