北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§10.2 二项式定理
【5 年高考】
考点 二项式定理
1.(2020课标Ⅰ理,8,5分)(
y2
)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为( )
x+
x
A.5 B.10 C.15 D.20
答案 C
2.(2020北京,3,4分)在(√x-2)5的展开式中,x2的系数为 ( )
A.-5 B.5 C.-10 D.10
答案 C
3.(2019课标Ⅲ,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A
4.(2018课标Ⅲ,5,5分)( x2+ 2) 5 的展开式中x4的系数为 ( )
x
A.10 B.20 C.40 D.80
答案 C
5.(2017课标Ⅰ,6,5分)( 1+ 1 )(1+x)6展开式中x2的系数为 ( )
x2
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
6.(2017课标Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为 ( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
答案 C
7.(2021新高考适应卷,6,5分)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是 ( )
A.60 B.80 C.84 D.120
答案 D
8.(2020课标Ⅲ,14,5分)( x2+ 2) 6 的展开式中常数项是 (用数字作答).
x
答案 240
9.(2020天津,11,5分)在( x+ 2 ) 5 的展开式中,x2的系数是 .
x2
答案 10
10.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
答案 10北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
11.(2019天津,10,5分)( 2x- 1 ) 8 的展开式中的常数项为 .
8x3
答案 28
12.(2019浙江,13,6分)在二项式(√2+x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .
答案 16√2;5
13.(2018天津,10,5分)在( 1 ) 5 的展开式中,x2的系数为 .
x-
2√x
5
答案
2
14.(2018浙江,14,4分)二项式( √3 x+ 1 ) 8 的展开式的常数项是 .
2x
答案 7
15.(2017山东,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .
答案 4
16.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+ax4+ax3+ax2+ax+a,则a= ,a= .
1 2 3 4 5 4 5
答案 16;4
17.(2016山东,12,5分)若( ax2+ 1 ) 5 的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .
√x
答案 -2
18.(2019江苏,22,10分)设(1+x)n=a+ax+ax2+…+axn,n≥4,n∈N*,已知 =2aa.
0 1 2 n a2 2 4
3
(1)求n的值;
(2)设(1+√3)n=a+b√3,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 二项式定理
1.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( )
A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
答案 A T 3 = C2 x4i2=-15x4,故选A.
6
易错警示 易误认为i2=1而致错.
2.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为
( )
A.212 B.211 C.210 D.29
答案 D ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 , ,∴ = ,得n=10.
C3C7 C3 C7
n n n n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
从而有 C0 + C1 + C2 + C3 +…+ C10 =210,
10 10 10 10 10
又 C0 + C2 +…+ C10 = C1 + C3 +…+ C9 ,
10 10 10 10 10 10
∴奇数项的二项式系数和为 C0 + C2 +…+ C10 =29.
10 10 10
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
3.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N)的展开式中x2的系数为15,则n= ( )
+
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 Cn-2 ,
n
所以 Cn-2 =15,即 C2 =15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).
n n
4.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为 =30,故选C.
C2 C2C1
5 5 3
5.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
答案 C 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T= ·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.
3 C2
6
评析 本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘以x后,易误求T= x3.
4 C3
6
6.(2014湖南理,4,5分)(1 ) 5 的展开式中x2y3的系数是 ( )
x-2y
2
A.-20 B.-5 C.5 D.20
答案 A 展开式的通项为T k+1 = Ck(1 x ) 5-k ·(-2y)k=(-1)k·22k-5 Ck x5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系
5 2 5
数为(-1)3·22×3-5 =-20,故选A.
C3
5
评析 本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.
7.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= (
)
A.45 B.60 C.120 D.210
答案 C 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 ,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为 ,故f(m,n)= · .从而
Cm Cn Cm Cn
6 4 6 4
f(3,0)= =20, f(2,1)= · =60, f(1,2)= · =36, f(0,3)= =4,故选C.
C3 C2 C1 C1 C2 C3
6 6 4 6 4 4
8.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T = ·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的
r+1 Cr
5
系数为 C2,当r=1时,x2的系数为 C1 ·a,所以 C2 + C1 ·a=5,a=-1,故选D.
5 5 5 5
9.(2013辽宁理,7,5分)使( 1 ) n (n∈N)的展开式中含有常数项的最小的n为 ( )
3x+ +
x√x
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B T
r+1
=C
n
r(3x)n-r·
x
- 3
2
r=C
n
r·3n-r·
x
n-r- 3
2
r=C
n
r·3n-r·
x
n- 5
2
r (r=0,1,2,…,n),
5 5
若T 是常数项,则有n- r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0, ,不满足条件;当r=2时,n=5,故选B.
r+1
2 2
10.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是 ( )
A.56 B.84 C.112 D.168
答案 D (1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为 · =28×6=168,选D.
C2 C2
8 4
11.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式
系数的最大值为b.若13a=7b,则m= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
13·(2m)! 7·(2m+1)!
答案 B 由题意得:a=Cm ,b=Cm ,所以13Cm =7Cm ,∴ = ,∴
2m 2m+1 2m 2m+1 m!·m! m!·(m+1)!
7(2m+1)
=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.
m+1
12.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a= ( )
A.0 B.1 C.11 D.12
答案 D 512 012+a=(52-1)2 012+a=522 012+
C1
×522 011×(-1)+…+
C2 011
×52×(-1)2 011+(-1)2 012+a能被13整除,
2 012 2 012
只需(-1)2 012+a=1+a能被13整除即可.∵0≤a<13,∴a=12,故选D.
评析 本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.
13.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)( 1 -1 ) 5 的展开式的常数项是( )
x2
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 D 由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+ ×(-1)4=-2+5=3,故选D.
C1
5
评析 本题考查二项式定理的应用,抓住常数项的构成特征是顺利解题的关键.
14.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示).
答案 21
解析 本题主要考查二项展开式.
7×6
(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为C2= =21.
7 2
15.(2016天津理,10,5分)(
x2-
1) 8 的展开式中x7的系数为 .(用数字作答)
x北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 -56
解析 T r+1 = Cr x16-2r(-x)-r=(-1)-r Cr x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 C3 =-56.
8 8 8
易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.
评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
16.(2015天津,12,5分)在( 1 ) 6 的展开式中,x2的系数为 .
x-
4x
15
答案
16
解析 ( x- 1 ) 6 的展开式的通项为T r+1 = Cr x6-r( - 1 ) r =( - 1) r Crx6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数
4x 6 4x 4 6
为
C2
×(
-
1) 2 =15.
6 4 16
17.(2015重庆理,12,5分)( x3+ 1 ) 5 的展开式中x8的系数是 (用数字作答).
2√x
5
答案
2
解析 二项展开式的通项为T
r+1
= Cr(x3)5-r·( 1 ) r =1 Cr·
15-3r-
r,令15-3r-r=8,得r=2,于是展开式中x8
5 2√x 2r 5 x 2 2
1 1 5
的系数为
×C2
= ×10= .
22 5 4 2
18.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
答案 3
1
解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为
2
1
[f(1)-f(-1)],∴ ×(a+1)×16=32,∴a=3.
2
评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.
19.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,(
1+
x) n 的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
n
xn.若点A
i
(i,a
i
)
a
(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
答案 3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 根据题意知a=1,a=3,a=4,
0 1 2
1
{C1 n · a =3, { n-1= 8 a,
结合二项式定理得 即 解得a=3.
3
1
C2· =4, n=3a,
n a2
20.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
答案 -20
解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x· xy7-y· x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为
C7 C6
8 8
- = - =8-28=-20.
C7 C6 C1 C2
8 8 8 8
21.(2014课标Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)
1
答案
2
解析 T r+1 = Cr x10-rar,令10-r=7,得r=3,
10
10×9×8 1 1
∴C3 a3=15,即 a3=15,∴a3= ,∴a= .
10 3×2×1 8 2
22.(2013浙江理,11,4分)设二项式( √x- 1 ) 5 的展开式中常数项为A,则A= .
√3 x
答案 -10
解析 展开式通项为T
r+1
= Cr·(
√x
)5-r(- 1 ) r
5 √3 x
5 5 5 5
=Cr(-1)r - r.令 - r=0,得r=3.
5 x2 6 2 6
当r=3时,T= (-1)3=-10.故A=-10.
4 C3
5
23.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= .
答案 2
解析 T 3+1 = C3 a1x3=4ax3,∴4a=8,∴a=2.
4
评析 本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.
24.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a+a(1+x)+a(1+x)2+…+a(1+x)5,其中a,a,a,…,a 为实数,
0 1 2 5 0 1 2 5
则a= .
3
答案 10
解析 由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a= (-1)2=10.
3 C3
5
评析 本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
25.(2012大纲全国理,15,5分)若( 1) n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中 1 的
x+
x x2
系数为 .
答案 56
解析 由
C2
=
C6
得n=8,T
r+1
=
Cr
x8-r·(1) r =
Cr
x8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,故所求系数为
C5
=
C3
=56.
n n 8 x 8 8 8
评析 本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.
【3 年模拟】
时间:40分钟 分值:80分
一、单项选择题(每题5分,共40分)
1.(2020山东夏季高考模拟,4)(1 ) 10 的展开式中x4的系数是( )
-x
x
A.-210 B.-120 C.120 D.210
答案 B
2.(2020福建厦门一中月考,8)已知(2x2+3x+1)·( a -1 ) 5 的展开式中各项系数之和为0,则该展开式中的常数
x2
项是( )
A.-10 B.-7 C.10 D.9
答案 D
3.(2020广东百校联考,7)(2x-1)8的展开式中x3的系数为( )
A.-448 B.-56 C.56 D.448
答案 A
4.(2021届五省新高考联合质量测评12月联考,6)已知(2x-1)(x+a)6(a∈R)的展开式的各项系数之和为64,则展
开式中x3的系数为 ( )
A.10或2 970 B.10或1 890
C.10 D.1 890
答案 A
5.(2019安徽蚌埠二模,6)设a∈R,若( x2+ 2) 9 与( x+ a ) 9 的展开式中的常数项相等,则a= ( )
x x2
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案 A
6.(2019广东广州一模,6)(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x4的系数是 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
答案 A
7.(2019湖北宜昌模拟,8)若(x-2)5-3x4=a+a(x-3)+a(x-3)2+a(x-3)3+a(x-3)4+a(x-3)5,则a= ( )
0 1 2 3 4 5 3
A.-70 B.28 C.-26 D.40
答案 C
