北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§10.2 二项式定理
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1.(2020山西大同开学学情调研,6)若( √x- 2 ) n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的
x2
常数项是 ( )
A.210 B.180 C.160 D.175
答案 B ∵( √x- 2 ) n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴展开式中共有11项,n=10.∴展开式的
x2
通项为T r+1 = C 1 r 0 ( √x )10-r·( - x 2 2 ) r = C 1 r 0 (-1)r·2r· x5 - 5 2 r.令5-5 2 r=0,得r=2,∴常数项是T 2+1 =22· C 1 2 0 =180,故选B.
2.(2018辽宁鞍山鞍钢三模,8)已知(2x-1)4=a+a(x-1)+a(x-1)2+a(x-1)3+a(x-1)4,则a=( )
0 1 2 3 4 2
A.18 B.24 C.36 D.56
答案 B (2x-1)4=[1+2(x-1)]4
=a+a(x-1)+a(x-1)2+a(x-1)3+a(x-1)4,
0 1 2 3 4
∴a= ·22=24,故选B.
2 C2
4
3.(2020四川五校联考,6)(3x3+x4)( 1) 8 的展开式中x2的系数为( )
2-
x
A.-1 280 B.4 864 C.-4 864 D.1 280
答案 A ( 2- 1) 8 的展开式的通项为T r+1 = Cr28-r·( - 1) r ,所以x2项为3x3 [ C1·27· ( - 1)] +x4 C2
x 8 x 8 x 8
·26·( - 1) 2 =-1 280x2,故选A.
x
4.(2018海南国兴中学3月模拟,7)设(1+x)6=a+ax+ax2+…+ax6,其中x,a∈R,i=0,1,…,6,则a+a+a= ( )
0 1 2 6 i 1 3 5
A.16 B.32 C.64 D.128
答案 B 令x=1,则26=a+a+a+a+a+a+a=64,
0 1 2 3 4 5 6
令x=-1,则(1-1)6=a-a+a-a+a-a+a=0,
0 1 2 3 4 5 6
∴2(a+a+a)=64,∴a+a+a=32.故选B.
1 3 5 1 3 5
5.(2019广东佛山二模,8)已知(1+x)( x+ 1 ) n (n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,则n的最大值是( )
x2
A.6 B.7 C.8 D.9
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答案 B ∵(1+x)( x+ 1 ) n (n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,∴( x+ 1 ) n 的展开式中没有x-1项和常数
x2 x2
项.∵( x+ 1 ) n 的展开式的通项为T r+1 = Cr·xn-3r,故n-3r≠0,且n-3r≠-1,即n≠3r,且n≠3r-1,∴n≠3,6,9,且n≠2,5,8,
x2 n
故n的最大值为7,故选B.
思路分析 先将问题转化成二项展开式中没有常数项和x-1项,利用二项展开式的通项求出第r+1项,再根据
x的指数不能为0和-1,求得n的最大值.
6.(2017山西晋中一模,9)若a=2 ∫ 3 (x+|x|)dx,则在( √x- 1 ) a 的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有
√3 x
-3
( )
A.13项 B.14项 C.15项 D.16项
3 0 3
答案 C a=2 (x+|x|)dx=2 (x-x)dx+2 2xdx=18.
∫ ∫ ∫
-3 -3 0
则( √x- 1 ) 18 的展开式的通项为T r+1 = Cr ( √x )18-r(- 1 ) r =(-1)r Cr · 9- 5r(r=0,1,2,…,18).只有
√3 x 18 √3 x 18 x 6
r=0,6,12,18时,x的幂指数是整数,因此x的幂指数不是整数的项共有19-4=15项.故选C.
7.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式( √3x+ 1 ) n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x
√3 x
的指数为整数的项的个数为 ( )
A.3 B.5 C.6 D.7
答案 D 根据( √3x+ 1 ) n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,∴( √3x+ 1 ) n 的展
√3 x √3 x
开式的通项为T r+1 = Cr ·( √3 x)20-r·( 1 ) r =( √3 )20-r· Cr · 20- 4r,要使x的指数是整数,需r是3的倍数,
20 √3 x 20 x 3
∴r=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指数是整数的项共有7项.故选D.
思路分析 根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用展开式的通项求得x的指数是整
数的项数.
规律总结 (a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第(n )项的二项式系数最
+1
2
n n+1 n+3 n-1 n+1
大,为 C2;若n为奇数,则第 , 项的二项式系数最大,为 C 2 , C 2 .
2 2
n n n
8.(2016全国百所名校联考,6)(1-√x)6(1-√3 x)4的展开式中,x2的系数是 ( )
A.-75 B.-45 C.45 D.75
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答案 B (1- )6(1- )4=(1-6 +15x-20x +15x2-6x2 +x3)·(1-4 +6 -4x+ ),∴(1- )6(1- )4
√x √3 x √x √x √x √3 x √3 x2 √3 x4 √x √3 x
的展开式中,x2的系数是15·(-4)+15=-45.故选B.
思路分析 把(1-√x)6和(1-√3 x)4利用二项式定理分别展开,进而可得(1-√x)6(1-√3 x)4的展开式中x2的系数.
9.(2018重庆万州二模,15)已知二项式(
2x2-
1) n 的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含1项
x x
的系数是 .
答案 -84
解析 由二项式( 2x2- 1) n 的展开式中所有二项式系数的和是128,得2n=128,∴n=7,∴( 2x2- 1) n =
x x
( 2x2- 1) 7 ,
x
T
r+1
=
Cr
·(2x2)7-r·(
-
1) r =(-1)r·27-r·
Cr
·x14-3r.令14-3r=-1,得r=5.∴展开式中含1项的系数是-4×
C5
=-84.
7 x 7 x 7
1
思路分析 由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为-1求得r,进而求含 项的系数.
x
易错警示 注意二项式系数与项的系数的区别,以及二项式系数之和与所有项的系数之和的区别.
10.(2017江西赣州十四县联考,14)若( 1 ) n 的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则
x+
3x
展开式中x2的系数为 .
56
答案
27
解析 易得A=1,B=n,C=C2 =n(n-1) ,所以有4=9(n2-n n),即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在
n -
3 9 18 18 3
(
x+
1 ) 8 中,因为通项T
r+1
= Crx8-r( 1 ) r = C
8
r ·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为56.
3x 8 3x 3r 27
11.(2018湖南长沙第二次模拟,14)若x10-x5=a+a(x-1)+ +…+a (x-1)10,则a= .
0 1 a (x-1)2 10 5
2
答案 251
解析 令x-1=t,则x=t+1,x10-x5=(t+1)10-(t+1)5=a+at+at2+…+a t10,a 为t5的系数,其中(t+1)10的展开式中t5的系
0 1 2 10 5
数为 C5 ,(t+1)5的展开式中t5的系数为 C0,则a 5 = C5 - C0 =252-1=251.
10 5 10 5
12.若(1-4x)2 020=a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
2 020
·x2 020,则a
1
+ a
2
+…+ a
2 020
= .
2 22 22 020
答案 0
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解析 取x=0,则a 0 =1;取x=1,则(-1)2 020=a 0 +a 1 + a 2 +…+ a 2 020,所以a 1 + a 2 +…+ a 2 020 =1-a 0 =0.
2 2 22 22 020 2 22 22 020
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