北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.4 双曲线
【5 年高考】
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3 图象上的点,
√4-x2
则|OP|= ( )
√22 4√10
A. B. C.√7 D.√10
2 5
答案 D
2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C
a2 b2
的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为 ( )
x2 y2 y2
A. - =1 B.x2- =1
4 4 4
x2
C. -y2=1 D.x2-y2=1
4
答案 D
3.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程
x2
-
y2
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取
m2+n 3m2-n
值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,√3) C.(0,3) D.(0,√3)
答案 A
4.(2017天津,5,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)两点的直线
√2
a2 b2
平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 8 8
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 8 8 4
答案 B
5.(2016天津,6,5分)已知双曲线x2-y2
=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两
4 b2
条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为 ( )
x2 3 y2 x2 4 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 4 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 4 4 12北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 D
6.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交
a2 b2
于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
7.(2020课标Ⅲ理,11,5分)设双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率为 .P是C上一
1 2 √5
a2 b2
点,且FP⊥FP.若△PFF 的面积为4,则a= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 A
考点二 双曲线的几何性质
8.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
√2
A. B.1 C.√2 D.2
2
答案 C
y2
9.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则
1 2
3
△PFF 的面积为 ( )
1 2
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
答案 B
x2 y2
10.(2019课标Ⅲ,10,5分)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|
4 2
PF|,则△PFO的面积为 ( )
3√2 3√2
A. B. C.2√2 D.3√2
4 2
答案 A
11.(2019课标Ⅱ,11,5分)设F为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆
a2 b2
x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 ( )
A.√2 B.√3 C.2 D.√5
答案 A
x2
12.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近
3
线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ( )
3
A. B.3 C.2√3 D.4
2
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
13.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( )
√3
a2 b2
√2 √3
A.y=±√2x B.y=±√3x C.y=± x D.y=± x
2 2
答案 A
14.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C
a2 b2
的离心率为 ( )
2√3
A.2 B.√3 C.√2 D.
3
答案 A
15.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F,F
是双曲线E:x2 -y2
=1的左,右焦点,点M在E上,MF 与x轴垂直,
1 2 1
a2 b2
1
sin∠MFF= ,则E的离心率为 ( )
2 1
3
3
A.√2 B. C.√3 D.2
2
答案 A
16.(2019天津,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分
a2 b2
别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A.√2 B.√3 C.2 D.√5
答案 D
17.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C:
x2 +y2=1(m>1)与双曲线C:x2
-y2=1(n>0)的焦点重合,e,e 分别为C,C 的离
1 2 1 2 1 2
m2 n2
心率,则 ( )
A.m>n且ee>1 B.m>n且ee<1
1 2 1 2
C.m<n且ee>1 D.m<n且ee<1
1 2 1 2
答案 A
18.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 -y2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√5x,则该双
a2 5 2
曲线的离心率是 .
3
答案
2
19.(2020课标Ⅲ文,14,5分)设双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y= x,则C的离心率为 .
√2
a2 b2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 √3
x2 y2
20.(2020北京,12,5分)已知双曲线C: - =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距离
6 3
是 .
答案 (3,0);√3
21.(2019课标Ⅰ,16,5分)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F 的直线与C的两
1 2 1
a2 b2
条渐近线分别交于A,B两点.若 = , · =0,则C的离心率为 .
⃗F A ⃗AB⃗F B ⃗F B
1 1 2
答案 2
22.(2021新高考适应卷,21,12分)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当
a2 b2
BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2018天津理,7,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线
a2 b2
交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 和d,且d+d=6,则双曲线的方程为( )
1 2 1 2
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 12 12 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
3 9 9 3
答案 C 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.
∵双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,
a2 b2
∴e2=1+b2
=4,
a2
∴b2
=3,即b2=3a2,
a2
∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∵b2
=3,∴渐近线方程为y=± x,
√3
a2
|2√3a-3a| 2√3-3 |2√3a+3a|
则点A与点B到直线√3x-y=0的距离分别为d= = a,d= =
1 2
2 2 2
2√3+3 2√3-3 2√3+3 x2 y2
a,又∵d+d=6,∴ a+ a=6,解得a=√3,∴b2=9.∴双曲线的方程为 - =1,故选C.
1 2
2 2 2 3 9
解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A与点B的坐标是求解本题的关键.
方法归纳 求双曲线标准方程的方法
(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程.
(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b
的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√5x,且与椭圆x2+y2=1
a2 b2 2 12 3
有公共焦点,则C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
8 10 4 5 5 4 4 3
答案 B 本题考查双曲线的方程.
x2 y2 x2 y2 x2 y2
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k>0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 + =1有公共
4 5 4k 5k 12 3
x2 y2
焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B.
4 5
x2 y2 x2 y2
一题多解 ∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲
12 3 12 3
√5 b √5 x2 y2
线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为 - =1.
2 a 2 4 5
y2
3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是
3
(1,3),则△APF的面积为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
答案 D 本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 3
∴S = ×3×1= .故选D.
△APF
2 2
4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是 ( )
y2 x2 y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1 C. -x2=1 D.y2- =1
4 4 4 4
答案 C 由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点
a2 b2
在直线l上,则双曲线的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
5 20 20 5 25 100 100 25
b x2 y2
答案 A 由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 - =1.
a 5 20
6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2 -y2
=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的
a2 b2
右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
4 12 7 9 8 8 12 4
b
答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y= x,因此可设点A的坐标为(a,b).
a
设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所
c x2 y2
以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为 - =1,故选A.
2 4 12
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和
逻辑推理能力.
y2
7.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6).当△APF周长
8
最小时,该三角形的面积为 .
答案 12√6
解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|
=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点
共线时,△APF的周长最小.
x y
{ 0 + 0 =1,
-3 6√6
设P点坐标为(x
0
,y
0
),y
0
>0,由 得y2+6√6y
0
-96=0,所以y
0
=2√6或y
0
=-8√6(舍去).
y2 0
x2- 0=1
0 8
1 1
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S= ×6×6√6- ×6×2√6=12√6.
2 2
1
8.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=± x,则该双曲线的标准方程为 .
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x2
答案 -y2=1
4
解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3
x2
)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.
4
考点二 双曲线的几何性质
1.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 (
a2 b2
)
1 1
A.2sin 40° B.2cos 40° C. D.
sin50° cos50°
答案 D 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力
和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.
由双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)可知渐近线方程为y=±bx,
a2 b2 a
b
由题意知- =tan 130°,
a
又tan 130°=-tan 50°,
b
∴ =tan 50°,
a
∴双曲线的离心率e= c =√ b2 = =√ sin250°=√ 1 = 1 ,故
1+ √1+tan250° 1+
a a2 cos250° cos250° cos50°
选D.
方法总结
求双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率的常见方法:
a2 b2
(1)定义法:e=2c=c ;(2)公式法:e=√ b2 = (θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得
1+ √1+tan2θ
2a a a2
c
出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e= 转化为关于e的方程,从而得出离心率
a
e.
2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x2
-y2=1(a>0)的离心率是 ,则a= ( )
√5
a2
1
A.√6 B.4 C.2 D.
2
答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为
数学运算.
