北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§2.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划(旧
课标)
【5 年高考】
考点 简单的线性规划
{x-3 y+1≤0,
1.(2020浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件 则z=x+2y的取值范围是( )
x+ y-3≥0,
A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[5,+∞) D.(-∞,+∞)
答案 B
x+ y-2≤0,
{
x- y+2≥0,
2.(2019天津,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=-4x+y的最大值为 ( )
x≥-1,
y≥-1,
A.2 B.3 C.5 D.6
答案 C
3.(2019北京,5,5分)若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为 ( )
A.-7 B.1 C.5 D.7
答案 C
{x-3 y+4≥0,
4.(2019浙江,3,4分)若实数x,y满足约束条件 3x- y-4≤0,则z=3x+2y的最大值是 ( )
x+ y≥0,
A.-1 B.1 C.10 D.12
答案 C
{2x+3 y-3≤0,
5.(2017课标Ⅱ,5,5分)设x,y满足约束条件 2x-3 y+3≥0,则z=2x+y的最小值是 ( )
y+3≥0,
A.-15 B.-9 C.1 D.9
答案 A
{2x+ y-2≤0,
6.(2020课标Ⅰ,文13,理13,5分)若x,y满足约束条件 x- y-1≥0, 则z=x+7y的最大值为 .
y+1≥0,
答案 1
{
x+ y≥0,
7.(2020课标Ⅲ,文13,理13,5分)若x,y满足约束条件 2x- y≥0,则z=3x+2y的最大值为 .
x≤1,
答案 7
{x-2y-2≤0,
8.(2018课标Ⅰ,13,5分)若x,y满足约束条件 x- y+1≥0, 则z=3x+2y的最大值为 .
y≤0,
答案 6北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 简单的线性规划
x+ y≤5,
{
2x- y≤4,
1.(2018天津,理2文2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为( )
-x+ y≤1,
y≥0,
A.6 B.19 C.21 D.45
答案 C 本题主要考查线性目标函数最值的求解.
由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).
作出基本直线l:3x+5y=0,平移直线l,当经过点A(2,3)时,z取最大值,z =3×2+5×3=21,故选C.
0 0 max
{3x+2y-6≤0,
2.(2017课标Ⅲ文,5,5分)设x,y满足约束条件 x≥0, 则z=x-y的取值范围是 ( )
y≥0,
A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]
答案 B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).
由图可知,目标函数z=x-y在点A,B处分别取得最小值与最大值,z =0-3=-3,z =2-0=2,
min max
故z=x-y的取值范围是[-3,2].故选B.
{x+3 y≤3,
3.(2017课标Ⅰ文,7,5分)设x,y满足约束条件 x- y≥1, 则z=x+y的最大值为 ( )
y≥0,
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D 本题考查简单的线性规划问题.
作出约束条件表示的可行域如图:北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,z =3,故选D.
max
一题多解 由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),(3
,
1),分别代入目标函数z=x+y,得到z
max
=3.
2 2
{2x- y≤0,
4.(2016北京理,2,5分)若x,y满足 x+ y≤3, 则2x+y的最大值为 ( )
x≥0,
A.0 B.3 C.4 D.5
答案 C 画出可行域,如图中阴影部分所示,令z=2x+y,则y=-2x+z,当直线y=-2x+z过点A(1,2)时,z最大,z =4.
max
故选C.
思路分析 先画出可行域,再令z=2x+y并改写成斜截式,找到令z取最大值时的点,代入求值.
评析 本题考查简单的线性规划,属容易题.
{
x- y+2≥0,
5.(2016天津理,2,5分)设变量x,y满足约束条件 2x+3 y-6≥0,则目标函数z=2x+5y的最小值为 (
3x+2y-9≤0,
)
A.-4 B.6 C.10 D.17
答案 B 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分).
当直线2x+5y-z=0过点A(3,0)时,z =2×3+5×0=6,故选B.
min
评析 本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.
{
x+ y≤2,
6.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足 2x-3 y≤9,则x2+y2的最大值是 ( )
x≥0,
A.4 B.9 C.10 D.12
答案 C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x2+y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)到原点的距离最大,所以
x2+y2的最大值是10,故选C.
评析 本题考查了数形结合的思想方法.利用x2+y2的几何意义是求解的关键.
7.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域
{
x-2≤0,
x+ y≥0, 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )
x-3 y+4≥0
A.2√2 B.4 C.3√2 D.6
答案 C 由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域
内的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=
=3 .故选C.
√(2+1)2+(-2-1)2 √2
{
x+ y-3≥0,
8.(2016浙江,4,5分)若平面区域 2x- y-3≤0,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间
x-2y+3≥0
的距离的最小值是 ( )
3√5 3√2
A. B.√2 C. D.√5
5 2
答案 B 作出可行域如图.
{2x- y-3=0,
由 得A(2,1),
x+ y-3=0,
{ x+ y-3=0,
由 得B(1,2).
x-2y+3=0,
斜率为1的平行直线l,l 分别过A,B两点时它们之间的距离最小.过A(2,1)的直线l:y=x-1,过B(1,2)的直线
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2
l:y=x+1,此时两平行直线间的距离d= =√2.故选B.
2
√2
{
x+ y-2≤0,
4
9.(2015重庆,10,5分)若不等式组 x+2y-2≥0,表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则m的值为
3
x- y+2m≥0
( )
4
A.-3 B.1 C. D.3
3
答案 B 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m<2,即m>-1,所围成的区域为△ABC,S =S -
△ABC △ADC
S .
△BDC
2
点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为 (1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m,
3
1 1 2
所以S = (2+2m)(1+m)- (2+2m)· (1+m)
△ABC
2 2 3
1 4
= (1+m)2= ,
3 3
解得m=-3(舍去)或m=1.
故选B.
{x- y≥0,
10.(2015山东理,6,5分)已知x,y满足约束条件 x+ y≤2,若z=ax+y的最大值为4,则a= ( )
y≥0.
A.3 B.2 C.-2 D.-3
答案 B 作出可行域如图.
①当a<0时,显然z=ax+y的最大值不为4;②当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0<a<1
时,z=ax+y在B(1,1)处取得最大值,z
max
=a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y的最大值为2,不符合题意;⑤当
a>1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,z =2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.
max
{
x+ y≥0,
11.(2015福建文,10,5分)变量x,y满足约束条件 x-2y+2≥0,若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于(
mx- y≤0.
)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 C 当m<0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z=2x-y无最大值,排除A,B,当m=2时,目北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
标函数z=2x-y的最大值为0,于是排除D,故选C.
12.(2015陕西,理10,文11,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需
原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业
每天可获得最大利润为 ( )
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
答案 D 设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z万元,则
3x+2y≤12,
{
x+2y≤8,
由题设可得 z=3x+4y.
x≥0,
y≥0,
画出可行域(图略),利用线性规划知识可求得z =18,故选D.
max
{
x+ y-7≤0,
13.(2014课标Ⅱ理,9,5分,0.798)设x,y满足约束条件 x-3 y+1≤0,则z=2x-y的最大值为 ( )
3x- y-5≥0,
A.10 B.8 C.3 D.2
答案 B
{x+ y-7=0,
由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由 得A(5,2).当直线2x-y=z过点A时,z=2x-y取得最
x-3 y+1=0
大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.
方法总结 解决线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的
点,并求出该点坐标;③求出目标函数的最大值或最小值.
{
x+ y-1≥0,
14.(2014课标Ⅱ文,9,5分,0.700)设x,y满足约束条件 x- y-1≤0, 则z=x+2y的最大值为 ( )
x-3 y+3≥0,
A.8 B.7 C.2 D.1
答案 B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,
1 z z 1 z z 1 z
由z=x+2y,得y=- x+ , 为直线y=- x+ 在y轴上的截距,要使z最大,则需 最大,所以当直线y=- x+ 经
2 2 2 2 2 2 2 2
过点B(3,2)时,z最大,最大值为3+2×2=7,故选B.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
{ x+ y≥a,
15.(2014课标Ⅰ文,11,5分,0.236)设x,y满足约束条件 且z=x+ay的最小值为7,则a= ( )
x- y≤-1,
A.-5 B.3
C.-5或3 D.5或-3
答案 B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(a-1 a+1).平移直线x+ay=0,可知在点
,
2 2
A(a-1 a+1)处,z取得最值,
,
2 2
a-1 a+1
因此 +a× =7,化简得a2+2a-15=0,
2 2
解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,故舍去,故选B.
解后反思 本题也可由排除法选出答案,当a=-5时,目标函数无最小值,当a=3时,可以判断出目标函数的最小
值为7,所以选B.
{x+ y-2≥0,
16.(2014北京理,6,5分)若x,y满足 kx- y+2≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为 ( )
y≥0,
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
{y-x=-4,
答案 D 由 得A(4,0).
y=0
1
由图推测直线kx-y+2=0必过A(4,0),得k=- ,经验证符合题目条件.故选D.
2
{x- y+1≥0,
17.(2013课标Ⅱ文,3,5分,0.693)设x,y满足约束条件 x+ y-1≥0,则z=2x-3y的最小值是 ( )
x≤3,
A.-7 B.-6 C.-5 D.-3
答案 B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z =2×3-3×4=-6.故选B.
min
