曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
综合测试二
（时间：120 分钟，分值：150 分）
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.(2022哈尔滨九中二模,1)已知集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|√x-1<3},则A∩B=( )
A.{1,3} B.{1,3,5,7,9}
C.{3,5,7} D.{1,3,5,7}
答案 B B={x|√x-1<3}=[1,10),奇数元素有1,3,5,7,9,又A={x|x=2n+1,n∈Z},则
A∩B={1,3,5,7,9},故选B.
2.(2022湘赣皖长郡十五校联盟联考(二),2)已知复数z=i2 021+i2 022,则z在复平面内对应的
点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B 因为z=i2 021+i2 022=i+i2=-1+i,所以z在复平面内对应的点为(-1,1),该点位于第二
象限,故选B.
3.(2022全国八所名校联考(二),4)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB,AD
π
向外分别作正方形ABEF,正方形ADMN,其中AB=2,AD=1,∠BAD= ,则⃗AC·⃗FN=( )
4
A.-2√2B.2√2 C.0 D.-1
答案 C ⃗AC·⃗FN=(⃗AB+⃗AD)·(⃗FA+⃗AN)=⃗AB·⃗FA+⃗AD·⃗FA+⃗AB·⃗AN+⃗AD·⃗AN=0+|
π 3π
⃗AD||⃗FA|cos +|⃗AB||⃗AN|·cos +0=√2−√2=0,故选C.
4 4
4.(2022西安二模,5)现有语文、数学、英语、物理各1本书,把这4本书分别放入3个不
同的抽屉里,要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里,则放法种数为
( )
A.18 B.24 C.30 D.36
答案 C ①将4本书分为3组,语文和数学不在同一个组,有 -1=5种分组方法,②将分
C2
4
好的3组放到3个抽屉里,有 =6种安排方法,则有5×6=30种放法,故选C.
A3
3
5.(2022长沙长郡中学第一次月考,6)已知α∈(
0,
π)且12cos2α+7sin 2α-4=0,若
2
tan(α+β)=3,则tan β=( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 7
A.- 或−7B.− 或1
13 11
1
C.1 D.-
13
答案 D 由12cos2α+7sin 2α-4=0,得4cos2α+7sin αcos α-2sin2α=0,∴2tan2α-7tan α-4=0,
由α∈
( π) tan(α+β)-tanα 3-tanα 1
0, ,得tan α=4.又∵tan(α+β)=3,∴tan β=tan(α+β−α)= = =−
2 1+tan(α+β)tanα 1+3tanα 13
,故选D.
6.(2021重庆南开中学月考,7)自点A(-2,1)发出的光线l经过x轴反射,其反射光线所在直
线正好与圆M:x2+y2-4x-6y+9=0相切,则反射光线所在直线的所有斜率之和为( )
4 8
A. B.2C. D.4
3 3
答案 C 圆M:x2+y2-4x-6y+9=0可化为(x-2)2+(y-3)2=4,圆心为M(2,3),半径为r=2.点
A(-2,1)关于x轴对称的点为A'(-2,-1),所以设反射光线所在直线的方程为y+1=k(x+2),即
kx-y+2k-1=0.由反射光线正好与圆M相切,得
|2k-3+2k-1| 4-√7 4+√7 4-√7 4+√7 8
=2,即3k2−8k+3=0,解得k1= ,k2= ,于是k1+k2= + =
√k2+1 3 3 3 3 3
故选C.
7.(2022福建南平10月联考,7)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(-x)=-f(2+x),当-2≤x≤0
时, f(x)单调递增,则( )
A.f( 7π) ( 1)
tan <f(2 021)<f log
24 32
B.f( 7π) ( 1)<f(2 021)
tan <f log
24 32
C.f( 1) ( 7π)
log <f(2 021)<f tan
32 24
D.f( 1) ( 7π)<f(2 021)
log <f tan
32 24
答案 A 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),又f(-x)=-f(2+x),所以f(x)=-f(2+x),所以
f(x)=f(x+4),即f(x)是周期为4的函数,则f(2 021)=f(505×4+1)=f(1).因为
π < 7π < π ,所以1<tan 7π <√3, f ( log 1)=f(-log 3 2)=f(log 3 2),0<log 3 2<1.因为f(x)
4 24 3 24 32
为偶函数,且当-2≤x≤0时, f(x)单调递增,所以当0≤x≤2时, f(x)单调递减,故f
( 7π) ( 7π) ( 1).
tan <f(1)<f(log32),即f tan <f(2 021)<f log
24 24 32曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
8.(2022陕西质检(一),12)四面体DABC内接于球O,BC=2,AC=4,∠ACB=60°.若四面体
DABC体积的最大值为4,则这个球的体积为( )
256√3 16√3 128√3
A. πB. πC.128πD. π
27 9 27
答案 A 在△ABC中,∵BC=2,AC=4,∠ACB=60°,
1
∴BA2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=16+4-2×4×2×
2
1
=12,∴AC2=AB2+BC2,∴∠ABC=90°.∴S
△ABC
=
2
×2×2√3=2√3.
设AC的中点为O
1
,则O
1
为过△ABC的截面圆的圆心,
∵V 的最大值是4,∴点D到平面ABC的距离的最大值为2√3.
D-ABC
∵四面体DABC内接于球O,∴点D到平面ABC的距离最大时,点D为垂直于截面ABC
的球的直径的一端点,此时D,O,O 三点共线,如图.设球的半径为R,
1
4√3 4π
在Rt△AOO
1
中,R2=AO
1
2+OO
1
2,即R2=22+(2√3−R)2,解 得R=
3
,V球O=
3
×
3
(4√3) 256√3π.
=
3 27
二、多项选择题(本题共8小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.(2022福建南平10月联考,11)已知函数f(x)=cos2( π)-cos 2x,则( )
x-
6
1+√3
A.f(x)的最大值为
2
B.f(x)的图象关于点(7π )对称
,0
6
5π kπ
C.f(x)图象的对称轴方程为x= + (k∈Z)
12 2
D.f(x)在[0,2π]上有4个零点
( π)
1+cos 2x-
答案 ACD f(x)= 3 -cos 2x
2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
=1 1(1 √3 )-cos 2x
+ cos2x+ sin2x
2 2 2 2
=√3 3 1 √3 ( π) 1,
sin 2x− cos 2x+ = sin 2x- +
4 4 2 2 3 2
1+√3
则f(x)的最大值为 ,A正确.
2
π π 5π kπ
令2x- = +kπ(k∈Z),得x= + (k∈Z),即为f(x)图象的对称轴方程,C正确.
3 2 12 2
1
易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为 ,B错误.
2
由f(x)=√3
sin
(
2x-
π)
+
1
=0,得sin
(
2x-
π)
=−
√3,当x∈[0,2π]时,2x-π ∈[
-
π
,
11π]
2 3 2 3 3 3 3 3
.
因为sin( π) 11π √3 √3 ( π) √3在[0,2π]上有4
- =sin =− <− ,所以方程si2nx- =−
3 3 2 3 3 3
个不同的实根,
即f(x)在[0,2π]上有4个零点,D正确.
10.(2021湖南衡阳联考(一),11)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C的
两条切线,切点分别为A、B,下列说法正确的是( )
A.p=1
B.TA⊥TB
1
C.直线AB的斜率为
2
D.线段AB中点的横坐标为1
答案 BCD 易知准线方程为y=-1,∴p=2,C:x2=4y.设过点T的直线方程为y+1=k(x-1),代
x2 x2
入y= ,得 -kx+k+1=0,当直线与C相切时,有Δ=0,即k2-k-1=0,设TA,TB的斜率分别
4 4
为k
1
,k
2
,易知k
1
,k
2
是方程k2-k-1=0的两根,故k
1
k
2
=-1,故TA⊥TB.
设A(x ,y ),B(x ,y ),其中y =
1 1 2 2 1
x2 x2
1- 2
x2 x2 x2 x x 1 y - y 4 4 x +x 1 x +x
1,y2= 2,则直线T:Ay− 1= 1 (x−x1),即y= 1 x−y1,把(1,−1)代入得x1−2y1+2=0.同理可得x2−2y2+2=0,故 直 线A:xB−2y+2=0,故k AB= ,由k AB= 1 2= = 1 2= ,得 1 2
4 4 4 2 2 2 x -x x -x 4 2 2
1 2 1 2
=1,即线段AB中点的横坐标为1.故选BCD.
11.(2022河北神州智达省级联测二,12)已知三棱柱ABC-A B C 的6个顶点全部在球O
1 1 1
的表面上,AB=AC,∠BAC=120°,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧面积为8+4√3,则球O的表面积
可能是( )
A.4π B.8π
C.16π D.32π曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 CD 因为三棱柱的6个顶点全部在球O的表面上,所以三棱柱为直三棱柱.设三棱
柱ABC-A
1
B
1
C
1
的高为h,AB=AC=a.因为∠BAC=120°,所以BC=
,故ah=4.设△ABC的外接圆半径为
√3a,则该三棱柱的侧面积为(2+√3)ah=8+4√3
r,则r= BC =a.设球O的半径为R,则R2=r2+(ℎ) 2 ℎ 2 16 ℎ 2 ≥4,当且仅
=a2+ = +
2sin∠BAC 2 4 2 4
ℎ
当h=2√2时等号成立,故球O的表面积为4πR2≥16π.故选CD.
12.(2022广东汕头一模,10)已知正实数a,b满足a+2b=ab,则以下不等式正确的是( )
2 1
A. + ≥2 B.a+2b≥8
a b
C.log a+log b<3 D.2a+b≥9
2 2
a+2b 2 1
答案 BD 对于A,因为正实数a,b满足a+2b=ab,所以 =1,即 + =1,所以A错
ab a b
误;对于B,因为a>0,b>0,a+2b=ab,所以a+2b≥2√2ab=2√2(a+2b),当且仅当a=2b时取
等号,所以(a+2b)2≥8(a+2b),因为a+2b>0,所以a+2b≥8,所以B正确;对于C,若log a+log b<3,
2 2
则log a+log b=log (ab)<3=log 8,所以ab<8,所以a+2b<8,而由选项B可知a+2b≥8,所以
2 2 2 2
log a+log b<3不成立,所以C错误;对于D,由A可知
2 2
2 1 (2 1) 2a 2b≥5+2
+ =1,所以2a+b=(2a+b) + =5+ +
a b a b b a
√2a 2b 2b 2a
· =9,当且仅当 = ,即a=b=3时取等号,所以D正确,故选BD.
b a a b
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分）
13.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X≤4)=
.
答案 0.4
解析 因为P(X>2)=0.5,且μ=2,所以P(X<0)=P(X>4)=1-P(X>0)=0.1,所以
P(2<X≤4)=P(X>2)-P(X>4)=0.4.
14.(2020浙江,15,6分)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=
,b= .
√3 2√3
答案 ;−
3 3
解析 解法一:由直线与圆相切的充要条件知
{
|b|
=1, { k= √3 (舍非正数),
√k2+1 {|b|=|4k+b|, 3
⇔ ⇔
|4k+b| |b|=√k2+1 2√3
=1 b=- .
√k2+1 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解法二:如图所示.由图易知,直线y=kx+b经过点(2,0),且倾斜角为30°,从而k=
√3 2√3 2√3
,且0= +b⇒b=- .
3 3 3
x2 y2
15.(2022江苏苏州常熟抽测二,14)已知A(1,√3),F是 椭 圆: C + =1的左焦点,点P是
9 5
椭圆C上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为 .
答案 4
解析 设椭圆C的右焦点为F',依题意,知F'(2,0),由椭圆的定义得|PF|+|PF'|=6,
而||PA|-|PF'||≤|AF'|=
√(2-1)2+(√3)2
=2,即-2≤|PA|-|PF'|≤2,有|PF'|-2≤|PA|≤2+|PF'|,因此,|PA|
+|PF|≥|PF|+|PF'|-2=4,当且仅当点P是线段AF'的延长线与椭圆C的交点时取“=”,所以|
PA|+|PF|的最小值为4.
16.(2021山东青岛模拟,14)设函数f(x)=ex(x+1)的图象在点(0,1)处的切线为y=ax+b,若方
程|ax-b|=m有两个不等实根,则实数m的取值范围是 .
答案 (0,1)
解析
由f(x)=ex(x+1)可得f '(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),则函数f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率
为k=f '(0)=2e0=2,所以a=2,将(0,1)代入y=ax+b可得b=1,所以方程|ax-b|=m即|2x-1|=m有
两个不等实根,等价于y=|2x-1|的图象与直线y=m有两个不同的交点,作y=|2x-1|的图象如
图所示,由图知:若y=|2x-1|的图象与直线y=m有两个不同的交点,则0<m<1.
四、解答题本题共六小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(2022T8联考,18)设等差数列{a }的前n项和为S ,已知a =3,S =5a .
n n 1 3 1
(1)求数列{a }的通项公式;
n
2
(2)设b =1+ ,数列{b }的前n项和为T .定义[x]为不超过x的最大整数,例如[0.3]=0,
n S n n
n
[1.5]=1.当[T ]+[T ]+…+[T ]=63时,求n的值.
1 2 n
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,因为a 1 =3,所以S 3 =3a 1 +3d=9+3d.
又因为S =5a =15,所以9+3d=15,得d=2.
3 1
所以数列{a }的通项公式是a =3+2(n-1)=2n+1.
n n
n(n-1) 2 2 1 1
(2)因为S =3n+ ×2=n2+2n,所以bn=1+ =1+ =1+ − .
n 2 S n(n+2) n n+2
n
所以T =n+
n
( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) (1 1 ) 1 1 1
1- + - + - +…+ - + - =n+1+ − − .
3 2 4 3 5 n-1 n+1 n n+2 2 n+1 n+2
1 1 1 1
当n≤2时,因为- ≤ − − <0,所以[T ]=n.
3 2 n+1 n+2 n
1 1 1 1
当n≥3时,因为0< − − < ,所以[T ]=n+1.
2 n+1 n+2 2 n曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
因为[T ]+[T ]+…+[T ]=63,
1 2 n
所以1+2+4+5+…+(n+1)=63,
(n-2)(4+n+1)
即3+ =63,即n2+3n-130=0,即(n-10)·(n+13)=0.
2
因为n∈N*,所以n=10.
A
18.(2021山东烟台二模,18)从①sin A=cos ,②2acos A=bcos C+ccos B,③acos
2
C+(2b+c)·cos A=0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, .
(1)求A;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
解析 若选①:(1)由sin A=cos
A A A A A
可得2sin cos =cos ,因为0<A<π,所 以c os≠0,故2sin
2 2 2 2 2
A A 1 A π A π π
=1,即sin = ,由0< < 可知 = ,所 以A= .
2 2 2 2 2 2 6 3
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=bc+4.
因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.
1 1 √3
所以△ABC面积的最大值为 bcsin A= ×4× =√3.
2 2 2
若选②:(1)由正弦定理可得2sin Acos A=sin Bcos C+cos Bsin C,即2sin Acos
A=sin(B+C).
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A.
1
故2sin Acos A=sin A,解得cos A= .
2
π
因为0<A<π,所以A= .
3
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=bc+4.
因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.
1 1 √3
所以△ABC面积的最大值为 bcsin A= ×4× =√3.
2 2 2
若选③:(1)由正弦定理得sin Acos C+(2sin B+sin C)·cos A=0,即2sin Bcos
A+sin(A+C)=0.因为A+B+C=π,所以sin(A+C)=sin B,可得2sin Bcos A+sin B=0,因为
1 2
0<B<π,所以sin B>0,所以cos A=- .因为0<A<π,所 以A= π.
2 3
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=4-bc.
4 2√3
因为b2+c2≥2bc,所以bc≤ ,当且仅当b=c= 时“=”成立.所以△ABC面积的最大值为
3 3
1 1 4 √3 √3
bcsin A= × × = .
2 2 3 2 3
19.(2022新高考Ⅱ,19)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年
龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
