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１ ６６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§４．２ 三角恒等变换
三角恒等变换 学生用书Ｐ６４ ．
θ θ ９． 答案 π
１．（２０２１新高考 ，６，５分）若 θ 则ｓｉｎ （１＋ｓｉｎ２ ）
Ⅰ ｔａｎ ＝－２， θ θ ＝ ２
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １０．（２０１８课标 理，１５，５分）已知 α β α β
Ⅱ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１，ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝
（ ） 则 α β ．
０， ｓｉｎ（ ＋ ）＝
６ ２ ２ ６
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． １０． 答案 １
５ ５ ５ ５ －
１． 答案 Ｃ ２
( )
２．（２０２１全国乙文，６，５分） ２ π ２ ５π １１．（２０１７ 课标 Ⅰ 文，１５，５ 分）已知 α ∈ ０， π ，ｔａｎ α ＝２， 则
ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ （ ） ２
１２ １２ ( )
α π ．
１ ３ ２ ３ ｃｏｓ － ＝
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４
２ ３ ２ ２
２． 答案 Ｄ １１． 答案 ３ １０
( )
１０
３．（２０２１全国甲，理 ９，文 １１，５ 分）若 α ∈ ０， π ２ ，ｔａｎ ２ α ＝ １２．（２０１９江苏，１３，５分）已知 ( ｔａｎ α ) ＝－ ２ ， 则 ｓｉｎ ( ２ α ＋ π )
α α π ３ ４
ｃｏｓ 则 α ｔａｎ ＋
α， ｔａｎ ＝ （ ） ４
２－ｓｉｎ
的值是 ．
１５ ５ ５ １５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１５ ５ ３ ３ １２． 答案 ２
３． 答案 Ａ
１０
４．（２０２０课标 Ⅰ 理，９，５分）已知α ∈（０，π）， 且 ３ｃｏｓ ２ α －８ｃｏｓ α ＝ １３．（２０１８江苏，１６，１４分）已知α ， β为锐角 ，ｔａｎ α ＝ ４ ，ｃｏｓ（ α ＋ β ）
则 α ３
５， ｓｉｎ ＝ （ ）
５．
５ ２ １ ５ ＝－
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５
３ ３ ３ ９
４． 答案 Ａ
（１）
求
ｃｏｓ２
α的值
；
( ) 求 α β 的值．
５．（２０２０ 课标 文，５，５ 分）已知 θ θ π 则 （２） ｔａｎ（ － ）
Ⅲ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＋ ＝ １， α
３ １３． 解析 因为 α ４ α ｓｉｎ 所以 α ４
( ) （１） ｔａｎ ＝ ，ｔａｎ ＝ α， ｓｉｎ ＝
θ π ３ ｃｏｓ ３
ｓｉｎ ＋ ＝ （ ） α．
６ ｃｏｓ
１ ３ ２ ２
因为
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１，
所以
ｃｏｓ
２α
＝
９
，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２５
２ ３ ３ ２
５． 答案 Ｂ
( ( )
所以
ｃｏｓ２
α
＝２ｃｏｓ
２α
－１＝－
７ ．
２５
６．（２０２１ 北京，１４，５ 分）若 Ｐ （ｃｏｓ θ ，ｓｉｎ θ ） 与 Ｑ ｃｏｓ θ ＋ π ６ ， （２） 因为α ， β为锐角 ， 所以α ＋ β ∈（０，π） ．
( ) )
θ π 关于ｙ轴对称 写出一个θ的值 ． 又因为 α β ５
ｓｉｎ ＋ ， ： ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ ，
６ ５
６． 答案 ５π （ 答案不唯一 ） 所以 ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ １－ｃｏｓ ２ （ α ＋ β ）＝ ２ ５ ， 因此 ｔａｎ（ α ＋ β ）＝－２ ．
１２ ( ) ５
７．（２０２０江苏，８，５ 分）已知 ｓｉｎ ２ π ４ ＋ α ＝ ３ ２ ， 则 ｓｉｎ ２ α的值是 因为 ｔａｎ α ＝ ３ ４ ， 所以 ｔａｎ２ α ＝ １ ２ － ｔ ｔ ａ ａ ｎ ｎ ２ α α＝－ ２ ７ ４．
．
α α β
因此 α β α α β ｔａｎ２ －ｔａｎ（ ＋ ） ２ ．
７． 答案 １ ｔａｎ（ － ）＝ｔａｎ［２ －（ ＋ ）］＝ １＋ｔａｎ２ α ｔａｎ（ α ＋ β ） ＝－ １１
３
８．（２０２０ 浙江，１３，６ 分）已知 θ 则 θ 以下为教师用书专用（１—１９）
ｔａｎ ＝２， ｃｏｓ ２ ＝ ，
( )
θ π ． １．（２０１８课标 ，理４，文４，５分）若 α １ 则 α
ｔａｎ － ＝ Ⅲ ｓｉｎ ＝ ， ｃｏｓ２ ＝
４ ３
８． 答案 ３ １ （ ）
－ ；
５ ３ ８ ７
９．（２０１９ 北京理，９，５ 分）函数 ｆ ｘ ２ ｘ 的最小正周期是 Ａ． Ｂ．
（ ）＝ ｓｉｎ ２ ９ ９
第四章 三角函数与解三角形 １ ６７
答案 Ｄ 原式 ° ° ° ° °
７ ８ ＝ｓｉｎ ２０ ｃｏｓ １０ ＋ｃｏｓ ２０ ｓｉｎ １０ ＝ｓｉｎ（２０ ＋
Ｃ．－ Ｄ．－
９ ９ ° ° １ 故选 ．
１０ ）＝ｓｉｎ３０ ＝ ， Ｄ
答案 Ｂ 本题考查三角恒等变换．由 α １ 得 α ２
ｓｉｎ ＝ ， ｃｏｓ２ ＝ ( )
( ) ３ α ３π
２ ｃｏｓ －
２α １ ２ ７ ．故选 ． ７．（２０１５重庆理，９，５分）若 α π 则 １０
１－２ｓｉｎ ＝１－２× ＝１－ ＝ Ｂ ｔａｎ ＝２ｔａｎ ， ( ) ＝
３ ９ ９ ５ α π
ｓｉｎ －
２．（２０１７课标 文，４，５分）已知 α α ４ 则 α ５
Ⅲ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ２ ＝
３
（ ）
（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
( ) [ ( )] ( )
７ ２ ２ ７
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． α ３π π α ３π α π
９ ９ ９ ９ ｃｏｓ － ｓｉｎ ＋ － ｓｉｎ ＋
答案 Ａ ∵ （ｓｉｎ α －ｃｏｓ α ） ２ ＝１－２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝１－ｓｉｎ ２ α ＝ 答案 Ｃ ( １０ ) ＝ ２ ( １ ) ０ ＝ ( ５ ) ＝
( ) α π α π α π
４ ２ １６ α ７ ． ｓｉｎ － ｓｉｎ － ｓｉｎ －
＝ ，∴ ｓｉｎ２ ＝－ ５ ５ ５
３ ９ ９
解后反思 涉及 α α， α α的问题，通常利用 α π α π α π
ｓｉｎ ±ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ｔａｎ ＋ｔａｎ
公式（ ｓｉｎ α ±ｃｏｓ α）２ ＝１±２ｓｉｎ α ｃｏｓ α进行转换． ５ ５ ＝ ５ ，
α π α π α π
３．（２０１７山东文，４，５分）已知 ｘ ３ 则 ｘ ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ｔａｎ －ｔａｎ
ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ） ５ ５ ( ) ５
４
α ３π π
１ １ １ １ ｃｏｓ － ３ｔａｎ
Ａ．－ ４ Ｂ． ４ Ｃ．－ ８ Ｄ． ８ ∵ ｔａｎ α ＝２ｔａｎ π ，∴ ( １０ ) ＝ ５ ＝３ ．故选 Ｃ ．
答案 Ｄ 本题考查二倍角余弦公式． ５ α π π
ｓｉｎ － ｔａｎ
( ) ５ ５
２
因为
ｃｏｓ
ｘ
＝
３
，
所以
ｃｏｓ２
ｘ
＝２ｃｏｓ
２ｘ
－１＝２×
３
－１＝
１ ．
８．（２０１５重庆文，６，５分）若 α １ α β １ 则 β
４ ４ ８ ｔａｎ ＝ ，ｔａｎ（ ＋ ）＝ ， ｔａｎ ＝
３ ２
４．（２０１６课标 理，５，５分）若 α ３ 则 ２α α
Ⅲ ｔａｎ ＝ ， ｃｏｓ ＋２ｓｉｎ２ ＝ （ ）
４
１ １ ５ ５
（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
７ ６ ７ ６
６４ ４８ １６ α β α
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ． 答案 Ａ β α β α ｔａｎ（ ＋ ）－ｔａｎ
２５ ２５ ２５ ｔａｎ ＝ｔａｎ［（ ＋ ）－ ］＝ α β α＝
１＋ｔａｎ（ ＋ ）·ｔａｎ
答案 Ａ 当 α ３ 时 原式 ２α α α
ｔａｎ ＝ ， ＝ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ １ １
４ －
２ ３ １ 故选 ．
３ ＝ ， Ａ
２α α α α １＋４× １ １ ７
ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ １＋４ｔａｎ ４ ６４ 故选 ． １＋ ×
２α ２α ＝ ２α ＝ ＝ ， Ａ ２ ３
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ ９ ２５ ( )
１６ ＋１ ９．（２０１３课标 Ⅱ 文，６，５分）已知 ｓｉｎ２ α ＝ ２ ， 则 ｃｏｓ ２ α ＋ π ＝
解后反思 将所求式子的分母 用 ２α ２α代替，然后 ３ ４
１ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
分子、分母同除以 ２α，得到关于 α的式子，这是解决本题 （ ）
ｃｏｓ ｔａｎ
的关键．
１ １ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
评析 本题主要考查三角恒等变换，用 ２α ２α代替 是 ６ ３ ２ ３
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ １ ( )
解题关键．． α π
( ) １＋ｃｏｓ ２ ＋ α
５．（２０１６课标 文，６，５分）若 θ １ 则 θ 答案 Ａ ｃｏｓ ２ α ＋ π ＝ ２ ＝ １－ｓｉｎ２ ， 把
Ⅲ ｔａｎ ＝－ ， ｃｏｓ２ ＝ （ ） ４ ２ ２
３
α ２ 代入 原式 １ ．选 ．
４ １ １ ４ ｓｉｎ２ ＝ ， ＝ Ａ
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． ３ ６
答
５
案 Ｄ 解法一
５
：ｃｏｓ２ θ ＝ｃｏｓ ２
５
θ －ｓｉｎ ２θ ＝ ｃｏｓ
２
２
θ
θ －
５
ｓｉｎ
２
２
θ
θ
评
导
析
公 式
本
的
题
应
考
用
查
．
了三角函数的化简求值，考查了降幂公式、诱
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ( )
１－ｔａｎ
２θ
４ ．故选 ． １０．（２０１６课标 ，９，５分）若 π α ３ 则 α
＝
１＋ｔａｎ
２θ＝
５
Ｄ Ⅱ ｃｏｓ
４
－ ＝
５
， ｓｉｎ２ ＝ （ ）
解法二 由 θ １ 可得 θ １ ７ １ １ ７
： ｔａｎ ＝－ ， ｓｉｎ ＝± ， Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
３ １０ ２５ ５ ( ) ５ ２５
因而
ｃｏｓ２
θ
＝１－２ｓｉｎ
２θ
＝
４ ． 答案 Ｄ
∵ ｃｏｓ
π
－
α
＝
３
，
评析 本题考查化归与转 ５ 化的能力．属中档题． ( ４ ) [ ５ ( )]
α π α π α
６．（２０１５课标 理，２，５分） ° ° ° ° ∴ ｓｉｎ２ ＝ｃｏｓ －２ ＝ｃｏｓ ２ －
Ⅰ ｓｉｎ２０ ｃｏｓ１０ －ｃｏｓ１６０ ｓｉｎ１０ ＝ ( ) ２ ( ) ４
２
（ ） ２ π α ３ ７ ．故选 ．
＝２ｃｏｓ － －１＝２× －１＝－ Ｄ
４ ５ ２５
( )
思路分析 利用诱导公式化 α π α ，再利用
ｓｉｎ２ ＝ｃｏｓ －２
３ ３ １ １ ２
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． 二倍角的余弦公式即可得答案．
２ ２ ２ ２
１ ６８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( )
一题多解 π α ２（ α α） ３ α ｋ π θ π ｋ π ｋ Ｚ
ｃｏｓ － ＝ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝ ⇒ｃｏｓ ＋ ∴２ π－ ＜ ＋ ＜２ π＋ ， ∈ ，
４ ２ ５ ( ４ ) ４ ４ ( )
θ π ４ π θ ４
α ３ ２ α １８， ∴ ｃｏｓ ＋ ＝ ，∴ ｓｉｎ － ＝ ，
ｓｉｎ ＝ ⇒１＋ｓｉｎ２ ＝ ４ ５ ４ ５
５ ２５ ( )
π θ
α ７ ．故选 ． ( ) ｓｉｎ －
∴ ｓｉｎ２ ＝－ Ｄ π θ ４ ４
２５ ∴ ｔａｎ － ＝ ( ) ＝ ，
导师点睛 求解三角函数的给值求值问题，关键是把待求 ４ π θ ３
ｃｏｓ －
４
三角函数值的角用已知角表示出来： ( ) ( )
θ π π θ ４ ．
（ ）已知角有两个时，待求三角函数值的角一般表示为已知 ∴ ｔａｎ － ＝－ｔａｎ － ＝－
１ ４ ４ ３
角的和或差； 评析 本题主要考查了三角恒等变换，熟练掌握同角三角函
（ ）已知角有一个时，待求三角函数值的角一般与已知角成 数关系式及诱导公式是解题的关键．
２
“倍数关系”或“互补、互余关系”．
１４．（２０１６四川理，１１，５分） ２ π ２ π ．
１１．（２０１６浙江，１０，６ 分）已知 ２ｘ ｘ Ａ ωｘ φ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝
２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ８ ８
ｂ Ａ 则Ａ ｂ ．
（ ＞０）， ＝ ， ＝ 答案 ２
答案
２；１ ２
( )
解析
∵２ｃｏｓ
２ｘ
＋ｓｉｎ２
ｘ
＝１＋ｃｏｓ２
ｘ
＋ｓｉｎ２
ｘ
＝ ２ｓｉｎ ２
ｘ
＋
π
＋
解析 由二倍角公式易得
ｃｏｓ
２ π
－ｓｉｎ
２ π
＝ｃｏｓ
π
＝
２．
４ ８ ８ ４ ２
Ａ ｂ ． １５．（２０１５江苏，８，５分）已知 α α β １ 则 β
１，∴ ＝ ２， ＝１ ｔａｎ ＝－２，ｔａｎ（ ＋ ）＝ ， ｔａｎ
( ) ７
１２．（２０１８课标 文，１５，５分）已知 α ５π １ 则 α 的值为 ．
Ⅱ ｔａｎ － ＝ ， ｔａｎ ＝
４ ５ 答案
． ３
α β α
解析 β α β α ｔａｎ（ ＋ ）－ｔａｎ
答案 ３ ｔａｎ ＝ ｔａｎ［（ ＋ ） － ］ ＝ α β α ＝
１＋ｔａｎ（ ＋ ）ｔａｎ
２
解析 本题主要考查两角差的正切公式． １
－（－２）
７ ．
α ５π ＝３
( ) ｔａｎ －ｔａｎ α １
α ５π ４ ｔａｎ －１ １ １＋ ×（－２）
ｔａｎ － ＝ ＝ α＝ ， ７
４ α ５π １＋ｔａｎ ５ １６．（２０１５四川理，１２，５分） ° °的值是 ．
１＋ｔａｎ ｔａｎ ｓｉｎ１５ ＋ｓｉｎ７５
４
答案 ６
解得 α ３ ．
ｔａｎ ＝ ２
２
１３．（２０１６ 课标 文，１４，５ 分） 已知 θ 是第四象限角 且 解析 ｓｉｎ１５ ° ＋ｓｉｎ７５ ° ＝ｓｉｎ １５ ° ＋ｃｏｓ １５ ° ＝ ２ｓｉｎ（１５ ° ＋４５ ° ）
Ⅰ ，
( ) ( )
θ π ３ 则 θ π ． ° ６．
ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｔａｎ － ＝ ＝ ２ｓｉｎ６０ ＝
４ ５ ４ ２
１７．（２０１５四川文，１３，５分）已知 α α 则 α α
答案 ４ ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝０， ２ｓｉｎ ｃｏｓ －
－ ２α的值是 ．
３ ｃｏｓ
( ) 答案
解析 解法一 ：∵ ｓｉｎ θ ＋ π ４ ＝ ２ ２ ×（ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ）＝ ５ ３ ， 解析 由
－１
ｓｉｎ α ＋２ｃｏｓ α ＝０ 得 ｔａｎ α ＝－２ ．
α α ２α α
α α ２α ２ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ２ｔａｎ －１ ２×（－２）－１
∴ ｓｉｎ θ ＋ｃｏｓ θ ＝ ３ ２ ①， ２ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ ２α ＝ ｔａｎ ２α ＋１ ＝ （－２） ２ ＋１
５
－５ ．
θ θ ７ ． ＝ ＝－１
∴２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ５
２５ １８．（２０１５广东文，１６，１２分）已知 α ．
θ是第四象限角 θ θ ｔａｎ ＝２
∵ ，∴ ｓｉｎ ＜０，ｃｏｓ ＞０， ( )
求 α π 的值
θ θ θ θ ４ ２ （１） ｔａｎ ＋ ；
∴ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝－ １－２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ②， ４
５ α
求 ｓｉｎ２ 的值．
由 得 θ ２ θ ７ ２ θ １
（２）
ｓｉｎ
２α
＋ｓｉｎ
α
ｃｏｓ
α
－ｃｏｓ２
α
－１
①② ｓｉｎ ＝－ ，ｃｏｓ ＝ ，∴ ｔａｎ ＝－ ， 解析 因为 α
１０ １０ ７ （１） ｔａｎ ＝２，
( ) θ
θ π ｔａｎ －１ ４ ． α π
∴ ｔａｎ － ＝ θ＝－ ( ) ｔａｎ ＋ｔａｎ
４ １＋ｔａｎ ３ 所以 α π ４ ２＋１ ．
( ) ( ) ｔａｎ ＋ ＝ ＝ ＝－３
解法二 θ π π θ π ４ α π １－２×１
：∵ ＋ ＋ － ＝ ， １－ｔａｎ ·ｔａｎ
４ ４ ２ ４
( ) ( ) α
θ π π θ ３ 因为 α 所以 ｓｉｎ２
∴ ｓｉｎ ＋ ＝ｃｏｓ － ＝ ， （２） ｔａｎ ＝２， ２α α α α
４ ４ ５ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ２ －１
α α
又 ｋ π θ ｋ ｋ Ｚ ２ｓｉｎ ｃｏｓ
２ π－ ＜ ＜２ π， ∈ ， ＝ ２α α α ２α ２α ２α ２α
２ ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －（ｃｏｓ －ｓｉｎ ）－（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）
第四章 三角函数与解三角形 １ ６９
α α α æ ö
＝ ２α ２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ２α＝ ２α ２ｔａｎ α ＝ ２ ２×２ ＝１ ． ＝ ２ ×è ç － ２ ５ ø ÷ ＋ ２ × ５ ＝－ １０．
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ｔａｎ ＋ｔａｎ －２ ２ ＋２－２ ２ ５ ２ ５ １０
( )
æ ö
１９．（２０１４江苏 ( ，１５，１ ) ４分）已知α ∈ π ２ ，π ，ｓｉｎ α ＝ ５ ５． （２） 由 （１） 知 ｓｉｎ２ α ＝２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝２× ５ ５ ×è ç － ２ ５ ５ ø ÷ ＝－ ５ ４ ，
求 π α 的值 æ ö２
（１） ｓｉｎ ＋ ； α ２α ç ５÷ ３
４ ｃｏｓ２ ＝１－２ｓｉｎ ＝１－２×è ø ＝ ，
( ) ５ ５
求 ５π α 的值． ( )
（２） ｃｏｓ －２ 所以 ５π α ５π α ５π α
６ ｃｏｓ －２ ＝ｃｏｓ ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ２
( ) ６ ６ ６
解析 因为α π α ５ æ ö ( )
（１） ∈ ，π ，ｓｉｎ ＝ ， ç ３÷ ３ １ ４ ４＋３ ３．
２ ５ ＝è－ ø× ＋ × － ＝－
２ ５ ２ ５ １０
所以 α ２α ２ ５． 评析 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的
ｃｏｓ ＝－ １－ｓｉｎ ＝－
５ 正、余弦公式及二倍角公式，考查运算求解能力．
( )
故 π α π α π α
ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ
４ ４ ４
学生用书Ｐ６４
ａ ｂ
φ ．
考点 三角恒等变换 ａ２ ｂ２ ，ｓｉｎ ＝ ａ２ ｂ２
＋ ＋
４．常见公式的变形
１．两角和与差的三角函数公式
两角和与差的正切公式的变形
α β α β α β （１）
ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ；（Ｓα ＋ β） α β α β α β
α β α β α β ｔａｎ ＋ｔａｎ ＝ｔａｎ（ ＋ ）（１－ｔａｎ ｔａｎ ）；
ｓｉｎ（ － ）＝① ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ；（Ｓα － β） α β （α β）（ α β） ．
α β α β α β ｔａｎ －ｔａｎ ＝⑤ ｔａｎ － １＋ｔａｎ ｔａｎ
ｃｏｓ（ ＋ ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ；（Ｃα ＋ β） 升幂公式
α β α β α β （２）
ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ；（Ｃα － β） α α
α β α ２ α ２ ．
α β ｔａｎ ＋ｔａｎ １＋ｃｏｓ ＝２ｃｏｓ ；１－ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ
ｔａｎ（ ＋ ）＝② α β ；（Ｔα ＋ β） ２ ２
１－ｔａｎ ｔａｎ 降幂公式
α β （３）
α β ｔａｎ －ｔａｎ ． α α
ｔａｎ（ － ）＝ α β （Ｔα － β） ２α １－ｃｏｓ２ ２α １＋ｃｏｓ２ ．
１＋ｔａｎ ｔａｎ ｓｉｎ ＝ ；ｃｏｓ ＝⑥
２．二倍角公式 ２ ２
其他常用变形
α α α （４）
ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ；（Ｓ２ α） α α α
α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ
ｃｏｓ２ α ＝ｃｏｓ ２α －ｓｉｎ ２α ＝２ｃｏｓ ２α －１＝③ １－２ｓｉｎ ２α ；（Ｃ２ α） ｓｉｎ２ ＝
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α＝
ｔａｎ
２α
＋１
；
α
α ２ｔａｎ ． ２α ２α ２α
ｔａｎ２ ＝
１－ｔａｎ
２α（Ｔ２ α）
ｃｏｓ２
α
＝
ｃｏｓ
２α
－ｓｉｎ
２α＝⑦
１－ｔａｎ
２ α ；
３．辅助角公式 ｃｏ ( ｓ ＋ α ｓｉｎ α ) １＋ ２ ｔａｎ α α α
α ｓｉｎ １－ｃｏｓ ．
ａ
ｓｉｎ
α
＋
ｂ
ｃｏｓ
α
＝④
ａ２
＋
ｂ２
ｓｉｎ
（α
＋
φ）
，
其中
ｃｏｓ
φ
＝
１±ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ
２
±ｃｏｓ
２
；ｔａｎ
２
＝
１＋ｃｏｓ
α＝
ｓｉｎ
α
学生用书Ｐ６５
三角函数式的化简、求值 化同角 降幂与升幂等．降幂与升幂化简中 次数 与 角 的关
， “ ” “ ”
１．三角函数式的化简原则 系 次降角升 次升角降 为基本规律 根号中含有三角函数
：“ ”“ ” ，
式时 一般需升幂．
，
３．三角函数式求值的基本步骤
先化简所求式子或所给条件
（１） ；
观察已知条件与所求式子之间的联系
（２） ；
将已知条件代入所求式子 然后求值．
（３） ，
４．三角函数式求值的基本类型
给角求值 化为特殊角的三角函数值 化为正 负相消
（１） ：① ；② 、
的项 消去求值 化分子 分母 使其出现公约数 然后约分求值．
２．三角函数式化简的方法 ， ；③ 、 ， ，
给值求值 解题的关键在于 变角 如α α β β α
化简三角函数式的常见方法有弦切互化 异名化同名 异角 （２） ： “ ”， ＝（ ＋ ）－ ，２
， ， α β α β 等 把待求三角函数值的角用含已知角的式子
＝（ ＋ ）＋（ － ） ，
１ ７０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
表示出来 求解时要注意角的范围的讨论．
， β ４ 则 α α β α β α β α β
给值求角 实质上可转化为 给值求值 问题 先求所求 － ）＝ ， ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ［（ ＋ ）＋（ － ）］＝ｃｏｓ（ ＋ ）ｃｏｓ（ － ）－
（３） ： “ ” ， ５
角的某一三角函数值 再结合所求角的范围求得角．
， α β α β ５ ４ １２ ３ １６． α ２α
５．化简中的常用技巧 ｓｉｎ（ ＋ ）ｓｉｎ（ － ）＝ × － × ＝－ ∵ ｃｏｓ２ ＝１－２ｓｉｎ ＝
１３ ５ １３ ５ ６５
的代换 ２α ２α ２α α α
（１）“１” ：１＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ，１＝２ｃｏｓ －ｃｏｓ２ ，１＝ｃｏｓ２ １６ ２α ８１ α α ９ １３０ 故选 ．
－ ，∴ ｓｉｎ ＝ ，∵ ｓｉｎ ＞０，∴ ｓｉｎ ＝ ， Ａ
２α π等 ６５ １３０ １３０
＋２ｓｉｎ ，１＝ｔａｎ ； [ ] [ ]
４ α π α π α ５
用 弦化切 切化弦 的方法减少三角函数的种类 （３）∵ ∈ ，π ，∴ ２ ∈ ，２π ，∵ ｓｉｎ ２ ＝ ，
（２） “ ”“ ” ； ４ ２ ５
利用辅助角公式将形如ａ α ｂ α的式子转化为只 [ ] [ ]
（３） ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ α π ． α π π 且 α ２ ５ β
含有一个三角函数的形式 ａ２
＋
ｂ２
ｓｉｎ（
α
＋
φ
）；
∴２ ∈
２
，π ∴ ∈
４
，
２
ｃｏｓ ２ ＝ －
５
，∵ ∈
角的变换技巧 α α β α β β α β α [ ] [ ]
（４） ：２ ＝（ ＋ ）＋（ － ），２ ＝（ ＋ ）－（ － ３π β α π ５π 又 β α １０ β α
β α α β β α β β等． π， ，∴ － ∈ ， ， ∵ ｓｉｎ（ － ）＝ ，ｃｏｓ（ － ）＝
）， ＝（ ＋ ）－ ＝（ － ）＋ ２ ２ ４ １０
例 ° °
（１）ｓｉｎ４０ （ｔａｎ１０ － ３）＝ （ ） ３ １０ α β β α α β α α β
－ ，∴ ｃｏｓ（ ＋ ）＝ｃｏｓ［（ － ）＋２ ］＝ｃｏｓ（ － ）ｃｏｓ２ －ｓｉｎ（
１０
１ ３ ３
Ａ．－ Ｂ．－１ Ｃ． Ｄ．－ æ ö æ ö
２ ２ ３ α α ç ３ １０÷ ç ２ ５÷ １０ ５ ２ 又 α β
－ ）ｓｉｎ ２ ＝ è－ ø×è－ ø－ × ＝ ， ＋ ∈
已知α β都是锐角 α β ５ α β ３ 则 １０ ５ １０ ５ ２
（２） 、 ，ｃｏｓ（ ＋ ）＝ ，ｓｉｎ（ － ）＝ ， [ ]
１３ ５ ５π 所以α β ７π．故选 ．
α ，２π ， ＋ ＝ Ａ
ｓｉｎ ＝ （ ） ４ ４
答案 Ｂ Ａ Ａ
９ １３０ ７ １３０ ７ ６５ ４ ６５ （１） （２） （３）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１３０ １３０ ６５ ６５ １－１ （２０２０湖南岳阳一模，５）已知 α ５ β α
[ ] ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ（ － ）＝
若 α ５ β α １０ 且 α π β ５
（３） ｓｉｎ ２ ＝ ，ｓｉｎ（ － ）＝ ， ∈ ，π ， ∈
５ １０ ４ １０ α β均为锐角 则 β
[ ] － ， ， ， ｓｉｎ２ ＝ （ ）
３π 则α β的值是 １０
π， ， ＋ （ ）
２
１ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１
７π ９π ５π或７π ５π或９π ２ ２ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １－１． 答案 Ｄ
４ ４ ４ ４ ４ ４
解析 ° ° ( ) ( ) ( )
（ １ ） ｓｉｎ ４０ （ ｔａｎ １０ － ３ ） ＝ １－２ 已知 π α α ７π 则 π α
° ° ° ° ° ° （１） ｃｏｓ ＋ ＝３ｓｉｎ ＋ ， ｔａｎ ＋ ＝
ｓｉｎ４０ （ｓｉｎ１０ － ３ｃｏｓ１０ ） ｓｉｎ４０ ·２ｓｉｎ（１０ －６０ ） ２ ６ １２
° ＝ ° ＝ ．
ｃｏｓ１０ ｃｏｓ１０
( )
° ° ° °
－２ｓｉｎ４０ ｃｏｓ４０ ｓｉｎ８０ ｃｏｓ１０ ．故选 ． （２０２１新高考五省五校联盟联考，１３）已知α π
° ＝－ °＝－ °＝－１ Ｂ （２） ∈ ０， ，
ｃｏｓ１０ ｃｏｓ１０ ｃｏｓ１０ ２
( )
α β都是锐角 α β π α β π． α π ３ 则 α ．
（２）∵ 、 ，∴０＜ ＋ ＜π，－ ＜ － ＜ ｓｉｎ － ＝ ， ｔａｎ ＝
２ ２ ４ ３
又 ∵ ｃｏｓ（ α ＋ β ）＝ ５ ，ｓｉｎ（ α － β ）＝ ３ ，∴ ｓｉｎ（ α ＋ β ）＝ １２ ，ｃｏｓ（ α
１－２． 答案
（１）２ ３－４ （２）３＋２ ２
１３ ５ １３
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ６６
三角恒等变换 ２． 答案 Ｂ
° °
１．（２０１９山东淄博模拟，４） ３．（２０２１江苏盐城二模，５）计算２ｃｏｓ１０ －ｓｉｎ２０ 所得的结果为
２ １＋ｓｉｎ４＋ ２＋２ｃｏｓ４＝ （ ） °
ｃｏｓ２０
Ａ．２ｃｏｓ２ Ｂ．２ｓｉｎ２
（ ）
Ｃ．４ｓｉｎ２＋２ｃｏｓ２ Ｄ．２ｓｉｎ２＋４ｃｏｓ２
１． 答案 Ｂ Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２
( ) ３． 答案 Ｃ
２．（２０２１ 山东德州一模，５）已知 α α π １ 则 ( )
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ ＋ ， ４．（２０２０山东泰安一模，１３）已知 α β ３π α β
( ) ３ ３ 、 ∈ ，π ，ｓｉｎ（ ＋ ）＝
４
α π 的值为 ( ) ( )
ｃｏｓ ＋ ６ （ ） － ３ ，ｓｉｎ β － π ＝ １２ ， 则 ｃｏｓ α ＋ π ＝ ．
５ ４ １３ ４
１ １ ２ ３ ２ ３
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ４． 答案 ５６
３ ３ ３ ３ －
６５
第四章 三角函数与解三角形 １ ７１
( ) ( )
５．（２０２１山东烟台一模，１３）已知α π 若 π α ５． 答案 ２
∈ ０， ， ｓｉｎ ＋２ ＝
２ ２ ２
１ 则 α的值为 ．
， ｔａｎ
３
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ６６ ６０分钟 ９０分
一、单项选择题（每小题５分，共４０分） 中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海
，
１．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，２）已知 α 形成了一套先进的航海技术 过洋牵星术 简单地说 就是
ｓｉｎ ＞０， ——— ， ，
α 则 通过观测不同季节 时辰的日月星辰在天空运行的位置和测
ｃｏｓ ＜０， （ ） 、
α α 量星辰在海面以上的高度来判断水位 采用的主要工具是牵
α α ，
Ａ．ｓｉｎ２ ＞０ Ｂ．ｃｏｓ２ ＜０ Ｃ．ｔａｎ ＞０ Ｄ．ｓｉｎ ＜０ 星板．牵星板由 块正方形木板组成 最小的一块边长约为
２ ２ １２ ， ２
１． 答案 Ｃ 厘米 称一指 木板的长度从小到大依次成等差数列 最大的
（ ）， ，
( ) 一块边长约为 厘米 称十二指 ．观测时 将木板立起 一手
２．（２０２０山东省实验中学第二次诊断，６）已知 π α ２４ （ ） ， ，
ｃｏｓ － ＝ 拿着木板 手臂伸直 眼睛到木板的距离大约为 厘米 使牵
２ ， ， ７２ ，
星板与海平面垂直 让板的下边缘与海平面重合 上边缘对着
α 且 α β １ 则 β的值为 ， ，
２ｃｏｓ（π＋ ）， ｔａｎ（ ＋ ）＝ ， ｔａｎ （ ）
３ 所观测的星辰 依高低不同替换 调整木板 当被测星辰落在
， 、 ，
Ａ．－７ Ｂ．７ Ｃ．１ Ｄ．－１ 木板上边缘时所用的是几指板 观测的星辰离海平面的高度
２． 答案 Ｂ ，
就是几指 然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示
， ，
３．（２０２０湖南３月模拟，４）已知角α β α β １ 若在一次观测中 所用的牵星板为六指板 则 α约为
， ∈（０，π），ｔａｎ（ ＋ ）＝ ， ， ， ｓｉｎ２
２
（ ）
β ７ ２ 则角 α β
ｃｏｓ ＝ ， ２ ＋ ＝ （ ）
１０
９π ３π ５π π
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ４ ４ ４
３． 答案 Ｄ
４．（２０２１江苏南通一模，６）设当ｘ θ时 函数ｆ ｘ ｘ ｘ取
＝ ， （ ）＝３ｓｉｎ ＋４ｃｏｓ
得最小值 则 θ １２ １２ １ １
－５， ｓｉｎ ＝ （ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３５ ３７ ６ ３
３ ４ ３ ４ ７． 答案 Ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
５ ５ ５ ５ ( )
４． 答案 Ｃ ８．（２０２１山东淄博二模，６）若 α α α π α π
ｔａｎ ＞ｓｉｎ ＞ｓｉｎ ２ － ＜ ＜ ，
５．（ 山东潍坊期中理， ）已知 α β 为第二象限的角 ２ ２
２０１９ ８ ， ， 则α的取值范围是
( ) ( ) （ ）
α π ３ β π ５ 则 α β 的值为 ( ) ( ) ( ) ( )
ｃｏｓ － ＝－ ，ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｓｉｎ（ ＋ ） π π π π π π π π
４ ５ ４ １３ Ａ． － ，－ Ｂ． － ， Ｃ． ， Ｄ． ，
２ ６ ３ ３ ３ ２ ６ ２
（ ） ８． 答案 Ｃ
３３ ６３ ６３ ３３
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ 二、多项选择题（共５分）
６５ ６５ ６５ ６５
５． 答案 Ｂ ９．（２０２１广东广州一模，１０）已知函数ｆ ｘ ｘ ２ｘ 则
（ ）＝ｓｉｎ２ ＋２ｃｏｓ ，
６．（２０２０河南、江西、湖南三省部分重点中学４
（ ）
月联考，７） 九章算术 是我国古代内容极为 ｆ ｘ 的最大值为
《 》 Ａ． （ ） ３
丰富的数学名著 书中有一个 引葭赴岸 问
， “ ” ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
题 今有池方一丈 葭生其中央 出水一尺 Ｂ． （ ） ＝
：“ ， ， ， ８
引葭赴岸 适与岸齐 问水深 葭长各几何 ( )
， ， 、 ？” ｆ ｘ 的图象关于点 π 对称
其意思为 今有水池 丈见方 即 ＣＤ Ｃ． （ ） － ，１
“ １ （ ＝１０ ８
尺 芦苇生长在水的中央 长出水面的部分为 尺．将芦苇向 [ ]
）， ， １ ｆ ｘ 在 π π 上单调递增
池岸牵引 恰巧与水岸齐接 如图所示 ．试问水深 芦苇的长 Ｄ． （ ） － ，
， （ ） 、 ４ ４
度各是多少 设θ ＢＡＣ 现有下述四个结论 ９． 答案 ＢＣ
？” ＝∠ ， ：
水深为 尺 芦苇长为 尺
① １２ ；② １５ ； 三、填空题（每小题５分，共１０分）
θ ( )
２ θ π １７． ( ) ( )
③ｔａｎ ＝ ；④ｔａｎ ＋ ＝－ １０．（２０２０江苏南通一模，９）已知ｘ π ｘ π
２ ３ ４ ７ ∈ ０， ，ｔａｎ ＋ ＝－３，
其中所有正确结论的编号是 ２ ４
（ ） ｘ ｘ
则２ｓｉｎ（π－ ）＋ｓｉｎ２ ．
Ａ．①③ Ｂ．①③④ Ｃ．①④ Ｄ．②③④ ｘ ＝
６． 答案 Ｂ １＋ｃｏｓ
７．（２０２１山东日照一模，４）明朝早期 郑和七下西洋的过程中 将 １０． 答案 ４ ５
， ，
５
１ ７２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ａ２
１１．（２０２１江苏常州一模，１５）若 ｘ ｘ 则 ５π ｘ 由余弦定理得 Ａ ４＋３６－ 又ａ ａ ．
２ ３ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝１， ｓｉｎ － ｃｏｓ ＝ ， ＞０，∴ ＝２ ７
６ ２×２×６
( ) 设 ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ
ｘ π ． △ ，
·ｃｏｓ ２ ＋ ＝
３ 则由正弦定理得 Ｒ ａ ２ ７ ４ ２１
１１． 答案 ７ ２ ＝ ｓｉｎ Ａ＝ ３ ＝ ３ ，
３２
２
四、解答题（共３５分）
故Ｒ ２ ２１ 从而Ｓ Ｒ２ ２８π．
１２．（２０２１ 上海杨浦一模，１８）设常数 ｋ Ｒ ｆ ｘ ｋ ２ｘ ＝ ， ＝π ＝
∈ ， （ ）＝ ｃｏｓ ＋ ３ ３
３ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ ， ｘ ∈ Ｒ． １４．（２０２０山东东营重点高中第三次质检，１８）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ １
若ｆ ｘ 是奇函数 求实数ｋ的值 ｘ ｘ ２ｘ ｍ在Ｒ上的最大值为 ．
（１） （ ） ， ； －２ ３ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ＋ ３
设ｋ ＡＢＣ中 内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别为ａ ｂ ｃ 若 求ｍ的值及函数ｆ ｘ 的单调递增区间
（２） ＝１，△ ， ， ， ， ， ， （１） （ ） ；
ｆ Ａ ａ ｂ 求 ＡＢＣ的面积Ｓ． 若锐角 ＡＢＣ 中角 Ａ Ｂ Ｃ 所对的边分别为 ａ ｂ ｃ 且
（ ）＝１， ＝ ７， ＝３， △ （２） △ 、 、 、 、 ，
ｂ
１２． 解析 由题意得ｆ ｋ ．检验 ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ Ａ 求 的取值范围．
（１） （０）＝ ＝０ ： （ ）＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ （ ）＝０， ｃ
对任意 ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｘ ｘ
∈ （－ ） ＝ ３ ｓｉｎ（－ ） ｃｏｓ（－ ） ＝ １４． 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｍ
－ ３ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ ＝－ ｆ （ ｘ ）， 所以函数ｆ （ ｘ ） 是奇函数 ，∴ ｋ ＝０ ． （１） （ ）＝１－ ３ｓｉｎ２ －（ ( １＋ｃｏｓ２ ) ）＋
ｘ ｘ ｍ ｘ π ｍ．
由ｆ Ａ ２Ａ Ａ Ａ 得 Ａ Ａ ２Ａ ＝－（ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ）＋ ＝－２ｓｉｎ ２ ＋ ＋
（２） （ ）＝ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＝１， ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ， ６
Ａ Ａ Ａ 即 Ａ ( )
∵ ｓｉｎ ≠０，∴ ３ｃｏｓ ＝ｓｉｎ ， ｔａｎ ＝ ３， 由已知得 ｍ 所以ｍ 因此ｆ ｘ ｘ π ．
２＋ ＝３， ＝１， （ ）＝－２ｓｉｎ ２ ＋ ＋１
Ａ是三角形的内角 Ａ π ６
∵ ，∴ ＝ ，
３ 令 ｋ π ｘ π ｋ ３π ｋ Ｚ 解得ｋ π ｘ ｋ
由余弦定理得 Ａ
ｂ２
＋
ｃ２
－
ａ２
即 １ ９＋
ｃ２
－７
２ π＋
２
≤２ ＋
６
≤２ π＋
２
， ∈ ， π＋
６
≤ ≤ π＋
ｃｏｓ ＝ ｂｃ ， ＝ ｃ ，
２ ２ ６ ２π ｋ Ｚ．
整理得ｃ２
－３
ｃ
＋２＝０，
解得ｃ
＝１
或ｃ
＝２，
经检验
，
满足题意
， ３
， ∈
[ ]
因此函数ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ π ｋ ２π ｋ Ｚ．
所以Ｓ １ ｂｃ Ａ ３ ３或３ ３． （ ） π＋ ， π＋ ， ∈
＝ ｓｉｎ ＝ ６ ３
２ ４ ２ ( ) ( )
ｘ ( 由已知得 Ａ π Ａ π １
１３．（２０２１湖南永州二模，１７）已知函数ｆ ｘ ２ ｘ （２） －２ｓｉｎ ２ ＋ ＋１＝０，∴ ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ，
（ ）＝２ｃｏｓ － ３ｃｏｓ ＋ ６ ６ ２
２
)
由 Ａ π得π Ａ π ７π．因此 Ａ π ５π 所以Ａ π．
π ． ０＜ ＜ ＜２ ＋ ＜ ２ ＋ ＝ ， ＝
－１ ２ ６ ６ ６ ６ ６ ３
２
( )
求函数ｆ ｘ 的最小正周期
（１） （ ） ； π Ｃ ３ Ｃ １ Ｃ
（２） 在 △ ＡＢＣ中 ， 角Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ所对的边分别为ａ 、 ｂ 、 ｃ ， 若ｆ （ Ａ ）＝ 由正弦定理得 ｂ ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ Ｃ＝ ｓｉｎ ３ Ｃ ＋ ＝ ２ ｃｏｓ ＋ Ｃ ２ ｓｉｎ ＝
ｂ ＡＢＣ的面积为 求 ＡＢＣ外接圆的面积． ｓｉｎ ｓｉｎ ｓｉｎ
２， ＝２，△ ３ ３， △
ｘ ( ) ３ １ ．
１３． 解析 ｆ ｘ ２ ｘ π ｘ Ｃ＋
（１） （ ）＝２ｃｏｓ － ３ｃｏｓ ＋ －１＝ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ２ｔａｎ ２
２ ２
( ) ì ï Ｃ π
ｘ ｘ π 因为ω Ｔ ２π 所以Ｔ ． ï０＜ ＜ ，
＝２ｓｉｎ ＋ ， ＝１， ＝ ω， ＝２π 因为 ＡＢＣ为锐角三角形 所以í ２
６ ( ) △ ， ï
ï Ｂ ２π Ｃ π
ｆ Ａ Ａ π Ａ Ａ π î０＜ ＝ － ＜ ，
（２）∵ （ ）＝２ｓｉｎ ＋ ＝２，０＜ ＜π，∴ ＝ ， ３ ２
６ ３
ｂ
解得π Ｃ π 因此 Ｃ ３ 那么 １ ．
ｂ ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ １ ｃ ３ ｃ ＜ ＜ ， ｔａｎ ＞ ， ＜ ｃ ＜２
∵ ＝２，∴ △ ＝ ｓｉｎ ＝ ×２ × ＝３ ３，∴ ６ ２ ３ ２
２ ２ ２
．
＝６
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
α β 又 α ２ ５ α β α β α
１．（２０２１北京门头沟一模，８）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 角α与 ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ ， ｃｏｓ ＝ ，∴ ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ·
， ５
角β均以Ｏｘ 为始边 它们的终边关于 ｘ 轴对称．若 α
， ｃｏｓ ＝ β ２α ２α ２α ４ ３ ．故选 ．
ｓｉｎ ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ －１＝２× －１＝ Ｂ
５ ５
２ ５ 则 α β 思路分析 根据角α与角β的终边关于ｘ轴对称可知 α
， ｃｏｓ（ － ）＝ （ ） ｃｏｓ
５ 与 β， α与 β的关系，再利用两角差的余弦公式展开
ｃｏｓ ｓｉｎ ｓｉｎ
Ａ．－
３
Ｂ．
３
Ｃ．１ Ｄ．
３ 求解，由于只给出 α的值，为避免讨论角所在的象限，故化
５ ５ ４ ｃｏｓ
答案 Ｂ 由题意可知α β ｋ ｋ Ｚ α β 为只含 α的式子求解．
＝－ ＋２ π， ∈ ，∴ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ， ｃｏｓ
２．（２０２１内蒙古赤峰二中第二次月考，８）若 α π π β
０＜ ＜ ，－ ＜ ＜０，
２ ２
第四章 三角函数与解三角形 １ ７３
( ) ( β ) ( β ) ( β β ) ２ β β
π α １ π ３ 则 α
ｃｏｓ ＋ ＝ ，ｃｏｓ － ＝ ， ｃｏｓ ＋ ＝ （ ） β ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
４ ３ ４ ２ ３ ２ 所以 α １＋ｓｉｎ ２ ２ ２ ２
ｔａｎ ＝ β ＝ β β ＝ β β ＝
ｃｏｓ ２ ２
５ ３ ３ ７ ３ ６ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ －ｓｉｎ
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ２ ２ ２ ２
９ ３ ２７ ９ β
答案 Ａ α π π β π π α ３π π π ｔａｎ ＋１ β β β
∵０＜ ＜ ，－ ＜ ＜０，∴ ＜ ＋ ＜ ， ＜ － ２ ．所以 即
２ ２ ４ ４ ４ ４ ４ β ＝３ ｔａｎ ＋１＝３－３ｔａｎ ， ４ｔａｎ ＝２，
２ ２ ２
β ( ) ( β ) １－ｔａｎ
π 故由题目条件可得 π α ２ ２ π ２
＜ ， ｓｉｎ ＋ ＝ ，ｓｉｎ － β
２ ２ ４ ３ ４ ２ 所以 １ 故选 ．
ｔａｎ ＝ ， Ａ
＝ ６ ， ２ ２ ( )
３ ５．（２０２１ 吉林长春联合模拟，９）已知 ｘ π ｘ
( β ) [( ) ( β )] ｓｉｎ ５ － ３ －２ｓｉｎ ３ ·
α π α π ( ) ( )
ｃｏｓ ＋ ＝ｃｏｓ ＋ － －
２ ４ ４ ２ ｘ π ２ 则 ｘ π
( ) ( β ) ( ) ( β ) ｃｏｓ ２ － ３ ＝ ３ ， ｃｏｓ ２ － ３ ＝ （ ）
π α π π α π
＝ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ － ＋ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ －
４ ４ ２ ４ ４ ２ １ １ １ １
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
９ ９ ３ ３
１ ３ ２ ２ ６ ５ ３．故选 ． ( ) ( )
＝ × ＋ × ＝ Ａ 答案 Ｂ 因为 ｘ π ｘ ｘ π ｘ
３ ３ ３ ３ ９ ｓｉｎ ５ － ＝ｓｉｎ ３ ＋２ － ＝ｓｉｎ ３ ·
方法总结 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（ ）一 ３ ３
１ ( ) ( ) ( )
看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把
ｃｏｓ ２
ｘ
－
π
＋ｃｏｓ ３
ｘ
ｓｉｎ ２
ｘ
－
π
，
所以
ｓｉｎ ５
ｘ
－
π
－２ｓｉｎ３
ｘ
·
３ ３ ３
角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（ ）二看“函数名称”， ( ) ( ) ( )
２
ｘ π ｘ ｘ π ｘ ｘ π
看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切 ｃｏｓ ２ － ＝－ｓｉｎ ３ ｃｏｓ ２ － ＋ｃｏｓ ３ ｓｉｎ ２ － ＝ｓｉｎ
３ ３ ３
化弦”；（ ）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找 ( ) ( ) ( )
３ ｘ π ｘ ｘ π ｘ π ２ 所以
到变形的方向，如“遇到分式通分”等． ２ － －３ ＝ ｓｉｎ － － ＝ －ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｓｉｎ
３ ３ ３ ３
( ) ( ) ( ) [ ( ) ]
３．（２０２１天一大联考第三次“顶尖计划”，９）已知α π 且 ｘ π ２ 所以 ｘ π ｘ π
∈ ，π ＋ ＝－ ， ｃｏｓ ２ － ＝ｃｏｓ ２ ＋ －π ＝－ｃｏｓ
２ ３ ３ ３ ３
( ) α ２α [ ( )] ( ) ( ) ２
α π １ 则ｓｉｎ２ －ｃｏｓ 的值为 ｘ π ２ ｘ π ２ １ 故选 ．
ｔａｎ ２ ＋ ＝－ ， α （ ） ２ ＋ ＝２ｓｉｎ ＋ －１＝２× － －１＝－ ， Ｂ
４ ７ １＋ｃｏｓ２ ３ ３ ３ ９
６．（２０２１河南新乡二模，１０）设α β均为锐角 且 α β
３ ３ ， ， ｃｏｓ（ ＋ ）＋ｃｏｓ
Ａ．－ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ． α α
２ ２ α β ｓｉｎ 则 ｔａｎ 的最大值是
（ － ）＝ β， ２β （ ）
α π ｓｉｎ ２＋ｓｉｎ
( ) ｔａｎ２ ＋ｔａｎ
答案 Ｂ 由 α π １ 得 ４ １ 得
ｔａｎ ２ ＋ ＝－ ＝－ ， １ ６
Ａ． Ｂ．
４ ７ α π ７
１－ｔａｎ２ ｔａｎ ６ ６
４
α α ６
ｔａｎ２ ＋１ １ 解得 α ４ 则 ２ｔａｎ ４ 解得 α Ｃ．６ Ｄ．
１－ｔａｎ２
α＝－
７
， ｔａｎ２ ＝－
３
，
１－ｔａｎ
２α＝－
３
， ｔａｎ ３
α
１ α 舍去 ．则ｓｉｎ２ α －ｃｏｓ ２α ２ｓｉｎ α ｃｏｓ α －ｃｏｓ ２α 答案 Ｂ 由 ｃｏｓ（ α ＋ β ）＋ｃｏｓ（ α － β ）＝ ｓｉｎ β， 得 ２ｃｏｓ α ｃｏｓ β ＝
＝－
２
（ｔａｎ ＝２ ）
１＋ｃｏｓ２
α ＝
２ｃｏｓ
２α ＝
α
ｓ
α
ｉｎ
β β
ｓｉｎ 即 α β β 故 ｔａｎ ２ｓｉｎ ｃｏｓ
ｔａｎ α － １ ＝－１ ． ｓｉｎ
β， ｔａｎ ＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ，
２＋ｓｉｎ
２β ＝
３ｓｉｎ
２β
＋２ｃｏｓ
２β ＝
２ β
( ) ２ ２ ６ α β 均为锐角 当且仅当３ｓｉｎ
４．（２０２１安徽皖南八校第一次模拟，１０）已知α π α β β≤ ＝ （ ， ）， β ＝
∈ ０， ，ｓｉｎ ＋ ３ｓｉｎ ２ｃｏｓ ２ ６ ６ ｃｏｓ
２ β＋ β
ｃｏｓ ｓｉｎ
β β
α １０ α １＋ｓｉｎ 则 β α
２ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ＝ β ， ｔａｎ ＝ （ ） ２ｃｏｓ 即 β ６时等号成立．故 ｔａｎ 的最大值是 ６．
２ ｃｏｓ ２ β ， ｔａｎ ＝ ２β
ｓｉｎ ３ ２＋ｓｉｎ ６
１ ３ ７． （２０２１ 江 西 南 昌 ２０２１０６０７ 项 目 一 模， １０） 已 知
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．３ ( ) ( ＮＣＳ ) ( )
２ ２
５ ｘ ｘ π 则 ２ ｘ
æ ö２ ｓｉｎ π－２ ＝ｃｏｓ － ， ｓｉｎ π－ ＝ （ ）
答案 Ａ 由 α α ２ ç １０÷ 得 ２α ２α ６ ６ ３
（ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ） ＝è ø ｓｉｎ ＋４ｃｏｓ ＋
２
１ 或 １ 或 ３或 ３或
Ａ．－ １ Ｂ． －１ Ｃ．－ １ Ｄ． －１
α α ５ 由 ２α ２α 可 知 ５ ２ ２ ２ ２
４ｓｉｎ · ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ １ ， ＝ ( ) ( ) (
２ ２ 答案 Ａ 因为 ５ ｘ ｘ π 且 ｘ
２α ２α α α ２α α ｓｉｎ π－２ ＝ｃｏｓ － ， ｃｏｓ －
ｓｉｎ ＋４ｃｏｓ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ ＋４ｔａｎ ＋４ 即 ２α α ６ ６
２α ２α ＝ ２α ， ３ｔａｎ －８ｔａｎ ) [ ( )] ( )
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ π π ｘ π ２π ｘ
( ) ＝ｓｉｎ － － ＝ｓｉｎ － ，
解得 α 或 α １ 因为α π 所以 ６ ２ ６ ３
－３＝０， ｔａｎ ＝３ ｔａｎ ＝－ ， ∈ ０， ， ｔａｎ ( ) ( )
３ ２ 所以 ５ ｘ ２ ｘ 则 ２ ｘ ５ ｘ ｋ
α ｓｉｎ π－２ ＝ｓｉｎ π－ ， π－ ＝ π－２ ＋２ π
＝３， ６ ３ ３ ６
１ ７４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
° ° ° ° ° ° ° °
ｋ Ｚ 或 ２ ｘ ５ ｘ ｋ ｋ Ｚ 即ｘ π ｋ ｋ ２０ ＋ｔａｎ２５ ＋ｔａｎ２０ ·ｔａｎ２５ ＝ｔａｎ（２０ ＋２５ ）（１－ｔａｎ２０ ｔａｎ２５ ）
（ ∈ ） π－ ＋ π－２ ＝π＋２ π（ ∈ ）， ＝ ＋２ π（ ° ° ．故选 ．
３ ６ ６ ＋ｔａｎ２０ ｔａｎ２５ ＝１ ＡＣ
ｋ
Ｚ 或ｘ π ２ π ｋ Ｚ ． 三、填空题
∈ ） ＝ － （ ∈ ）
６ ３ １０．（２０２１北京丰台二模，１１）函数 ｆ ｘ ｘ ｘ 的值域为
( ) ( ) （ ）＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
当ｘ π ｋ ｋ Ｚ 时 ２ ｘ ２ π ｋ ．
＝ ＋２ π（ ∈ ） ，ｓｉｎ π－ ＝ｓｉｎ π－ －２ π
６ ３ ３ ６
( ) ｋ 答案
＝ｓｉｎ π －２ ｋ π ＝ｓｉｎ π ＝１； 当 ｘ ＝ π － ２ π （ ｋ ∈ Ｚ ） 时 ，ｓｉｎ ［－ ２， ２］ ( )
２ ２ ６ ３ 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π ｘ Ｒ ｆ ｘ
( ) ( ｋ ) ( ｋ ) ｋ ∵ （ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ ＋ ， ∈ ，∴ （ ）
２ ｘ ２ π ２ π π ２ ２ π ４
π－ ＝ｓｉｎ π－ ＋ ＝ｓｉｎ ＋ π ＝ｃｏｓ ， 的值域为 ．
３ ３ ６ ３ ２ ３ ３ ［－ ２， ２］
ｋ
当ｋ ｎ ｎ Ｚ 时 ２ π ｎ 当ｋ ｎ ｎ １１．（２０２１天津一中月考，６）已知 α ２ ２ α β １ 且
＝３ （ ∈ ） ，ｃｏｓ ＝ｃｏｓ（２ π）＝ １； ＝３ ＋１（ ∈ ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ ，
ｋ ( ３ ) ( ) ３ ３
Ｚ 时 ２ π ｎ ２ ２ １ 当 ｋ ｎ α β π 则 β ．
） ，ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ２ π＋ π ＝ｃｏｓ π＝－ ； ＝３ ＋２ ， ∈ ０， ， ｓｉｎ ＝
３ ３ ３ ２ ２
ｋ ( )
ｋ Ｚ 时 ２ π ｎ ４ ４ １ ．
（ ∈ ） ，ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ２ π＋ π ＝ｃｏｓ π＝－ 答案 ４ ２
３ ３ ３ ２
( ) ９
综上可知 ２π ｘ 或 １ 故选 ． ( )
，ｓｉｎ － ＝１ － ， Ａ 解析 α ２ ２ α π α ２α
３ ２ ∵ ｓｉｎ ＝ ， ∈ ０， ，∴ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝
８．（２０２１河南顶级名校３ 月联考，７）已知锐角 α β 满足 α β ３ ２
、 ＋ ＝ ( )
１ α β π α β
π 则 １ ４ 的最小值为 ，∵ ， ∈ ０， ，∴ ＋ ∈（０，π），
， α β＋ α β （ ） ３ ２
６ ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ
又 α β １ α β ２ α β ２ ２．
Ａ．２０ Ｂ．１８ Ｃ．１６ Ｄ．１２ ｃｏｓ（ ＋ ）＝－ ，∴ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ １－ｃｏｓ（ ＋ ）＝
３ ３
答案 Ｂ 因为α β π 所以 α β α β α 则 β α β α α β α α β α
＋ ＝ ， ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ［（ ＋ ）－ ］＝ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ －ｃｏｓ（ ＋ ）ｓｉｎ ＝
６ ( )
２ ２ １ １ ２ ２ ４ ２．故答案为４ ２．
β １ 所以 α β α β × － － × ＝
·ｓｉｎ ＝ ， ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ｓｉｎ ＝１， ３ ３ ３ ３ ９ ９
２
因为α β为锐角 所以 α β α β 所以 １２．（２０２１浙江绍兴新昌高三上期末，１２）已知 θ １ θ
、 ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＞０，ｃｏｓ ｓｉｎ ＞０， ｃｏｓ（π＋ ）＝ ，
( )
３
１ ４ １ ４ α β ( )
α β＋ α β ＝ α β＋ α β （２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ 则 θ θ π ．
ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ ∈［０，π］， ｓｉｎ ＝ ，ｔａｎ ＋ ＝
α β ４
２ｃｏｓ ｓｉｎ ）
α β α β 答案 ２ ２ ４ ２－９
２ｃｏｓ ｓｉｎ ８ｓｉｎ ｃｏｓ ；
＝２＋ α β＋ α β＋８ ３ ７
ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ
α β α β 解析 由 θ θ １ 得 θ １ ．
２ｃｏｓ ｓｉｎ ８ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ（π＋ ）＝－ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ ＝－
≥１０＋２ α β· α β ＝１８， ３ ３
ｓｉｎ ｃｏｓ ｃｏｓ ｓｉｎ
当且仅当 α β α β １ 时取等号．
因为θ
∈［０，π］，
所以
ｓｉｎ
θ
＝ １－ｃｏｓ
２θ
＝
２ ２
，
ｃｏｓ ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ３
３ θ
故所求最小值为 ． 所以 θ ｓｉｎ
１８ ｔａｎ ＝ θ＝－２ ２，
解题关键 利用两角和的正弦公式得 α β α ｃｏｓ
① ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ( ) θ
β ； 对所求表达式进行“ ”的代换，构造积为定值，这是 所以 θ π ｔａｎ ＋１ －２ ２＋１ ４ ２－９．
ｓｉｎ ＝１ ② １ ｔａｎ ＋ ＝ θ＝ ＝
解决本题的两个关键点． ４ １－ｔａｎ １＋２ ２ ７
二、多项选择题 １３．（２０２１浙江新高考研究卷（一），１３）已知 α α １ α
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ，
５
９．（２０２１届福建厦门外国语学校１０月月考，９）下列各式中值为 ( ) ( )
π 则 α α π ．
∈ ，π ， ｓｉｎ２ ＝ ；ｃｏｓ ２ － ＝
１ 的是 ２ ４
（ ）
２ 答案 ２４ ３１ ２
° ° － ；－
Ａ．２ｓｉｎ７５ ｃｏｓ７５ ２５ ５０
( )
２ π 解析 因为 α π 所以 α α 由
Ｂ．１－２ｓｉｎ ∈ ，π ， ｓｉｎ ＞０，ｃｏｓ ＜０，
１２ ２
Ｃ．ｓｉｎ４５ ° ｃｏｓ１５ ° －ｃｏｓ４５ ° ｓｉｎ１５ ° { ì ï α ４
° ° ° ° α α １ ïｓｉｎ ＝ ，
Ｄ．ｔａｎ２０ ＋ｔａｎ２５ ＋ｔａｎ２０ ｔａｎ２５ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ，解得í ５
答案 ＡＣ 对于
Ａ，２ｓｉｎ７５
°
ｃｏｓ７５
°
＝ｓｉｎ１５０
°
＝
１
， ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝１
５
， î
ï ï
ｃｏｓ
α
＝－
３
，
２ ５
对于 Ｂ，１－２ｓｉｎ ２ π ＝ｃｏｓ π ＝ ３ ， 所以 ｓｉｎ２ α ＝２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝－ ２４ ，ｃｏｓ２ α ＝ｃｏｓ ２α －ｓｉｎ ２α ＝－ ７ ．
１２ ６ ２ ２５ ２５
( )
对于 ° ° ° ° ° １ 对于 α π α π α π ３１ ２ ３１ ２．
Ｃ，ｓｉｎ４５ ｃｏｓ１５ －ｃｏｓ ４５ ｓｉｎ １５ ＝ｓｉｎ３０ ＝ ， Ｄ，ｔａｎ ｃｏｓ ２ － ＝ｃｏｓ２ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ２ ｓｉｎ ＝－ × ＝－
２ ４ ４ ４ ２５ ２ ５０
第四章 三角函数与解三角形 １ ７５
１４．（２０２０广东深圳第二次教学质量检测，１３）若 α β ( ) æ ö
ｔａｎ（２ ＋ ）＝５， 又 α β α β α β ３ ç ２÷ ４
α β 则 α ． ｓｉｎ（２ － ）＝ｓｉｎ２ ｃｏｓ －ｃｏｓ２ ｓｉｎ ＝ － ×è－ ø－
ｔａｎ（ ＋ ）＝４， ｔａｎ ＝ ５ １０ ５
答案
２
１
１ ×
７ ２
＝－
２
，
所以
２
α
－
β
＝
５
π
．
１０ ２ ４
解析 依题意 得 α α β α β
， ｔａｎ ＝ ｔａｎ［（２ ＋ ） －（ ＋ ）］ ＝ ( )
α β α β 解法二 因为α β π α ３ １０ β ２
ｔａｎ（２ ＋ ）－ｔａｎ（ ＋ ） 将 α β α β 代 ： ， ∈ ，π ，ｃｏｓ ＝－ ＜ｃｏｓ ＝－ ，
α β α β ， ｔａｎ（２ ＋ ）＝ ５，ｔａｎ（ ＋ ）＝ ４ ２ １０ １０
１＋ｔａｎ（２ ＋ ）ｔａｎ（ ＋ ）
所以π β α 所以 α β π
入 原式 ５－４ １ ． ＜ ＜ ＜π， ０＜ － ＜ ，
， ＝ ＝ ２ ２
１＋５×４ ２１
( ) ( ) 结合 知 α β ２ α β ２ ５
１５．（２０２０江苏南通一模，９）已知ｘ π ｘ π （１） ｓｉｎ（ － ）＝ １－ｃｏｓ（ － ）＝ ，
∈ ０， ，ｔａｎ ＋ ＝－３， ５
２ ４ 所以 α β α β α α β α α β
ｘ ｘ ｓｉｎ（２ － ）＝ｓｉｎ［（ － ）＋ ］＝ｓｉｎ（ － ）ｃｏｓ ＋ｃｏｓ（ － ）
则２ｓｉｎ（π－ ）＋ｓｉｎ２ ． æ ö
ｘ ＝
１＋ｃｏｓ
ｓｉｎ
α
＝
２ ５
×è
ç
－
３ １０
ø
÷
＋
５
×
１０
＝－
２．
５ １０ ５ １０ ２
答案 ４ ５ ( )
因为 α β π π α 所以 α β π ３
５ ０＜ － ＜ ， ＜ ＜π， ２ － ∈ ， π ，
解析 本题考查了两角和的正切函数公式 同角三角函数 ２ ２ ２ ２
，
基本关系式 二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应 所以 α β ５ ．
， ２ － ＝ π
用 考查了转化思想． ４
， １７．（２０２１浙江“超级全能生”３月模拟，１８）已知锐角 ＡＢＣ中
( ) ｘ △ ，
ｘ π １＋ｔａｎ ｘ 即 ｘ ｘ
∵ ｔａｎ ＋ ４ ＝ １－ｔａｎ ｘ＝－３，∴ ｔａｎ ＝２， ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ ， ａ ｓｉｎ Ａ ＋ ３ ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＋ ｂ ｓｉｎ Ｂ．
求Ａ
∴ ｓｉｎ ２ｘ ＋ｃｏｓ ２ｘ ＝（２ｃｏｓ ｘ ） ２ ＋ｃｏｓ ２ｘ ＝５ｃｏｓ ２ｘ ＝１， （１） ；
求 Ｂ Ｃ的取值范围．
( ) （２） ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
又 ∵ ｘ ∈ ０， π ， ∴ ｃｏｓ ｘ ＝ ５ ， ｓｉｎ ｘ ＝ ２ ５． ∴ 解析 由正弦定理和已知得ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ
２ ５ ５ （１） ＝ ＋ － ３ ①，
２ｓｉｎ（π－ ｘ ）＋ｓｉｎ２ ｘ ２ｓｉｎ ｘ ＋２ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ ２ｓｉｎ ｘ （１＋ｃｏｓ ｘ ） 又ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ －２ ｂｃ ｃｏｓ Ａ ②，
ｘ ＝ ｘ ＝ ｘ ＝ ( )
１＋ｃｏｓ １＋ｃｏｓ １＋ｃｏｓ 联立 得 Ａ ３．又Ａ π 所以Ａ π
①② ｃｏｓ ＝ ∈ ０， ， ＝ ，
ｘ ４ ５． ２ ２ ６
２ｓｉｎ ＝ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ａ
５ （２）ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ｓｉｎ －ｃｏｓ（ ＋ ）
( )
四、解答题 Ｂ Ｂ π Ｂ π
＝ｓｉｎ － ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ
１６．（２０２１安徽五校联考，１７）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 以ｘ轴 ６ ６
， ( )
非负半轴为始边作两个钝角α β 它们的终边分别与单位圆 ３ Ｂ ３ Ｂ Ｂ π ．
， ， ＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ ＝ ３ｓｉｎ －
２ ２ ６
交于点Ａ Ｂ．已知点Ａ Ｂ的横坐标分别为 ３ １０ ２． 因为 ＡＢＣ为锐角三角形
， ， － ，－ △ ，
１０ １０
（１） 求 ｃｏｓ（ α － β ） 的值 ； 所以 ０＜ Ｂ ＜ π ，０＜ Ｃ ＜ π ， 又Ａ ＝ π ，
２ ２ ６
求 α β的值．
（２） ２ －
所以π Ｂ π 所以π Ｂ π π
＜ ＜ ， ＜ － ＜ ，
解析 因为点Ａ Ｂ的横坐标分别为 ３ １０ ２ ３ ２ ６ ６ ３
（１） ， － ，－ ， ( )
１０ １０
所以 １ Ｂ π ３．
＜ｓｉｎ － ＜
所以结合三角函数的定义得 α ３ １０ β ２． ２ ６ ２
ｃｏｓ ＝－ ，ｃｏｓ ＝－ æ ö
１０ １０ 故 Ｂ Ｃ的取值范围为ç ３ ３ ÷．
因为α β均为钝角 ｓｉｎ ＋ｃｏｓ è ， ø
， ， ２ ２
所以 α ２α １０ β ２β ７ ２
１８．（２０２１浙江杭州二模，１８）设函数 ｆ
（
ｘ
）＝ ３ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋ｓｉｎ
２ｘ
ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ ，ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝ ，
１０ １０
１ ．
æ ö æ ö －
所以 α β α β α β ç ３ １０÷ ç ２÷ ２
ｃｏｓ（ － ）＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝è－ ø×è－ ø＋ 求ｆ ｘ 的单调递增区间
１０ １０ （１） （ ） ；
( ) ( )
１０ ７ ２ ５． 若Ａ π π ｆ Ａ １ 求 Ａ ５π 的值．
× ＝ （２） ∈ ， ， （ ）＝ ， ｃｏｓ ２ －
１０ １０ ５ １２ ３ ３ ６
解法一 由 得 α α α ３ α ２α 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ２ｘ １ ３ ｘ
（２） ： （１） ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝－ ，ｃｏｓ２ ＝ｃｏｓ （１） （ ）＝ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ － ＝ ｓｉｎ ２ －
５ ２ ２
( ) ( )
２α ４ 因为α π 所以 α １ ｘ ｘ π
－ｓｉｎ ＝ ， ∈ ，π ， ２ ∈（π，２π）， ·ｃｏｓ２ ＝ｓｉｎ ２ － ，
５ ２ ２ ６
( )
又 α α 所以 α ３ ． 令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
ｓｉｎ２ ＜０，ｃｏｓ２ ＞０， ２ ∈ π，２π － ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ π， ∈ ，
２ ２ ６ ２
( ) ( )
又β π 所以 α β π ３ ． 解得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ．
∈ ，π ， ２ － ∈ ， π － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈
２ ２ ２ ６ ３
１ ７６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
[ ]
故函数ｆ ｘ 的单调递增区间为 π ｋ π ｋ ｋ Ｚ ． 因为 Ｃ π 所以Ｃ π．
（ ） － ＋ π， ＋ π （ ∈ ） ０＜ ＜ ， ＝
６ ３ ２ ６
( )
由 可得ｆ Ａ Ａ π １ ． 因为在锐角 ＡＢＣ中 Ｃ π
（２） （１） （ ）＝ｓｉｎ ２ － ＝ （２） △ ， ＝ ，
６ ３ ６
( ) ( ) ì
Ａ π π Ａ π π ï Ａ π
∵ ∈ ， ，∴２ － ∈ ０， ， ï０＜ ＜ ，
１２ ３ ６ ２ ２
ï
( ) ( )
∴ ｃｏｓ ２ Ａ － π ＝ １－ｓｉｎ ２ ２ Ａ － π ＝ ２ ２． 所以í ï０＜ Ｂ ＜ π ， 得π ＜ Ｂ ＜ π．
６ ６ ３ ２ ３ ２
( ) [( ) ] ( ) ï
因此 ，ｃｏｓ ２ Ａ － ５π ＝ｃｏｓ ２ Ａ － π － ２π ＝ｃｏｓ ２ Ａ － π · î ïＡ ＋ Ｂ ＝ ５π ，
６ ６ ３ ６ ６
( )
２π Ａ π ２π ３－２ ２． Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ ３
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２ － ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ｔａｎ ＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｃｏｓ ＋
３ ６ ３ ６ ３
１９．（２０２１浙江新高考研究卷（一），１８）在锐角 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ ( )
△ ， ， ， ３ Ｂ ３ Ｂ ３ Ｂ π ３．
所对的边分别为ａ ， ｂ ， ｃ ， 已知 ｓｉｎ ２Ｃ －ｓｉｎ ２Ｂ ＝ｓｉｎ ２Ａ － ３ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ． ＝ ２ ｓｉｎ ＋ ２ ｃｏｓ ＋ ３ ＝ ３ｓｉｎ ＋ ３ ＋ ３ ( )
求角Ｃ的大小 因为π Ｂ π 所以２π Ｂ π ５π 所以 １ Ｂ π
（１） ； ＜ ＜ ， ＜ ＋ ＜ ， ＜ｓｉｎ ＋ ＜
求 Ａ Ｂ Ｃ的取值范围． ３ ２ ３ ３ ６ ２ ３
（２） ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ｔａｎ
解析 因为 ２Ｃ ２Ｂ ２Ａ Ａ Ｂ ３ 所以５ ３ Ａ Ｂ Ｃ ３ ３．
（１） ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － ３ｓｉｎ ｓｉｎ ， ， ＜ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ｔａｎ ＜ ＋
所以由正弦定理得ｃ２ ｂ２ ａ２ ａｂ ２ ６ ２ ３
－ ＝ － ３ ， æ ö
所以由余弦定理的推论得 Ｃ ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ３． 即 ｓｉｎ Ａ ＋ｃｏｓ Ｂ ＋ｔａｎ Ｃ的取值范围是 è ç５ ３ ， ３ ＋ ３ ø ÷．
ｃｏｓ ＝ ａｂ ＝ ６ ２ ３
２ ２
学生用书Ｐ６８
１．（２０２１５·３原创题）已知 α ２ 则 α α ． ２． 答案 ３
ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ３ ＋４ｃｏｓ２ ＝
３ ３
１． 答案 ３４
３．（２０２１ ５·３原创题）已知Ａ
、
Ｂ是直线ｌ上任意两点
，
Ｏ是ｌ外
－
２７
( )
一点
，
若ｌ上一点Ｃ满足Ｏ→Ｃ
＝ｓｉｎ
θＯ→Ａ
＋ｓｉｎ
２θＯ→Ｂ
，
则
ｃｏｓ
２θ
＋ｃｏｓ
４θ
２．（２０２１ ５·３原创题）已知α β π 且 α β α ６θ的值是 ．
， ∈ ０， ， ｃｏｓ（ ＋ ）－ｓｉｎ（ ＋ ＋ｃｏｓ
２
３． 答案
α β α β ５－１
β ２ 则１－ｔａｎ －ｔａｎ －ｔａｎ ｔａｎ ．
）＝ ， α β α β＝
２ １＋ｔａｎ ＋ｔａｎ －ｔａｎ ｔａｎ
