文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷08
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 单调递增，当 时， ，故 ，故
故选：B
2．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】设 ，
则 ，
， ，
即 ，对应点为 ，在第一象限.
故选：A
3．已知向量 ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，解得： ，
故选:C.4．下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为满足 的 函数只有 ，
但是在（0,1）上单调递增的函数只有 ，所以应选答案C．
5． 的展开式中 的系数是（ ）
A．25 B．20 C．35 D．30
【答案】C
【解析】由题意，二项式 展开的通项 ，
令 ，得 ，则 的系数是 .
故选：C
6． 是抛物线 上一点，若点 到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线 的准线方程为
其上一点 到抛物线的焦点距离为6，则
解得 ，即抛物线的准线方程为
故选：A
7．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每
类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角
形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这
段文字写成公式，即 ， 现在有周长为 的 满足
，则用以上给出的公式求得 的面积为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【解析】由题意结合正弦定理可得： ，
周长为 ，即 ，
， ， .
所以 ，
故选：A.
8．“向量 是直线 的一个方向向量”是“直线 倾斜角为 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】因为向量 是直线 的一个方向向量，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 倾斜角为 ，
故“向量 是直线 的一个方向向量”是“直线 倾斜角为 ”的充分条件；
若直线 倾斜角为 ，则直线 的斜率为 ，
所以向量 是直线 的一个方向向量，故向量 也是直线 的一个方向向量，
所以“向量 是直线 的一个方向向量”是“直线 倾斜角为 ”的必要条件；
所以“向量 是直线 的一个方向向量”是“直线 倾斜角为 ”的充分必要条件；
故选：C.
9．刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有
广，而上有袤无广．”可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”如图，在刍甍
中，四边形 是边长为2的正方形， ， 到平面 的距离为3，则该刍甍的体
积可能是（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【解析】
设该刍甍的体积为 ，由题意知，该刍甍顶部只有长没有宽为一条棱，
所以 ,在选项中， ，
故选：A.
10．已知正数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】解：由 解得 ，
构造函数 ， ，显然 ，
故 是减函数，结合 ，故 时， ，
故 ， ，
再令 ， ， ，当 时， ，
故 在 单调递增，结合 ，
故 ， ，
则 ，
，
所以 ， ， ，
故 ，
由 ， ， 都是正数，故 ．
故选：D．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ，则 .
【答案】
【解析】 ，故 .
故答案为： .
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若O为坐标原点，点P为双曲线上一点，且P在第一象限， ，则 ．
【答案】 /
【解析】由双曲线的方程及其离心率为 ，得 得 ， ，
故双曲线的标准方程为 ．
由题意知 所以 又 ，
在 中， ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
13．已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假命题的一组 的值为
， ．
【答案】
【解析】因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，则 .
不妨取 ，即 满足题意.
故答案为： .
14．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，且 是 和 的等比中
项，则 ， .
【答案】 3
【解析】由 ，得 ，得 ①.
因为 是 和 的等比中项，所以 ，即 ②.
由①②，得 因此 .
故答案为：3； ．
15．下列说法中，正确的有 ．（写出所有正确说法的序号）
①已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ．
②已知等比数列 的前 项和为 ，则 、 、 也构成等比数列．
③已知函数 （其中 且 ）在 上单调递减，且关于 的方程
恰有两个不相等的实数解，则 ．
④已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
⑤在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 则 的取值范围是 ．
【答案】④⑤
【解析】对于①， 时关于 的不等式 的解集也为 ， 所以①错；对于②当 ，
为偶数时，结论错误，故②错，对于③，
是 上的单调递减函数， 在 上单调递减， 在
上单调递减，且 上的最小值大于或等于 ，解得 ，作
出 和 的函数如图所示： 恰有两个不相等的实数解， ，即
，综上， .故③错；对于④；
，故④正确；对于⑤， 可得，
，再由 可得 的夹角为 ，同理的夹角、 的夹角都是 ，设 ，则 ,则
，所以 的取值范围是 ，故⑤正确，故答案为
.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证: 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积.
【答案】(1) 证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】(1) 证明： 分别是 的中点
，
又 平面 ， 平面平面
(2) 如图，连接 ，
， 是 的中点，
同理
又
，又
平面
(3) 由 (2) 可知， 为三棱锥 的高，且 ，
.
17．（14分）已知函数 ，从下列两个条件：
① 图象的一条对称轴为 ；
② 中任选一个作为已知，并解决下列问题
(1)求出函数 的解析式：
(2)用五点法作 在一个周期内的图象，并直接写出函数 的单调递增区间；
(3)直接写出由 的图象经过怎样的图象变换得到 的图象．
（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分）【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解析】（1）若选①，则 ， .
因 ，则 ， .此时， ；
若选②，则 ，则 ，此时 .
（2）现列相应表格如下：
2 0 0
则对应五点为 .
将其画在同一坐标系下，再用光滑曲线相连可得图象如下：
的单调递增区间为： .
（3）将 图象向左平移 个单位即可.
18．（13分）某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定每户月人均用水量标准M（单位：立方米），月人均用水量不超过M的部分按平价收费，超出M的部分按议价
收费．现随机抽取200户进行调查，抽取的用户月人均用水量的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)如果希望 的用户月人均用水量不超过标准M，那么标准M定为多少比较合理？
(3)若从月人均用水量在 ， ， 三组的用户中采用按比例分层抽样的方法选取6户参加节
水座谈会，再从6户中随机地抽2户发言，求发言的2户来自不同组的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为图中所有矩形面积之和为1，
所以 ，
解得 .
（2）由图象可知，月人均用水量低于2立方米的居民占比为
，
月人均用水量低于 立方米的居民占比为
，
根据 分位数的含义可知， ，
且 ，解得 .
（3）由图象可知， 内的频率为 ， 内的频率为 ， 内的频
率为 ，所以，根据分层抽样知，应从 中抽3户，记作 ， 中抽2户，记作 ， 中抽1
户，记作 .
则从这6户中抽取2户有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共包含 个等可能的样本点，
满足发言的2户来自不同组的有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 共包含 个样本点，
根据古典概型可知，发言的2户来自不同组的概率 .
19．（15分）已知椭圆 过点 ，且右焦点为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得 ， ，故椭圆的方程为
（2）1、若直线 垂直 轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如 则 ，
， ， ， ，
又∵ ，求得
，∴
2、若直线 不垂直 轴，则设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，消 可得
，设 ，则
由 可得 ，∴ ，
由 同理可得
∴
20．（15分）已知函数 ， ，其中 .
（1）求过点 和函数 的图像相切的直线方程；
（2）若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在唯一的整数 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， .（2） .（3） .
【解析】试题分析：（1）先设切点为 ， 切线斜率为 ，再建立切线方程为
，将 代入方程可得 ，即 ，进而求得切线方程为：
或 .
（2）将问题转化为对任意 有 恒成立，①当 时，
，利用导数工具求得 ，故此时 ；②当 时，恒成立，故此时 ；③当 时， ，
利用导数工具求得 ，故此时 .综上： .
（3）因为 ，由（2）知 ，
当 ，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得 ；当
，原命题等价于 存在唯一的整数 成立，利用导数工具求得 .综上：
.
试题解析：
（1）设切点为 ， ，则切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，因为切线过 ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
当 时，切线方程为 ，
当 时，切线方程为 .
（2）由题意，对任意 有 恒成立，
①当 时， ，令 ，则 ，令 得 ，
，故此时 .
②当 时，恒成立，故此时 .
③当 时， ，
令 ，
，故此时 .综上： .
（3）因为 ，即 ，
由（2）知 ，
令 ，则当 ，存在唯一的整数 使得 ，
等价于 存在唯一的整数 成立，
因为 最大， ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，
所以 .
当 ，存在唯一的整数 使得 ，
等价于 存在唯一的整数 成立，
因为 最小，且 ， ，所以当 时，至少有两个整数成立，
所以当 时，没有整数成立，所有 .
综上： .
21．（15分）已知数列 ，满足 ；
（1）若 ， ， ，求 的通项公式；
（2）若 ， ， ，求 的前 项和为 ；
（3）若 ， ， 满足 恒成立，求 的取值范围；【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）若 ， ， ， ，
所以 是以3为首相，1为公差的等差数列，
，
即 ；
（2）若 ， ， ， ，
所以 ，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
，
所以 ，
前 项和
；
（3）若 ， ， ， 满足 恒成立，
，
满足 恒成立，即 恒成立，必有
即
即 ，解得 ；
下面证明其充分性：
当 时，
先用数学归纳法证明：
由题： ， ， ， ，
当 时， ，命题成立；
假设当 时，命题成立，
即 ，则
则 ，
所以对于 ，都有
所以 ，
，
当 时， ，
所以，当 时， 恒成立，
综上所述： 的取值范围 .
