北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§5.2 三角恒等变换
【5 年高考】
考点 三角函数式的求值和化简
1.(2020课标Ⅰ理,9,5分)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
√5 2 1 √5
A. B. C. D.
3 3 3 9
答案 A
2.(2020课标Ⅲ理,9,5分)已知2tan θ-tan( π)=7,则tan θ= ( )
θ+
4
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
3.(2020课标Ⅲ文,5,5分)已知sin θ+sin( π)=1,则sin( π)= ( )
θ+ θ+
3 6
1 √3 2 √2
A. B. C. D.
2 3 3 2
答案 B
4.(2019课标Ⅱ,10,5分)已知α∈( π),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= ( )
0,
2
1 √5 √3 2√5
A. B. C. D.
5 5 3 5
答案 B
5.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos(π )=3,则sin 2α=( )
-α
4 5
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
25 5 5 25
答案 D
6.(2020江苏,8,5分)已知sin2(π )=2,则sin 2α的值是 .
+α
4 3
1
答案
3
7.(2020浙江,13,6分)已知tan θ=2,则cos 2θ= ,tan( π)= .
θ-
4
3 1
答案 - ;
5 3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2
8.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sin x=- ,则cos 2x= .
3
1
答案
9
9.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .
答案 √2;1
10.(2017江苏,5,5分)若tan( π)=1,则tan α= .
α-
4 6
7
答案
5
tanα
2 ( π)
11.(2019江苏,13,5分)已知 ( π)=- ,则sin 2α+ 的值是 .
tan α+ 3 4
4
√2
答案
10
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 三角恒等变换
1.(2018课标Ⅰ文,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点
2
A(1,a),B(2,b),且cos 2α= ,则|a-b|= ( )
3
1 √5 2√5
A. B. C. D.1
5 5 5
答案 B 本题主要考查三角函数的定义及三角恒等变换.
由题可知tan α=b-a=b-a,又cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-sin2α=1-tan2α=1-(b-a)2 =2,
2-1 cos2α+sin2α 1+tan2α 1+(b-a)2 3
1
∴5(b-a)2=1,得(b-a)2= ,
5
√5
即|b-a|= ,故选B.
5
方法归纳 三角函数求值与化简的常用方法:
sinα
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α= 化成正弦、余弦;
cosα
(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ进行变形、转化;
π
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan .
4
1
2.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α= ,则cos 2α= ( )
3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
8 7
A. B.
9 9
7 8
C.- D.-
9 9
答案 B 本题考查三角恒等变换.由sin α=1,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×(1) 2 =1-2=7.故选B.
3 3 9 9
4
3.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α= ,则sin 2α= ( )
3
7 2 2 7
A.- B.- C. D.
9 9 9 9
答案 A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=(4) 2 =16,∴sin 2α=-7.
3 9 9
解后反思 涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α进行转换.
3
4.(2017山东文,4,5分)已知cos x= ,则cos 2x= ( )
4
1 1 1 1
A.- B. C.- D.
4 4 8 8
答案 D 本题考查二倍角余弦公式.
因为cos x=3,所以cos 2x=2cos2x-1=2×(3) 2 -1=1.
4 4 8
3
5.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α=( )
4
64 48 16
A. B. C.1 D.
25 25 25
3
1+4×
3 cos2α+4sinαcosα 1+4tanα 4
答案 A 当tan α= 时,原式=cos2α+4sin αcos α= = = =
4 sin2α+cos2α tan2α+1 9
+1
16
64
,故选A.
25
解后反思 将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这
是解决本题的关键.
评析 本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..
1
6.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=- ,则cos 2θ= ( )
3
4 1 1 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
答案 D 解法一:cos
2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θ
cos2θ+sin2θ北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
=1-tan2θ=4.故选D.
1+tan2θ 5
1 1
解法二:由tan θ=- ,可得sin θ=± ,
3 √10
4
因而cos 2θ=1-2sin2θ= .
5
评析 本题考查化归与转化的能力.属中档题.
7.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( )
√3 √3 1 1
A.- B. C.- D.
2 2 2 2
1
答案 D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选D.
2
( 3π)
cos α-
8.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan π,则 10 =( )
5 ( π)
sin α-
5
A.1 B.2 C.3 D.4
( 3π) [π ( 3π)] ( π) π π
cos α- sin + α- sin α+ sinαcos +cosαsin
10 2 10 5 5 5
答案 C = = = =
sin ( α- π) sin ( α- π) sin ( α- π) sinαcos π -cosαsin π
5 5 5 5 5
π
tanα+tan
5
,
π
tanα-tan
5
( 3π) π
cos α- 3tan
∵tan α=2tan π,∴ 10 = 5 =3.故选C.
5 sin ( α- π) tan π
5 5
1 1
9.(2015重庆文,6,5分)若tan α= ,tan(α+β)= ,则tan β= ( )
3 2
1 1 5 5
A. B. C. D.
7 6 7 6
1 1
-
tan(α+β)-tanα 2 3 1
答案 A tan β=tan[(α+β)-α]= = = ,故选A.
1+tan(α+β)·tanα 1 1 7
1+ ×
2 3
10.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=2,则cos2( π)= ( )
α+
3 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
( π)
( π) 1+cos 2α+ 1-sin2α 2 1
答案 A cos2 α+ = 2 = ,把sin 2α= 代入,原式= .选A.
4 2 3 6
2
评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.
11.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan( 5π)=1,则tan α= .
α-
4 5
3
答案
2
解析 本题主要考查两角差的正切公式.
5π
tanα-tan
( 5π) 4 tanα-1 1
tan α- = = = ,
4 5π 1+tanα 5
1+tanαtan
4
3
解得tan α= .
2
12.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈( π),tan α=2,则cos( π)= .
0, α-
2 4
3√10
答案
10
解析 因为α∈( π),且tan α=sinα =2,所以sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,所以sin α=2√5,cos α=
0,
2 cosα 5
√5,则cos( π)=cos αcos π+sin αsin π=√5×√2+2√5×√2=3√10.
α-
5 4 4 4 5 2 5 2 10
sinα
易错警示 在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tan α= ,同时要注意角的范围,以确定三角函数
cosα
值的正负.
13.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin( π)=3,则tan( π)= .
θ+ θ-
4 5 4
4
答案 -
3
解析 解法一:∵sin( π)=√2×(sin θ+cos θ)=3,
θ+
4 2 5
3√2
∴sin θ+cos θ= ①,
5
7
∴2sin θcos θ=- .
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∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,
4√2
∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=- ②,
5
√2 7√2 1
由①②得sin θ=- ,cos θ= ,∴tan θ=- ,
10 10 7
∴tan( π)=tanθ-1=-4.
θ-
4 1+tanθ 3
解法二:∵( π)+(π )=π,
θ+ -θ
4 4 2
∴sin( π)=cos(π )=3,
θ+ -θ
4 4 5
π
又2kπ- <θ<2kπ,k∈Z,
2
π π π
∴2kπ- <θ+ <2kπ+ ,k∈Z,
4 4 4
∴cos( π)=4,∴sin(π )=4,
θ+ -θ
4 5 4 5
(π )
sin -θ
∴tan(π )= 4 =4,
-θ
4 (π ) 3
cos -θ
4
∴tan( π)=-tan(π )=-4.
θ- -θ
4 4 3
评析 本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.
π π
14.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 = .
8 8
√2
答案
2
π π π √2
解析 由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .
8 8 4 2
1
15.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为 .
7
答案 3
1
-(-2)
tan(α+β)-tanα 7
解析 tan β=tan[(α+β)-α]= = =3.
1+tan(α+β)tanα 1
1+ ×(-2)
7
16.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 .北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
√6
答案
2
√6
解析 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=√2sin(15°+45°)=√2sin 60°= .
2
17.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是 .
答案 -1
解析 由sin α+2cos α=0得tan α=-2.
2sin αcos
α-cos2α=2sinαcosα-cos2α=2tanα-1=2×(-2)-1=-5=-1.
sin2α+cos2α tan2α+1 (-2)2+1 5
18.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .
答案 1
解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ-φ)
=sin x,
∴f(x)的最大值为1.
19.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
2 2
(2)求函数y= [ f ( x+ π )] + [ f ( x+ π)] 的值域.
12 4
解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学素养是逻辑推
理及数学运算,考查了化归与转化思想.满分14分.
(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
π 3π
又θ∈[0,2π),因此θ= 或 .
2 2
2 2
(2)y=[ ( π )] +[ ( π)]
f x+ f x+
12 4
=sin2( π )+sin2( π)
x+ x+
12 4
( π) ( π)
1-cos 2x+ 1-cos 2x+
= 6 + 2
2 2
=1-1(√3 3 )
cos2x- sin2x
2 2 2
