北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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§11.2 二项式定理
— 五年高考 —
考点 二项式定理
1.(2020课标Ⅰ理,8,5分)( y2 )(x+y)5的展开式中x3y3的系数为 ( )
x+
x
A.5 B.10 C.15 D.20
答案 C
2.(2020北京,3,4分)在(√x-2)5的展开式中,x2的系数为 ( )
A.-5 B.5 C.-10 D.10
答案 C
3.(2019课标Ⅲ理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为 ( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案 A
4.(2021浙江,13,6分)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+ax3+ax2+ax+a,则a= ;a+a+a=
1 2 3 4 1 2 3 4
.
答案 5;10
5.(2021上海,6,4分)若(x+a)5,则x2的系数为80,则a= .
答案 2
6.(2020课标Ⅲ理,14,5分)(
x2+
2) 6 的展开式中常数项是 (用数字作答).
x
答案 240
7.(2020浙江,12,6分)二项展开式(1+2x)5=a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5,则a= ,a+a+a=
0 1 2 3 4 5 4 1 3 5
.
答案 80;122
8.(2020天津,11,5分)在(
x+
2 ) 5 的展开式中,x2的系数是 .
x2
答案 10
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9.(2019浙江,13,6分)在二项式(√2+x)9的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个
数是 .
答案 16√2;5
10.(2019天津理,10,5分)( 2x- 1 ) 8 的展开式中的常数项为 .
8x3
答案 28
11.(2018浙江,14,4分)( √3 x+ 1 ) 8 的展开式的常数项是 .
2x
答案 7
以下为教师用书专用(1—27)
1.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( )
A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4
答案 A T= x4i2=-15x4,故选A.
3 C2
6
易错警示 易误认为i2=1而致错.
2.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的
二项式系数和为 ( )
A.212 B.211 C.210 D.29
答案 D ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 , ,∴ = ,得n=10.
C3C7 C3 C7
n n n n
从而有 + + + +…+ =210,
C0 C1 C2 C3 C10
10 10 10 10 10
又 + +…+ = + +…+ ,
C0 C2 C10 C1 C3 C9
10 10 10 10 10 10
∴奇数项的二项式系数和为 + +…+ =29.
C0 C2 C10
10 10 10
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
3.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N )的展开式中x2的系数为15,则n= ( )
+
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为 ,
Cn-2
n
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所以 Cn-2 =15,即 C2 =15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).
n n
4.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有 (x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为
C2 C2C1
5 5 3
=30,故选C.
5.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
答案 C 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T= ·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项
3 C2
6
的系数为15.
评析 本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘以x后,易误求
T= x3.
4 C3
6
6.(2014湖南理,4,5分)(1 ) 5 的展开式中x2y3的系数是 ( )
x-2y
2
A.-20 B.-5 C.5 D.20
答案 A 展开式的通项为T k+1 = Ck(1 x ) 5-k ·(-2y)k=(-1)k·22k-5 Ck x5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开
5 2 5
式中x2y3的系数为(-1)3·22×3-5 =-20,故选A.
C3
5
评析 本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于
中档题.
7.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则
f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= ( )
A.45 B.60 C.120 D.210
答案 C 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为 ,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为 ,故f(m,n)=
Cm Cn
6 4
· .从而f(3,0)= =20, f(2,1)= · =60, f(1,2)= · =36, f(0,3)= =4,故选C.
Cm Cn C3 C2 C1 C1 C2 C3
6 4 6 6 4 6 4 4
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8.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a= ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案 D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T = ·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的
r+1 Cr
5
展开式中x2的系数为 ,当r=1时,x2的系数为 ·a,所以 + ·a=5,a=-1,故选D.
C2 C1 C2 C1
5 5 5 5
9.(2013辽宁理,7,5分)使( 1 ) n (n∈N )的展开式中含有常数项的最小的n为 ( )
3x+ +
x√x
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B T r+1 = C n r(3x)n-r· x - 3 2 r= C n r·3n-r· x n-r- 3 2 r= C n r·3n-r· x n- 5 2 r(r=0,1,2,…,n),
5 5
若T 是常数项,则有n- r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0, ,不满足条件;当r=2时,n=5,
r+1
2 2
故选B.
10.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是 ( )
A.56 B.84 C.112 D.168
答案 D (1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为 · =28×6=168,选D.
C2 C2
8 4
11.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展
开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
13·(2m)! 7·(2m+1)!
答案 B 由题意得:a=Cm ,b=Cm ,所以13Cm =7Cm ,∴ =
2m 2m+1 2m 2m+1 m!·m! m!·(m+1)!
7(2m+1)
,∴ =13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.
m+1
12.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a= ( )
A.0 B.1 C.11 D.12
答案 D 512 012+a=(52-1)2 012+a=522 012+ ×522 011×(-1)+…+ ×52×(-1)2 011+(-1)2 012+a
C1 C2 011
2 012 2 012
能被13整除,只需(-1)2 012+a=1+a能被13整除即可.∵0≤a<13,∴a=12,故选D.
评析 本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.
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13.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)( 1
-1
) 5 的展开式的常数项是( )
x2
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 D 由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+ ×(-1)4=-2+5=3,故选D.
C1
5
评析 本题考查二项式定理的应用,抓住常数项的构成特征是顺利解题的关键.
14.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示).
答案 21
解析 本题主要考查二项展开式.
7×6
(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为C2= =21.
7 2
15.(2016天津理,10,5分)(
x2-
1) 8 的展开式中x7的系数为 .(用数字作答)
x
答案 -56
解析 T = x16-2r(-x)-r=(-1)-r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3 =-56.
r+1 Cr Cr C3
8 8 8
易错警示 本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.
评析 本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
16.(2015天津,12,5分)在( 1 ) 6 的展开式中,x2的系数为 .
x-
4x
15
答案
16
解析 ( x- 1 ) 6 的展开式的通项为T r+1 = Cr x6-r( - 1 ) r =( - 1) r Cr x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以
4x 6 4x 4 6
x2的系数为
C2
×(
-
1) 2 =15.
6 4 16
17.(2015重庆理,12,5分)( x3+ 1 ) 5 的展开式中x8的系数是 (用数字作答).
2√x
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5
答案
2
解析 二项展开式的通项为T r+1 = Cr (x3)5-r·( 1 ) r =1 Cr· 15-3r- r,令15-3r-r=8,得r=2,于是
5 2√x 2r 5 x 2 2
1 1 5
展开式中x8的系数为 ×C2= ×10= .
22 5 4 2
18.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=
.
答案 3
解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的
1 1
系数和为 [f(1)-f(-1)],∴ ×(a+1)×16=32,∴a=3.
2 2
评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.
19.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,(
1+
x) n 的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
n
xn.
a
若点A(i,a)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
i i
答案 3
解析 根据题意知a=1,a=3,a=4,
0 1 2
1
结合二项式定理得
{C1 n · a =3,
即
{ n-1= 8 a,
解得a=3.
3
1
C2· =4, n=3a,
n a2
20.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
答案 -20
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解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x· xy7-y· x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式
C7 C6
8 8
中x2y7的系数为 - = - =8-28=-20.
C7 C6 C1 C2
8 8 8 8
21.(2014课标Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)
1
答案
2
解析 T = x10-rar,令10-r=7,得r=3,
r+1 Cr
10
10×9×8 1 1
∴C3 a3=15,即 a3=15,∴a3= ,∴a= .
10 3×2×1 8 2
22.(2013浙江理,11,4分)设二项式( √x- 1 ) 5 的展开式中常数项为A,则A= .
√3 x
答案 -10
解析 展开式通项为T r+1 = Cr ·( √x )5-r(- 1 ) r
5 √3 x
5 5 5 5
=Cr(-1)r - r.令 - r=0,得r=3.
5 x2 6 2 6
当r=3时,T= (-1)3=-10.故A=-10.
4 C3
5
23.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= .
答案 2
解析 T = a1x3=4ax3,∴4a=8,∴a=2.
3+1 C3
4
评析 本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.
24.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a+a(1+x)+a(1+x)2+…+a(1+x)5,其中
0 1 2 5
a,a,a,…,a 为实数,则a= .
0 1 2 5 3
答案 10
解析 由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a= (-1)2=10.
3 C3
5
评析 本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.
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25.(2012大纲全国理,15,5分)若( 1) n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该
x+
x
1
展开式中 的系数为 .
x2
答案 56
解析 由
C2
=
C6
得n=8,T
r+1
=
Cr
x8-r·(1) r=
Cr
x8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,故所求系数为
C5
=
C3
=56.
n n 8 x 8 8 8
评析 本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.
26.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
答案 10
r r
解析 T
r+1
=C
5
r(2x)5-r·(√x)r=25-rC
5
r·
x
5-
2
,令5-
2
=3,得r=4,∴T
5
=10x3,∴x3的系数为10.
思路分析 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求解x3的
系数.
方法总结 写出二项展开式的通项,化简通项,解出满足题意的r的值,代入通项是解决此类问
题的通法.
27.(2016山东,12,5分)若( ax2+ 1 ) 5 的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .
√x
答案 -2
5
解析 T =a5-r 10- r,
r+1 Crx 2
5
5
令10- r=5,
2
解之得r=2,
所以a3 =-80,a=-2.
C2
5
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
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考点 二项式定理
1.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,6)(1-2x)6的展开式的第三项为 ( )
A.60 B.-120 C.60x2 D.-120x3
答案 C
2.(2021湖南衡阳联考,4)( a) 6 的展开式中常数项为-20,则含x4项的系数为 ( )
x-
x
A.-6 B.-15 C.6 D.15
答案 A
3.(2020福建泉州适应性线上测试)若(2x+1)5=a+a(x+1)+
0 1 a (x+1)2
2
+a(x+1)3+a(x+1)4+a(x+1)5,则a=( )
3 4 5 4
A.10 B.-10 C.80 D.-80
答案 D
4.(2021广东韶关一模,6)已知(1+x)10=a+a(2+x)+a(2+x)2+…+a (2+x)10,则a=( )
0 1 2 10 9
A.-10 B.10 C.-45 D.45
答案 A
5.(2021广东肇庆二模,5)(
ax2-
1) 6 的展开式的常数项为60,则a的值为 ( )
x
A.2 B.-2 C.±2 D.±3
答案 C
6.(2021山东枣庄二模,6)若x6=a+a(x+1)+a(x+1)2+ +…+a(x+1)6,则a= ( )
0 1 2 a (x+1)3 6 3
3
A.20 B.-20 C.15 D.-15
答案 B
B组 综合应用题组
时间 : 40 分钟 分值 : 55 分
一、单项选择题(每小题5分,共10分)
1.(2020福建毕业班质量检查)(2x-1)(x+2)5的展开式中,x3的系数是 ( )
A.200 B.120 C.80 D.40
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答案 B
2.(2021上海徐汇位育中学开学考试,16)已知数列{a}为有穷数列,共95项,且满足a= (
n n Cn √36
200
)200-n( 1 ) n ,则数列{a n }中的整数项的个数为 ( )
√2
A.13 B.14 C.15 D.16
答案 C
二、多项选择题(每小题5分,共15分)
3.(2021湖南永州二模,10)关于(2 ) 6 的展开式,下列结论正确的是 ( )
-x
x
A.各项系数之和为1
B.二项式系数之和为26
C.存在常数项
D.x4的系数为12
答案 ABC
4.(2021江苏百校联考4月调研,11)设(1-2x)29=a+ax+ax2+…+a x29,则下列结论正确的是 (
0 1 2 29
)
A.a +a >0
15 16
B.a+a+a+…+a =-1
1 2 3 29
1+329
C.a+a+a+…+a =-
1 3 5 29
2
D.a+2a+3a+…+29a =-58
1 2 3 29
答案 ACD
5.(2021江苏盐城二模,12)已知n∈N*,n≥2,p+q=1,设f(k)= pkq2n-k,其中k∈N,k≤2n,则 ( )
Ck
2n
2n
A.∑f(k)=1
k=0
2n
B.∑kf(k)=2npq
k=0
C.若np=4,则f(k)≤f(8)
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n 1 n
D.∑f(2k)< <∑f(2k-1)
2
k=0 k=1
答案 AC
三、填空题(每小题5分,共30分)
6.(2020湖南、河南、江西3月线上联考,14)(x2+2)·( 1) 6 的展开式中所有项的系数和为
2x-
x
,常数项为 .
答案 3;-260
7.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知( 1 ) n 的展开式中第2项与第3项的二项式
2x-
√x
系数之比是2∶5,则x3的系数为 .
答案 240
8.(2020山东青岛三模,15)若(2-x)17=a+a(1+x)+a(1+x)2+…+a (1+x)16+a (1+x)17,则
0 1 2 16 17
(1)a+a+a+…+a = ;(2)a+2a+3a+…+16a = .
0 1 2 16 1 2 3 16
答案 (1)217+1 (2)17-17×216
9.(2021山东济南十一学校联考,14)已知m是常数,(1-mx)5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a,且
5 4 3 2 1 0
a+a+a+a+a=-2,则a= .
1 2 3 4 5 1
答案 -10
10.(2021山东聊城二模,13)( 1)( 2) 6 的展开式中各项系数的和为3,那么展开式中的常
a+ x-
x x
数项为 .
答案 -320
11.(2021上海崇明二模,8)已知(
x-
2 ) n 的展开式中,所有二项式系数的和等于64,则该展开式
x2
中常数项的值等于 .
答案 60
— 一年原创 —
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1.(2021 5·3原创题)已知- (2-x)+ (2-x)2- (2-x)3+…+ (2-x)100=a+ax+ax2+…
C1 C2 C3 C100 0 1 2
100 100 100 100
+a x100,则a+a+a+…+a 的值是 ( )
100 1 2 3 99
299-1
A.-1 B.-2 C.299-1 D.
2
答案 B
2.(2021 5·3原创题)设正整数n≥5,若( 1)(1-x)n不含有x3的项,则n的值为 ( )
x-
x
A.5 B.6
C.7 D.8
答案 B
3.(2021 5·3原创题)设(1+2x)5=a+ax+ax2+ax3+ax4+ax5,集合M={a|0≤i≤5,i∈Z},则集合M的
0 1 2 3 4 5 i
双元素子集(即恰含2个元素的子集)个数为 ( )
A.10 B.15
C.20 D.30
答案 A
4.(2021 5·3原创题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中展示了二
项式系数表(图1),在欧洲,法国数学家帕斯卡在十七世纪五十年代才发现并使用它.我国数学
家利用杨辉三角做了广泛的研究,1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》(图2)中关于三
角垛的研究就是典型一例.
11阶杨辉三角
图1
12 / 13北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
图2
观察图一的第三斜列有如下规律3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,……,第四斜列有如下规律
4=1+3,10=1+3+6,20=1+3+6+10,……,第四斜列第n个数是第三斜列的前n个数之和,第五斜列
同样有类似的规律,朱世杰根据这一规律给出了一系列所谓“三角垛”公式,现在表示如下:
n 1
∑i=1+2+3+…+n= n(n+1),①
2!
i=1
n 1 1 1
∑ i(i+1)=1+3+6+…+ n(n+1)= n(n+1)(n+2), ②
2! 2! 3!
i=1
n 1 1
∑ i(i+1)(i+2)=1+4+10+…+ n(n+1)(n+2)= . ③
3! 3!
i=1
n 1
在③式中当n=8时其和为 ,猜想∑ i(i+1)(i+2)= .
3!
i=1
1
答案 330; n(n+1)(n+2)(n+3)
4!
5.(2021 5·3原创题)已知x10=a+a(x+1)+a(x+1)2+a(x+1)3+…+a (x+1)10,则a+a+a+…+a =
0 1 2 3 10 1 2 3 10
;系数a(i=0,1,2,…,10)中最大的是 (用数字作答).
i
答案 -1;210
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