北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.6 圆锥曲线的综合问题
【5 年高考】
考点一 曲线与方程
1
1.(2019课标Ⅱ,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为
2
曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.
(i)证明:△PQG是直角三角形;
(ii)求△PQG面积的最大值.
x2
2.(2017课标Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满
2
足⃗NP=√2⃗NM.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且⃗OP·⃗PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
考点二 定点与定值问题
3.(2020北京,20,15分)已知椭圆C:x2 +y2
=1过点A(-2,-1),且a=2b.
a2 b2
(1)求椭圆C的方程;
|PB|
(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q.求 的值.
|BQ|
4.(2020课标Ⅰ,文21,理20,12分)已知A,B分别为椭圆E:x2
+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点, ·
⃗AG
a2
⃗GB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
5.(2020新高考Ⅰ,22,12分)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为√2,且过点A(2,1).
a2 b2 2
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
考点三 最值与范围问题
6.
(2019北京,8,5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下
列三个结论:北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是 ( )
A.① B.② C.①② D.①②③
答案 C
x2
7.(2020浙江,21,15分)如图,已知椭圆C: +y2=1,抛物线C:y2=2px(p>0),点A是椭圆C 与抛物线C 的交点,过
1 2 1 2
2
点A的直线l交椭圆C 于点B,交抛物线C 于点M(B,M不同于A).
1 2
1
(1)若p= ,求抛物线C 的焦点坐标;
2
16
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
x2 y2
8.(2016课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆E: + =1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于
t 3
A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
9.(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点
C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面
积分别为S,S.
1 2
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
S
(2)求 1的最小值及此时点G的坐标.
S
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
10.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2 +y2 =1(a>b>0)的离心率为√2,焦距为2.
a2 b2 2
(1)求椭圆E的方程;
√3 √2
(2)如图,动直线l:y=kx- 交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k,且kk= .M是线
1 2 1 2
2 4
段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的
最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
考点四 存在性问题
11.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点
A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点(m ),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若
,m
3
不能,说明理由.
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 曲线与方程
1.(2016课标Ⅲ,理20,文20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l,l 分别交C于A,B
1 2
两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
解析 由题设知F(1
,0
).设l
1
:y=a,l
2
:y=b,则ab≠0,
2
且A(a2 ),B(b2 ),P( 1 ),Q( 1 ),R( 1 a+b).
,a ,b - ,a - ,b - ,
2 2 2 2 2 2
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k,FQ的斜率为k,则
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
a-b a-b 1 -ab
k= = = = =-b=k.
1 1+a2 a2-ab a a 2
所以AR∥FQ. (5分)
(2)设l与x轴的交点为D(x,0),则S =1|b-a||FD|=1|b-a|| 1|,S =|a-b|.
1 △ABF x - △PQF
2 2 1 2 2
由题设可得2×1|b-a|| 1|=|a-b|,
x -
2 1 2 2
所以x=0(舍去),或x=1. (8分)
1 1
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
2 y
当AB与x轴不垂直时,由k =k 可得 = (x≠1).
AB DE a+b x-1
a+b
而 =y,所以y2=x-1(x≠1).
2
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1. (12分)
疑难突破 第(1)问求解关键是把AR∥FQ的证明转化为k =k 的证明;第(2)问需找到AB中点所满足的几何
AR FQ
条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.
评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类讨论思想的应用,
考查考生对基础知识和基本技能的应用能力.
2.(2014广东理,20,14分)已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的一个焦点为( ,0),离心率为√5.
√5
a2 b2 3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
0 0
c √5
解析 (1)由题意知c=√5,e= = ,
a 3
∴a=3,b2=a2-c2=4,
x2 y2
故椭圆C的标准方程为 + =1.
9 4
(2)设两切线为l,l,
1 2
①当l⊥x轴或l∥x轴时,l∥x轴或l⊥x轴,可知P(±3,±2).
1 1 2 2
1 x2
②当l 与x轴不垂直且不平行时,x≠±3,设l 的斜率为k,且k≠0,则l 的斜率为- ,l 的方程为y-y=k(x-x),与
1 0 1 2 k 1 0 0 9
y2
+ =1联立,
4
整理得(9k2+4)x2+18(y-kx)kx+9(y-kx)2-36=0,
0 0 0 0
∵直线l 与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y-kx)2k2-(9k2+4)·[(y-kx)2-4]=0,
1 0 0 0 0
∴( -9)k2-2xyk+ -4=0,
x2 0 0 y2
0 0
∴k是方程( -9)x2-2xyx+ -4=0的一个根,
x2 0 0 y2
0 0
1
同理,- 是方程(x2-9)x2-2xyx+y2-4=0的另一个根,
k 0 0 0 0北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∴k·( - 1)= y2 0 -4 ,整理得 x2+ y2=13,其中x 0 ≠±3,
k x2-9 0 0
0
∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
P(±3,±2)满足上式.
综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
评析 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以
及方程思想的应用.
3.(2014湖北理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的
轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k
的相应取值范围.
解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,
即 =|x|+1,
√(x-1)2+ y2
化简整理得y2=2(|x|+x).
{4x, x≥0,
故点M的轨迹C的方程为y2=
0, x<0.
(2)在点M的轨迹C中,记C:y2=4x,C:y=0(x<0),
1 2
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组{y-1=k(x+2),
可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
y2=4x,
1
(i)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x= .
4
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(1 ).
,1
4
(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1). ②
设直线l与x轴的交点为(x,0),则
0
2k+1
由y-1=k(x+2),令y=0,得x 0 =- . ③
k
1°若{Δ<0, 由②③解得k<-1或k>1.
x <0, 2
0
即当k∈(-∞,-1)∪(1
,+∞
)时,直线l与C
1
没有公共点,与C
2
有一个公共点,
2
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
2°若{Δ=0, 或{Δ>0, 则由②③解得k∈{ 1}或-1≤k<0.
-1,
x <0 x ≥0, 2 2
0 0北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
即当k∈{ 1}时,直线l与C 只有一个公共点,与C 有一个公共点.
-1, 1 2
2
当k∈[
-
1
,0
)时,直线l与C
1
有两个公共点,与C
2
没有公共点.
2
故当k∈[ 1 )∪{ 1}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
- ,0 -1,
2 2
3°若{Δ>0, 则由②③解得-1<k<-1或0<k<1.
x <0, 2 2
0
即当k∈(
-1,-
1)∪(
0,
1)时,直线l与C
1
有两个公共点,与C
2
有一个公共点,
2 2
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪(1 )∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈[ 1 )∪
,+∞ - ,0
2 2
{ 1}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈( 1)∪( 1)时,直线l与轨迹C恰好有三
-1, -1,- 0,
2 2 2
个公共点.
评析 本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用判别式是求解的关键.盲目
利用抛物线的定义而漏掉射线y=0(x<0)就会造成错解而失分.
4.(2013课标Ⅰ,理20,文21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,
圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径
1 2
为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r)+(r-R)=r+r=4.
1 2 1 2
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方
x2 y2
程为 + =1(x≠-2).
4 3
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当
圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2√3.
|QP| R
若l的倾斜角不为90°,由r≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),所以
1 |QM| r
1
可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得 |3k| =1,解得k=±√2.
√1+k2 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
√2 √2 x2 y2 -4±6√2
当k= 时,将y= x+√2代入 + =1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x = .
4 4 4 3
1,2
7
18
所以|AB|=√1+k2|x
2
-x
1
|= .
7
√2 18
当k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= .
4 7
18
综上,|AB|=2√3或|AB|= .
7
评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了椭圆的定义和方程,考查了分类讨论的方法和运算求解能力.
利用数形结合的方法是解题的关键.在求曲线C的方程时容易忽视对左顶点和直线倾斜角为90°时的讨论而
造成失分.
5.(2013课标Ⅱ文,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2√2,在y轴上截得线
段长为2√3.
(1)求圆心P的轨迹方程;
√2
(2)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.
2
解析 (1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x,y),由已知得
0 0
|x - y | =√2.
0 0
√2 2
{|x - y |=1,
又P在双曲线y2-x2=1上,从而得 0 0
y2-x2=1.
0 0
{x - y =1, { x =0,
由 0 0 得 0 此时,圆P的半径r= √3 .
y2-x2=1 y =-1.
0 0 0
{x - y =-1, {x =0,
由 0 0 得 0 此时,圆P的半径r= √3 .
y2-x2=1 y =1.
0 0 0
故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
考点二 定值定点问题
x2 1
1.(2019课标Ⅲ理,21,12分)已知曲线C:y= ,D为直线y=- 上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
2 2
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E( 5)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
0,
2
解析 本题考查直线与抛物线相切,弦的中点,直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查了
学生在解析几何中的运算求解能力,以直线与抛物线相切为背景考查了数学运算的核心素养.
