2011-2020年高考数学真题分专题训练专题21简单线性规划解法（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 21 简单线性规划解法
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
理 13
文 14
文 5
线性目标函数的最值问题
2011
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
线性目标函数的最值问题
2012
理 15 
线性目标函数的最值问题
文 3 
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
含参数的线性规划解法数形结合思想
卷 2
2013 
卷 1 
文 14 
线性目标函数的最值问题
卷 2
卷 2
卷 2
理 9 
含参数的规划问题
文 9 
线性目标函数的最值问题
理 9 
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2014
二元一次不等式(组)平面区
卷 1
理 9
二元一次不等式(组)平面区域问题、命题真假判断
域问题
卷 1 
文 11 
含参数的规划问题
含参数的线性规划解法数形结合思想
卷 2 
文 14 
线性目标函数的最值问题
卷 2 
理 14 
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
2015
2016
卷 1 
理 15 
非线性目标函数的最值问题 
非目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 1 
文 15 
线性目标函数的最值问题
卷 3 
理 13 
线性目标函数的最值问题
卷 2 
文 14 
线性目标函数的最值问题
理 16
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
利用线性规划处理实际中的最优化问题解法，数学建模
素养及数形结合思想
卷 1
线性规划的实际问题
文16
卷 3
卷 1
文 5 
线性目标函数的最值问题
文 7 
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 3 
理 13 
线性目标函数的最值问题
理 5
2017
2018
卷 2
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
文 7
卷 1 
理 14 
线性目标函数的最值问题
卷 3 
文 15 
线性目标函数的最值问题
理 14
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 2
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
文 14
理 13
文 14
卷 1
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题，数形结合思想
卷 2 
文 13 
线性目标函数的最值问题
2019
2020
二元一次不等式(组)平面区 二元一次不等式(组)平面区域问题、命题真假判断及复
卷 3 
文 11
域问题
合命题的真假判断
理 13 
线性目标函数的最值问题
文 13 
线性目标函数的最值问题
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想
卷 1
卷 2 
文 15 
线性目标函数的最值问题
卷 3 
文 13 
线性目标函数的最值问题
大数据分析*预测高考
出现频率
考 点
2021 年预测
考点 69 二元一次不等式(组)平面区域问题
考点 70 线性目标函数的最值问题
考点 71 非线性目标函数的最值问题
考点 72 线性规划的实际问题
2/28
22/28
1/28
1/28
2/28
随着新课改深入开展，新课标中去掉了线性规
划内容，近几年的高考线性规划内容逐步在弱
化，故 2021 年线性规划问题若考查，其侧重
于目标函数为线性的规划问题考查，难度为基
础题，题型为选择或填空题．
考点 73 含参数规划问题
十年试题分类*探求规律
考点 69 二元一次不等式(组)平面区域问题
x  y  6
p :(x, y)D ，2x  y  9 ；
1．(2019•新课标Ⅲ，文 11)记不等式组
2x  y  0 表示的平面区域为 D ．命题

命题q : (x, y) D ，


2x  y 12 ．下面给出了四个命题
① p  q 
②p  q
③ p q
④p q
这四个命题中，所有真命题的编号是(
)
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】A
x  y  6
p :(x, y)D ，2x  y  9 是
【解析】作出不等式组
2x  y  0 表示的平面区域为 D ．在图形可知，命题

真命题，则p 假命题；命题q : (x, y) D ，


2x y 12
  
．是假命题，则
q
p  q 真；②p  q
真命题，所以①
p q真；④p q 假，故选 A ．
假；③
x  y 1
x 2y  4
2．(2014 新课标Ⅰ，理 9)不等式组
的解集记为 D ．有下面四个命题：
p ：(x, y)D, x 2y  2 ， p ：(x, y)D, x 2y  
2，
1
2
P ：(x, y)D, x 2y  3 ， p ：(x, y)D, x 2y  
1．
3
4
其中真命题是(
)
A ． p2 ， P
B ． p1 ， p4
C ． p1 ， p2
D ． p1 ， P
3
3
【答案】C
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x 2y  0 ，平移l ，由图可知，当直线：x 2y  z
0
0
  
过 A 2, 1 时， z
 22  0 ，∴ z 0，∴命题 p 、 p 真命题，选 
C．

min
1
2
3．(2018 北京)设集合A {(x, y) | x  y ≥1,ax y  4, x ay≤2},则
a
(2,1) A
a
(2,1) A
B．对任意实数 ，
A．对任意实数 ，
3

(2,1) A
a
(2,1) A
C．当且仅当a 0 时，
D．当且仅当 ≤ 时，
2
【答案】D
2a 1 4
2 a ≤2
3
3
【解析】若(2,1) A
，则
，解得a  
，所以当且仅当a ≤ 
时，(2,1) A
．故选 D．

2
2
x  y 2  0

4．(2014 安徽)不等式组 x 2y 4  0 表示的平面区域的面积为________．

x 3y 2  0

【答案】4
【解析】如图阴影部分，可知SABC
1
 2(2 2)  4
2
考点 70 线性目标函数的最值问题
x 3y 1 0
x  y 3  0
x, y
，则 z  x  2y 的取值范围是(
1．(2020 浙江 3)若实数
满足约束条件
)
A．,4
 

B．4,
C．5,
D．, 
【答案】B【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 x  2y  0 ，平移该直线，易知当直线经过
 

  21 4 ，再数形结合可得 z x 2y 的取值范围是
4,．
 
点 A 2,1 时， z 取得最小值， z
2
min
2x 3y 3  0
2x 3y 3  0
y 3  0
z  2x  y
D．9
2．(2017•新课标Ⅱ文 5)设 x , y 满足约束条件
，则
的最小值是(
)


A．15
B．9
C．1
【答案】A
【解析】作出可行域如图所示， z  2x  y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，
y  3
由
2x 3y 3  0
解得 A(6,3) ，则 z  2x  y 的最小值是15 ，故选 A 
．
x 3y  3

3．(2017•新课标Ⅰ，文 7)设 x ， y 满足约束条件 x  y 
1
，则 z  x  y 的最大值为(
)

y  0

A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
y  0
【解析】作出可行域如图所示，则 z  x  y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值，由 
解得
x 3y  3
A(3, 0) ，所以 z  x  y 的最大值为 3，故选 D 
．
3x  2y 6
0

4．(2017•新课标Ⅲ，文 5)设 x ， y 满足约束条件x
0
则 z  x  y 的取值范围是(
D．[0 ，3]
)
y0

A．[3，0]
B．[3，2]
C．[0 ，2]
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z  x  y ，经过可行域的 A ， B 时，目标函数取得
最
x  0 
y  0
值，由 
解得 A(0,3) ，由

解得 B(2,0) ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3，
3x  2y 6  0 
3x  2y6  0
目标函数的取值范围：[3，2]，故选 B ．
x  y 1 0,

5．(2013 新课标Ⅱ，文 3)设 x, y 满足约束条件x  y 1 0,，则 z  2x 3y 的最小值
是(
)
x  3,

(A) 7
(B) 6
(C) 5
(D) 3
【答案】B
【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线 z  2x 3y 经过点 B(3, 4) 时，
zmin  2334  6 ，故选 B．
x  y 7  0

6．(2014 新课标Ⅱ，理 9)设 x，y 满足约束条件x 3y 1 0 ，则 z  2x  y 的最大值
为(
)
3x  y 5  0

A． 10
B． 8
C． 3
D． 2
【答案】B
【解析】作出可行域如图阴影部分，做出目标函数l0 ： y  2x ，∵ y  2x  z ，∴当 y  2x  z
在
x 3y 1 0
y 轴上的截距最小时，z 有最大值，∴当 y  2x  z 经过C 点时，z 有最大值．由

得：
x  y 7  0
C(5, 2)此时： z 有最大值252 8，故选 B．
x  y 1 0

7．(2014 新课标Ⅱ，文 9)设 x ， y 满足的约束条件x  y 1 0 ，则 z  x 2y 的最大值
为
x 3y 3  0

A．8
B．7
C．2 D．1
【答案】B
1
z
z
【解析】画出可行域如图阴影部分所示， 将目标函数 z  x 2y 变形为 y   x  ，当 
取到最大值
时，
2
2
1
2
z
z
直线 y 

x  的纵截距最大，作出直线l : x 2y  0
0
l
l 
z  x 2y
，平移 ，当直线 ： 
A 点时， 取到
0
2
x  y 1 0
x 3y 3  0
最大值．由
解得 A(3, 2) ，所以zmax 322  7 ，故选 B．
8．(2012•新课标，文 5)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1，1)，B(1，3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在△
ABC 内部，则 z x  y 的取值范围是
(A)(1－ 3，2)
(C)( 3－1，2)
【答案】A
(B)(0，2)
(D)(0，1+ 3)
【解析】有题设知 C(1+ 3 ，2)，作出直线l ：x  y  0 ，平移直线l ，有图像知，直线l : z  x  y 
过
0
0
B 点时， zmax =2，过 C 时， zmin =1 3 ，∴ z x  y 取值范围为(1－ 3，2)，故选 A．
 x  y ≤5,

2x  y ≤4,
x  y ≤1,
9．(2018 天津)设变量 x，y 满足约束条件
则目标函数z 3x 5y 的最大值为


 y≥0,
A． 6
B．19
C．21
D．45
【答案】C
3
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 y   x ．平移该直线，当经过点C 时，
5
x  y 1
x  y  5
x  2
y  3
z 取得最大值，由
，得
，即C(2, 3) ，所以amax  3253  21 ，故选 C．
2x  y≥0,

x 2y 2≥0,
x≤0,
10．(2017 天津)设变量 x, y 满足约束条件
则目标函数 z  x  y 的最大值为


y ≤3,
2
3
3
2
A．
B．1
C．
D．3
【答案】D
3
2 4
【解析】目标函数为四边形 ABCD 及其内部，其中 A(0,1), B(0, 3),C( ,3) ， D( , ) ，所以直线
3 3
2
z  x  y 过点 B 时取最 大值 3，选 
D．
x  y 3≤0

11．(2017 山东)已知 x ， y 满足3x  y 5 ≤0 ，则 z  x 2y 的最大值
是
x 3≥0

A．0
B．2
C．5
D．6
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，当目标函数过(3,4)时取得最大值，即
zmax  324  5 ．选 C．
x≤3

12．(2017 北京)若 x ， y 满足x  y≥2 则 x 2y 的最大值
为
y ≤ x

A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】D
z  x 2y 过点C(3,3)时，取得最大值
【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数
zmax  323  9，故选 D．
 x≥0

13．(2017 浙江)若 x ， y 满足约束条件x  y 3≥0，则 z  x 2y 的取值范围
是
x 2y ≤0

A．[0，6]
【答案】D
B． [0，4]
C．[6,)
D．[4,)
【解析】如图阴影为可行域，可知在 A(2,1)时，zmin  4 ，无最大值．所以 z  x 2y 的取值范围是[4,) ．
选
D．
x  y  2  0,

14．(2016 天津)设变量 x，y 满足约束条件2x 3y 6  0, ，则目标函数 z  2x 5y 的最小值
为
3x  2y 9  0.

A．4
B．6
C．10
D．17
【答案】B
x  y  2  0,

【解析】如图，已知约束条件2x 3y 6  0, 所表示的平面区域为图中所示的三角形区域 ABC(包含边界)，
3x  2y 9  0.

2
5
z
其中 A(0，2)，B(3，0)，C(l，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线 y
取得最小值2350  6．
 

x 
过点 B(3，0)时，z
5
x 2y ≥0,

15．(2015 福建)若变量 x, y 满足约束条件x  y ≤0,
则 z  2x  y 的最小值等于
x 2y 2≥0,

5
2
3
A．
B．2
C．
D．2
2
【答案】A
y  2x  z
z
y  2x  z
，当 
最小时，直线 
的纵截距最大，
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为
1
y  2x
B(1, )
z
时 ， 
取 到 最 小 值 ， 最 小 
值 为
故 将 直 线
经 过 可 行 域 ， 尽 可 能 向 上 移 
到 过 点
2
1
5
2
z  2(1)   
，故选 A．
2
x  y  8,

2y  x  4,
x  0,
16．(2013 四川)若变量 x, y 满足约束条件
且 z  5y  x 的最大值为a ，最小值为b ，则a b
的


y  0,
值是
A．48
B．30
C．24
D．16
【答案】C
【解析】作出可行域，如图，则在 A 点取得最大值16，在 B 点取得最小值8，
则a b  24，选 C．
 x 2y  2

 2x  y 
4
 3x  y
x, y
z
17．(2012 山东)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是
4x  y  1

 3 
 ,6
 3 ,1


3
2
C．
1,6
 6,
D．
A．
B．






 2 
 2

【答案】A
1
3x  y  0
(2,0)
( ,3)
【解析】作出可行域，直线
，将直线平移至点
处有最大值，点
处有最小值，即
2
3
 
 z 
 6，应选 A．
2
4x  y  1
x  2y  2
2x  y  4
O
0  x  2

18．(2011 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式y  
2
给定，若 M (x, y) 为 D 上的动
x  2y

点，点 A 的坐标为( 2 ,1) ，则 z =OM ·OA 的最大值
为
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
【答案】B
【解析】画出区域 D 如图所示，而 z=OM ·OA= 2x  y ，所以 y   2x  z ，令l0 ： y   2x ，平
移
直线l 过点( 2,2)时， z 取得最大值，故 z 
 2 2 2  4 ．
0
max
2x  y  2  0,

19．(2020 全国 I 文 13)若 x, y 满足约束条件x  y 1 0, 则 z  x  7y 的最大值为
__________．
y 1 0,

【答案】1【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 x  7y  0 并平移，
z  x  7y
数形结合可知当平移后的直线经过点 A(1，0) 时，
取得最大值，最大值为 1．
3
解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得 A(1，0) ， B(0，1) ，C( ，1) ，
当直线
2
3
z  x  7y 过点 A(1，0) 时，z 1；当直线 z  x  7y 过点 B(0，1) 时，z  7 ；当直线 z  x  7y 过点
C( ，1)
2
11
2
时， z 

．所以z
的最大值为 1．
x  y  0

20．(2020 全国 3 文 13)若 x,y 满足约束条件2x  y  0 ，则 z  3x  2y 的最大值为
_____．
x 1

【答案】7
【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x  2y  0 ，平移该直线，
由图可知当平移后的直线经过点 A(1，2) 时， z  3x  2y 取得最大值， zmax  31 22  7 ．
解法二：易知 z  3x  2y 的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标
x  y  0，
2x  y  0，
x  0，
解得
代入 z  3x  2y 中可得 z  0 ；联 立
得
 0，
代入 z  3x  2y ，即可求得最大值．联立得
y
x  y  0，
x 1，
x 1，
x 1，
x 1，代入 z  3x  2y 中可得
y  2，


解得
代入 z 3x 2y


中可得 z 1；联立得
解得
y
 1，
2x  y  0，
z  7 ．通过比较可知， z 的最大值为 7．
x  y  1，

21．(2020 全国 II 文 15)若 x，y 满足约束条件x y
2x  y 
1，
  1，则 z  x  2y
的最大值是____．


【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 x 2y 0 并平移，由图知，当平移


时， z 取得最大值，
z
max
A(2，3)
 2  23  8．
后的直线经过点
x  y  1， x  
1，
解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由 
得
x  y  1， y
 0，
x  y  1， x  
0，
此时 z  1；由 
得 
2x  y 1， y
x  y  1， x  2，
此时 z  2；由 
得
此时 z 8 ．综上所述，z  x  2y
 1，

2x  y 1， y  3，
的最大值为 8．
x  y  0，

22．(2020 全国 III 理 13)若 x，y 满足约束条件2x  y  0，则 z  3x 
 2y
的最大值为________．
x 
1，

3
2
z
【答案】7【解析】 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线 y 

x 2
过点 A(1，2) 时， z 取得最大值，且
 31 22  7
．
zmax
2x  y  2  0,

23．(2020 全国 I 理 13)若 x, y 满足约束条件x  y 1 0, 则 z  x  7y 的最大值为
____________．
y 1 0,

x  y 1 0， 
x 1，
【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由 
得
故 A(1，0) ．作
出
 0，
2x  y 2  0 
y
直线 x  7y  0 ，数形结合可知，当直线 z  x  7y 过点 A 时， z  x  7y 取得最大值，为 
1．
 3
 2


解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得 A(1，0) ，B(0，1) ，C  ，1 ，当直线 z  x  7y 
过点 A

3
11
时，z 1；当直线 z  x  7y 过点 B 时，z  7 ；当直线 z  x  7y 过点 C 时，z  7   
．所以 z  
x  7y
2
2
的最大值为 1．
x  y  2

24．(2020 上海 7)已知 y  0
，则 z  y  2x 的最大值为
．
x  2y 3  0

【答案】1【解析】首先画出可行域，和初始目标函数 y  2x ，当直线 y  2x 平移至点 A 1,1 时，取
得
 

最大值， zmax 121 1 ，故答案为：1．
2x 3y 6  0

x  y 3  0 
，则 z  3x  y 的最大值是
y 2  0
25．(2019•新课标Ⅱ，文 13)若变量 x ， y 满足约束条件
【答案】9
．


【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数 z  3x  y 为 y  3x  z ，由图可知，当直线 y  3x 
 z
2x 3y 6  0
x  y 3  0
过 A 时，直线在 y 轴上的截距最 小，由

解得 A(3, 0) ，所以 z 有最大值为 9．
x 2y 2  0

x  y 1 0 ，则 z  3x  2y 的最大值为
y  0
26．(2018•新课标Ⅰ，理 13(文 14))若 x ， y 满足约束条
件
【答案】6
．


3
1
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由 z  3x  2y 得 y   x  z 
，
2
2
3
1
3
1
平移直线 y   x  z ，由图象知当直线 y   x  z 经过点 A(2,0) 时，直线的截距最大，此时 z 最
大，
2
2
2
2
最大值为 z  32  6 ．
x 2y 5  0

x 2y 3  0 ，则 z  x  y 的最大值为
x 5  0
27．(2018•新课标Ⅱ，理 14(文 14))若 x ， y 满足约束条
件
【答案】9
．


【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数 z  x  y 为 y  x  z ，由图可知，当直线 y  x  
z
x  5
过 A 时， z 取得最大值，由
，解得 A(5, 4) ，目标函数有最大值，为 z  9．
x  2y 3  0
2x  y 3  0

1
28．(2018•新课标Ⅲ，文 15)若变量 x ， y 满足约束条件 x 2y 4  
0
，则 z  x  y 的最大值是
．

3
x 2  0

【答案】3
1
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，z  x  y 变形为 y  3x 3z ，作出目标函数对应的直线，由图
3
x  2
知，当直线 y  3x 3z 过 
时，直线的纵截距最小，z 最大，由
A
解得 A(2,3) ，所以 z 最大值
x  2y  4  0
1
为2 3  3 ．
3
x 2y 1

29．(2017•新课标Ⅰ，理 14)设 x ， y 满足约束条件 2x  y  
1
，则 z  3x  2y 的最小值为
．

x  y  0

【答案】5
x 2y 1
2x  y  1
x  y  0



【解析】由 x ， y 满足约束条件
x  2y 1
作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为 A ，联立
，解得 A(1,1) 
，z  3x  2y 的最小值为31 21  5 ．

2x  y  1
x  y  0

x  y  2  0 ，则 z  3x  4y 的最小值
为
y  0
30．(2017•新课标Ⅲ，理 13)若 x ， y 满足约束条件
【答案】1
．


3
z
3
z
【解析】由 z  3x  4y ，得 y  x  ，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线 y  x  ，由
平
4
4
4
4
3
z
3
z
移可知当直线 y  x  ，经过点 B(1,1) 时，直线 y  x  的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐
标
4
4
4
4
代入 z  3x  4y  3 4  1 ，即目标函数 z  3x  4y 的最小值为
1．
x  y 10

31．(2016•新课标Ⅱ，文 14)若 x ， y 满足约束条件 x y
 30 ，则 z  x  2y 的最小值为
．
x 3
0

【答案】5
x  3
x  y 1 0
1
1
【解答】作出可行域如图，由
，解得 B(3, 4) ，由图可知，当直线 y  x  z 过 B(3, 4) 时，
直
2
2
线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为：3  2  4  5 ．
x  y 10

32．(2016•新课标Ⅲ，理 13)若 x ， y 满足约束条件 x 2y 
0


，则 z  x  y 的最大值为
．
x  2y  2
0

3
2
【答案】
x  2y  0
【解 析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由
1
得 D(1, ) ，
x  2y  2  0
2
1
3
所以 z  x  y 的最大值为1  ．
2
2
2x  y 10

33．(2016•新课标Ⅲ，文 13)设 x ， y 满足约束条件 x  2y 1
0 ，则 z  2x 3y 5 的最小
值为
．
x
1

【答案】10
2x  y 1  0
【解析】作出可行域如图阴影部分所示，联立 
x  1
，解得 
y  1 ，即 A(1,1) ，化目标函数
x  2y 1 0
2
z
5
2
z
5
z  2x 3y 5 为 y   x   ，由图可知，当直线 y   x   过 A 时，直线在 y 轴上的截距最
小，z
3
3
3
3
3
3
有最小值为2(1) 3(1) 5  10 ．
 x  y 2  0

34．(2015 新课标Ⅰ，文 15)若 x，y 满足约束条件x 2y 1 0 ，则 z=3x+y 的最大值
为
．
2x  y 2  0

【答案】4
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x  y  0 ，平移直线l ，当直线l ：z=3x+y 过点
0
0
x  y 2=0
x 2y 1=0
A 时，z 取最大值，由
解得 A(1，1)，∴z=3x+y 的最大值为 4．
x  y 10

35．(2016•新课标Ⅲ，理 14)若 x ， y 满足约束条件 x  
2y
0
，则 z  x  y 的最大值为
．
x  2y  2
0

3
2
【 答案】
x  2y  0
【解析】作出可行域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由
1
得 D(1, ) ，所以 z  x  y
x  2y  2  0
2
1
3
的最大值为1  ．
2
2
 x  y 5  0

2x  y 1 0
x 2y 1 0
36．(2015 新课标Ⅱ，文 14)若 x，y 满足约束条件
【答案】8
，则 z=2x+y 的最大值为
．


1 x  3
1 x  y  0
37．(2013 新课标Ⅰ，文 14)设 x，y 满足约束条件
，则 z  2x  y 的最大值为______．
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：2x  y  0，平移直线l ，由题知当直线l 过
A
x  3
点时 z  2x  y 取最大值，由

解得A(3，3)，∴ zmax =233=3．
x  y  0
x  y  1

x  y  3
x  0
38．(2012 课标，理 13)设 x ， y 满足约束条件

，则 z  x 2y 的取值范围为
．


y  0
【答案】[－3，3]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x 2y =0，平移直线l ，有图像知，l : z  x 2y ，
0
0
过 A(1，2)点时 zmin =－3，过 B(3，0)时， zmax =3，故 z  x 2y 的取值范围为[－3，
3]．
3  2x  y  9
6  x  y  9
39 ．(2011• 新课标，理 13) 若变量 x ， y 满足约束条件 

，则 z  x 2y 的最 小值
为
．
【答案】-6
2x  y  3
x  y  9
【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过 A 点时， z  x 2y 取最小值，解 

得
A(4，－5)， zmin  4 2(5)=－6．
y
x 1≤ y ≤2x ，则2y  x
的最小值是__________．
40．(2018 北京)若 x ， 满足
【答案】3
y ≤2x
【解析】作出不等式组 
，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令 z  2y  x ，作出直线
x 1≤ y
2y  x  0，平移该直线，当直线过点 A(1, 2)时，2y  x 取得最小值，最小值为2213 ．
 x  y≥0

41．(2018 浙江)若 x ， y 满足约束条件2x  y ≤6 ，则 z  x 3y 的最小值是__，最大值是
__．
x  y≥ 2

【答案】−2；8
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中 B(4,2) ， A(2, 2) ．设 z  x 3y 
，
将直线l : z  x 3y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小
值，
F 4, 2
z 最小值      ，可得当l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最
最大值， z
2
 F2, 28 ．
最大值
考点 71 非线性目标函数的最值问题
ì + £
ïx 
y 2,
ïïï
2
1．(2016 年山东)若变量 x，y 满足í2x-3y £9,则 x y2 的最大值是
ïïx
0,
ïî
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设 P(x, y) 为平面区域内任意一点，则
 x  y  2
2x 3y  9
x2  y2 表示|OP |2 ．显然，当点 P 与点 A 合时，|OP |2 ，即 x
2  y2 取得最大值，由 
，解得
 x  3
y  1，故 A(3,1) ．所以 x2  y2 的最大值为32 (1) 10．故选 C．
2

x 2  0

2．(2016 浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域x y 
0
 

，
x 3y 4  0

中的点在直线 x  y 2  0 上的投影构成的线段记为 AB，则| AB | 
=
A．2 2
【答案】C
B．4
C．3 2
D．6
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C, D 分别作直线 x  y 2  0 的垂线，
垂 足 分 别 为 A,B ， 则 四 边 形 ABDC 为 矩 形 ； 又 C(2,2) ， D(1, 1) ， 
所 以
| AB ||CD | (2 1)2 (2 1)  3 2 ，故选 C．
2
x  y 7  0,
  

2
y b
  

2 1，设平面区域  x y  7  0, ，若圆心C
，且圆 C

3．(2014 福建)已知圆C : x a
y  0

与 x 轴相切，则a 2 b2 的最大值为
C．37 
D．49
A．5
B．29
【答案】C
【解析】平面区 域为如图所示的阴影部分的△ABD，
因圆心C(a,b) ∈，且圆C 与 x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段 MN 上，线段 MN 的方程为 y 
1( 2
≤ x ≤6)，由图形得，当点C 在点 N(6,1) 处时，a b2 取得最大值6 1  37 ，故选 C．
x 1 0
2
2
2

y
4．(2015 新课标Ⅰ，理 15)若 x，y 满足约束条件x  y  
0
，则 
的最大值为
．
x
x  y  4  0

【答案】3
y
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 
是可行域内一点与原点连线的斜率，由图
x
y
可知，点 A(1，3)与原点连线的斜率最大，故 
的最大值为 3．
x
x  2y  4  0

2x  y 2  0 ，则
3x  y 3  0
x2  y2 的取值范围是
5. (2016 江苏)已知实数 x，y 满足
．


4
【答案】[ ,13]
5
【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0, 2) ，(1, 0) ，(2, 3) 为顶点的三角形及其内部，如图所示，因
2
4
为原点到直线2x  y 2  0 的距离为
，所以(x
2  y2) 
 
，又当(x, y) 取点(2, 3) 时， x  y2 取
2
min
5
5
4
x  y2 的取值范围是[ ,13] ．
2
得最大值 13，故
5
考点 72 线性规划的实际问题
1．(2015 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料
的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得
最大利润为
甲
3
乙
2
原料限额
A(吨)
B(吨)
12
8
1
2
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
【答案】D
3x 2y 12

x 2y  8
x  0
x y
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 、 吨，则利润
z  3x 4y，由题意可列
，


y  0
其表示如图阴影部分区域，当直线3x 4y  z  0 过点A(2, 3)
z
时， 取得最大值，所以
zmax  3243 18 ，故选 D．
2．(2016•新课标Ⅰ，理 16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 
需
要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用 3 个
工
时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料150kg ，
乙
材料90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为
元．
【答案】216000
xN, y N
 

1.5x  0.5y 150


【解析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元，由题意，得

，z  2100x 900y ，
x  0.3y
90


5x 3y 600


x  0.3y  90
作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得 
x  60
，解得： 
y 100
， A(60,100) ，由图知，
5x 3y  600
z  2100x 900y 经过 A 时，目标函数取得最大值：210060 900100  216000 元．
考点 73 含参数的线性归化问题
x  y  a
x  y  1
x, y
z  x ay
1．(2014 新课标 I，文 11)设
， y 满足约束条件
，且
的最小值为 7，则a =( )
A．-5
B．3
C．-5 或 3
D．5 或-3
【答案】B
【解析】当a ＞0 时，作出可行域如图 1 中阴影部分所示，作出直线l ：x ay  0 ，平移直线l ，由图知，
0
0
l ： z  x ay 过点 A 时， z  x ay 取最小
值；
当a ＜0 时，作出可行域如图 2 中阴影部分所示，作出直线l ：x ay  0 ，平移直线l ，由图知，z  x ay
0
0
x  y  a
x  y  1


a 1 a(a 1)
a 1 
a 1

a 
a
=7，解得 =-5(舍)或 =3，故选 B．
无最小值；由
解得 A(
，
)，故
2
2
2
2
x 1

2．(2013 新课标Ⅱ，理 9)已知a ＞0，x, y 满足约束条件x  y  3 
，若 z  2x  y 的最小值为 1，则
a =
y  a(x 3)

1
4
1
2
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 z  2x  y ，由题知当直线 z  2x  y 过 A 点时，z 
取
2x  y 1
x 1
1
最小值 1，由
解得 A(1，－1)，因 A(1，－1)在 y  a(x 3)上，∴a = 
，故选 B．
2
x  y≥0

3．(2 015 山东)已知 x, y 满足约束条件x  y ≤2 ，若 z  ax y 的最大值为 4，则
a =
y≥0

A．3
B．2
C．－2
D．－3
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则 A(2,0) ， B(1,1) ，
若 z  ax  y 过 A 时取得最大值为 4，则2a  4 ，解得a  2 ，此时，目标函数为 z  2x  y ，即 y  2x  
z ，
平移直线 y  2x  z ，当直线经过 A(2,0) 时，截距最大，此时 z 最大为 4，满足条件，
若 z  ax  y 过 B 时取得最大值为 4，则a 1 4 ，解得a  3 ，此时，目标函数为 z  3x  y ，
即 y  3x  z ，平移直线 y  3x  z ，当直线经过 A(2,0) 时，截距最大，此时 z 最大为 6，不满足条件，
故
a  2 ，故选 B ．
x  y 2  0

x, y
x 2y 2  0
2x  y 2  0
z  y ax
a
4．(2014 安徽)
满足约束条件
，若
取得最大值的最优解不唯一，则实数 的
．．．


值为(
)
1
1
2
或1
2 或
D．
2 或1
A．
B．
C．2 或 1
2
【答案】D
【解析】解法一 由题中条件画出可行域，
可知三交点 A(0, 2) ，B(2,0)，C(2,2) ，则 z  2 ， z  2a ， z  2a 2，要使目标函数取得最
大
A
B
C
值的最优解不唯一，只要 z  z  z 或 z  z  z 或 z  z  z ，解得a  1 或a  
2 ．
A
B
C
A
C
B
B
C
A
解法二 目标函数 z  y ax 可化为 y  ax z ，令l ： y  ax，平移l ，则当l ∥AB 或l ∥AC 时
符
0
0
0
0
合题意，故a  1 或a  2．
 x  y 2  0

5．(2014 北京)若 x, y 满足kx y 2  0 且 z  y  x 的最小值为－4，则k 的值
为

y  0

1
1
2
A．2
B．-2
C．
D．
2
【答案】D
 x  y 2  0

【解析】作出线性约束条件kx y 2  0 ，的可行域．当k 0 时，如图(1)所示，此时可行域为 y 轴上 
方、

y  0

直线 x  y 2  0 的右上方、直线kx y 2  0 的右下方的区域，显然此时 z  y  x 无最小值．当k  
1
时． z  y  x 取得最小值 2；
当k  1 时， z  y  x 取得最小值2，均不符合题
意，
2
当1 k 0 时，如图(2)所示，此时可行域为点 A(2，0)，B(  
，0)，C(0，2)所围成的三角形区域，当
直
k
2
线 z  y  x 经过点 B(  
，0)时，有最小值，
k
2
1
即( )  4 ，所以得k   ．故选 D．
k
2
x  y 3 0,

6．(2012 福建)若直线 y  2x 上存在点(x, y) 满足约束条件x 2y 3  0, 则实数m 的最大值
为
x  m,

3
2
A．1
B．1
C．
D．2
【答案】B
 
y  2x
x  y 3  0
【解析】由题意，
，可求得交点坐标为(1，2)要使直线 y=2x 上存在点(x，y )满足约束条件
 x  y 3
 0

x 2y 3
 ，如图所示，则3m  2m ，可得 m≤1，∴实数 m 的最大值为 1，故选 
B．
0

x  m

y  x

7．(2011 湖南)设m ＞1，在约束条件y  mx 下，目标函数 z  x my 的最大值小于 2，则m 的取值范
围
x  y 1

为
A．(1，1 2 )
B．(1 2 ，)
C．(1，3 )
D．(3，)
【答案】A
【解析】m 1，故直线 y  mx 与直线 x  y 1 交于(1
m
,
) 点，目标函数 z  x  my 对应的直线与直
m 1 m 1
1
m
1 m

2
线 y  mx 垂直，且在(
,
) 点，取得最大值，其关系如下图所示，即
 2 ，解得1 2  m 1 2 ，
m 1 m 1
m 1
又m 1 ，解得m(1,1 2) ，故选 A ．
x 2y 4  0,

x y
x  y 1 0,
x 1,
1 ax y  4 
a
时， 
恒成立，则实数 的取值范围是________．
8．(2014 浙江)当实数 ， 满足


3
【答案】[1, ]
2
x 1
【解析】由约束条件作可行域如图，由 
x  y 1 0
3
解得 C(1, ) ．由 

解得 B(2,1) ，在
x  2y  4  0
2
x  2y  4  0
a 10

3

a  10
3
x  y 1 0 中取 y  0 得 A(1, 0) ，要使1
ax  y
4 恒成立，
则
，解得：1
a
 ，实数a 的取
2
2
a  4
0

2a 1 4
0

3
值范围是[1, ] ．
2
 y  x

x y 4
 

z  2x  y
，且 
的最小值为－6，
x, y
9．(2014 湖南)若变量
满足约束条件
y  k

则k 
．
【答案】－2
【解析】作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，由 z  2x  y ，得 y  2x  z ，平移直线 y  2x 
 z ，
由图象可知当直线 y  2x  z 经过点 A 时，直线 y  2x  z 的截距最小，此时 z 最小，目标函数为2x  y  
6 ，
2x  y  6
由
x  2
，解得
，即 A(2,2) ，点 A 也在直线 y  k 上，k  
2．
y  x
y  2
 x  2

10．(2013 浙江)设 z  kx y ，其中实数 x, y 满足x 2y 4  2 ，若 z 的最大值为 12，则
实数
2x  y 4  0

k =________ ．
【答案】2
【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中C(2, 0) ， A(2, 3) ， B(4, 4) 
．
y  kx
4k+4=12，
当k 0 时，直线l0 ：
所以k  2；当k 0 时，直线l0 ：
此时2k 312 或4k 4 12，所以不满足题意．所以k  2，所以填 
2．
平移到 
点时目标函数取最大值，即
B
y  kx平移到 
或 
点时目标函数取最大值，
A 
B
 y  x

m 1,
 y  mx
x  y 1
z  x 5y 的最大值为 4，则m
下，目标函数 
的值为
11．(2011 湖南)设
【答案】3
在约束 条件
．


  1
x  ，显然只有 y   x 
 
z
1
z
【解析】不等式组表示 的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为 y
5
5
5
5
 y  mx
x  y  1
在 y 轴上的截距最大时 z 值最大，根据图形，目标函数在点 A 处取得最大值，由 

，得
1
m
1
5m
A(
,
) ，代入目标函数，即

 4 ，解得m 3．
1m 1m
 
1m 1m