北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§11.2 二项式定理
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021山西怀仁期末,4)(2x- √3 x)6的展开式中,x4的系数是 ( )
A.20 B.-20 C.160 D.-160
2r 2r
答案 D (2x-√3 x)6的展开式的通项为T
r+1
=C
6
r·(-1)r·26-r·
x
6-
3
,令6-
3
=4,求得r=3,可得x4的系数
为- ·23=-160.
C3
6
2.(2021吉林模拟,6)( 1)(1-x)6的展开式中x的系数为 ( )
1+
x
A.-6 B.-5 C.9 D.15
答案 C ( 1+ 1)(1-x)6的展开式中x的系数为 C1 ·(-1)+ C2 ·(-1)2=9.
x 6 6
3.(2021河南郑州一模,8)( y2 )(x+y)5的展开式中,x3y3的系数为 ( )
x-
x
A.3 B.5 C.15 D.20
答案 B (x+y)5的通项为T = ·x5-r·yr,令r=3,可得x2y3的系数为 ,令r=1,可得x4y的系数为 ,
r+1 Cr C3 C1
5 5 5
故(
x-
y2 )(x+y)5的展开式中,x3y3的系数为
C3
-
C1
=10-5=5.
x 5 5
4.(2021江西重点中学协作体联考,5)已知( 2) n 的展开式中各项的二项式系数的和为512,则
√x-
x
这个展开式中的常数项是第 项 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 由题设可得2n=512,
解得n=9,
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∴(
√x-
2) n 的展开式的通项为T
r+1
=
Cr
(
√x
)9-r·(
-
2) r =
Cr
·(-2)r· 9-3r,r=0,1,…,9,令9-3r=0,解得
x 9 x 9 x 2 2
r=3,
∴T 为常数项.
4
5.(2021陕西渭南一模,7)已知(
x2-
1) 4 (1+ax)的展开式中常数项为4,则a=( )
x
1
A.-4 B.1 C. D.-1
2
答案 D 由题意得展开式中的常数项为
C3
x2(
-
1) 3 ax=-4a=4,解得a=-1.
4 x
6.(2021河南濮阳期中,9)已知(1+x)10=a+a(2+x)+a(2+x)2+…+a (2+x)10,则a= ( )
0 1 2 10 9
A.-10 B.10 C.-45 D.45
答案 A (1+x)10=[-1+(2+x)]10=a+a(2+x)+a(2+x)2+…+a (2+x)10,则a= ·(-1)=-10.
0 1 2 10 9 C9
10
思路分析 根据题意,按照(2+x)的升幂排列,则有(1+x)10=[-1+(2+x)]10,利用通项求展开式第10项的
系数.
7.(2021全国Ⅰ卷地区3月联考,8)设(1+x)6(1+ax)4=a+ax+ax2+…+a x10,若a=-9,则a+a+a+…+a
0 1 2 10 2 1 2 3 10
的值为 ( )
A.63 B.64 C.65 D.-65
答案 A 因为a= a2+ a+ =6a2+24a+15,则6a2+24a+15=-9,即a2+4a+4=0,所以
2 C0C2 C1C1 C2C0
6 4 6 4 6 4
a=-2.在(1+x)6(1-2x)4=a+ax+ax2+…+a x10中,令x=0,则a=1.
0 1 2 10 0
令x=1,则a+a+a+…+a =26=64,所以a+a+a+…+a =64-a=63,选A.
0 1 2 10 1 2 3 10 0
二、多项选择题
8.(2020山东泰安6月三模,11)若(1-2x)2 009=a+ax+ax2+ax3+…+a x2 009(x∈R),则 ( )
0 1 2 3 2 009
A.a=1
0
32 009+1
B.a+a+a+…+a =
1 3 5 2 009
2
32 009-1
C.a+a+a+…+a =
0 2 4 2 008
2
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D.a
1
+ a
2
+ a
3
+…+ a
2 009
=-1
2 22 23 22 009
答案 ACD 当x=0时,a=12 009=1,
0
当x=1时,a+a+a+a+…+a =(-1)2 009=-1,
0 1 2 3 2 009
当x=-1时,a-a+a-a+…-a =32 009,
0 1 2 3 2 009
32 009+1
所以a+a+a+…+a =- ,
1 3 5 2 009
2
32 009-1
a+a+a+…+a = ,
0 2 4 2 008
2
a
1
+ a
2
+…+ a
2 009
=a
1
×1+a
2
×(1) 2 +…+a
2 009
×(1) 2 009 ,
2 22 22 009 2 2 2
当x=1时,0=a
0
+a
1
×1+a
2
×(1) 2 +…+a
2 009
×(1) 2 009 ,
2 2 2 2
所以a
1
×1+a
2
×(1) 2 +…+a
2 009
×(1) 2 009 =-a
0
=-1.故选ACD.
2 2 2
9.(2021届广东东华高级中学模拟)若(√2+√3x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为256,则
( )
A.n=8 B.n=9
C.第5项为2 520x4 D.第5项为1 008√6x5
答案 AC 因为(√2+√3x)n的展开式中所有项的二项式系数之和为256,
所以2n=256,所以n=8.
因为( + x)8的展开式的通项为T = ( )8-r( )r·xr,
√2 √3 r+1 Cr √2 √3
8
所以T= ( )4( )4x4=2 520x4.
5 C4 √2 √3
8
10.(2021届河北唐山一模)若( x2+ 1 ) 6 的展开式中x3的系数是-160,则 ( )
ax
1
A.a=- B.所有项系数之和为1
2
C.二项式系数之和为64 D.常数项为-320
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答案 ABC ( x2+ 1 ) 6 的展开式中含x3的项为 C3 (x2)3( 1 ) 3 ,
ax 6 ax
所以 C3(1) 3 =-160,解得a=-1,故A正确;
6 a 2
由上知( x2+ 1 ) 6 =( x2- 2) 6 ,
ax x
令x=1,得所有项系数之和为(1-2)6=1,故B正确;
( x2- 2) 6 的展开式的二项式系数之和为26=64,故C正确;
x
( x2- 2) 6 的常数项为 C2 (x2)2·( - 2) 4 =24 C2 =240,故D错误.故选ABC.
x 6 x 6
1
思路分析 首先根据展开式中x3的系数是-160得到a=- ,从而判断A正确;令x=1,得到所有项系
2
数之和为1,从而判断B正确;根据二项式系数之和为26判断C正确,根据(
x2-
2) 6 的常数项为
C2
x 6
(x2)2·( 2) 4 ≠-320,从而判断D错误.
-
x
名师点睛 本题主要考查二项式定理的二项式系数之和,所有项的系数之和,常数项,属于中档题.
11.(2021届山东师范大学附属中学一模)关于(a-b)11的说法,正确的是 ( )
A.展开式中的二项式系数之和为2 048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
答案 ACD 由二项展开式系数的性质知,(a-b)11的展开式的二项式系数之和为211=2 048,故选项
A正确;
因为(a-b)11的展开式共有12项,所以中间两项的二项式系数最大,即第6项和第7项的二项式系数
最大,故选项C正确,选项B错误;
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因为展开式中第6项的系数是负数,且绝对值最大,所以展开式中第6项的系数最小,故选项D正
确.故选ACD.
三、填空题
12.(2021浙江嘉兴二模,12)设(2+x)6=a+a(1+x)+a(1+x)2+…+a(1+x)6,则a+a+a+…+a=
0 1 2 6 0 1 2 6
;a= .
2
答案 64;15
解析 设y=1+x,则(1+y)6=a+ay+ay2+…+ay6,
0 1 2 6
令y=1,得a+a+a+…+a=26=64,
0 1 2 6
(1+y)6的展开式的通项为T = 16-ryr= yr,
r+1 Cr Cr
6 6
所以a= =15.
2 C2
6
13.(2021浙江温州二模,12)已知(1-x)n=a+ax+ax2+…+axn,则a= ;若a+a=0,则n=
0 1 2 n 0 3 4
.
答案 1;7
解析 令x=0,则a=1.
0
由展开式的通项可知a= (-1)k.
k Ck
n
因为a+a=0,所以- + =0,解得n=7.
3 4 C3 C4
n n
14.(2021浙江杭州二模,12)已知(x+a)3(x+1)4的展开式中所有项的系数之和为16,则a= ,x4
项的系数为 .
答案 0;4
解析 令x=1,可知(1+a)3(1+1)4=16,所以a=0.
由二项式定理可知,x3 x=4x4,所以x4项的系数为4.
C3
4
15.(2021浙江宁波十校3月联考,11)已知(1-x)2(2x+1)5=a+ax+ax2+…+ax7,则a=
0 1 2 7 0
,a+a+a+a= .
1 3 5 7
答案 1;2
解析 令x=0,可知a=1.
0
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分别令x=1,x=-1,得{a
0
+a
1
+…+a
7
=0,
a -a +…-a =-4,
0 1 7
两式相减得,a+a+a+a=2.
1 3 5 7
16.(2021浙江“9+1”联盟4月联考,13)已知bxn+1=a+a(x-1)+a(x-1)2+…+a(x-1)n对任意x∈R恒
0 1 2 n
成立,且a=9,a=36,则b= ;a+2a+…+na= .
1 2 1 2 n
答案 1;2 304
解析 设x-1=t,则bxn+1=b(t+1)n+1=a+at+at2+…+atn,由此得
{a
1
=bC
n
n-1=9, 解得{b=1,
0 1 2 n
a =bCn-2=36, n=9.
2 n
等式两边对t求导,得bn(t+1)n-1=a+2at+…+natn-1,
1 2 n
再令t=1,得a+2a+…+na=bn·2n-1=9×28=2 304.
1 2 n
6 / 6
