北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§4.2 三角恒等变换
— 五年高考 —
考点 三角恒等变换
sinθ(1+sin2θ)
1.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则 = ( )
sinθ+cosθ
6 2 2 6
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
答案 C
π 5π
2.(2021全国乙文,6,5分)cos2 -cos2 = ( )
12 12
1 √3 √2 √3
A. B. C. D.
2 3 2 2
答案 D
3.(2021全国甲,理9,文11,5分)若α∈( π),tan 2α= cosα ,则tan α= ( )
0,
2 2-sinα
√15 √5 √5 √15
A. B. C. D.
15 5 3 3
答案 A
4.(2020课标Ⅰ理,9,5分)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
√5 2 1 √5
A. B. C. D.
3 3 3 9
答案 A
5.(2020课标Ⅲ文,5,5分)已知sin θ+sin( π)=1,则sin( π)= ( )
θ+ θ+
3 6
1 √3 2 √2
A. B. C. D.
2 3 3 2
答案 B
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6.(2021北京,14,5分)若P(cos θ,sin θ)与Q cos( π),sin( π) 关于y轴对称,写出一个
θ+ θ+
6 6
θ的值: .
5π
答案 (答案不唯一)
12
7.(2020江苏,8,5分)已知sin2(π )=2,则sin 2α的值是 .
+α
4 3
1
答案
3
8.(2020浙江,13,6分)已知tan θ=2,则cos 2θ= ,tan( π)= .
θ-
4
3 1
答案 - ;
5 3
9.(2019北京理,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .
π
答案
2
10.(2018课标Ⅱ理,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
1
答案 -
2
11.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈( π),tan α=2,则cos( π)= .
0, α-
2 4
3√10
答案
10
tanα
2 ( π)
12.(2019江苏,13,5分)已知 ( π)=- ,则sin 2α+ 的值是 .
tan α+ 3 4
4
√2
答案
10
4 √5
13.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α= ,cos(α+β)=- .
3 5
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
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4 sinα 4
解析 (1)因为tan α= ,tan α= ,所以sin α= cos α.
3 cosα 3
9
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α= ,
25
7
所以cos 2α=2cos2α-1=- .
25
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
√5
又因为cos(α+β)=- ,
5
2√5
所以sin(α+β)=√1-cos2(α+β)= ,因此tan(α+β)=-2.
5
4 2tanα 24
因为tan α= ,所以tan 2α= =- .
3 1-tan2α 7
tan2α-tan(α+β) 2
因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]= =- .
1+tan2αtan(α+β) 11
以下为教师用书专用(1—19)
1
1.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α= ,则cos 2α=( )
3
8 7
A. B.
9 9
7 8
C.- D.-
9 9
答案 B 本题考查三角恒等变换.由sin α=1,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×(1) 2=1-2=7.故选
3 3 9 9
B.
4
2.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α= ,则sin 2α= ( )
3
7 2 2 7
A.- B.- C. D.
9 9 9 9
答案 A ∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=(4) 2=16,∴sin 2α=-7.
3 9 9
解后反思 涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α
进行转换.
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3
3.(2017山东文,4,5分)已知cos x= ,则cos 2x=( )
4
1 1 1 1
A.- B. C.- D.
4 4 8 8
答案 D 本题考查二倍角余弦公式.
因为cos x=3,所以cos 2x=2cos2x-1=2×(3) 2-1=1.
4 4 8
3
4.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α= ( )
4
64 48 16
A. B. C.1 D.
25 25 25
答案 A 当tan α=3时,原式=cos2α+4sin αcos α=cos2α+4sinαcosα=1+4tanα=
4 sin2α+cos2α tan2α+1
3
1+4×
4 64
= ,故选A.
9 25
+1
16
解后反思 将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于
tan α的式子,这是解决本题的关键.
评析 本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..
1
5.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=- ,则cos 2θ= ( )
3
4 1 1 4
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
答案 D 解法一:cos
2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θ
cos2θ+sin2θ
=1-tan2θ=4.故选D.
1+tan2θ 5
1 1
解法二:由tan θ=- ,可得sin θ=± ,
3 √10
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4
因而cos 2θ=1-2sin2θ= .
5
评析 本题考查化归与转化的能力.属中档题.
6.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( )
√3 √3 1 1
A.- B. C.- D.
2 2 2 2
1
答案 D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°= ,故选D.
2
( 3π)
cos α-
7.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan π,则 10 = ( )
5 ( π)
sin α-
5
A.1 B.2 C.3 D.4
( 3π) [π ( 3π)] ( π) π π
cos α- sin + α- sin α+ sinαcos +cosαsin
10 2 10 5 5 5
答案 C = = = =
sin ( α- π) sin ( α- π) sin ( α- π) sinαcos π -cosαsin π
5 5 5 5 5
π
tanα+tan
5
,
π
tanα-tan
5
( 3π) π
cos α- 3tan
∵tan α=2tan π,∴ 10 = 5 =3.故选C.
5 sin ( α- π) tan π
5 5
1 1
8.(2015重庆文,6,5分)若tan α= ,tan(α+β)= ,则tan β= ( )
3 2
1 1 5 5
A. B. C. D.
7 6 7 6
1 1
-
tan(α+β)-tanα 2 3 1
答案 A tan β=tan[(α+β)-α]= = = ,故选A.
1+tan(α+β)·tanα 1 1 7
1+ ×
2 3
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9.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=2,则cos2( π)= ( )
α+
3 4
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
( π)
( π) 1+cos 2α+ 1-sin2α 2 1
答案 A cos2 α+ = 2 = ,把sin 2α= 代入,原式= .选A.
4 2 3 6
2
评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.
10.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos(π )=3,则sin 2α=( )
-α
4 5
7 1 1 7
A. B. C.- D.-
25 5 5 25
答案 D ∵cos(π )=3,
-α
4 5
∴sin 2α=cos(π
-2α
)=cos[
2
(π
-α
)]
2 4
=2cos2(π )-1=2×(3) 2-1=- 7 .故选D.
-α
4 5 25
思路分析 利用诱导公式化sin 2α=cos(π ),再利用二倍角的余弦公式即可得答案.
-2α
2
一题多解 cos(π )=√2(cos α+sin α)=3⇒cos α+sin α=3√2⇒1+sin 2α=18,
-α
4 2 5 5 25
7
∴sin 2α=- .故选D.
25
导师点睛 求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:
(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;
(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关
系”.
11.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .
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答案 √2;1
解析 ∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin( π)+1,∴A= ,b=1.
√2 2x+ √2
4
12.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan( 5π)=1,则tan α= .
α-
4 5
3
答案
2
解析 本题主要考查两角差的正切公式.
5π
tanα-tan
( 5π) 4 tanα-1 1
tan α- = = = ,
4 5π 1+tanα 5
1+tanαtan
4
3
解得tan α= .
2
13.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin( π)=3,则tan( π)= .
θ+ θ-
4 5 4
4
答案 -
3
解析 解法一:∵sin( π)=√2×(sin θ+cos θ)=3,
θ+
4 2 5
3√2
∴sin θ+cos θ= ①,
5
7
∴2sin θcos θ=- .
25
∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,
4√2
∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=- ②,
5
√2 7√2 1
由①②得sin θ=- ,cos θ= ,∴tan θ=- ,
10 10 7
∴tan( π)=tanθ-1=-4.
θ-
4 1+tanθ 3
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解法二:∵( π)+(π )=π,
θ+ -θ
4 4 2
∴sin( π)=cos(π )=3,
θ+ -θ
4 4 5
π
又2kπ- <θ<2kπ,k∈Z,
2
π π π
∴2kπ- <θ+ <2kπ+ ,k∈Z,
4 4 4
∴cos( π)=4,∴sin(π )=4,
θ+ -θ
4 5 4 5
(π )
sin -θ
∴tan(π )= 4 =4,
-θ
4 (π ) 3
cos -θ
4
∴tan( π)=-tan(π )=-4.
θ- -θ
4 4 3
评析 本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关
键.
π π
14.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 = .
8 8
√2
答案
2
π π π √2
解析 由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .
8 8 4 2
1
15.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为 .
7
答案 3
1
-(-2)
tan(α+β)-tanα 7
解析 tan β=tan[(α+β)-α]= = =3.
1+tan(α+β)tanα 1
1+ ×(-2)
7
16.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是 .
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√6
答案
2
√6
解析 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=√2sin(15°+45°)=√2sin 60°= .
2
17.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是 .
答案 -1
解析 由sin α+2cos α=0得tan α=-2.
2sin αcos
α-cos2α=2sinαcosα-cos2α=2tanα-1=2×(-2)-1=-5=-1.
sin2α+cos2α tan2α+1 (-2)2+1 5
18.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.
(1)求tan( π)的值;
α+
4
sin2α
(2)求 的值.
sin2α+sinαcosα-cos2α-1
解析 (1)因为tan α=2,
π
tanα+tan
( π) 4 2+1
所以tan α+ = = =-3.
4 π 1-2×1
1-tanα·tan
4
sin2α
(2)因为tan α=2,所以
sin2α+sinαcosα-cos2α-1
2sinαcosα
=
sin2α+sinαcosα-(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)
2sinαcosα 2tanα 2×2
= = = =1.
sin2α+sinαcosα-2cos2α tan2α+tanα-2 22+2-2
19.(2014江苏,15,14分)已知α∈(π ),sin α=√5.
,π
2 5
(1)求sin(π )的值;
+α
4
(2)求cos(5π )的值.
-2α
6
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解析 (1)因为α∈(π ),sin α=√5,
,π
2 5
2√5
所以cos α=-√1-sin2α=- .
5
故sin(π )=sinπcos α+cosπsin α
+α
4 4 4
=√2×( 2√5)+√2×√5=-√10.
-
2 5 2 5 10
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×√5×( 2√5)=-4,
-
5 5 5
cos 2α=1-2sin2α=1-2×(√5) 2 =3,
5 5
所以cos(5π )=cos5πcos 2α+sin5πsin 2α
-2α
6 6 6
=( √3)×3+1×( 4)=-4+3√3.
- -
2 5 2 5 10
评析 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考
查运算求解能力.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点 三角恒等变换
1.(2019山东淄博模拟,4)2√1+sin4+√2+2cos4= ( )
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2
答案 B
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2.(2021山东德州一模,5)已知sin α=sin( π)+1,则cos( π)的值为 ( )
α+ α+
3 3 6
1 1 2√3 2√3
A. B.- C. D.-
3 3 3 3
答案 B
2cos10°-sin20°
3.(2021江苏盐城二模,5)计算 所得的结果为( )
cos20°
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 C
4.(2020山东泰安一模,13)已知α、β∈(3π ),sin(α+β)=-3,sin( π)=12,则cos( π)=
,π β- α+
4 5 4 13 4
.
56
答案 -
65
5.(2021山东烟台一模,13)已知α∈( π),若sin(π )=1,则tan α的值为 .
0, +2α
2 2 3
√2
答案
2
B组 综合应用题组
时间 : 60 分钟 分值 : 90 分
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,2)已知sin α>0,cos α<0,则 ( )
α α
A.sin 2α>0 B.cos 2α<0 C.tan >0 D.sin <0
2 2
答案 C
2.(2020山东省实验中学第二次诊断,6)已知cos(π )=2cos(π+α),且tan(α+β)=1,则tan β的
-α
2 3
值为 ( )
A.-7 B.7 C.1 D.-1
答案 B
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1 7√2
3.(2020湖南3月模拟,4)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)= ,cos β= ,则角2α+β= ( )
2 10
9π 3π 5π π
A. B. C. D.
4 4 4 4
答案 D
4.(2021江苏南通一模,6)设当x=θ时,函数f(x)=3sin x+4cos x取得最小值-5,则sin θ= ( )
3 4 3 4
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 C
5.(2019山东潍坊期中理,8)已知α,β为第二象限的角,cos( π)=-3,sin( π)= 5 ,则
α- β+
4 5 4 13
sin(α+β)的值为 ( )
33 63 63 33
A. B.- C. D.-
65 65 65 65
答案 B
6.(2020河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考,7)《九章算术》是我国古代内容极为
丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭
赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生
长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水
深、芦苇的长度各是多少?”设θ=∠BAC,现有下述四个结论:
①水深为12尺;②芦苇长为15尺;
③tanθ=2;④tan( π)=-17.
θ+
2 3 4 7
其中所有正确结论的编号是 ( )
A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④
答案 B
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7.(2021山东日照一模,4)明朝早期,郑和七下西洋的过程中,将中国古代天体测量方面所取得
的成就创造性地应用于航海,形成了一套先进的航海技术——过洋牵星术,简单地说,就是通
过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断
水位,采用的主要工具是牵星板.牵星板由12块正方形木板组成,最小的一块边长约为2厘米
(称一指),木板的长度从小到大依次成等差数列,最大的一块边长约为24厘米(称十二指).观测
时,将木板立起,一手拿着木板,手臂伸直,眼睛到木板的距离大约为72厘米,使牵星板与海平面
垂直,让板的下边缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,依高低不同替换、调整木板,当
被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可
以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为六指板,则sin 2α
约为 ( )
12 12 1 1
A. B. C. D.
35 37 6 3
答案 B
8.(2021山东淄博二模,6)若tan α>sin α>sin 2α( π π),则α的取值范围是( )
- <α<
2 2
A.( π π) B.( π π) C.(π π) D.(π π)
- ,- - , , ,
2 6 3 3 3 2 6 2
答案 C
二、多项选择题(共5分)
9.(2021广东广州一模,10)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x,则( )
A. f(x)的最大值为3
π
B. f(x)的图象关于直线x= 对称
8
C. f(x)的图象关于点( π )对称
- ,1
8
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D. f(x)在[ π π]上单调递增
- ,
4 4
答案 BC
三、填空题(每小题5分,共10分)
10.(2020江苏南通一模,9)已知x∈( π),tan( π)=-3,则2sin(π-x)+sin2x=
0, x+
2 4 1+cosx
.
4√5
答案
5
11.(2021江苏常州一模,15)若2 sin x+2cos x=1,则sin 5π-x ·cos( π)= .
√3 2x+
6 3
7
答案
32
四、解答题(共35分)
12.(2021上海杨浦一模,18)设常数k∈R, f(x)=kcos2x+√3sin xcos x,x∈R.
(1)若f(x)是奇函数,求实数k的值;
(2)设k=1,△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=1,a=√7,b=3,求△ABC的面积S.
解析 (1)由题意得f(0)=k=0.检验:f(x)=√3sin xcos x对任意x∈R都有f(-x)=√3sin(-x)cos(-x)=-
√3sin xcos x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,∴k=0.
(2)由f(A)=cos2A+√3sin Acos A=1,得√3sin Acos A=sin2A,
∵sin A≠0,∴√3cos A=sin A,即tan A=√3,
π
∵A是三角形的内角,∴A= ,
3
b2+c2-a2 1 9+c2-7
由余弦定理得cos A= ,即 = ,
2bc 2 6c
整理得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2,经检验,满足题意,
1 3√3 3√3
所以S= bcsin A= 或 .
2 4 2
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13.(2021湖南永州二模,17)已知函数f(x)=2cos2x- cos x+π -1.
√3
2 2
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(A)=2,b=2,△ABC的面积为3√3,求
△ABC外接圆的面积.
解析 (1)f(x)=2cos2x- cos( π)-1=cos x+ sin x=2sin( π),因为ω=1,T=2π,所以
√3 x+ √3 x+
2 2 6 ω
T=2π.
(2)∵f(A)=2sin( π)=2,0<A<π,∴A=π,
A+
6 3
1 1 √3
∵b=2,∴△ABC的面积S= bcsin A= ×2c× =3√3,∴c=6.
2 2 2
4+36-a2
由余弦定理得cos A= ,又a>0,∴a=2√7.
2×2×6
设△ABC的外接圆半径为R,
2√7
a 4√21
则由正弦定理得2R= = √3 = ,
sin A 3
2
2√21 28π
故R= ,从而S=πR2= .
3 3
14.(2020山东东营重点高中第三次质检,18)已知函数f(x)=1-2√3sin xcos x-2cos2x+m在R上
的最大值为3.
(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;
b
(2)若锐角△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且f(A)=0,求 的取值范围.
c
解析 (1)f(x)=1-√3sin 2x-(1+cos 2x)+m
=-( sin 2x+cos 2x)+m=-2sin( π)+m.
√3 2x+
6
由已知得2+m=3,所以m=1,因此f(x)=-2sin( π)+1.
2x+
6
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版》
π π 3π π 2π
令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
2 6 2 6 3
因此函数f(x)的单调递增区间为[ π 2π],k∈Z.
kπ+ ,kπ+
6 3
(2)由已知得-2sin( π)+1=0,∴sin( π)=1,
2A+ 2A+
6 6 2
π π π 7π π 5π π
由0<A< 得 <2A+ < .因此2A+ = ,所以A= .
2 6 6 6 6 6 3
(π ) √3 1
b sinB sin +C cosC+ sinC √3 1
由正弦定理得 = = 3 = 2 2 = + .
c sinC 2tanC 2
sinC sinC
π
{ 0<C< ,
因为△ABC为锐角三角形,所以 2
2π π
0<B= -C< ,
3 2
π π √3 1 b
解得 <C< ,因此tan C> ,那么 < <2.
6 2 3 2 c
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— 一年原创 —
2
1.(2021 5·3原创题)已知cos α= ,则cos 3α+4cos 2α= .
3
34
答案 -
27
2.(2021 5·3原创题)已知α,β∈( π),且cos(α+β)-sin(α+β)=√2,则
0,
2 2
1-tanα-tanβ-tanαtanβ
= .
1+tanα+tanβ-tanαtanβ
√3
答案
3
3.(2021 5·3原创题)已知A、B是直线l上任意两点,O是l外一点,若l上一点C满足⃗OC=sin
θ⃗OA+sin2θ⃗OB,则cos2θ+cos4θ+cos6θ的值是 .
答案 √5-1
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