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第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．二项式 展开式的常数项为（ ）
A． B．60 C．120 D．240
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.
【详解】 展开式的通项为： ，
令 得 ，
所以展开式的常数项为 ，
故选：B．
2．2021年10月18日，中共中央政治局召开会议，研究全面总结党的百年奋斗重大成就和历史经验问题.
中共中央总书记习近平主持会议.中共中央政治局听取了《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验
的决议》稿在党内外一定范围征求意见的情况报告，决定根据这次会议讨论的意见进行修改后将决议稿提
请十九届六中全会审议.某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校该《决议》精神宣讲团，则选中
的2人恰好一名男生一名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】先求出基本事件的总数，再计算一名男生一名女生的基本事件个数，按概率公式求解即可得.
【详解】选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为 .
故选：D.
3．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布 ．估计该校高三年级本次考
试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若 ，则 ，
．
A．75人 B．77人 C．79人 D．81人
【答案】C
【分析】 ， ，由概率计算人数即可.
【详解】 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
所以数学成绩在 分以上的人数约为 人.
故选：C．
4．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到 ，利用二项分布的方差公式进行求
解.
【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为 ，因为是有放回的取球，所以 ，
所以
故选：D
5．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的
调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的
频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不
诱发这种疾病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算
即得.
【详解】记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾
病，
则事件 ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，
显然 ， ，
所以 .
故选：A
6．疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋
至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（ ）
A．480种 B．362种 C．120种 D．240种
【答案】D
【分析】根据分组分配问题结合排列组合即可求解.
【详解】5名医护人员安排到4个不同位置，按人数分组方式有 ，
所以不同安排方法有 种．
故选：D
7．口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有（ ）种.
A．48 B．77 C．35 D．39
【答案】C
【分析】根据题意可将取出的球分为有一种、二种、三种、四种颜色分类，然后再求出各种情况有多少种，
分类相加即可求解.
【详解】根据条件，取出的四个球可以分为一种，两种，三种，四种颜色，
当取出的球只有一种颜色时：有 种；
当取出的球只有二种颜色时：有 种；
当取出的球只有三种颜色时：有 种；
当取出的球只有四种颜色时：有 种；
共有： 种.故C项正确.
故选：C.
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结
构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．
若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有0个阴数和1个阴数的概率，
相加即可求解.
【详解】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，
若任取的3个数中有0个阴数，则概率为 ；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为 ；
故这3个数中至多有1个阴数的概率为 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若袋子中有 个白球， 个黑球，现从袋子中有放回地随机取球 次，每次取一个球，取到白球记 分，
取到黑球记 分，记 次取球的总分数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分析可知 ，可判断A选项；利用独立重复试验的概率可判断B选项；利用二项分布
的期望公式可判断C选项；利用二项分布的方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为 ，则 ，A错；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：BC.
10．以下说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则B．随机变量 ， ，若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】BCD
【分析】根据二项分布的方差、分布列的期望、条件概率、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正
确答案.
【详解】A． ， ，故A错；
B． ，故B对；
C． ， ， ，故C对；
D． ， ，故D对．
故选：BCD
11．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案.
【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确；
对B，根据二项式展开通式得 的展开式通项为 ，即 ，其中
所以 ，故B正确；
对C，取 ，则 ，则 ，故C错误；
对D，取 ，则 ，
将其与 作和得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
12．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，
事件 为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种 B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C． D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，
利用排列组合知识得到 ， ，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了
两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有 种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有 种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知， ，
又事件 ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故 ，
所以 ，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有 种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有 种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为 ，D正确.
故选：CD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 展开式中含 项的系数是 .
【答案】120
【分析】化简 ，由 的展开式的通项公式可知其不可能出
现含 的项，进而求解即可
【详解】 ，
因为 的展开式的通项公式为 ，不可能出现含 的项，
所以展开式中含 的项为 ，即含 项的系数是120.
故答案为：120.
14．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程
讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排
法种数是 .
【答案】144
【分析】利用捆绑法和插空法计算可得.【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一
个整体，共有 种，
然后与“礼”､“数”进行排序，共有 种，
最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有 种，
由于是分步进行，所以共有 种.
故答案为：144.
15．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水
文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件 为“4个
人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了锦水文风”，则 .
【答案】
【分析】根据题意先分别求出 ，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为 ，事件 的总数为 ，
所以 ，
事件 和事件 同时发生，
即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，
则事件 的总数为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
16．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ．
【答案】1920
【分析】利用分步计数原理进行计算即可.
【详解】设在三棱台 中，
首先对 着色，有 种；
然后： 点可以用 或 点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：
（1）用 或 点的色，由对称性，不妨设用 点的色，则 点有4种色可以选择，
又分为两类：① 与 同色，则 有3种色可选择；②与 不同色，则 有2种色可选择，共有
，
（2）用剩下的两种色，则 点有3种色可选择，又分为两类：
① 与 同色，则 有3种色可选择；②与 不同色，则 有2种色可选择，共有： ．
所以不同的染色方法的总数是 ．
故答案为：1920．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．中国在第七十五届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳
的排放达到峰值，2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决
心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．
新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区
电动汽车的销售情况，一机构调查了该地区某家电动汽车企业近5个月的产值情况，如下表，由散点图知，
产值y（百万）与月份代码x线性相关．
月份 6月 7月 8月 9月 10月月份代码 1 2 3 4 5
产值 /百万 12 16 20 24 28
(1)求y与x的经验回归方程，并预测下一年2月份该企业的产值；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，该机构从某品牌汽车4S店当日4位购买电动汽车和3位购买燃
油汽车的车主中随机选取3位车主进行采访，记选取的3位车主中购买燃油汽车的车主人数为X，求随机
变量X的分布列与数学期望．
参考公式： ， ．
【答案】(1) ，预测产值为 亿元.
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）求出 、 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出 、 的值，可得出回归直线
方程，并将 代入回归直线方程，可得出结果；
（2）分析可知 ，利用超几何分布可得出随机变量 的分布列，利用超几何分布的期望公式
可求.
【详解】（1）解：由表格中的数据可得 ，
，
，
，
所以， ， ，所以， 与 的线性回归方程为 ，
当 时， （百万元），
预计明年 月份该企业的产值约为 百万元.
（2）由题意得 ，则 ，其中 ，
， ， ， ，
则分布列为：
0 1 2 3
则根据其服从超几何分布得 .
18．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车
品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取
100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表．
7
质量差（单位：mg） 56 67 70 86
8
1
件数（单位：件） 10 20 48 3
9
(1)求样本平均数 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差 近似服从正态分布 ，
其中 ，用样本平均数 作为 的近似值，求概率 的值；
(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．
若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生
产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一
件，求该零件为废品的概率．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，， ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）由平均数的计算，即可由正态分布的对称性求解概率，
（2）根据全概率公式即可求解.
【详解】（1） ．
， ， 得：
（2）设 “随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则 ， ，
又 ， ，
于是 ．
19．素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式．它重视人的思想道德素质、能力培
养、个性发展、身体健康和心理健康教育．由此，某校的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比
赛，采用五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，
甲每局获胜的概率为 ，且各局比赛之间没有影响．
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束时，甲比赛的局数为 ，求 的分布列及其期望．
【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）甲获胜有三种情况，分别是3：0，3：1，3：2，对应的局数分别3局，4局，5局且各种情
况相互独立，分别计算其概率并相加即可；
（2）比赛结束时必有一方赢另一方输，至少为3局，至多为5局，每种情况可能是甲赢或者乙赢，分别计
算其概率，列出分布列，再根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）甲获胜有三种情况，第一种甲以3：0获胜，其概率为 ；
第二种甲以3：1获胜，其概率为 ；
第三种甲以3：2获胜，其概率为 ．
所以甲获胜的概率为： ．
（2）由题知， 的所有可能的取值为3，4，5．
，
，
，
所以 的分布列为
3 4 5
所以 ．
20．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来
营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮
流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球
多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙
的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2) .
【分析】（1）根据超几何分布求出 的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则 表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则 表示穿套装.求出
，结合条件概率和 计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
， ， ，
所以X的分布列为：
X 4 3 2
P
故 .
（2）设A表示穿红色衣物，则 表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则 表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为 ，
则穿蓝色衣物的概率为 ，
穿红色连衣裙的概率为 ，穿蓝色连衣裙的概率为 ，
则当天穿连衣裙的概率为 .所以小李同学当天穿连衣裙的概率为 .
21．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人
进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛
结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三
天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果没有
平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及 ；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求 ．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）比赛局数分2局和3局两种情况考虑，分别算出对应的概率填表，然后算出 即可；
（2）分别算出4局甲赢、4局乙赢、5局甲赢、5局乙赢对应的概率相加，即可得到本题答案.
【详解】（1）解： 可能取值为2，3．
所以 的分布列如下：
2 3
∴ ．
（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为 ；乙以2：0获胜的的概率均为
甲以2：1获胜的的概率均为
乙以2：1获胜的的概率均为
∴
即获胜方前两天比分为 和 ，或者 和 再加附加赛
甲获胜的概率为 ，
乙获胜的概率为
∴
∴ ．
22．某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类
并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机
抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则
得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率
为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；
(2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.
【答案】(1)
(2)应选择先回答甲类问题
【分析】（1）根据全概率公式，先求得张某一题都没答对的概率，从而求得张某至少答对一道问题的概
率.
（2）根据张某先回答甲类或乙类问题进行分类讨论，计算出两者累计得分的期望值，从而作出决策.
【详解】（1）设 “张某选择甲类问题”， “张某答对所选问题”，
“张某至少答对一道问题”，
“张某选择乙类问题”， “张某未答对所选问题”“张某一道问题都没答对”
由题意得， ，
， ， ， ，
由全概率公式，得
∴ .
（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，
则张某的累计得分X的可能值为0，30，80，
∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，
∴ ； ； ，
则 的分布列为
0 30 80
0.1 0.27 0.63
当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为：
，
若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分 的可能值为 ，
同理可求 ； ； ，
则此时累计得分的期望为 ，
因为 .
所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题．
