专题21 简单线性规划解法
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考
查
内
容[来源:Zxxk.Com]
2011
理13
文14
线性目标函数的最值问题[ 来
源:Zxxk.Com]
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2012[来源:学科网]
文5[来源:
学#科#网Z#X#X#K][来源:学
§科§网]
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想[来源:Zxxk.Com][来源:学科网
ZXXK][来源:Z*xx*k.Com]
理15
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2013
卷2
文3
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
文14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
理9
含参数的规划问题
含参数的线性规划解法数形结合思想
2014
卷2
文9
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
理9
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
理9
二元一次不等式(组)平面区
域问题
二元一次不等式(组)平面区域问题、命题真假判断
卷1
文11
含参数的规划问题
含参数的线性规划解法数形结合思想
2015
卷2
文14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
理14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
理15
非线性目标函数的最值问题
非目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
文15
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2016
卷3
理13
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
文14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
理16
文16
线性规划的实际问题
利用线性规划处理实际中的最优化问题解法，数学建模
素养及数形结合思想
2017
卷3
文5
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题，数形结合思想
卷1
文7
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷3
理13
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
理5
文7
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
理14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2018
卷3
文15
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
理14
文14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷1
理13
文14
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2019
卷2
文13
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题，数形结合思想
卷3
文11
二元一次不等式(组)平面区
域问题
二元一次不等式(组)平面区域问题、命题真假判断及复
合命题的真假判断
2020
卷1
理13
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
文13
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷2
文15
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷3
文13
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点69 二元一次不等式(组)平面区域问题
2/28
随着新课改深入开展，新课标中去掉了线性规
划内容，近几年的高考线性规划内容逐步在弱
化，故2021 年线性规划问题若考查，其侧重
于目标函数为线性的规划问题考查，难度为基
础题，题型为选择或填空题．
考点70 线性目标函数的最值问题
22/28
考点71 非线性目标函数的最值问题
1/28
考点72 线性规划的实际问题
1/28
考点73 含参数规划问题
2/28
十年试题分类*探求规律
考点69 二元一次不等式(组)平面区域问题
1．(2019•新课标Ⅲ，文11)记不等式组
0
2
6
y
x
y
x
表示的平面区域为D ．命题
: ( , )
p
x y
D
，
9
2
y
x
；
命题
:
( , )
q
x y
D
，
12
2
y
x
．下面给出了四个命题
①p
q
②
p
q
③p
q
④
p
q
这四个命题中，所有真命题的编号是(
)
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】A
【解析】作出不等式组
0
2
6
y
x
y
x
表示的平面区域为D ．在图形可知，命题
: ( , )
p
x y
D
，
9
2
y
x
是
真命题，则
p
假命题；命题
:
( , )
q
x y
D
，
12
2
y
x
．是假命题，则
q
真命题，所以①p
q
真；②
p
q
假；③p
q
真；④
p
q
假，故选A ．
2．(2014 新课标Ⅰ，理9)不等式组
1
2
4
x
y
x
y
的解集记为D ．有下面四个命题：
1p ：
( , )
,
2
2
x y
D x
y
，
2p ：( , )
,
2
2
x y
D x
y
，
3P ：
( , )
,
2
3
x y
D x
y
，
4p ：( , )
,
2
1
x y
D x
y
．
其中真命题是(
)
A ．
2p ，
3P
B ．
1p ，
4p
C ．
1p ，
2p
D ．
1p ，
3P
【答案】C
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：
2
0
x
y
，平移0l ，由图可知，当直线：
2
x
y
z
过
2, 1
A
时，
min
2
2
0
z
，∴
0
z
，∴命题
1p 、
2p 真命题，选C．
3．(2018 北京)设集合
{( , ) |
1,
4,
2},
A
x y
x
y
ax
y
x
ay
≥
≤
则
A．对任意实数a ，(2,1)
A
B．对任意实数a ，(2,1)
A
C．当且仅当
0
a
时，(2,1)
A
D．当且仅当
3
2
a ≤
时，(2,1)
A
【答案】D
【解析】若(2,1)
A
，则
2
1
4
2
2
a
a
≤
，解得
3
2
a
，所以当且仅当
3
2
a ≤
时，(2,1)
A
．故选D．
4．(2014 安徽)不等式组
2
0
2
4
0
3
2
0
x
y
x
y
x
y
表示的平面区域的面积为________．
【答案】4
【解析】如图阴影部分，可知
1
2 (2
2)
4
2
ABC
S
考点70 线性目标函数的最值问题
1．(2020 浙江3)若实数,x y 满足约束条件
3
1
0
3
0
x
y
x
y
，则
2
z
x
y
的取值范围是(
)
A．
,4
B．
4,
C．
5,
D．
,
【答案】B【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线
2
0
x
y
，平移该直线，易知当直线经过
点
2,1
A
时，z 取得最小值，
min
2
2 1
4
z
，再数形结合可得
2
z
x
y
的取值范围是
4,．
2．(2017•新课标Ⅱ文5)设
,
x y 满足约束条件
0
3
0
3
3
2
0
3
3
2
y
y
x
y
x
，则
2
z
x
y
的最小值是(
)
A．15
B．9
C．1
D．9
【答案】A
【解析】作出可行域如图所示，
2
z
x
y
经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，
由
3
2
3
3
0
y
x
y
解得
( 6, 3)
A
，则
2
z
x
y
的最小值是15
，故选A ．
3．(2017•新课标Ⅰ，文7)设x ，y 满足约束条件
3
3
1
0
x
y
x
y
y
，则z
x
y
的最大值为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】作出可行域如图所示，则z
x
y
经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由
0
3
3
y
x
y
解得
(3,0)
A
，所以z
x
y
的最大值为3，故选D ．
4．(2017•新课标Ⅲ，文5)设x ，y 满足约束条件
3
2
6 0
0
0
x
y
x
y
-
.
.
则z
x
y
的取值范围是(
)
A．[ 3
，0]
B．[ 3
，2]
C．[0 ，2]
D．[0 ，3]
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z
x
y
，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最
值，由
0
3
2
6
0
x
x
y
解得
(0,3)
A
，由
0
3
2
6
0
y
x
y
解得
(2,0)
B
，目标函数的最大值为：2，最小值为：3
，
目标函数的取值范围：[ 3
，2]，故选B ．
5．(2013 新课标Ⅱ，文3)设,x y 满足约束条件
1
0,
1
0,
3,
x
y
x
y
x
，则
2
3
z
x
y
的最小值是(
)
(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 3
【答案】B
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线
2
3
z
x
y
经过点
(3,4)
B
时，
min
2 3
3 4
6
z
，故选B．
6．(2014 新课标Ⅱ，理9)设x，y 满足约束条件
7
0
3
1
0
3
5
0
x
y
x
y
x
y
，则
2
z
x
y
的最大值为(
)
A．10
B．8
C．3
D．2
【答案】B
【解析】作出可行域如图阴影部分，做出目标函数0l ：
2
y
x
，∵
2
y
x
z
，∴当
2
y
x
z
在
y 轴上的截距最小时，z 有最大值，∴当
2
y
x
z
经过C 点时，z 有最大值．由
3
1
0
7
0
x
y
x
y
得：
(5,2)
C
此时：z 有最大值2 5
2
8
，故选B．
7．(2014 新课标Ⅱ，文9)设x ，y 满足的约束条件
1
0
1
0
3
3
0
x
y
x
y
x
y
，则
2
z
x
y
的最大值为
A．8
B．7
C．2
D．1
【答案】B
【解析】画出可行域如图阴影部分所示，将目标函数
2
z
x
y
变形为
1
2
2
z
y
x
，当z取到最大值时，
直线
1
2
2
z
y
x
的纵截距最大，作出直线0 :
2
0
l
x
y
，平移0l ，当直线l ：
2
z
x
y
A 点时，z取到
最大值．由
1
0
3
3
0
x
y
x
y
解得
(3,2)
A
，所以
max
z
3
2 2
7
，故选B．
8．(2012•新课标，文5)已知正三角形ABC 的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点(x，y)在△
ABC 内部，则z
x
y
的取值范围是
(A)(1－3，2)
(B)(0，2)
(C)( 3－1，2)
(D)(0，1+ 3)
【答案】A
【解析】有题设知C(1+
3 ，2)，作出直线0l ：
0
x
y
，平移直线0l ，有图像知，直线:l z
x
y
过
B 点时，
max
z
=2，过C 时，
min
z
=1
3
，∴z
x
y
取值范围为(1－3，2)，故选A．
9．(2018 天津)设变量x，y 满足约束条件
5,
2
4,
1,
0,
x
y
x
y
x
y
y
≤
≤
≤
≥
则目标函数
3
5
z
x
y
的最大值为
A．6
B．19
C．21
D．45
【答案】C
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线
3
5
y
x
．平移该直线，当经过点C 时，
z 取得最大值，由
1
5
x
y
x
y
，得
2
3
x
y
，即
(2,3)
C
，所以
max
3 2
5 3
21
a
，故选C．
10．(2017 天津)设变量,x y 满足约束条件
2
0,
2
2
0,
0,
3,
x
y
x
y
x
y
≥
≥
≤
≤
则目标函数z
x
y
的最大值为
A．2
3
B．1
C．3
2
D．3
【答案】D
【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中
3
(0,1),
(0,3),
(
,3)
2
A
B
C
，
2 4
(
, )
3 3
D
，所以直线
z
x
y
过点B 时取最大值3，选D．
11．(2017 山东)已知x ，y 满足
3
0
3
5
0
3
0
x
y
x
y
x
≤
≤
≥
，则
2
z
x
y
的最大值是
A．0
B．2
C．5
D．6
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，当目标函数过( 3,4)
时取得最大值，即
max
3
2 4
5
z
．选C．
12．(2017 北京)若x ，y 满足
3
2
x
x
y
y
x
≤
≥
≤
则
2
x
y
的最大值为
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】D
【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数
2
z
x
y
过点
(3,3)
C
时，取得最大值
max
3
2 3
9
z
，故选D．
13．(2017 浙江)若x ，y 满足约束条件
0
3
0
2
0
x
x
y
x
y
≥
≥
≤
，则
2
z
x
y
的取值范围是
A．[0，6]
B．[0，4]
C．[6,
)
D．[4,
)
【答案】D
【解析】如图阴影为可行域，可知在
(2,1)
A
时，min
4
z
，无最大值．所以
2
z
x
y
的取值范围是[4,
)
．选
D．
14．(2016 天津)设变量x，y 满足约束条件
2
0,
2
3
6
0,
3
2
9
0.
x
y
x
y
x
y
，则目标函数
2
5
z
x
y
的最小值为
A．4
B．6
C．10
D．17
【答案】B
【解析】如图，已知约束条件
2
0,
2
3
6
0,
3
2
9
0.
x
y
x
y
x
y
所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，
其中A(0，2)，B(3，0)，C(l，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线
2
5
5
z
y
x
过点B(3，0)时，z
取得最小值2
3
5 0
6
．
15．(2015 福建)若变量,x y 满足约束条件
2
0,
0,
2
2
0,
x
y
x
y
x
y
≥
≤
≥
则
2
z
x
y
的最小值等于
A．
5
2
B．2
C．
3
2
D．2
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为
2
y
x
z
，当z 最小时，直线
2
y
x
z
的纵截距最大，
故将直线
2
y
x
经过可行域，尽可能向上移到过点
1
( 1, )
2
B
时，z 取到最小值，最小值为
1
5
2 ( 1)
2
2
z
，故选A．
16．(2013 四川)若变量,x y 满足约束条件
8,
2
4,
0,
0,
x
y
y
x
x
y
且
5
z
y
x
的最大值为a ，最小值为b ，则a
b
的
值是
A．48
B．30
C．24
D．16
【答案】C
【解析】作出可行域，如图，则在A 点取得最大值16，在B 点取得最小值8
，
则
24
a
b
，选C．
17．(2012 山东)设变量
y
x,
满足约束条件
2
2
2
4
4
1
x
y
x
y
x
y
.
-
.
，则目标函数
y
x
z
3
的取值范围是
A．
6,
2
3
B．
1
,
2
3
C．
6,1
D．
2
3
,6
【答案】A
【解析】作出可行域，直线
0
3
y
x
，将直线平移至点
)
0,2
(
处有最大值，点
)
3,
2
1
(
处有最小值，即
3
6
2
z
-
-
，应选A．
2
2
y
x
1
4
y
x
4
2
y
x
O
18．(2011 广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式
0
2
2
2
x
y
x
y
给定，若
( , )
M x y 为D 上的动
点，点A 的坐标为( 2,1) ，则z =OM
·OA
的最大值为
A．3
B．4
C．3
2
D．4 2
【答案】B
【解析】画出区域D 如图所示，而z=OM ·OA=
2x
y
，所以
2
y
x
z
，令0l ：
2
y
x
，平移
直线0l 过点(
2,2 )时，z 取得最大值，故
max
2
2
2
4
z
．
19．(2020 全国I 文13)若,x y 满足约束条件
2
2
0,
1
0,
1
0,
x
y
x
y
y
则
7
z
x
y
的最大值为__________．
【答案】1【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线
7
0
x
y
并平移，
数形结合可知当平移后的直线经过点
(1 0)
A ，时，
7
z
x
y
取得最大值，最大值为1．
解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得
(1 0)
A ，，
(0
1)
B
，
，
3
(
1)
2
C
，
，当直线
7
z
x
y
过点
(1 0)
A ，时，
1
z ；当直线
7
z
x
y
过点
(0
1)
B
，
时，
7
z ；当直线
7
z
x
y
过点
3
(
1)
2
C
，
时，
11
2
z
．所以z 的最大值为1．
20．(2020 全国3 文13)若x y
, 满足约束条件
0
2
0
1
x
y
x
y
x
，则
3
2
z
x
y
的最大值为_____．
【答案】7
【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3
2
0
x
y
，平移该直线，
由图可知当平移后的直线经过点
(1 2)
A ，时，
3
2
z
x
y
取得最大值，
max
3 1
2
2
7
z
．
解法二：易知
3
2
z
x
y
的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标
代入
3
2
z
x
y
，即可求得最大值．联立得
0
2
0
x
y
x
y
，
，解得
0
0
x
y
，
，代入
3
2
z
x
y
中可得
0
z
；联立得
0
1
x
y
x
，
，
解得
1
1
x
y
，
，代入
3
2
z
x
y
中可得
1
z ；联立得
1
2
0
x
x
y
，
，解得
1
2
x
y
，
，代入
3
2
z
x
y
中可得
7
z
．通过比较可知，z 的最大值为7．
21．(2020 全国II 文15)若x，y 满足约束条件
1
1
2
1
x
y
x
y
x
y
.
.
-
，
，
，
则
2
z
x
y
的最大值是____．
【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线
2
0
x
y
并平移，由图知，当平移
后的直线经过点
(2 3)
A ，时，z 取得最大值，
max
2
2
3
8
z
．
解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由
1
1
x
y
x
y
，
，得
1
0
x
y
，
，
此时
1
z ；由
1
2
1
x
y
x
y
，
，得
0
1
x
y
，
，此时
2
z ；由
1
2
1
x
y
x
y
，
，得
2
3
x
y
，
，此时
8
z
．综上所述，
2
z
x
y
的最大值为8．
22．(2020 全国III 理13)若x，y 满足约束条件
0
2
0
1
x
y
x
y
x
，
，
，
.
.
-
则
3
2
z
x
y
的最大值为________．
【答案】7【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线
3
2
2
z
y
x
过点
(1 2)
A ，时，
z 取得最大值，且
max
3 1
2
2
7
z
．
23．(2020 全国I 理13)若,x y 满足约束条件
2
2
0,
1
0,
1
0,
x
y
x
y
y
则
7
z
x
y
的最大值为____________．
【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由
1
0
2
2
0
x
y
x
y
，得
1
0
x
y
，
，故
(1 0)
A ，．作出
直线
7
0
x
y
，数形结合可知，当直线
7
z
x
y
过点A 时，
7
z
x
y
取得最大值，为1．
解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得
(1 0)
A ，，(0
1)
B
，
，
3
1
2
C
，
，当直线
7
z
x
y
过点A
时，
1
z ；当直线
7
z
x
y
过点B 时，
7
z ；当直线
7
z
x
y
过点C 时，
3
11
7
2
2
z
．所以
7
z
x
y
的最大值为1．
24．(2020 上海7)已知
2
0
2
3
0
x
y
y
x
y
，则
2
z
y
x
的最大值为
．
【答案】1
【解析】首先画出可行域，和初始目标函数
2
y
x
，当直线
2
y
x
平移至点
1,1
A
时，取得
最大值，
max
1 2 1
1
z
，故答案为：1
．
25．(2019•新课标Ⅱ，文13)若变量x ，y 满足约束条件
2
3
6
0
3
0
2
0
x
y
x
y
y
，则
3
z
x
y
的最大值是
．
【答案】9
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数
3
z
x
y
为
3
y
x
z
，由图可知，当直线
3
y
x
z
过A 时，直线在y 轴上的截距最小，由
0
3
0
6
3
2
y
x
y
x
解得
(3,0)
A
，所以z 有最大值为9．
26．(2018•新课标Ⅰ，理13(文14))若x ，y 满足约束条件
2
2
0
1
0
0
x
y
x
y
y
，则
3
2
z
x
y
的最大值为
．
【答案】6
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由
3
2
z
x
y
得
3
1
2
2
y
x
z
，
平移直线
3
1
2
2
y
x
z
，由图象知当直线
3
1
2
2
y
x
z
经过点
(2,0)
A
时，直线的截距最大，此时z 最大，
最大值为
3
2
6
z
．
27．(2018•新课标Ⅱ，理14(文14))若x ，y 满足约束条件
2
5
0
2
3
0
5
0
x
y
x
y
x
，则z
x
y
的最大值为
．
【答案】9
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数z
x
y
为y
x
z
，由图可知，当直线y
x
z
过A 时，z 取得最大值，由
5
2
3
0
x
x
y
，解得
(5,4)
A
，目标函数有最大值，为
9
z
．
28．(2018•新课标Ⅲ，文15)若变量x ，y 满足约束条件
2
3
0
2
4
0
2
0
x
y
x
y
x
，则
1
3
z
x
y
的最大值是
．
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
1
3
z
x
y
变形为
3
3
y
x
z
，作出目标函数对应的直线，由图
知，当直线
3
3
y
x
z
过A 时，直线的纵截距最小，z 最大，由
2
2
4
0
x
x
y
解得
(2,3)
A
，所以z 最大值
为
1
2
3
3
3
．
29．(2017•新课标Ⅰ，理14)设x ，y 满足约束条件
2
1
2
1
0
x
y
x
y
x
y
，则
3
2
z
x
y
的最小值为
．
【答案】5
【解析】由x ，y 满足约束条件
0
1
2
1
2
y
x
y
x
y
x
作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立
2
1
2
1
x
y
x
y
，解得
( 1,1)
A
，
3
2
z
x
y
的最小值为3 1
2 1
5
．
30．(2017•新课标Ⅲ，理13)若x ，y 满足约束条件
0
2
0
0
x
y
x
y
y
，则
3
4
z
x
y
的最小值为
．
【答案】1
【解析】由
3
4
z
x
y
，得
3
4
4
z
y
x
，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线
3
4
4
z
y
x
，由平
移可知当直线
3
4
4
z
y
x
，经过点
(1,1)
B
时，直线
3
4
4
z
y
x
的截距最大，此时z 取得最小值，将B 的坐标
代入
3
4
3
4
1
z
x
y
，即目标函数
3
4
z
x
y
的最小值为1
．
31．(2016•新课标Ⅱ，文14)若x ，y 满足约束条件
1 0
3 0
3 0
x
y
x
y
x
.
.
-
，则
2
z
x
y
的最小值为
．
【答案】5
【解答】作出可行域如图，由
3
1
0
x
x
y
，解得
(3,4)
B
，由图可知，当直线
1
1
2
2
y
x
z
过
(3,4)
B
时，直
线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3
2
4
5
．
32．(2016•新课标Ⅲ，理13)若x ，y 满足约束条件
1 0
2
0
2
2 0
x
y
x
y
x
y
.
-
-
，则z
x
y
的最大值为
．
【答案】3
2
【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由
2
0
2
2
0
x
y
x
y
得
1
(1, )
2
D
，
所以z
x
y
的最大值为
1
3
1
2
2
．
33．(2016•新课标Ⅲ，文13)设x ，y 满足约束条件
2
1 0
2
1 0
1
x
y
x
y
x
.
-
-
，则
2
3
5
z
x
y
的最小值为
．
【答案】10
【解析】作出可行域如图阴影部分所示，联立2
1
0
2
1
0
x
y
x
y
，解得
1
1
x
y
，即
( 1, 1)
A
，化目标函数
2
3
5
z
x
y
为
2
5
3
3
3
z
y
x
，由图可知，当直线
2
5
3
3
3
z
y
x
过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z
有最小值为2
( 1)
3 ( 1)
5
10
．
34．(2015 新课标Ⅰ，文15)若x，y 满足约束条件
2
0
2
1
0
2
2
0
x
y
x
y
x
y
，则z=3x+y 的最大值为
．
【答案】4
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：3
0
x
y
，平移直线0l ，当直线l ：z=3x+y 过点
A 时，z 取最大值，由
2=0
2
1=0
x
y
x
y
解得A(1，1)，∴z=3x+y 的最大值为4．
35．(2016•新课标Ⅲ，理14)若x ，y 满足约束条件
1 0
2
0
2
2 0
x
y
x
y
x
y
.
-
-
，则z
x
y
的最大值为
．
【答案】3
2
【解析】作出可行域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由
2
0
2
2
0
x
y
x
y
得
1
(1, )
2
D
，所以z
x
y
的最大值为
1
3
1
2
2
．
36．(2015 新课标Ⅱ，文14)若x，y 满足约束条件
5
0
2
1
0
2
1
0
x
y
x
y
x
y
，则z=2x+y 的最大值为
．
【答案】8
37．(2013 新课标Ⅰ，文14)设x，y 满足约束条件1
3
1
0
x
x
y
，则
2
z
x
y
的最大值为______．
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：2
0
x
y
，平移直线l ，由题知当直线l 过A
点时
2
z
x
y
取最大值，由
3
0
x
x
y
解得A(3，3)，∴
max
z
= 2 3 3
=3．
38．(2012 课标，理13)设x ，y 满足约束条件
1
3
0
0
x
y
x
y
x
y
，则
2
z
x
y
的取值范围为
．
【答案】[－3，3]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：
2
x
y
=0，平移直线0l ，有图像知，:l
2
z
x
y
，
过A(1，2)点时
min
z
=－3，过B(3，0)时，
max
z
=3，故
2
z
x
y
的取值范围为[－3，3]．
39 ．(2011• 新课标，理13) 若变量x ，y 满足约束条件3
2
9
6
9
x
y
x
y
，则
2
z
x
y
的最小值
为
．
【答案】-6
【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，
2
z
x
y
取最小值，解2
3
9
x
y
x
y
得
A(4，－5)，
min
4
2 ( 5)
z
=－6．
40．(2018 北京)若x ，y 满足
1
2
x
y
x
≤
≤
，则2y
x
的最小值是__________．
【答案】3
【解析】作出不等式组
2
1
y
x
x
y
≤
≤
，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令
2
z
y
x
，作出直线
2
0
y
x
，平移该直线，当直线过点
(1,2)
A
时，2y
x
取得最小值，最小值为2 2 1
3
．
41．(2018 浙江)若x ，y 满足约束条件
0
2
6
2
x
y
x
y
x
y
≥
≤
≥
，则
3
z
x
y
的最小值是__，最大值是__．
【答案】−2；8
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中
(4, 2)
B
，
(2,2)
A
．设
3
z
x
y
，
将直线:
3
l z
x
y
进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值，
4, 2
2
z
F
最小值
，可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值，
2,2
8
z
F
最大值
．
考点71 非线性目标函数的最值问题
1．(2016 年山东)若变量x，y 满足
2,
2
3
9,
0,
x
y
x
y
x
ì +
£
ïïïï
-
£
íïïïî
则
2
2
x
y
的最大值是
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设
( , )
P x y 为平面区域内任意一点，则
2
2
x
y
表示
2
|
|
OP
．显然，当点P 与点A 合时，
2
|
|
OP
，即
2
2
x
y
取得最大值，由
2
2
3
9
x
y
x
y
，解得
3
1
x
y
，故
(3, 1)
A
．所以
2
2
x
y
的最大值为
2
2
3
( 1)
10
．故选C．
2．(2016浙江)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
2
0
0
3
4
0
x
x
y
x
y
，
中的点在直线
2
0
x
y
上的投影构成的线段记为AB，则|
|
AB =
A．2 2
B．4
C．3 2
D．6
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点
,
C D 分别作直线
2
0
x
y
的垂线，
垂足分别为
,
A B
，则四边形ABDC
为矩形；又
(2, 2)
C
，
( 1,1)
D
，所以
2
2
|
| |
|
(2
1)
( 2
1)
3 2
AB
CD
，故选C．
3．(2014 福建)已知圆
2
2
:
1
C
x
a
y
b
，设平面区域
7
0,
7
0,
0
x
y
x
y
y
，若圆心C ，且圆C
与x 轴相切，则
2
2
a
b
的最大值为
A．5
B．29
C．37
D．49
【答案】C
【解析】平面区域为如图所示的阴影部分的△ABD，
因圆心
( , )
C a b ∈，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为
1
y (2
≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点
(6,1)
N
处时，
2
2
a
b
取得最大值
2
2
6
1
37
，故选C．
4．(2015 新课标Ⅰ，理15)若x，y 满足约束条件
1
0
0
4
0
x
x
y
x
y
，则y
x
的最大值为
．
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y
x
是可行域内一点与原点连线的斜率，由图
可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大值为3．
5. (2016 江苏)已知实数x，y 满足
2
4
0
2
2
0
3
3
0
x
y
x
y
x
y
，则
2
2
x
y
的取值范围是
．
【答案】4
[ ,13]
5
【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2) ，(1,0) ，(2,3) 为顶点的三角形及其内部，如图所示，因
为原点到直线2
2
0
x
y
的距离为2
5
，所以
2
2
min
4
(
)
5
x
y
，又当( , )
x y 取点(2,3) 时，
2
2
x
y
取
得最大值13，故
2
2
x
y
的取值范围是4
[ ,13]
5
．
考点72
线性规划的实际问题
1．(2015 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用
,
A B 两种原料，已知生产1 吨每种产品需原料及每天原料
的可用限额如表所示，如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得
最大利润为
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润
3
4
z
x
y
，由题意可列
3
2
12
2
8
0
0
x
y
x
y
x
y
，
其表示如图阴影部分区域，当直线3
4
0
x
y
z
过点
(2,3)
A
时，z 取得最大值，所以
max
3 2
4 3
18
z
，故选D．
2．(2016•新课标Ⅰ，理16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需
要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3 个工
时，生产一件产品A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg ，乙
材料90kg ，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为
元．
【答案】216000
【解析】设A 、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元，由题意，得
,
1.5
0.5
150
0.3
90
5
3
600
x
N y
N
x
y
x
y
x
y
-
-
-
，
2100
900
z
x
y
，
作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得
0.3
90
5
3
600
x
y
x
y
，解得：
60
100
x
y
，
(60,100)
A
，由图知，
2100
900
z
x
y
经过A 时，目标函数取得最大值：2100
60
900 100
216000
元．
考点73
含参数的线性归化问题
1．(2014 新课标I，文11)设,x y ，y 满足约束条件
1
x
y
a
x
y
，且z
x
ay
的最小值为7，则a =(
)
A．-5
B．3
C．-5 或3
D．5 或-3
【答案】B
【解析】当a ＞0 时，作出可行域如图1 中阴影部分所示，作出直线0l ：
0
x
ay
，平移直线0l ，由图知，
l ：z
x
ay
过点A 时，z
x
ay
取最小值；
当a ＜0 时，作出可行域如图2 中阴影部分所示，作出直线0l ：
0
x
ay
，平移直线0l ，由图知，z
x
ay
无最小值；由
1
x
y
a
x
y
解得A(
1
2
a
，
1
2
a
)，故
1
(
1)
2
2
a
a a
=7，解得a =-5(舍)或a =3，故选B．
2．(2013 新课标Ⅱ，理9)已知a ＞0，,x y 满足约束条件
1
3
(
3)
x
x
y
y
a x
，若
2
z
x
y
的最小值为1，则a =
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线
2
z
x
y
，由题知当直线
2
z
x
y
过A 点时，z 取
最小值1，由2
1
1
x
y
x
解得A(1，－1)，因A(1，－1)在
(
3)
y
a x
上，∴a = 1
2
，故选B．
3．(2015 山东)已知,x y 满足约束条件
0
2
0
x
y
x
y
y
≥
≤
≥
，若z
ax
y
的最大值为4，则a =
A．3
B．2
C．－2
D．－3
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则
(2,0)
A
，
(1,1)
B
，
若z
ax
y
过A 时取得最大值为4，则2
4
a
，解得
2
a
，此时，目标函数为
2
z
x
y
，即
2
y
x
z
，
平移直线
2
y
x
z
，当直线经过
(2,0)
A
时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，
若z
ax
y
过B 时取得最大值为4，则
1
4
a
，解得
3
a
，此时，目标函数为
3
z
x
y
，
即
3
y
x
z
，平移直线
3
y
x
z
，当直线经过
(2,0)
A
时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故
2
a
，故选B ．
4．(2014 安徽)
y
x,
满足约束条件
0
2
2
0
2
2
0
2
y
x
y
x
y
x
，若
ax
y
z
取得最大值的最优解不唯一
．．．，则实数a 的
值为(
)
A．
1
2
1
或
B．
2
1
2或
C．2 或1
D．
1
2
或
【答案】D
【解析】解法一
由题中条件画出可行域，
可知三交点
(0,2)
A
，
(2,0)
B
，
( 2, 2)
C
，则
2
A
z
，
2
Bz
a
，
2
2
Cz
a
，要使目标函数取得最大
值的最优解不唯一，只要
A
B
C
z
z
z
或
A
C
B
z
z
z
或
B
C
A
z
z
z
，解得
1
a 或
2
a
．
解法二
目标函数z
y
ax
可化为y
ax
z
，令0l ：y
ax
，平移0l ，则当0l
AB
∥
或0l
AC
∥
时符
合题意，故
1
a 或
2
a
．
5．(2014 北京)若,x y 满足
2
0
2
0
0
x
y
kx
y
y
且z
y
x
的最小值为－4，则k 的值为
A．2
B．-2
C．1
2
D．
1
2
【答案】D
【解析】作出线性约束条件
2
0
2
0
0
x
y
kx
y
y
，的可行域．当
0
k
时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、
直线
2
0
x
y
的右上方、直线
2
0
kx
y
的右下方的区域，显然此时z
y
x
无最小值．当
1
k
时．z
y
x
取得最小值2；
当
1
k 时，z
y
x
取得最小值2，均不符合题意，
当1
0
k
时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2，0)，B(2
k
，0)，C(0，2)所围成的三角形区域，当直
线z
y
x
经过点B(2
k
，0)时，有最小值，
即
2
(
)
4
k
，所以得
1
2
k
．故选D．
6．(2012 福建)若直线
2
y
x
上存在点( , )
x y 满足约束条件
3
0,
2
3
0,
,
x
y
x
y
x
m
则实数m 的最大值为
A．1
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
【解析】由题意，
2
3
0
y
x
x
y
，可求得交点坐标为(1，2)要使直线y=2x 上存在点(x，y )满足约束条件
3
0
2
3
0
x
y
x
y
x
m
-
-
.
，如图所示，则
m
m
2
3
，可得m≤1，∴实数m 的最大值为1，故选B．
7．(2011 湖南)设m ＞1，在约束条件
1
y
x
y
mx
x
y
下，目标函数z
x
my
的最大值小于2，则m 的取值范围
为
A．(1，1
2
)
B．(1
2
，)
C．(1，3 )
D．(3，)
【答案】A
【解析】
1
m
，故直线y
mx
与直线
1
x
y
交于
1
(
,
)
1
1
m
m
m
点，目标函数z
x
my
对应的直线与直
线y
mx
垂直，且在
1
(
,
)
1
1
m
m
m
点，取得最大值，其关系如下图所示，即
2
1
2
1
m
m
，解得1
2
1
2
m
，
又
1
m
，解得
(1,1
2)
m
，故选A ．
8．(2014 浙江)当实数x ，y 满足
2
4
0,
1
0,
1,
x
y
x
y
x
时，1
4
ax
y
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【答案】
3
[1, ]
2
【解析】由约束条件作可行域如图，由
1
2
4
0
x
x
y
解得
3
(1, )
2
C
．由
1
0
2
4
0
x
y
x
y
解得
(2,1)
B
，在
1
0
x
y
中取
0
y
得
(1,0)
A
，要使1
4
ax
y
-
- 恒成立，则
1 0
3
1 0
2
4 0
2
1
4 0
a
a
a
a
.
.
-
-
，解得：
3
1
2
a
- -
，实数a 的取
值范围是
3
[1, ]
2 ．
9．(2014 湖南)若变量,x y 满足约束条件
4
y
x
x
y
y
k
，且
2
z
x
y
的最小值为－6，
则k
．
【答案】－2
【解析】作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，由
2
z
x
y
，得
2
y
x
z
，平移直线
2
y
x
z
，
由图象可知当直线
2
y
x
z
经过点A 时，直线
2
y
x
z
的截距最小，此时z 最小，目标函数为2
6
x
y
，
由2
6
x
y
y
x
，解得
2
2
x
y
，即
( 2, 2)
A
，点A 也在直线y
k
上，
2
k
．
10．(2013 浙江)设z
kx
y
，其中实数,x y 满足
2
2
4
2
2
4
0
x
x
y
x
y
，若z 的最大值为12，则实数
k =________
．
【答案】2
【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中
(2,0)
C
，
(2,3)
A
，
(4,4)
B
．
当
0
k
时，直线0l ：y
kx
平移到B 点时目标函数取最大值，即4 +4=12
k
，
所以
2
k
；当
0
k
时，直线0l ：y
kx
平移到A 或B 点时目标函数取最大值，
此时2
3
12
k
或4
4
12
k
，所以不满足题意．所以
2
k
，所以填2．
11．(2011 湖南)设
1,
m
在约束条件
1
y
x
y
mx
x
y
下，目标函数
5
z
x
y
的最大值为4，则m 的值为
．
【答案】3
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为
1
5
5
z
y
x
，显然只有
1
5
5
z
y
x
在y 轴上的截距最大时z 值最大，根据图形，目标函数在点A 处取得最大值，由
1
y
mx
x
y
，得
1
(
,
)
1
1
m
A
m
m
，代入目标函数，即
1
5
4
1
1
m
m
m
，解得
3
m
．
