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第十一章 计数原理 ６ ０５
§１１．２ 二项式定理
二项式定理 学生用书Ｐ２０２ 易错警示 易误认为 ２ 而致错．
ｉ ＝１
１．（２０２０课标 Ⅰ 理，８，５分） ( ｘ ＋ ｙ ｘ ２ ) （ ｘ ＋ ｙ ） ５ 的展开式中ｘ３ｙ３ 的 ２．（ 项 ２ 的 ０１ 二 ５湖 项 北 式 理 系 ， 数 ３， 相 ５ 等 分） 则 已 奇 知 数 （１ 项 ＋ 的 ｘ ） 二 ｎ 的 项 展 式 开 系 式 数 中 和为 第 ４ 项与第 ８
， （ ）
系数为 １２ １１ １０ ９
（ ） Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．２
答案 Ｄ ｘ ｎ 的展开式中第 项与第 项的二项式
Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．１５ Ｄ．２０ ∵ （１＋ ） ４ ８
１． 答案 Ｃ 系数分别为
Ｃ
３ｎ，Ｃ ７ｎ，∴
Ｃ
３ｎ＝Ｃ ７ｎ， 得ｎ
＝１０
．
２．（２０２０北京，３，４分）在 （ ｘ －２） ５ 的展开式中 ， ｘ２ 的系数为 从而有 Ｃ ０ １０＋Ｃ １ １０＋Ｃ ２ １０＋Ｃ ３ １０＋…＋Ｃ １ １ ０ ０＝２ １０ ，
又 ０ ２ １０ １ ３ ９
（ ）
Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０＝Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０，
奇数项的二项式系数和为 ０ ２ １０ ９．
Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－１０ Ｄ．１０ ∴ Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０＝２
２． 答案 Ｃ
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合
３．（２０１９课标 理，４，５分） ｘ２ ｘ ４ 的展开式中ｘ３ 的系
数性质，考查运算求解能力．
数为 Ⅲ （１＋２ ）（１＋ ）
（ ）
３．（２０１５陕西理，４，５分）二项式 （ ｘ ＋１） ｎ （ ｎ ∈ Ｎ ＋） 的展开式中ｘ２
的系数为 则ｎ
１５， ＝ （ ）
Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４
３． 答案 Ａ
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
４．（ ａ ２ ｘ ０ ２ ２１ ａ 浙 ｘ 江 ａ ，１ 则 ３，６ ａ 分）已知多项 ａ 式 （ ａ ｘ －１ ａ ） ３ ＋（ ｘ ＋１） ４ ＝ ． ｘ４ ＋ ａ １ ｘ３ ＋ 所以 答案 Ｃ ｎ ｎ －２ Ｃ ＝ １５ 因 ， 即 为 （ Ｃ ｘ ２ｎ ＋ ＝ １ １ ） ５ ｎ ， 的 亦 展 即 开 ｎ 式 ２ － 中 ｎ ＝ ｘ２ ３０ 的 ， 系 解 数 得 为 ｎ ＝ Ｃ ｎ ｎ ６ －２ （ ， ｎ ＝－５
４． ２ 答 ＋ 案 ３ ＋ ４， １＝ ； ２＋ ３＋ ４＝ 舍 ） ．
５．（２０２１上 海 ５； ， １ ６ ０ ，４ 分）若 ｘ ａ ５ 则 ｘ２ 的系数为 则 ａ ４．（２０１５课标 Ⅰ 理，１０，５分） （ ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｙ ） ５的展开式中 ， ｘ５ｙ２的系数为
（ ＋ ） ， ８０， ＝
． （ ）
５． 答案 Ａ．１０ Ｂ．２０ Ｃ．３０ Ｄ．６０
２ ( ) 答案 Ｃ ｘ２ ｘ ｙ ５ ｘ２ ｘ ｙ ５ 的展开式中只有
６．（２０２０ 课标 Ⅲ 理，１４，５ 分） ｘ２ ＋ ２ ｘ ６ 的展开式中常数项是 Ｃ ２ ５（ ｘ２ ＋ ｘ ） ３ｙ２ 中 （ 含ｘ ＋ ５ｙ２ ＋ ， 易 ） 知 ＝ ｘ ［ ５ （ ｙ２ 的 ＋ 系 ） 数 ＋ 为 ］ Ｃ ２ ５Ｃ １ ３＝３０， 故选 Ｃ ．
用数字作答 ． ５．（２０１４四川理，２，５分）在ｘ ｘ ６ 的展开式中 含 ｘ３ 项的系
（ ） （１＋ ） ，
６． 答案 数为
２４０ （ ）
７ ７ ． ． （ ＋ ２ ａ 答 ０ ４ ｘ ２ ４ ０ 案 ＋ 浙 ａ ５ 江 ｘ５ ， ， 则 １２， ａ ６ ４＝ 分 ）二 项 展 开 ， ａ 式 １＋ ａ （ ３ １ ＋ ＋ ａ ２ ５ ｘ ＝ ） ５ ＝ ａ ０ ＋ ａ １ ｘ ． ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ ３ ｘ３ Ａ．３ 答 ０ ｘ 案 ２ 故 Ｃ 在 ｘ 在 Ｂ （ ． ｘ １ ２０ ＋ ６ ｘ 的 ） ６ 展 的 开 展 式 开 中 Ｃ 式 ．１ 含 中 ５ ， ｘ 含 ３ 的 ｘ 项 ２ 的 的 项 Ｄ 系 ． 为 １ 数 ０ 为 Ｔ ３＝Ｃ ． ２ ６· ｘ２
８０；１２２ ＝１５ ， （１＋ ） ， １５
８．（２０２０ 天津，１１，５ 分）在
æ
è çｘ ＋ｘ ２ ２
ö
ø ÷
５
的展开式中 ， ｘ２ 的系数是
评
在
析
（ １ ＋ ｘ
本
）６
题
前
考
面
查
乘
二
以
项
ｘ
展
后
开
，易
式
误
中
求
求
Ｔ
指
４＝
定
Ｃ
项
３ ６ ｘ３
的
．
系数，属容易题．但
( )
． ５
６．（２０１４湖南理，４，５分） １ ｘ ｙ 的展开式中ｘ２ｙ３ 的系数是
８． 答案 －２
１０ ２
９．（２０１９浙江，１３，６分）在二项式 ｘ ９ 的展开式中 常数项 （ ）
（ ２＋ ） ，
是 系数为有理数的项的个数是 ． Ａ．－２０ Ｂ．－５ Ｃ．５ Ｄ．２０
， ( ) ｋ
９． 答案 答案 Ａ 展开式的通项为 Ｔ ｋ １ ｘ
５－
ｙ ｋ
１６ ２；５ ｋ ＋１＝Ｃ５ ·（－２ ） ＝
２
１０．（２０１９天津理，１０，５ 分） æ è ç ２ ｘ － １ ｘ３ ö ø ÷ ８ 的展开式中的常数项为 （－１） ｋ ·２ ２ ｋ －５ Ｃ５ ｋｘ５－ ｋ · ｙｋ ， 令 ５－ ｋ ＝２， 得ｋ ＝３ ．则展开式中ｘ２ｙ３ 的
８ 系数为 ３ ２×３－５ ３ 故选 ．
． （－１） ·２ Ｃ５＝－２０， Ａ
评析 本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算，
１０． 答案
２８ 考查学生的运算求解能力，属于中档题．
( )
１１．（２０１８浙江，１４，４分） ３ｘ １ ８ 的展开式的常数项是 ． ７．（２０１４浙江理，５，５分）在 ｘ ６ ｙ ４ 的展开式中 记ｘｍｙｎ
＋ ｘ （１＋ ） （１＋ ） ，
２ 项的系数为ｆ ｍ ｎ 则ｆ ｆ ｆ ｆ
１１． 答案 （ ， ）， （３，０）＋（２，１）＋（１，２）＋（０，３）＝
７
（ ）
以下为教师用书专用（１—２７）
Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０
１．（２０１６四川理，２，５分）设 ｉ 为虚数单位 ， 则 （ ｘ ＋ｉ） ６ 的展开式中 答案 Ｃ 在 （１＋ ｘ ） ６ 的展开式中 ， ｘｍ 的系数为 Ｃ６ ｍ ， 在 （１＋
含ｘ４ 的项为
（ ）
ｙ
）
４ 的展开式中
，
ｙｎ 的系数为
Ｃ４
ｎ
，
故 ｆ
（
ｍ
，
ｎ
）＝ Ｃ６
ｍ
·Ｃ４
ｎ．从而
ｘ４ ｘ４ ｘ４ ｘ４ ｆ ３ ｆ ２ １ ｆ １ ２
Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－２０ｉ Ｄ．２０ｉ （３，０）＝Ｃ６＝２０， （２，１）＝Ｃ６·Ｃ４＝６０， （１，２）＝Ｃ６·Ｃ４＝３６，
答案 Ａ Ｔ ２ｘ４ ２ ｘ４ 故选 ． ｆ ３ 故选 ．
３＝Ｃ６ ｉ ＝－１５ ， Ａ （０，３）＝Ｃ４＝４， Ｃ
６ ０６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
８．（２０１３课标 理，５，５ 分）已知 ａｘ ｘ ５ 的展开式中 ｘ２ ( ) ８
Ⅱ （１＋ ）（１＋ ） １５．（２０１６ 天津理，１０，５ 分） ｘ２ １ 的展开式中 ｘ７ 的系数
的系数为 则ａ － ｘ
５， ＝ （ ）
为 ． 用数字作答
Ａ．－４ Ｂ．－３ Ｃ．－２ Ｄ．－１ （ ）
答案 Ｄ 由二项式定理得 （１＋ ｘ ） ５ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１ 答案 －５６
＝Ｃ５ ｒ · ｘｒ ， 所以当ｒ ＝２ 时 ，（１＋ ａｘ ）（１＋ ｘ ） ５ 的展开式中ｘ２ 的系 解析 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ８ ｒｘ１６－２ ｒ （－ ｘ ） － ｒ ＝（－１） － ｒ Ｃ８ ｒｘ１６－３ ｒ ， 令 １６－３ ｒ ＝７， 得
数为 Ｃ ２ ５， 当ｒ ＝１ 时 ， ｘ２ 的系数为 Ｃ １ ５· ａ ， 所以 Ｃ ２ ５＋Ｃ １ ５· ａ ＝５， ａ ＝ ｒ ＝３， 所以ｘ７ 的系数为 （－１） －３ Ｃ ３ ８＝－５６ ．
故选 ． 易错警示 本题中，展开式的通项易写错，尤其是符号，正
－１， Ｄ
æ öｎ 负易混，需引起注意．
９．（２０１３辽宁理，７，５分）使ç ｘ １ ÷ ｎ Ｎ 的展开式中含有
è３ ＋ｘ ｘø （ ∈ ＋） 评析 本题主要考查二项式定理，对运算求解能力要求较高．
常数项的最小的ｎ为 属中档题．
（ ）
( )
６
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ １６．（２０１５天津，１２，５分）在 ｘ １ 的展开式中 ｘ２ 的系数为
答案 Ｂ Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｒ ｎ（３ ｘ ） ｎ － ｒ · ｘ－３ ２ ｒ ＝Ｃ ｒ ｎ·３ ｎ － ｒ · ｘｎ － ｒ －３ ２ ｒ ＝Ｃ ｒ ｎ· ． － ４ ｘ ，
３ ｎ － ｒ · ｘｎ －５ ２ ｒ （ ｒ ＝０，１，２，…， ｎ ），
答案 １５
若Ｔ 是常数项 则有ｎ ５ ｒ 即 ｎ ｒ ｒ ｎ 当ｒ
ｒ ＋１ ， － ＝０， ２ ＝５ （ ＝０，１，…， ）， １６
时 ｎ ５ 不满足
２
条件 当ｒ 时 ｎ 故选 ．
解析 ( ｘ
－
１
ｘ
) ６ 的展开式的通项为 Ｔ
ｒ ＋１＝Ｃ６
ｒｘ６－ ｒ (
－
１
ｘ
)ｒ
＝
＝０，１ ， ＝０， ， ； ＝２ ， ＝５， Ｂ ４ ４
２ ( )ｒ
１０．（２０１３大纲全国理，７，５分） ｘ ８ ｙ ４ 的展开式中ｘ２ｙ２ １ ｒｘ６－２ ｒ 令 ｒ 得 ｒ 所以 ｘ２ 的系数为 ２
（１＋ ） （１＋ ） － Ｃ６ ， ６－２ ＝２， ＝２， Ｃ６×
的系数是 ４
（ ） ( ) ２
１ １５．
Ａ．５６ Ｂ．８４ Ｃ．１１２ Ｄ．１６８ － ＝
答案 Ｄ ｘ ８ ｙ ４ 的展开式中ｘ２ｙ２ 的系数为 ２ ４ １６
（１＋ ） ·（１＋ ） Ｃ８ æ ö５
·Ｃ ２ ４＝２８×６＝１６８， 选 Ｄ ． １７．（２０１５重庆理，１２，５分） è çｘ３ ＋ １ ｘø ÷ 的展开式中ｘ８ 的系数是
１１．（２０１３课标 Ⅰ 理，９，５分）设ｍ为正整数 ，（ ｘ ＋ ｙ ） ２ ｍ展开式的二 用数字作答 ． ２
项式系数的最大值为ａ ｘ ｙ ２ ｍ ＋１展开式的二项式系数的最 （ ）
，（ ＋ ）
答案 ５
大值为ｂ．若 ａ ｂ 则ｍ
１３ ＝７ ， ＝ （ ） ２
Ａ．５ 答案 Ｂ 由 Ｂ 题 ．６ 意得 ： ａ ＝Ｃ２ ｍ ｍ， Ｃ ｂ ．７ ＝Ｃ２ ｍ ｍ ＋１， 所以 Ｄ １３ ．８ Ｃ２ ｍ ｍ＝７Ｃ２ ｍ ｍ ＋１， 解析 二项展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ （ ｘ３ ） ５－ ｒ · æ è ç
２
１ ｘ ö ø ÷ ｒ ＝
ｍ ｍ ｍ
∴ １３ ｍ · ！· （２ ｍ ！ ）！ ＝ｍ ７· ！· （２ （ ｍ ＋ ＋ １ １ ） ） ！ ！ ，∴ ７（２ ｍ ＋ ＋ １ １） ＝１３， 解得 ｍ ＝６， １ ｒＣ５ ｒ · ｘ１５－３ ｒ － ２ ｒ ， 令 １５－３ ｒ － ｒ ＝８， 得ｒ ＝２， 于是展开式中ｘ８ 的
经检验ｍ 为原方程的解．选 ． ２ ２
＝６ Ｂ
１２．（２０１２湖北理，５，５分）设ａ ∈ Ｚ ， 且 ０≤ ａ ＜１３， 若 ５１ ２０１２ ＋ ａ能被 系数为 １ ２ ×Ｃ ２ ５＝ １ ×１０＝ ５ ．
整除 则ａ ２ ４ ２
１３ ， ＝ （ ） １８．（２０１５课标 理，１５，５分） ａ ｘ ｘ ４ 的展开式中ｘ的奇
Ⅱ （ ＋ ）（１＋ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１１ Ｄ．１２ 数次幂项的系数之和为 则ａ ．
答案 Ｄ ５１ ２０１２ ＋ ａ ＝（５２－１） ２０１２ ＋ ａ ＝５２ ２０１２ ＋Ｃ １ ２０１２×５２ ２０１１ × 答案 ３２， ＝
（－１）＋…＋Ｃ ２ ２ ０ ０ １ １ １ ２×５２×（－１） ２０１１ ＋（－１） ２０１２ ＋ ａ能被 １３ 整除 ， 只 解析 设 ３ ｆ （ ｘ ）＝ （ ａ ＋ ｘ ）（１＋ ｘ ） ４ ， 则其所有项的系数和为
需 （－１） ２０１２ ＋ ａ ＝１＋ ａ能被 １３ 整除即可． ∵ ０≤ ａ ＜１３，∴ ａ ＝１２， ｆ ａ ４ ａ 又奇数次幂项的系数和
（１）＝（ ＋１）·（１＋１） ＝（ ＋１）×１６，
故选 ．
Ｄ
评析 本题考查二项式定理及整除等知识，考查学生应用意 为 １
［
ｆ
（１）－
ｆ
（－１）］，∴
１
×（
ａ
＋１）×１６＝３２，∴
ａ
＝３
．
２ ２
识和运算求解能力．
评析 二项展开式问题中，涉及系数和的问题，通常采用赋
１３．（２０１２安徽理，７，５分） ｘ２
æ
ç １
ö
÷
５
的展开式的常数项是
值法．
（ ＋２）èｘ２ －１ø
１９．（２０１４ 安徽理，１３，５ 分）设 ａ ｎ 是大于 的自然数
≠０， １ ，
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３
（ ） (
１＋ ａ
ｘ )ｎ 的展开式为ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ．若点Ａ
ｉ（
ｉ
，
ａ
ｉ）（
ｉ
答案 Ｄ 由题意知展开式的常数项为 ２×（－１） ５ ＋Ｃ １ ５× ＝０，１，２） 的位置如图所示 ， 则ａ ＝ ．
４ 故选 ．
（－１） ＝－２＋５＝３， Ｄ
评析 本题考查二项式定理的应用，抓住常数项的构成特征
是顺利解题的关键．
１４．（２０１８上海，３，４分）在 ｘ ７ 的二项展开式中 ｘ２ 项的系数
（１＋ ） ，
为 结果用数值表示 ．
（ ）
答案
２１
解析 本题主要考查二项展开式．
答案
（１＋ ｘ ） ７ 的二项展开式中 ， ｘ２ 项的系数为 Ｃ ２ ７＝ ７×
２
６ ＝２１ ． 解析 根 ３ 据题意知ａ
０＝１，
ａ
１＝３，
ａ
２＝４，
第十一章 计数原理 ６ ０７
ì 答案
结合二项式定理得í ï ïＣ １ｎ· １ ａ ＝３， 即 { ｎ －１＝ ８ ａ ，解得ａ ． 解析 由 １０ 于 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ５ ＝［（１＋ ｘ ）－１］ ５ ， 所以 ａ ３＝Ｃ ３ ５（－１） ２
ï ３ ＝３ ．
î
ï
Ｃ
２ｎ·ａ １
２ ＝４，
ｎ
＝３
ａ
， 评
＝１
析
０
本题考查二项式定理的运用，考查整体思想、转化与
２０．（２０１４课标 理，１３，５分） ｘ ｙ ｘ ｙ ８ 的展开式中ｘ２ｙ７ 的 化归思想，可利用构造法解决问题．
Ⅰ （ － ）（ ＋ ）
系数为 ． 用数字填写答案 ( )ｎ
（ ） ２５．（２０１２大纲全国理，１５，５ 分）若 ｘ １ 的展开式中第 项
答案 ＋ ｘ ３
－２０
解析 由二项展开式公式可知 含ｘ２ｙ７ 的项可表示为ｘ
， · 与第 项的二项式系数相等 则该展开式中 １ 的系数
７ｘｙ７ ｙ ６ｘ２ｙ６ 故 ｘ ｙ ｘ ｙ ８ 的展开式中ｘ２ｙ７ 的系数为 ７ ， ｘ２
Ｃ８ － ·Ｃ８ ， （ － ）（ ＋ ）
７ ６ １ ２ ． 为 ．
Ｃ８－Ｃ８＝Ｃ８－Ｃ８＝８－２８＝－２０
２１．（２０１４课标
Ⅱ
理，１３，５ 分）
（
ｘ
＋
ａ
）
１０的展开式中
，
ｘ７ 的系数为 答案
５６
则ａ ． 用数字填写答案
( )ｒ
１５， ＝ （ ） 解析 由 Ｃ ２ｎ＝Ｃ ６ｎ 得ｎ ＝８， Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ８ ｒｘ８－ ｒ · １ ｘ ＝Ｃ８ ｒｘ８－２ ｒ ， 令 ８
答案 １
ｒ 解得ｒ 故所求系数为 ５ ３ ．
２ －２ ＝－２， ＝５， Ｃ８＝Ｃ８＝５６
解析 Ｔ
ｒ ＋１＝Ｃ１
ｒ
０
ｘ１０－ ｒａｒ
，
令
１０－
ｒ
＝７，
得ｒ
＝３，
评
求
析
指 定
本
项的
题考
系
查
数
了
．
二项式定理，运用二项展开式的通项公式
３ ａ３ 即１０×９×８ａ３ ａ３ １ ａ １ ．
∴ Ｃ１０ ＝１５， ３×２×１ ＝１５，∴ ＝ ８ ，∴ ＝ ２ ２６．（２０１６ 课标 Ⅰ ，１４，５ 分） （２ ｘ ＋ ｘ ） ５ 的展开式中 ， ｘ３ 的系数
æ ö５ 是 ． 用数字填写答案
２２．（２０１３浙江理，１１，４分）设二项式ç ｘ １ ÷ 的展开式中常数 （ ）
è －３ｘ ø 答案
１０
项为Ａ 则Ａ ． ｒ
答案 ， ＝ 解析 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ （２ ｘ ） ５－ ｒ ·（ ｘ ） ｒ ＝２ ５－ ｒ Ｃ５ ｒ · ｘ５－２ ｒ ， 令 ５－ ＝３，
－１０ ２
æ öｒ 得ｒ Ｔ ｘ３ ｘ３ 的系数为 ．
解析 展开式通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ ·（ ｘ ） ５－ ｒ è ç －３ １ ｘ ø ÷ 思 ＝ 路 ４， 分 ∴ 析 ５＝１ 利 ０ 用 ， 二 ∴ 项展开式的通 １０ 项公式求出第ｒ 项，令
＋１
ｒ ｒｘ５ ２－５ ６ ｒ．令 ５ ５ ｒ 得ｒ ．
ｘ的指数为
３
，求出ｒ，即可求解ｘ３ 的系数．
＝Ｃ５（－１） － ＝０， ＝３ 方法总结 写出二项展开式的通项，化简通项，解出满足
２ ６
当ｒ
＝３
时
，
Ｔ
４＝Ｃ
３
５（－１）
３
＝－１０
．故Ａ
＝－１０
． 题意的ｒ的值，代入通项是解决此类问题的通法．
２３． ８ （ ， ２ 则 ０１ 实 ２福 数 建 ａ 理 ＝ ，１ １， ４ 分 ． ） （ ａ ＋ ｘ ） ４ 的展开式中 ｘ３ 的系数等于 ２７．（２０１６山东，１２，５分）若 æ è çａｘ２ ＋ １ ｘ ö ø ÷ ５ 的展开式中ｘ５ 的系数是
答案
则实数ａ ．
２ －８０， ＝
解析 Ｔ ３ａ１ｘ３ ａｘ３ ａ ａ ． 答案
３＋１＝Ｃ４ ＝４ ，∴４ ＝８，∴ ＝２ －２
评
算
析
求 解
本
能
题
力
考
．
查二项展开式的通项公式，也考查了学生的运 解析 Ｔ
ｒ ＋１＝
ａ５－ ｒ
Ｃ５
ｒｘ１０－５
２
ｒ
，
令 ５ ｒ
２４．（２０１２浙江理，１４，４分）若将函数ｆ ｘ ｘ５ 表示为ｆ ｘ ａ １０－ ＝５，
（ ）＝ （ ）＝ ０＋ ２
ａ ｘ ａ ｘ ２ ａ ｘ ５ 其中ａ ａ ａ ａ 为实 解之得ｒ
１（１＋ ）＋ ２（１＋ ） ＋…＋ ５（１＋ ） ， ０， １， ２，…， ５ ＝２，
数 ， 则ａ ３＝ ． 所以ａ３ Ｃ ２ ５＝－８０， ａ ＝－２ ．
学生用书Ｐ２０２
字母ａ按降幂排列 从第一项开始 次数由ｎ逐项减 直到
（３） ， ， １
考点 二项式定理
零 字母ｂ按升幂排列 从第一项开始 次数由零逐项增 直到ｎ．
； ， ， １
１．二项式定理 （４） 二项式系数从 Ｃ ０ｎ，Ｃ １ｎ 一直到 Ｃ ｎ ｎ－１ ，Ｃ ｎ ｎ ．
３．二项式系数的性质
（ ａ ＋ ｂ ） ｎ ＝① Ｃ ０ｎ ａｎ ＋Ｃ １ｎ ａｎ －１ｂ１ ＋ … ＋Ｃ ｒ ｎ ａｎ － ｒｂｒ ＋ … ＋Ｃ ｎ ｎ ｂｎ（ｎ ∈
对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等
Ｎ∗） ． （１） ： “ ” ，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理 等号右边的多项 即 ③ Ｃ ｍ ｎ ＝Ｃ ｎ ｎ－ ｍ ．
，
式叫做 （ ａ ＋ ｂ ） ｎ 的二项展开式 ， 其中的系数 Ｃ ｒ ｎ（ ｒ ＝０，１，２，…， ｎ ） （２） 增减性与最大值 ： 对于二项式系数 Ｃ ｒ ｎ（ ｒ ＝０，１，２，…， ｎ ）， 当ｒ
叫做二项式系数．二项展开式中的 Ｃ ｒ ｎ ａｎ － ｒｂｒ 叫做二项展开式的通 ｎ ＋１时 二项式系数是递增的 当ｒ ｎ ＋１时 二项式系数是递减的．
项 ， 用 ２． Ｔ 二 ｒ ＋１ 项 表 展 示 开 ， 即 式 通 形 项 式 为 上 展 的 开 特 式 点 的第ｒ ＋１ 项 ： Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｒ ｎ ａｎ － ｒｂｒ． ＜ ２ ， ； ＞ ２ ， ( ｎ )
当ｎ是偶数时 二项展开式的中间一项 第 项 的二
对于 ａ ｂ ｎ 的展开式 有如下结论 ， ２ ＋１
（ ＋ ） ， ：
ｎ
（１）
项数为
②
ｎ
＋１
． 项式系数最大
，
即最大的二项式系数为 Ｃｎ２．当ｎ是奇数时
，
二项
各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ 即ａ与ｂ的指数 ( ｎ ｎ )
（２） ， 展开式的中间两项 第 ＋１项和第 ＋３项 的二项式系数最大 即
之和为ｎ． ，
２ ２
６ ０８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
最大的二项式系数为 Ｃｎ ｎ－ ２ １ 和 Ｃｎ ｎ＋ ２ １． ＋Ｃ ２ｎ＋…＋Ｃ ｒ ｎ＋…＋Ｃ ｎ ｎ＝④ ２ ｎ ．
二项式系数的和 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二
（３） ，
（ ａ ＋ ｂ ） ｎ 的展开式的各个二项式系数的和等于 ２ ｎ ， 即 Ｃ ０ｎ＋Ｃ １ｎ 项式系数的和 ， 即 Ｃ １ｎ＋Ｃ ３ｎ＋Ｃ ５ｎ＋…＝Ｃ ０ｎ＋Ｃ ２ｎ＋Ｃ ４ｎ＋…＝⑤ ２ ｎ － １ ．
学生用书Ｐ２０２
一、求展开式中指定项或指定项的系数的解题策略
ａ ｂｘ ｎ 展开式中偶数项的系数和为 １ ｇ ｇ ．
求二项展开式中指定项或指定项的系数 通常是根据已知 （ ＋ ） ［ （１）－ （－１）］
， ２
条件 利用通项求ｒ 再求Ｔ 或Ｔ 的系数 有时还需先求幂指 æ öｎ
数ｎ ， 再求ｒ 才能求 ， 出Ｔ 或 ｒ ＋１ Ｔ 的 ｒ ＋ 系 １ 数． ， 例２ 已知在 è ç３ｘ － １ ３ｘø ÷ 的展开式中 ， 第 ６ 项为常数项．
， ， ｒ ＋１ ｒ ＋１ ２
例１ （２０１７课标 Ⅲ 理，４，５ 分） （ ｘ ＋ ｙ ）（２ ｘ － ｙ ） ５ 的展开式中 （１） 求ｎ ；
ｘ３ｙ３ 的系数为
（ ） （２）
求含ｘ２ 的项的系数
；
求展开式中所有的有理项．
Ａ．－８０ Ｂ．－４０ Ｃ．４０ Ｄ．８０ （３）
解析 （２ ｘ － ｙ ） ５ 的展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１ ＝Ｃ５ ｒ ·（２ ｘ ） ５－ ｒ · 解题思路
ｙ ｒ ｒ ５－ ｒ ｒ ｘ５－ ｒｙｒ．其中含ｘ２ｙ３ 项的系数为 ３ 首先写出通项公式 然后求出ｎ的值 再借助展开式的通项
（－ ） ＝（－１） ·２ Ｃ５· （－１） · ， ，
２ ３ 含ｘ３ｙ２ 项的系数为 ２ ３ ２ ．于是 ｘ 公式求解特定项．
２ ·Ｃ５＝－４０， （－１） ·２ ·Ｃ５＝８０ （ ＋
ｙ ）·（２ ｘ － ｙ ） ５ 的展开式中ｘ３ｙ３ 的系数为 －４０＋８０＝４０ ． 解析 （１） 通项公式为
答
１－
案
１ （
Ｃ
多选题）关于 ｘ ２０２０及其展开式 下列命题正确
Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｒ ｎ ｘ ｎ ３ －ｒ( －
２
１ )ｒ ｘ－３ ｒ ＝Ｃ ｒ ｎ ( －
２
１ )ｒ ｘ ｎ－ ３ ２ｒ ，
（ －１） ， ｎ ｒ
的是 第 项为常数项 ｒ 时 有 －２ 即ｎ ．
（ ） ∵ ６ ，∴ ＝５ ， ＝０， ＝１０
该展开式中非常数项的系数和是 ３
Ａ． －１ ｎ ｒ
该展开式中第六项为 ６ ｘ１００７ 令 －２ 得ｒ １ ｎ １
Ｂ． Ｃ２０２０ （２） ＝２， ＝ （ －６）＝ ×（１０－６）＝２，
该展开式中不含有理项 ３ ２ ２
Ｃ． ( ) ２
Ｄ． 当ｘ ＝１００ 时 ，（ ｘ －１） ２０２０除以 １００ 的余数是 １ ∴ 含ｘ２ 的项的系数为 Ｃ ２ １０ － ２ １ ＝ ４ ４ ５．
１－１． 答案 ＡＤ ì ｒ
ï１０－２ Ｚ
æ öｎ ï ∈ ，
１－２ 已知 ｘ çｘ １ ÷ ｎ Ｎ∗ ｎ 的展开式中没有 根据通项公式 由题意得í ３
（１＋ ）è ＋ｘ２ ø （ ∈ ， ＜１０） （３） ， ï ｒ
ï０≤ ≤１０，
常数项 则ｎ的最大值是 îｒ Ｚ．
， （ ） ∈
ｒ
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ 令１０－２ ｋ ｋ Ｚ 则 ｒ ｋ 即ｒ ３ ｋ
１－２． 答案 Ｂ ＝ （ ∈ ）， １０－２ ＝３ ， ＝５－ ，
３ ２
æ öｎ ｒ Ｚ ｋ应为偶数 ｋ可取 即ｒ可取 ．
１－３ 在ç ｘ ２ ÷ ｎ Ｎ∗ 的展开式中 若二项式系数最 ∵ ∈ ，∴ ，∴ ２，０，－２， ２，５，８
è ＋ｘ２ ø （ ∈ ） ， 第 项 第 项与第 项为有理项 它们分别为
∴ ３ ， ６ ９ ，
大的项仅是第六项 则展开式中的常数项是 ( ) ( ) ( )
２ ５ ８
， （ ） ２ １ ｘ２ ５ １ ８ １ ｘ－２．
Ｃ１０ － ，Ｃ１０ － ，Ｃ１０ －
Ａ．１８０ Ｂ．１２０ Ｃ．９０ Ｄ．４５ ２ ２ ２
１－３． 答案 Ａ ２－１ ｘ ｙ ｎ ｎ Ｎ∗ 的展开式中倒数第二项与倒数第
（２ －３ ） （ ∈ ）
三项的系数互为相反数 则 ｘ ｙ ｎ的展开式的二项式系数之
二、求二项式系数和与各项的系数和问题的解题策略 ， （３ －２ ）
和等于
１． 赋值法 普遍适用于恒等式 是一种重要的方法 对形如 （ ）
“ ” ， ，
ａｘ ｂ ｎ ａ ｂ Ｒ 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋 Ａ．１６ Ｂ．３２ Ｃ．６４ Ｄ．１２８
（ ＋ ） （ 、 ∈ ） ， ２－１． 答案 Ａ
值法 只需令ｘ 即可 对形如 ａｘ ｂｙ ｎ ａ ｂ Ｒ 的式子求其
， ＝１ ； （ ＋ ） （ 、 ∈ ） ２－２ ａ ｘ ｘ ５ 的展开式中ｘ２ 项的系数是 则展开
展开式的各项系数之和 只需令ｘ ｙ 即可． （ ＋ ）（１＋ ） １５，
， ＝ ＝１ 式的所有项系数的和是 ．
２．一般地
，
对于式子
（
ａ
＋
ｂｘ
）
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ
，
令
２－２． 答案
ｇ ｘ ａ ｂｘ ｎ 则 ６４
（ ）＝（ ＋ ） ，
ａ ｂｘ ｎ 展开式中各项的系数的和为ｇ
（ ＋ ） （１），
ａ ｂｘ ｎ 展开式中奇数项的系数和为１ ｇ ｇ
（ ＋ ） ［ （１）＋ （－１）］，
２
第十一章 计数原理 ６ ０９
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ２０３
二项式定理 ４．（２０２１广东韶关一模，６）已知 ｘ １０ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２
（１＋ ） ＝ ０＋ １（２＋ ）＋ ２（２＋ ）
１．（２０２０河北邯郸空中课堂备考检测，６）
（１－２
ｘ
）
６ 的展开式的第 ＋…＋ ａ １０（２＋ ｘ ） １０ ， 则ａ ９＝ （ ）
三项为 Ａ．－１０ Ｂ．１０ Ｃ．－４５ Ｄ．４５
（ ） ４． 答案 Ａ
ｘ２ ｘ３
Ａ．６０ Ｂ．－１２０ Ｃ．６０ Ｄ．－１２０ ( )
１． 答案 Ｃ ５．（２０２１广东肇庆二模，５） ａｘ２
－
１
ｘ
６ 的展开式的常数项为
６０，
( ａ ) ６
２．（２０２１湖南衡阳联考，４） ｘ 的展开式中常数项为 则ａ的值为
－ ｘ －２０， （ ）
则含ｘ４ 项的系数为 Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．±２ Ｄ．±３
（ ） ５． 答案 Ｃ
２． Ａ．－ 答 ６ 案 Ａ Ｂ．－１５ Ｃ．６ Ｄ．１５ ６．（２０２１山东枣庄二模，６）若 ｘ６ ＝ ａ ０＋ ａ １（ ｘ ＋１）＋ ａ ２（ ｘ ＋１） ２ ＋
３．（２０２０福建泉州适应性线上测试）若 （２ ｘ ＋１） ５ ＝ ａ ０＋ ａ １（ ｘ ＋１）＋ ａ ３（ ｘ ＋１） ３ ＋…＋ ａ ６（ ｘ ＋１） ６ ， 则ａ ３＝ （ ）
ａ ｘ ２ ａ ｘ ３ ａ ｘ ４ ａ ｘ ５ 则ａ Ａ．２０ Ｂ．－２０ Ｃ．１５ Ｄ．－１５
２（ ＋１） ＋ ３（ ＋１） ＋ ４（ ＋１） ＋ ５（ ＋１） ， ４＝ （ ） ６． 答案 Ｂ
Ａ．１０ Ｂ．－１０ Ｃ．８０ Ｄ．－８０
３． 答案 Ｄ
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２０３ ４０分钟 ５５分
一、单项选择题（每小题５分，共１０分） Ｃ２ ｋ ｎ ｐｋｑ２ ｎ － ｋ ， 其中ｋ ∈ Ｎ ， ｋ ≤２ ｎ ， 则 （ ）
１．（２０２０福建毕业班质量检查） ｘ ｘ ５ 的展开式中 ｘ３ ２ ｎ
（２ －１）（ ＋２） ， ｆ ｋ
的系数是 Ａ．∑ｋ＝ （ ）＝１
（ ） ０
ｎ
２
１． Ａ．２ 答 ００ 案 Ｂ Ｂ．１２０ Ｃ．８０ Ｄ．４０ Ｂ．∑ｋ＝ ｋｆ （ ｋ ）＝２ ｎｐｑ
若
０
ｎｐ 则ｆ ｋ ｆ
２．（２０２１上海徐汇位育中学开学考试，１６）已知数列 ａ 为有穷 Ｃ． ＝４， （ ）≤（８）
｛ ｎ｝ ｎ ｎ
æ öｎ ｆ ｋ １ ｆ ｋ
数列 ， 共 ９５ 项 ， 且满足ａ ｎ＝Ｃ２ ｎ ００（ ３ ６） ２００－ ｎ è ç １ ø ÷ ， 则数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 Ｄ．∑ｋ＝ ０ （２ ）＜ ２ ＜∑ｋ＝ １ （２ －１）
２ ５． 答案 ＡＣ
的整数项的个数为
（ ）
三、填空题（每小题５分，共３０分）
Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６
２． 答案 Ｃ ( ) ６
６．（２０２０湖南、河南、江西３月线上联考，１４） ｘ２ ｘ １
（ ＋２）· ２ － ｘ
二、多项选择题（每小题５分，共１５分）
的展开式中所有项的系数和为 常数项为 ．
( ) ，
３．（２０２１ 湖南永州二模，１０）关于 ２ ｘ ６ 的展开式 下列结论 ６． 答案
ｘ － ， ３；－２６０
æ öｎ
正确的是 ７．（２０２０辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟）已知ç ｘ １ ÷ 的展开
（ ） è２ － ｘ ø
各项系数之和为
Ａ．
二项式系数之和为
１
６
式中第
２
项与第
３
项的二项式系数之比是
２ ∶ ５，
则ｘ３ 的系数
Ｂ． ２ 为 ．
存在常数项
Ｃ． ７． 答案
ｘ４ 的系数为 ２４０
３． Ｄ． 答案 ＡＢＣ １２ ８．（２０２０山东青岛三模，１５）若 （２－ ｘ ） １７ ＝ ａ ０＋ ａ １（１＋ ｘ ）＋ ａ ２（１＋ ｘ ） ２ ＋
４．（２０２１江苏百校联考４月调研，１１）设 （１－２ ｘ ） ２９ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ …＋ ａ １６（１＋ ｘ ） １６ ＋ ａ １７（１＋ ｘ ） １７ ， 则
…＋
ａ
２９
ｘ２９
，
则下列结论正确的是
（ ） （１）
ａ
０＋
ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
１６＝ ；（２）
ａ
１＋２
ａ
２＋３
ａ
３＋…＋１６
ａ
１６＝
．
ａ ａ ８． 答案 １７ １６
Ａ． １５＋ １６＞０ （１）２ ＋１ （２）１７－１７×２
ａ ａ ａ ａ ９．（２０２１山东济南十一学校联考，１４）已知ｍ是常数 ｍｘ ５
Ｂ． １＋ ２＋ ３＋…＋ ２９＝－１ ，（１－ ） ＝
ａ ａ ａ ａ １＋３ ２９ ａ ５ ｘ５ ＋ ａ ４ ｘ４ ＋ ａ ３ ｘ３ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ０， 且ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋ ａ ４＋ ａ ５＝－２， 则ａ １＝
Ｃ． １＋ ３＋ ５＋…＋ ２９＝－ ．
２
ａ ａ ａ ａ ９． 答案
Ｄ． １＋２ ２＋３ ３＋…＋２９ ２９＝－５８ －１０
４． 答案 ＡＣＤ ( )( ) ６
１０．（２０２１山东聊城二模，１３） ａ １ ｘ ２ 的展开式中各项
５．（２０２１江苏盐城二模，１２）已知ｎ Ｎ∗ ｎ ｐ ｑ 设ｆ ｋ ＋ ｘ － ｘ
∈ ， ≥２， ＋ ＝１， （ ）＝
６ １０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
系数的和为 那么展开式中的常数项为 ． 项式系数的和等于 则该展开式中常数项的值等于
３， ６４，
１０． 答案 ．
－３２０
æ öｎ １１． 答案
１１．（２０２１上海崇明二模，８）已知çｘ ２ ÷ 的展开式中 所有二 ６０
è －ｘ２ ø ，
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 思路分析 根据题意，按照（ ｘ）的升幂排列，则有（ ｘ）１０
２＋ １＋
１．（２０２１山西怀仁期末，４）
（２
ｘ
－
３ｘ
）
６的展开式中
，
ｘ４的系数是
（ ） ＝
［
－１＋
（
２＋
ｘ）］１０，利用通项求展开式第
１０
项的系数．
７．（２０２１全国 卷地区３月联考，８）设 ｘ ６ ａｘ ４ ａ ａ ｘ
Ａ．２０ Ｂ．－２０ Ｃ．１６０ Ｄ．－１６０ Ⅰ （１＋ ） （１＋ ） ＝ ０＋ １ ＋
答案 Ｄ （２ ｘ － ３ｘ ） ６ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ６ ｒ ·（－１） ｒ · ａ ２ ｘ２ ＋…＋ ａ １０ ｘ１０ ， 若ａ ２＝－９， 则ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋…＋ ａ １０ 的值为 （ ）
２ ６－ ｒ · ｘ６－２ ３ ｒ ， 令 ６－ ２ ３ ｒ ＝４， 求得ｒ ＝３， 可得ｘ４ 的系数为 －Ｃ ３ ６·２ ３ ＝ Ａ．６ 答 ３ 案 Ａ 因 Ｂ 为 ．６４ ａ ２＝Ｃ ０ ６Ｃ ２ ４ ａ２ ＋ Ｃ Ｃ ．６ １ ６ ５ Ｃ １ ４ ａ ＋Ｃ ２ ６Ｃ ０ ４＝ Ｄ ６ ａ ．－ ２ ＋ ６５ ２４ ａ ＋１５， 则
． ａ２ ａ 即ａ２ ａ 所以ａ ．在 ｘ ６
－１６０ ６ ＋２４ ＋１５＝－９， ＋４ ＋４＝０， ＝－２ （１＋ ） （１－
( ) ｘ ４ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ１０中 令ｘ 则ａ ．
２．（２０２１吉林模拟，６） １＋ １ ｘ （１－ ｘ ） ６ 的展开式中ｘ的系数为 令 ２ ） ｘ ＝ ０ 则 ＋ ａ １ ＋ ａ ２ ａ ＋…＋ １ ａ ０ ６ ， ＝ 所 ０， 以ａ ０＝ ａ １ ａ ａ
＝１， ０＋ １＋ ２＋…＋ １０＝２ ＝６４， １＋ ２＋ ３＋…＋ １０＝
ａ 选 ．
（ ） ６４－ ０＝６３， Ａ
Ａ．－６ Ｂ．－５ Ｃ．９ Ｄ．１５ 二、多项选择题
( )
答案 Ｃ １＋ １ ｘ （１－ ｘ ） ６ 的展开式中 ｘ 的系数为 Ｃ １ ６· ８．（２０２０山东泰安６ 月三模，１１）若 （１－２ ｘ ） ２００９ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋
ａ ｘ３ ａ ｘ２００９ ｘ Ｒ 则
２ ２ ． ３ ＋…＋ ２００９ （ ∈ ）， （ ）
（－１）＋Ｃ６·（－１） ＝９ ａ
( ｙ２ ) Ａ． ０＝１
３．（２０２１河南郑州一模，８） ｘ ｘ ｙ ５ 的展开式中 ｘ３ｙ３ 的 ２００９
－ ｘ （ ＋ ） ， ａ ａ ａ ａ ３ ＋１
Ｂ． １＋ ３＋ ５＋…＋ ２００９＝
系数为 ２
（ ） ２００９
ａ ａ ａ ａ ３ －１
Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．１５ Ｄ．２０ Ｃ． ０＋ ２＋ ４＋…＋ ２００８＝
答案 Ｂ （ ｘ ＋ ｙ ） ５ 的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ · ｘ５－ ｒ · ｙｒ ， 令ｒ ＝３， 可得 ａ ａ ａ ａ ２
ｘ２ｙ３的系数为 Ｃ ３ ５， 令ｒ ＝１， 可得ｘ４ｙ的系数为 Ｃ １ ５， 故 ( ｘ － ｙ ｘ ２ ) （ ｘ ＋ Ｄ．
答
２ １
案
＋ ２ ２ ２ ＋
Ａ
２
Ｃ
３ ３
Ｄ
＋…
当
＋ ２
ｘ
２ ２ ０ ０ ０ ０ ９ ９ ＝
时
－１
ａ ２００９
ｙ ５的展开式中 ｘ３ｙ３的系数为 ３ １ ． ＝０ ， ０＝１ ＝１，
） ， Ｃ５－Ｃ５＝１０－５＝５ 当ｘ 时 ａ ａ ａ ａ ａ ２００９
( )ｎ ＝１ ， ０＋ １＋ ２＋ ３＋…＋ ２００９＝（－１） ＝－１，
４．（２０２１江西重点中学协作体联考，５）已知 ｘ ２ 的展开式 当ｘ 时 ａ ａ ａ ａ ａ ２００９
－ ｘ ＝－１ ， ０－ １＋ ２－ ３＋…－ ２００９＝３ ，
２００９
中各项的二项式系数的和为 则这个展开式中的常数项是 所以ａ ａ ａ ａ ３ ＋１
５１２， １＋ ３＋ ５＋…＋ ２００９＝－ ，
第 项 ２
（ ） ２００９
ａ ａ ａ ａ ３ －１
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ０＋ ２＋ ４＋…＋ ２００８＝ ，
答案 Ｂ 由题设可得 ｎ ２
２ ＝５１２， ａ ａ ａ ( ) ２ ( ) ２００９
解得ｎ １ ２ ２００９ ａ １ ａ １ ａ １
＝９， ＋ ２ ＋…＋ ２００９ ＝ １× ＋ ２× ＋…＋ ２００９× ，
( )ｎ ( )ｒ ２ ２ ２ ２ ２ ２
∴ ｘ － ２ ｘ 的展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ９ ｒ （ ｘ ） ９－ ｒ · － ２ ｘ ＝ 当ｘ
＝
１ 时
，０＝
ａ
０＋
ａ
１×
１
＋
ａ
２×
( １ ) ２
＋…＋
ａ
２００９×
( １ ) ２００９
，
Ｃ９ ｒ ·（－２） ｒ · ｘ９－ ２ ３ｒ ， ｒ ＝０，１，…，９， 令９－
２
３ ｒ ＝０， 解得ｒ ＝３， 所以ａ
１
２
×
１
＋
ａ
２×
( １ ) ２ ２
＋…＋
ａ ２
２００９×
( １ ) ２００９
＝－
２ ａ
０ ＝－１
．故
Ｔ 为常数项． ２ ２ ２
∴ ４ ( ) 选 ＡＣＤ ．
５．（２０２１陕西渭南一模，７）已知 ｘ２ １ ４ ａｘ 的展开式中常 ９．（２０２１届广东东华高级中学模拟）若 ｘ ｎ 的展开式中
－ ｘ （１＋ ） （ ２＋ ３ ）
所有项的二项式系数之和为 则
数项为 则ａ ２５６， （ ）
４， ＝ （ ） ｎ ｎ
Ａ． ＝８ Ｂ． ＝９
Ａ．－４ Ｂ．１ Ｃ．
１
Ｄ．－１ Ｃ．
第
５
项为
２５２０
ｘ４
Ｄ．
第
５
项为
１００８ ６
ｘ５
２
( ) 答案 ＡＣ 因为 ｘ ｎ 的展开式中所有项的二项式
答案 Ｄ 由题意得展开式中的常数项为 ３ｘ２ １ ３ ａｘ （ ２＋ ３ ）
Ｃ４ － ｘ ＝ 系数之和为
２５６，
ａ 解得ａ ． 所以 ｎ 所以ｎ ．
－４ ＝４， ＝－１ ２ ＝２５６， ＝８
６．（２０２１河南濮阳期中，９）已知 （１＋ ｘ ） １０ ＝ ａ ０＋ ａ １（２＋ ｘ ）＋ ａ ２（２＋ ｘ ） ２ 因为 （ ２＋ ３ ｘ ） ８ 的展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１ ＝Ｃ８ ｒ （ ２） ８－ ｒ （ ３） ｒ
ａ ｘ １０ 则ａ ｘｒ
＋…＋ １０（２＋ ） ， ９＝ （ ） · ，
Ａ．－
答
１
案
０
Ａ
Ｂ．１
ｘ
０
１０
Ｃ．－
ｘ
４５
１０ ａ ａ
Ｄ．４５
ｘ ａ
所以Ｔ ５＝Ｃ ４ ８（ ２） ４ （ ３） ４ｘ４ ＝２
(
５２０ ｘ４．
)
ｘ ２ ａ
（１
ｘ
＋
１０
）
则
＝
ａ
［－１＋
９
（２＋ ）］ ＝ ０
．
＋ １（２＋ ）＋ ２（２＋ １０．（２０２１届河北唐山一模）若 ｘ２
＋ａ
１
ｘ
６ 的展开式中ｘ３ 的系数
） ＋…＋ １０（２＋ ） ， ９＝Ｃ１０·（－１）＝－１０
第十一章 计数原理 ６ １１
是 则
－１６０， （ ） 三、填空题
ａ １ 所有项系数之和为 １２．（２０２１浙江嘉兴二模，１２）设 ｘ ６ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２
Ａ． ＝－ Ｂ． １ （２＋ ） ＝ ０＋ １（１＋ ）＋ ２（１＋ ）
２ ａ ｘ ６ 则 ａ ａ ａ ａ ａ
二项式系数之和为 常数项为 ＋…＋ ６（１＋ ） ， ０＋ １＋ ２＋…＋ ６＝ ； ２＝
Ｃ． ６４ Ｄ． －３２０ ．
( )
６
答案 ＡＢＣ ｘ２ １ 的展开式中含 ｘ３ 的项为 ３ 答案
＋ａｘ Ｃ６ ６４；１５
( ) 解析 设ｙ ｘ 则 ｙ ６ ａ ａ ｙ ａ ｙ２ ａ ｙ６
（ ｘ２ ） ３ ａ １ ｘ ３ ， 令ｙ 得ａ ＝ ａ １＋ ａ ， （１＋ ａ ） ＝ ６ ０＋ １ ＋ ２ ＋…＋ ６ ，
＝１， ０＋ １＋ ２＋…＋ ６＝２ ＝６４，
所以 ３ ( １ ) ３ 解得ａ １ 故 正确 （１＋ ｙ ） ６ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ６ ｒ １ ６－ ｒｙｒ ＝Ｃ６ ｒｙｒ ，
Ｃ６ ａ ＝－１６０， ＝－ ， Ａ ； 所以ａ ２ ．
２ ２＝Ｃ６＝１５
由上知
(
ｘ２ ＋ａ １ ｘ
) ６
＝
(
ｘ２ － ２ ｘ
) ６
，
１３．（
ａ
２
ｘ
０
ｎ
２１
则
浙
ａ
江温州二模，
若
１２）
ａ
已
ａ
知
（１－ 则
ｘ
） ｎ
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
． ２
ｘ２
＋…＋
令ｘ 得所有项系数之和为 ６ 故 正确
ｎ
答
，
案
０＝ ； ３＋ ４＝０， ＝
＝１， （１－２） ＝１， Ｂ ；
( ) １；７
ｘ２
－
２
ｘ
６ 的展开式的二项式系数之和为
２
６
＝６４，
故
Ｃ
正确
；
解析 令ｘ ＝０， 则ａ ０＝１ ．
由展开式的通项可知ａ ｋ ｋ．
( ) ( ) ｋ＝Ｃｎ（－１）
ｘ２ － ２ ｘ ６ 的常数项为 Ｃ ２ ６（ ｘ２ ） ２ · － ２ ｘ ４ ＝２ ４ Ｃ ２ ６＝２４０， 故 Ｄ 因为ａ ３＋ ａ ４＝０， 所以 －Ｃ ３ｎ＋Ｃ ４ｎ＝０， 解得ｎ ＝７ ．
１４．（２０２１浙江杭州二模，１２）已知 ｘ ａ ３ ｘ ４ 的展开式中所
错误．故选 ． （ ＋ ） （ ＋１）
ＡＢＣ 有项的系数之和为 则ａ ｘ４ 项的系数为
思路分析 首先根据展开式中ｘ３ 的系数是 得到ａ １６， ＝ ，
－１６０ ＝ ．
１ ，从而判断 正确；令ｘ ，得到所有项系数之和为 ，从 答案
－ Ａ ＝１ １ ０；４
２ 解析 令ｘ 可知 ａ ３ ４ 所以ａ ．
而判断 正确；根据二项式系数之和为 ６ 判断 正确，根据 ＝１， （１＋ ） （１＋１） ＝１６， ＝０
( Ｂ ) ６ ( ) ２ ４ Ｃ 由二项式定理可知 ， ｘ３ Ｃ ３ ４ ｘ ＝４ ｘ４ ， 所以ｘ４ 项的系数为 ４ ．
ｘ２ － ２ ｘ 的常数项为 Ｃ ２ ６ （ｘ２）２· － ２ ｘ ≠－３２０ ，从而判断 １５．（２０２１浙江宁波十校３月联考，１１）已知 （１－ ｘ ） ２ （２ ｘ ＋１） ５ ＝ ａ ０＋
Ｄ 错误．
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
７
ｘ７
，
则 ａ
０＝ ，
ａ
１＋
ａ
３＋
ａ
５＋
ａ
７ ＝
．
名师点睛 本题主要考查二项式定理的二项式系数之和，
答案
所有项的系数之和，常数项，属于中档题． １；２
解析 令ｘ 可知ａ ．
１１．（２０２１届山东师范大学附属中学一模）关于 ａ ｂ １１的说法 ＝０， ０＝１
（ － ） ， {ａ ａ ａ
正确的是 分别令ｘ ｘ 得 ０＋ １＋…＋ ７＝０，
（ ） ＝１， ＝－１， ａ ａ ａ
Ａ． 展开式中的二项式系数之和为 ２０４８ 两式相减得 ａ ａ ａ ａ ０－ １ ． ＋…－ ７＝－４，
Ｂ． 展开式中只有第 ６ 项的二项式系数最大 １６．（２０２１浙江“ ， ９＋ １＋ １” ３ 联 ＋ 盟 ５＋ ４ ７ 月 ＝２ 联考，１３）已知ｂｘｎ ａ ａ ｘ
Ｃ Ｄ ． ． 展 展 开 开 式 式 中 中 第 第 ６ ６ 项 项 和 的 第 系数 ７ 项 最 的 小 二项式系数最大 １）＋ ａ ２（ ｘ －１） ２ ＋…＋ ａ ｎ（ ｘ －１） ｎ 对任意ｘ ∈ Ｒ恒成 ＋ 立 １＝ ， 且 ０＋ ａ １ １ ＝ （ ９ － ，
答案 ＡＣＤ 由二项展开式系数的性质知 ，（ ａ － ｂ ） １１的展 ａ ２＝３６， 则ｂ ＝ ； ａ １＋２ ａ ２＋…＋ ｎａ ｎ＝ ．
答案
开 因 式 为 的 （ ａ 二 － ｂ 项 ） １ 式 １的 系 展 数 开 之 式 和 共 为 有 ２ １ １ １ ２ ＝ 项 ２０ ， ４ 所 ８， 以 故 中 选 间 项 两 Ａ 项 正 的 确 二 ； 项式系 解析 设 １；２ ｘ － ３ １ ０４ ＝ ｔ ， 则ｂｘｎ ＋１＝ ｂ （ ｔ ＋１） ｎ ＋１＝ ａ ０＋ ａ １ ｔ ＋ ａ ２ ｔ２ ＋…＋
数最大
，
即第
６
项和第
７
项的二项式系数最大
，
故选项
Ｃ
正
ａ ｔｎ 由此得
{ａ
１＝
ｂ
Ｃ
ｎ ｎ－１
＝９， 解得
{ｂ
＝１，
确 ， 选项 Ｂ 错误 ； ｎ ， ａ ２＝ ｂ Ｃ ｎ ｎ－２ ＝３６， ｎ ＝９ ．
因为展开式中第 ６ 项的系数是负数 ， 且绝对值最大 ， 所以展开 等式两边对ｔ求导 ， 得ｂｎ （ ｔ ＋１） ｎ －１ ＝ ａ １＋２ ａ ２ ｔ ＋…＋ ｎａ ｎ ｔｎ －１ ，
式中第 ６ 项的系数最小 ， 故选项 Ｄ 正确．故选 ＡＣＤ ． 再令ｔ ＝１， 得ａ １＋２ ａ ２＋…＋ ｎａ ｎ＝ ｂｎ ·２ ｎ －１ ＝９×２ ８ ＝２３０４ ．
学生用书Ｐ２０４
１．（２０２１５·３原创题）已知 １ ｘ ２ ｘ ２ ３ ｘ ３ ２． 答案 Ｂ
－Ｃ１００（２－ ）＋Ｃ１００（２－ ） －Ｃ１００（２－ ） ＋
…＋Ｃ １ １ ０ ０ ０ ０（２－ ｘ ） １００ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋…＋ ａ １００ ｘ１００ ， 则ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋…＋ ３．（２０２１ ５·３ 原创题）设 （１＋２ ｘ ） ５ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ ３ ｘ３ ＋ ａ ４ ｘ４ ＋
ａ
９９
的值是
（ ）
ａ
５
ｘ５
，
集合Ｍ
＝｛
ａ
ｉ｜０≤
ｉ
≤５，
ｉ
∈
Ｚ
｝，
则集合 Ｍ 的双元素子集
即恰含 个元素的子集 个数为
９９
９９ ２ －１ （ ２ ） （ ）
Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．２ －１ Ｄ．
２ Ａ．１０ Ｂ．１５
１． 答案 Ｂ
Ｃ．２０ Ｄ．３０
( ) ３． 答案 Ａ
２．（２０２１ ５·３原创题）设正整数ｎ 若 ｘ １ ｘ ｎ 不含有
≥５， － ｘ （１－ ） ４．（２０２１ ５·３原创题）我国南宋数学家杨辉 年所著的 详
１２６１ 《
ｘ３ 的项 则ｎ的值为 解九章算术 一书中展示了二项式系数表 图 在欧洲 法
， （ ） 》 （ １）， ，
国数学家帕斯卡在十七世纪五十年代才发现并使用它．我国数
Ａ．５ Ｂ．６
学家利用杨辉三角做了广泛的研究 年元代数学家朱世
Ｃ．７ Ｄ．８ ，１３０３
６ １２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
杰在 四元玉鉴 图 中关于三角垛的研究就是典型一例． 观察图一的第三斜列有如下规律
《 》（ ２） ３＝１＋２，６＝１＋２＋３，１０＝１＋２＋
阶杨辉三角 第四斜列有如下规律
１１ ３＋４，……， ４＝１＋３，１０＝１＋３＋６，２０＝１＋３
第四斜列第ｎ个数是第三斜列的前ｎ个数之和
＋６＋１０，……， ，
第五斜列同样有类似的规律 朱世杰根据这一规律给出了一
，
系列所谓 三角垛 公式 现在表示如下
“ ” ， ：
ｎ
ｉ ｎ １ ｎ ｎ
∑ｉ＝
１
＝１＋２＋３＋…＋ ＝
２！
（ ＋１）， ①
ｎ
１ ｉ ｉ １ ｎ ｎ １ ｎ ｎ ｎ
∑ｉ＝
１ ２！
（ ＋１）＝１＋３＋６＋…＋
２！
（ ＋１）＝
３！
（ ＋１）（ ＋２）， ②
图 ｎ
１ １ ｉ ｉ ｉ １ｎ ｎ ｎ ．
∑ｉ＝
１ ３！
（ ＋１）（ ＋２）＝１＋４＋１０＋…＋
３！
（ ＋１）（ ＋２）＝ ③
ｎ
在 式中当ｎ 时其和为 猜想 １ ｉ ｉ ｉ
③ ＝８ ， ∑ｉ＝
１ ３！
（ ＋１）（ ＋２）
．
＝
４． 答案 １ ｎ ｎ ｎ ｎ
３３０； （ ＋１）（ ＋２）（ ＋３）
４！
５．（２０２１ ５·３原创题）已知ｘ１０ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２ ａ ｘ
＝ ０＋ １（ ＋１）＋ ２（ ＋１） ＋ ３（ ＋
１） ３ ＋…＋ ａ １０（ ｘ ＋１） １０ ， 则ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋…＋ ａ １０＝ ； 系数ａ ｉ（ ｉ
中最大的是 用数字作答 ．
＝０，１，２，…，１０） （ ）
５． 答案
－１；２１０
图
２
