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第十一章 计数原理
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０２１全国乙理 ６ ５ 单项选择题 中 排列、组合 排列、组合的应用 先分组后分配 逻辑推理
，
２０２０新高考 ３ ５ 单项选择题 易 排列、组合 分配问题 直接法 数学运算
Ⅰ，
２０２０新高考 ６ ５ 单项选择题 易 排列、组合 分配问题 直接法 数学运算
Ⅱ，
命题规律与备考策略
考查内容 本章着重从以下几个方面考查 以计数原理为理论依 复习建议 本章内容的理论基础为计数原理 可以从计数原理入手
：① ， ，
据 考查有重复元素的组数问题与排列 组合理论的认识 利用排 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别 需对排列 组合
， 、 ；② ， 、
列 组合解决实际问题或利用排列 组合解决概率的有关问题 利用 中的典型题进行分类 而在二项式定理的复习时 需要区分项的系数
、 、 ；③ ， ，
二项展开式的通项公式求指定项的系数或二项式系数问题 利用二 与二项式系数．
；④
项展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题． 备考策略 用排列 组合知识求解计数问题时 如遇到情况较为复杂
、 ， ，
题型赋分 从近几年命题形势看 考题难度以中低档为主 主要以选 即分类较多 标准也较多 同时所求计数的结果不易直接求解时 可借
， ， ， ， ，
择题 填空题的形式出现 分值为 分． 助表格法 树状图法求解 在求解二项展开式中特定项问题时 需加强
、 ， ５ 、 ； ，
命题规律 从本章的内容特点来看 常结合有关知识背景 数学文化 化归思想的应用．
， 、
等命制有关排列 组合的试题 同时对用二项式定理解决特定项系数
、 ，
问题的考查频度较多 试题情境主要为课程学习情境与生活实践情
，
境 主要考查逻辑推理 数学运算的核心素养．
， 、
真题典例
核心考点 排列 组合 易错警示 本题是一个完全不均匀分组后再定向分配问题 容易出现
（１） 、 ； ，
分组 分配问题． 分组再分配的错误．
（２） 、
知识储备 解排列问题的主要方法 直接法 特殊位置或元素优先 命题规律 分组 分配问题是排列 组合的综合问题 解题思想是先分
（１） ： ， 、 、 ，
考虑法 相邻捆绑法 不相邻插空法 间接法． 组后分配．
、 、 ；
分组分配 先分组后分配原则 必须注意是均匀分配还是非均匀分 分组问题属于 组合 问题 常见的分组方法有三种
（２） ： ， “ ” ， ：
配问题 完全均匀分组 每组元素的个数都相等
； ① ， ；
排列 组合问题中注意适当分类后可避免重复计数问题． 部分均匀分组 应注意不要重复
（３） 、 ② ， ；
思路分析 这是一个定向的完全不均匀分配问题 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象．
（１） ； ③ ，
先把 名学生按人数分为 三个小组 再分别去三个场馆．
（２） ６ １、２、３ ，５ ９６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§１１．１ 排列、组合
排列、组合 学生用书Ｐ１９７ τ 所以ｆ ｆ ｆ ．
（３１２）＝２， （３２１）＝３， ３（０）＝１， ３（１）＝ ３（２）＝２
对 的排列 利用已有的 的排列 将数字 添加
１．（２０２１全国乙理，６，５分）将 名北京冬奥会志愿者分配到花 １，２，３，４ ， １，２，３ ， ４
５ 进去 在新排列中的位置只能是最后三个位置．
样滑冰 短道速滑 冰球和冰壶 个项目进行培训 每名志愿者 ，４
、 、 ４ ， 因此ｆ ｆ ｆ ｆ ．
只分配到 个项目 每个项目至少分配 名志愿者 则不同的 ４（２）＝ ３（２）＋ ３（１）＋ ３（０）＝５
１ ， １ ， 对一般的ｎ ｎ 的情形 逆序数为 的排列只有一个
分配方案共有 （２） （ ≥４） ， ０ ：
（ ） ｎ 所以ｆ ．逆序数为 的排列只能是将排列 ｎ
种 种 种 种 １２… ， ｎ（０）＝１ １ １２…
Ａ．６０ Ｂ．１２０ Ｃ．２４０ Ｄ．４８０ 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列 所以 ｆ ｎ
１． 答案 Ｃ ， ｎ（１）＝
．
２．（２０２０新高考 ，６，５分） 名大学生利用假期到 个山村参加 －１
Ⅱ ３ ２ 为计算ｆ 当 ｎ的排列及其逆序数确定后 将ｎ
扶贫工作 每名大学生只去 个村 每个村至少去 人 则不同 ｎ ＋１（２）， １，２，…， ， ＋１
， １ ， １ ， 添加进原排列 ｎ 在新排列中的位置只能是最后三个位置．
的分配方案共有 ， ＋１
（ ） 因此 ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｎ．
种 种 种 种 ， ｎ ＋１（２）＝ ｎ（２）＋ ｎ（１）＋ ｎ（０）＝ ｎ（２）＋
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．８ 当ｎ 时 ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
２． 答案 Ｃ ≥５ ， ｎ（２）＝［ ｎ（２）－ ｎ －１（２）］＋［ ｎ －１（２）－ ｎ －２（２）］＋…＋
３．（２０２０新 高 考 ，３，５分） 名同学到甲 乙 丙三个场馆做志愿 ｆ ｆ ｆ ｎ ｎ ｆ
ｎ２
－
ｎ
－２．
Ⅰ ６ 、 、 ［ ５（２）－ ４（２）］＋ ４（２）＝（ －１）＋（ －２）＋…＋４＋ ４（２）＝
者 每名同学只去 个场馆 甲场馆安排 名 乙场馆安排 ２
， １ ， １ ， ２ ｎ２ ｎ
名 丙场馆安排 名 则不同的安排方法共有 因此 当ｎ 时 ｆ － －２．
， ３ ， （ ） ， ≥５ ， ｎ（２）＝
种 种 种 种 ２
Ａ．１２０ Ｂ．９０ Ｃ．６０ Ｄ．３０ 疑难突破 要做好本题，关键是理解“逆序”“逆序数”
３． 答案 Ｃ
“ｆ （ｋ）”的含义，不妨从比较小的 ， ， 入手去理解这几个概
４．（２０２０课标 理，１４，５分） 名同学到 个小区参加垃圾分类 ｎ １ ２ ３
Ⅱ ４ ３ 念，这样就能得到ｆ（ ）． ｆ（ ）是指 ， ， ， 这 个数中逆序
宣传活动 每名同学只去 个小区 每个小区至少安排 名同 ３ ２ ４ ２ １ ２ ３ ４ ４
， １ ， １ 数为 的全部排列的个数，可以通过与ｆ（ ）， ｆ（ ）， ｆ （ ）联
学 则不同的安排方法共有 种． ２ ３ ２ ３ １ ３ ０
， 系得到， 分别添加在ｆ （ ）的排列中最后一个位置、ｆ （ ）的
４． 答案 ４ ３ ２ ３ １
３６ 排列中的倒数第 个位置、 ｆ（ ）的排列中的倒数第 个位置．
５．（２０１８课标 理，１５，５分）从 位女生 位男生中选 人参加 ２ ３ ０ ３
Ⅰ ２ ，４ ３ 有了上述的理解就能得到ｆ （ ）与 ｆ （ ）、ｆ （ ）、 ｆ （ ）的关
科技比赛 且至少有 位女生入选 则不同的选法共有 ｎ ＋１ ２ ｎ ２ ｎ １ ｎ ０
， １ ， 系：ｆ （ ） ｆ （ ） ｆ （ ） ｆ （ ） ｆ （ ） ｎ，从而得到ｆ （ ）（ｎ
种． 用数字填写答案 ｎ ＋１ ２ ＝ ｎ ２ ＋ ｎ １ ＋ ｎ ０ ＝ ｎ ２ ＋ ｎ ２
（ ） ）的表达式．
５． 答案 ≥５
１６
６．（２０１８浙江，１６，４分）从 中任取 个数字 从 以下为教师用书专用（１—１８）
１，３，５，７，９ ２ ， ０，２，
中任取 个数字 一共可以组成 个没有重复数字 １．（２０１６四川理，４，５分）用数字 组成没有重复数字
４，６ ２ ， １，２，３，４，５
的四位数． 用数字作答 的五位数 其中奇数的个数为
（ ） ， （ ）
６． 答案
１２６０ Ａ．２４ Ｂ．４８ Ｃ．６０ Ｄ．７２
７．（２０１７天津理，１４，５分）用数字 组成没有 答案 Ｄ 奇数的个数为 １ ４ ．
１，２，３，４，５，６，７，８，９ Ｃ３Ａ４＝７２
重复数字 且至多有一个数字是偶数的四位数 这样的四位数 ２．（２０１５四川理，６，５分）用数字 组成没有重复数
， ， ０，１，２，３，４，５
一共有 个． 用数字作答 字的五位数 其中比 大的偶数共有
（ ） ， ４００００ （ ）
７． 答案 个 个 个 个
１０８０ Ａ．１４４ Ｂ．１２０ Ｃ．９６ Ｄ．７２
８．（２０１７浙江，１６，４分）从 男 女共 名学生中选出队长 人 答案 Ｂ 数字 中仅有 三个偶数 比
６ ２ ８ １ ， ０，１，２，３，４，５ ０，２，４ ，
副队长 人 普通队员 人组成 人服务队 要求服务队中至 大的偶数为以 开头与以 开头的数．其中以 开头的
１ ， ２ ４ ， ４００００ ４ ５ ４
少有 名女生 共有 种不同的选法． 用数字作答 偶数又分以 结尾与以 结尾 有 ３ 个 同理 以 开头
１ ， （ ） ０ ２ ， ２Ａ４＝４８ ； ， ５
８． 答案 的有 ３ 个．于是共有 个 故选 ．
６６０ ３Ａ４＝７２ ４８＋７２＝１２０ ， Ｂ
９．（２０１８江苏，２３，１０ 分）设 ｎ Ｎ∗ 对 ｎ 的一个排列 评析 本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识．
∈ ， １，２，…，
ｉ ｉ ｉ 如果当ｓ ｔ时 有ｉ ｉ 则称 ｉ ｉ 是排列ｉ ｉ ｉ 的 考查学生分析问题、解决问题的能力．
１ ２… ｎ， ＜ ， ｓ＞ ｔ， （ ｓ， ｔ） １ ２… ｎ
一个逆序 排列ｉ ｉ ｉ 的所有逆序的总个数称为其逆序数 ３．（２０１４大纲全国理，５，５分）有 名男医生 名女医生 从中选
， １ ２… ｎ ， ６ 、５ ，
例如 对 的一个排列 只有两个逆序 出 名男医生 名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法
： １，２，３ ２３１， （２，１），（３，１）， ２ 、１
则排列 的逆序数为 ．记ｆ ｋ 为 ｎ的所有排列中 共有
２３１ ２ ｎ（ ） １，２，…， （ ）
逆序数为ｋ的全部排列的个数． 种 种 种 种
Ａ．６０ Ｂ．７０ Ｃ．７５ Ｄ．１５０
求ｆ ｆ 的值 答案 Ｃ 从 名男医生中选出 名有 ２ 种选法 从 名
（１） ３（２）， ４（２） ； ６ ２ Ｃ６ ， ５
求ｆ ｎ 的表达式 用ｎ表示 ． 女医生中选出 名有 １ 种选法 由分步乘法计数原理得不同
（２） ｎ（２）（ ≥５） （ ） １ Ｃ５ ，
９． 解析 记τ ａｂｃ 为排列ａｂｃ的逆序数 对 的所有 的选法共有 ２ １ 种．故选 ．
（１） （ ） ， １，２，３ Ｃ６·Ｃ５＝７５ Ｃ
排列 有τ τ τ τ τ ４．（２０１４辽宁理，６，５分） 把椅子摆成一排 人随机就座 任何
， （１２３）＝ ０， （１３２）＝ １， （２１３）＝ １， （２３１）＝ ２， ６ ，３ ，
第十一章 计数原理 ５ ９７
两人不相邻的坐法种数为 学为Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 不妨讨论 Ａ 少交换 次 如Ａ 未
（ ） １、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６， ① １ ２ ， １
与Ａ Ａ 交换 则收到 份纪念品的同学仅为 Ａ Ａ 人
Ａ．１４４ Ｂ．１２０ Ｃ．７２ Ｄ．２４ ２、 ３ ， ４ ２、 ３ ２ ；
答案 Ｄ 先把三把椅子隔开摆好 它们之间和两端有 个 Ａ Ａ 各少交换 次 如Ａ 与Ａ 未交换 Ａ 与Ａ 未交换
， ４ ② １、 ２ １ ， １ ３ ， ２ ４ ，
位置 再把三人带椅子插放在四个位置 共有 ３ 种放法 则收到 份纪念品的同学有 人 为Ａ Ａ Ａ Ａ ．故选 ．
， ， Ａ４＝２４ ， ４ ４ ， １、 ２、 ３、 ４ Ｄ
故选 ． 评析 本题考查了计数原理等知识，考查学生应用数学知
Ｄ
评析 本小题主要考查排列组合的应用及逻辑思维能力，解 识，分类讨论思想，利用符号标记具体分析是顺利解题的
决不相邻问题常采用插空法． 关键．
５．（２０１４四川理，６，５分）六个人从左至右排成一行 最左端只能 １１．（２０１６课标 ，５，５分）如图 小明从街道的 处出发 先到
， Ⅱ ， Ｅ ， Ｆ
排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 处与小红会合 再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活
， ， （ ） ， Ｇ
种 种 种 种 动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
Ａ．１９２ Ｂ．２１６ Ｃ．２４０ Ｄ．２８８ ， （ ）
答案 Ｂ 若最左端排甲 其他位置共有 ５ 种排法
， Ａ５＝１２０ ；
若最左端排乙 最右端共有 种排法 其余 个位置有 ４
， ４ ， ４ Ａ４＝２４
种排法 所以共有 种排法．
， １２０＋４×２４＝２１６
６．（２０１４重庆理，９，５分）某次联欢会要安排 个歌舞类节目
３ 、２
个小品类节目和 个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相
１ ，
邻的排法种数是
Ａ．２４ Ｂ．１８ Ｃ．１２ Ｄ．９
（ ） 答案 Ｂ 分两步 第一步 从 有 条可以选择的最
， ， Ｅ→Ｆ， ６
Ａ．７２ Ｂ．１２０ Ｃ．１４４ Ｄ．１６８
答案 Ｂ 先不考虑小品类节目是否相邻 保证歌舞类节目 短路径 ； 第二步 ， 从 Ｆ→Ｇ， 有 ３ 条可以选择的最短路径．由分
，
步乘法计数原理可知有 条可以选择的最短路径．故
不相邻的排法共有 ３ ３ 种 再剔除小品类节目相邻的 ６×３＝１８
Ａ３·Ａ４＝１４４ ，
选 ．
情况 共有 ３ ２ ２ 种 于是符合题意的排法共有 Ｂ
， Ａ３·Ａ２·Ａ２＝２４ ， １４４ 思路分析 小明到老年公寓，需分两步进行，先从 到 ，
种． Ｅ Ｆ
－２４＝１２０
７．（２０１３山东理，１０，５分）用 十个数字 可以组成有重 再从 到 ，分别求各步的最短路径条数，再利用分步乘法计
０，１，…，９ ， Ｆ Ｇ
复数字的三位数的个数为
数原理即可得结果．
（ ）
１２．（２０１６课标 ，１２，５分）定义 规范 数列 ａ 如下 ａ
Ⅲ “ ０１ ”｛ ｎ｝ ：｛ ｎ｝
Ａ．２４３ Ｂ．２５２ Ｃ．２６１ Ｄ．２７９
答案 Ｂ 由分步乘法计数原理知 用 十个数字 共有 ｍ项 其中ｍ项为 ｍ项为 且对任意ｋ ｍ ａ ａ
： ０，１，…，９
２ ， ０， １， ≤２ ， １， ２，
组成三位数 （ 可有重复数字 ） 的个数为 ９×１０×１０＝９００， 组成没 …， ａ ｋ 中 ０ 的个数不少于 １ 的个数 ， 若ｍ ＝４， 则不同的 “ 规范
数列 共有
有重复数字的三位数的个数为 则组成有重复数
９×９×８＝６４８， ０１ ” （ ）
个 个 个 个
字 评析 的三 本 位数 题 的 考 个 查 数 分 为 步 ９ 乘 ００ 法 －６ 计 ４８ 数 ＝２ 原 ５２ 理 ， 故 ， 选 考查 Ｂ ． 学生的推理运算 Ａ．１ 答 ８ 案 Ｃ 当 Ｂ．１ ｍ ６ ＝４ 时 ， 数列 Ｃ ｛ ．１ ａ ４ ｎ｝ 共有 ８ 项 ， Ｄ 其 ．１ 中 ２ ４ 项为 ０，４
能力． 项为 １， 要满足对任意ｋ ≤８， ａ １， ａ ２，…， ａ ｋ 中 ０ 的个数不少于 １
８．（２０１２课标理，２，５分）将 ２ 名教师 ，４ 名学生分成 ２ 个小组 ， 分 的个数 ， 则必有ａ １＝０， ａ ８＝１， ａ ２ 可为 ０， 也可为 １ ． （１） 当ａ ２＝０
时 分以下 种情况 若ａ 则ａ ａ ａ ａ 中任意一个
别安排到甲 、 乙两地参加社会实践活动 ， 每个小组由 １ 名教师 ， ３ ：① ３＝０， ４， ５， ６， ７
和 名学生组成 不同的安排方案共有 为 均可 则有 １ 种情况 若ａ ａ 则ａ ａ ａ
２ ， （ ） ０ ， Ｃ４＝４ ；② ３＝１， ４＝０， ５， ６， ７
种 种 种 种 中任意一个为 均可 有 １ 种情况 若ａ ａ 则
Ａ．１２ Ｂ．１０ Ｃ．９ Ｄ．８ ０ ， Ｃ３＝３ ；③ ３＝１， ４＝１，
答案 Ａ 名教师各在 个小组 给其中 名教师选 名 ａ 必为 ａ ａ 中任一个为 均可 有 １ 种情况 当
２ １ ， １ ２ ５ ０， ６， ７ ０ ， Ｃ２＝２ ；（２）
学生 ， 有 Ｃ ２ ４ 种选法 ， 另 ２ 名学生分配给另 １ 名教师 ， 然后将 ２ ａ ２＝１ 时 ， 必有ａ ３＝０， 分以下 ２ 种情况 ：① 若ａ ４＝０， 则ａ ５， ａ ６，
个小组安排到甲 、 乙两地 ， 有 Ａ ２ ２ 种方案 ， 故不同的安排方案共 ａ ７ 中任一个为 ０ 均可 ， 有 Ｃ １ ３＝３ 种情况 ；② 若ａ ４＝１， 则ａ ５ 必
有 Ｃ ２ ４Ａ ２ ２＝１２ 种 ， 选 Ａ ． 为 ０， ａ ６， ａ ７ 中任一个为 ０ 均可 ， 有 Ｃ １ ２＝２ 种情况．综上所述 ， 不
评析 本题考查了排列组合的实际应用，考查了先分组再分 同的 规范 数列 共有 个 故选 ．
“ ０１ ” ４＋３＋２＋３＋２＝１４ ， Ｃ
配的方法． 思路分析 根据题意可知 ａ ，ａ ，进而对 ａ ，ａ ，ａ
１＝０ ８＝１ ２ ３ ４
９．（２０１２辽宁理，５，５分）一排 个座位坐了 个三口之家．若每 取不同值进行分类讨论（分类要做到不重不漏），从而利用分
９ ３
家人坐在一起 则不同的坐法种数为 类加法计数原理求出不同的“规范 数列”的个数．
， （ ） ０１
３ ４ １３．（２０１８浙江，１６，４分）从 中任取 个数字 从
Ａ．３×３！ Ｂ．３×（３！） Ｃ．（３！） Ｄ．９！ １，３，５，７，９ ２ ， ０，２，
答案 Ｃ 第 步 个家庭的全排列 方法数为 中任取 个数字 一共可以组成 个没有重复数
１ ：３ ， ３！； ４，６ ２ ，
第 步 家庭内部 个人全排列 方法数为 共 个家庭 方 字的四位数． 用数字作答
２ ： ３ ， ３！， ３ ， （ ）
法数为 ３ 总数为 ３ ４ 故选 ． 答案
（３！） ，∴ （３！）×（３！） ＝（３！） ， Ｃ １２６０
评析 本题主要考查计数原理的基础知识，考查学生分析、解 解析 本小题考查排列 组合及其运用 考查分类讨论
、 ，
决问题的能力． 思想．
１０．（２０１２安徽理，１０，５分） 位同学在毕业聚会活动中进行纪念 含有数字 的没有重复数字的四位数共有 ２ １ １ ３
６ ０ Ｃ５Ｃ３Ａ３Ａ３＝５４０
品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换的两 个 不含有数字 的没有重复数字的四位数共有 ２ ２ ４
， ， ， ０ Ｃ５Ｃ３Ａ４＝
位同学互赠一份纪念品．已知 位同学之间共进行了 次交 个 故一共可以组成 个没有重复数字的
６ １３ ７２０ ， ５４０＋７２０＝１ ２６０
换 则收到 份纪念品的同学人数为 四位数．
， ４ （ ）
或 或 或 或 易错警示 数字排成数时，容易出错的地方：
Ａ．１ ３ Ｂ．１ ４ Ｃ．２ ３ Ｄ．２ ４
答案 Ｄ 由题意及 ２ 知只需少交换 次．记 位同 （ ）数字是否可以重复；
Ｃ６＝１５ ２ ６ １
５ ９８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（ ）数字 不能排首位． 排 且Ａ Ｂ均在Ｃ的同侧 则不同的排法共有 种 用
２ ０ ， ， ， （
１４．（２０１５广东理，１２，５分）某高三毕业班有 人 同学之间两 数字作答 ．
４０ ， ）
两彼此给对方仅写一条毕业留言 那么全班共写了 答案
， ４８０
条毕业留言． 用数字作答 解析 从左往右看 若 Ｃ 排在第 位 共有排法 ５
（ ） ， １ ， Ａ５＝１２０
答案 种 若Ｃ排在第 位 共有排法 ２ ３ 种 若Ｃ排在第
１５６０ ； ２ ， Ａ４·Ａ３＝７２ ； ３
解析 ∵ 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 ， 且 位 ， 则Ａ 、 Ｂ可排Ｃ的左侧或右侧 ， 共有排法 Ａ ２ ２·Ａ ３ ３＋Ａ ２ ３·Ａ ３ ３
全班共有 人 全班共写了 条毕业留言． 种 若Ｃ排在第 位时 其排法数与排在第
４０ ，∴ ４０×３９＝１５６０ ＝４８ ； ４，５，６ ， ３，２，１
１５．（２０１３北京理，１２，５分）将序号分别为 的 张参 位相同 故共有排法 种．
１，２，３，４，５ ５ ， ２×（１２０＋７２＋４８）＝４８０
观券全部分给 人 每人至少 张．如果分给同一人的 张参 １８．（２０１１北京理，１２，５分）用数字 组成四位数 且数字 至
４ ， １ ２ ２，３ ， ２，３
观券连号 那么不同的分法种数是 ． 少都出现一次 这样的四位数共有 个． 用数字作答
， ， （ ）
答案 答案
９６ １４
解析 ５ 张参观券分成 ４ 份 ，１ 份 ２ 张 ， 另外 ３ 份各 １ 张 ， 且 解析 解法一 ： 数字 ２ 只出现一次的四位数有 Ｃ １ ４＝４ 个 ； 数
１６． ２ （ 则 ２ 张 不 ０１ 参 同 ３ 观 大 的 券 纲 分 连 全 法 号 国 种 ， 理 数 则 ， 是 有 １４ ４ ， ４ Ａ ５ 种 ４ ４ 分 ＝ 分 ） ９６ 法 ． 个 ， 人 把 排 这 成 ４ 一 份 行 参观 其 券 中 分 甲 给 乙 ４ 两 人 人 ， 字 位数 ２ 出 有 现 Ｃ ３ ４ 两 ＝ 次 ４ 个 的 ． 四 故 位 总 数 共 有 有 Ｃ ４＋ ２ ４Ｃ ６ ２ ２ ＋ ＝ ４ ６ ＝１ 个 ４ ； 个 数 ． 字 ２ 出现三次的四
６ ， 、 解法二 由数字 组成的四位数共有 ４ 个 其中没有
不相邻的不同排法共有 种． 用数字作答 ： ２，３ ２ ＝１６ ，
（ ） 数字 的四位数只有 个 没有数字 的四位数也只有 个
答案 ２ １ ， ３ １ ，
４８０ 故符合条件的四位数共有 个．
解析 先将除甲 、 乙两人以外的 ４ 人排成一行 ， 有 Ａ ４ ４＝２４ 评析 本题考查排列组合 １ 的 ６－ 基 ２ 础 ＝１ 知 ４ 识，考查分类讨论思想，
种排法
，
再将甲
、
乙插入有
Ａ
２
５＝２０
种
，
所以
６
人排成一行
，
甲
、
解题关键是准确分类，并注意相同元素的排列数等于不同元
乙不相邻的排法共有
２４×２０＝４８０
种． 素的组合数．属于中等难度题．
１７．（２０１３浙江理，１４，４ 分）将Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 六个字母排成一
， ， ， ， ，
学生用书Ｐ１９７
定的顺序排成一列 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一
，
考点 排列、组合
个排列．
排列数定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素
１．分类计数原理、分步计数原理 （２） ： （ ≤ ）
的所有排列的个数 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排
，
（１）
完成一件事有ｎ类办法
，
各类办法相互独立
，
每类办法 列数
，
用
Ａ
ｍ
ｎ
表示．
中 同 又 方 有 法 多 种 种 数 不 的 同 和 的 这 方 就 法 是 ， 分 则 类 完 计 成 数 这 原 件 理 事 ． 的不同方法数是各类不 （３） 排列数公式 ：Ａ ｍ ｎ ＝① ｎ（ｎ －１ ）…（ｎ － ｍ ＋１ ） ．
， 全排列 ｎ个不同元素全部取出的一个排列 叫做ｎ个不
不同 （ 的 ２ 方 ） 完 法 成 则 一 完 件 成 事 这 ， 需 件 要 事 分 的 成 不 ｎ 同 个 方 步 法 骤 种 ， 每 数 一 是 步 各 的 步 完 骤 成 的 有 不 多 同 种 方 同元素 （４ 的 ） 一个全 ： 排列 ，Ａ ｎ ｎ＝ ｎ ·（ ｎ －１）·（ ｎ －２）·… ， ·３·２·１＝
法数的乘积 ， 这就是分步计数原理． ｎ ！ ．于是排列数公式写成阶乘形式为 Ａ ｍ ｎ＝② （ｎ ｎ ｍ ！ ） ！ ．规定 ０！＝１ ．
， －
２．分类计数原理 分步计数原理的联系与区别 ４．组合
、
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素并成一
（１） ： （ ≤ ）
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 组 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合．
，
组合数定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素
每类办法都能独立完成 每一步得到的只是中间结果 （２） ： （ ≤ ）
， 的所有不同组合的个数 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素
这件事 它是独立的 一 任何一步都不能独立完成这件 ，
， 、 的组合数 用 ｍ 表示．
区别一 次的 ， 且每次得到的是最 事 ， 缺少任何一步也不可 ， 只有 ， Ｃｎ
后结果 ， 只需一种方法就 各步骤都完成了才能完成这 计算公式 ｍ Ａ ｍ ｎ ｎ （ ｎ －１）…（ ｎ － ｍ ＋１） ｎ ！ ．
可完成这件事 件事 （３） ：Ｃｎ ＝ ｍ＝ ｍ ｍ ＝ｍ ｎ ｍ
Ａｍ （ －１）…１ ！（ － ）！
区别二
各类办法之间是互斥的
、
各步之间是相互依存的
，
并且 由于
０！＝１，
故
Ｃ
０ｎ＝１ ．
并列的 独立的 既不能重复也不能遗漏 ５．组合数的性质
、
３．排列 （１）Ｃ ｍ ｎ ＝③ Ｃ ｎ ｎ－ ｍ ；（２）Ｃ ｍ ｎ ＋１＝Ｃ ｍ ｎ＋Ｃ ｍ ｎ－１．
定义 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素 按照一
（１） ： （ ≤ ） ，
第十一章 计数原理 ５ ９９
学生用书Ｐ１９８
一、计数原理的应用 间隔一个答题版块的学习方法有
（ ）
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列问题与 种 种 种 种
Ａ．１９２ Ｂ．２４０ Ｃ．４３２ Ｄ．５２８
组合问题的依据 要注意二者的区别．如果任何一类办法中的任 １－２． 答案 Ｃ
，
何一种方法都能完成这件事 则选用分类加法计数原理 即类与
， ， 二、排列、组合问题的解题策略
类之间是相互独立的 即 分类完成 ．如果只有各个步骤都做
， “ ” 对于排列 组合问题常用的解题策略有以下几种
完 这件事才能完成 则选用分步乘法计数原理 即步与步之间 、 ：
， ， ， 特殊元素优先安排的策略
是相互依存的 连续的 即 分步完成 ． （１） ；
、 ， “ ” 合理分类与准确分步的策略
例１ 如图 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使 （２） ；
， ， 排列 组合混合问题先选后排的策略
同一条棱上的两端点异色．如果只有 种颜色可供使用 求不同 （３） 、 ；
５ ， 正难则反 等价转化的策略
的染色方法总数． （４） 、 ；
相邻问题捆绑处理的策略
（５） ；
不相邻问题插空处理的策略
（６） ；
定序问题除法处理的策略
（７） ；
分排问题直排处理的策略
（８） ；
小集团 排列问题中先整体后局部的策略
（９）“ ” ；
构造模型的策略．
（１０）
解析 解法一 以Ｓ Ａ Ｂ Ｃ顺序分步染色． 例２ 名男生和 名女生站成一排．
： 、 、 、 ４ ５
第一步 Ｓ点染色 有 种方法 甲不在中间也不在两端的站法有多少种
， ， ５ ； （１） ？
第二步 Ａ点染色 与Ｓ在同一条棱上 有 种方法 甲 乙两人必须站在两端的站法有多少种
， ， ， ４ ； （２） 、 ？
第三步 Ｂ点染色 与Ｓ Ａ分别在同一条棱上 有 种方法 男 女分别排在一起的站法有多少种
， ， 、 ， ３ ； （３） 、 ？
第四步 Ｃ点染色 考虑到 Ｄ 点与 Ｓ Ａ Ｃ 分别在同一条棱 男 女相间的站法有多少种
， ， 、 、 （４） 、 ？
上 需要针对Ａ与Ｃ是否同色进行分类．当Ａ与Ｃ同色时 Ｄ点 甲 乙 丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
， ， （５） 、 、 ？
有 种染色方法 当Ａ与Ｃ不同色时 因为Ｃ与Ｓ Ｂ也不同色 解题思路
３ ； ， 、 ，
所以Ｃ点有 种染色方法 Ｄ点也有 种染色方法． 考虑到甲的站位有限制 先排甲 再排其他人 也可先考虑
２ ， ２ （１） ， ， ；
由分步计数原理 分类计数原理 得不同的染色方法总数为 特殊位置 先在中间和两端排上人 再排其他位置 也可用排除法．
、 ， ， ， ；
． 考虑到甲 乙的站位有限制 先排甲和乙 再排其他人．
５×４×３×（１×３＋２×２）＝４２０ （２） 、 ， ，
解法二 按所用颜色种数分类． 涉及 排在一起 或 相邻 采用 捆绑法 ．
： （３） “ ” “ ”， “ ”
第一类 种颜色全用 共有 ５ 种不同的方法 涉及 相间 或 不相邻 采用 插空法 ．
，５ ， Ａ５ ； （４） “ ” “ ”， “ ”
第二类 只用 种颜色 则必有某两个顶点 Ａ与Ｃ或Ｂ与 定序问题采用作商法．
， ４ ， （ （５）
Ｄ 同色 共有 ４ 种不同的方法 解析 解法一 特殊优先 先排甲有 种 再排其余
） ， ２×Ａ５ ； （１） （ ）： ６ ，
第三类 ， 只用 ３ 种颜色 ， 则Ａ与Ｃ 、 Ｂ与Ｄ必定同色 ， 共有 Ａ ３ ５ 的人有 Ａ ８ ８ 种 ， 共有站法 ６Ａ ８ ８＝２４１９２０（ 种 ） ．
种不同的方法． 解法二 考虑位置 先排中间和两端的位置有 ３ 种 再
（ ）： Ａ８ ，
由分类计数原理 得不同的染色方法总数为 ５ ４ ３ 排其余位置有 ６ 种 共有站法 ３ ６ 种 ．
， Ａ５＋２×Ａ５＋Ａ５ Ａ６ ， Ａ８Ａ６＝２４１９２０（ ）
． 解法三 排除法 ９ ８ 种 ．
＝４２０ （ ）：Ａ９－３Ａ８＝２４１９２０（ ）
名师点睛 特殊优先 先排甲 乙有 ２ 种 再排其余的人有 ７
（２）（ ） 、 Ａ２ ， Ａ７
涂色问题是计数原理应用的典型问题．由于涂色本身就是策 种 共有 ２ ７ 种 ．
， Ａ２Ａ７＝１００８０（ ）
略的一个运用过程 能较好地考查学生的思维连贯性与敏捷性 捆绑法 男 女分别捆绑成两组有 ２ 种站法 男 女在
， ， （３）（ ） 、 Ａ２ ， 、
加之涂色问题的趣味性 就成为高考命题的热点之一． 本组内各有 ４ ５ 种站法
， Ａ４、Ａ５ ，
１－１ 用 这 个数字可组成无重复数字的四 故不同的站法有 ２ ４ ５ 种 ．
０，１，２，３，４，５，６ ７ Ａ２Ａ４Ａ５＝５７６０（ ）
位偶数的个数为 插空法 先排 名男生有 ４ 种站法 再将 名女生插
（ ） （４）（ ） ４ Ａ４ ， ５
空 有 ５ 种站法 共有 ４ ５ 种站法．
Ａ．５０４ Ｂ．２４０ Ｃ．１８０ Ｄ．４２０ ， Ａ５ ， Ａ４Ａ５＝２８８０
１－１． 答案 Ｄ ９
由于甲 乙 丙的顺序一定 则满足条件的站法共有Ａ９
１－２ （２０２０湖北洪湖二中月考，９） 学习强国 学习平台是 （５） 、 、 ， ３ ＝
“ ” Ａ３
由中宣部主管 以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主 种．
， ６０４８０
义思想为主要内容 立足全党员 面向全社会的优质平台 现日 ２－１ （２０２０广东深圳七中第二次月考，４） 个人排成一排准备
， 、 ， ７
益成为老百姓了解国家动态 紧跟时代脉搏的热门 ．该款软 照一张合影 其中甲 乙要求相邻 丙 丁要求分开 则不同的排法有
、 Ａｐｐ ， 、 ， 、 ，
件主要设有 阅读文章 视听学习 两个学习版块和 每日答
“ ”“ ” “ （ ）
题 每周答题 专项答题 挑战答题 四个答题版块．某人在 种 种 种 种
”“ ”“ ”“ ” Ａ．４８０ Ｂ．７２０ Ｃ．９６０ Ｄ．１２００
学习过程中 阅读文章 与 视听学习 两个学习版块之间最多 ２－１． 答案 Ｃ
，“ ” “ ”
６ ００ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２－２ （２０２０湖南长沙一中第一次月考，８）中国有十二生肖 种 种 种 种
， Ａ．３６０ Ｂ．３００ Ｃ．１５０ Ｄ．１２５
又叫十二属相 每一个人的出生年份对应了十二种动物 鼠 牛 解题思路
， （ 、 、
虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 中的一种 现有十二生肖的吉 题中涉及的学生数多于社区数 可先将学生分成 组 再进
、 、 、 、 、 、 、 、 、 ） ， ， ３ ，
祥物各一个 甲 乙 丙三位同学依次选一个作为礼物 甲同学喜 行全排列．
， 、 、 ，
欢牛和马 乙同学喜欢牛 兔 狗和羊 丙同学哪个吉祥物都喜欢 解析 分 步分析 先将 名学生分成 组 有两类分组方
， 、 、 ， ， ２ ： ５ ３ ，
如果让三位
种
同学选取礼物
种
都满意 ， 那么不
种
同的选法有
种
（ ） 法 ， 若分成 ３、１、１ 的三组 ， 则有 Ｃ ３ ５＝１０ 种分组方法 ； 若分成 １、２、
Ａ．５０ Ｂ．６０ Ｃ．７０ Ｄ．９０ １ ２ ２
２－２． 答案 Ｃ
２
的三组
，
则有Ｃ５Ｃ４
２
Ｃ２
＝１５
种分组方法
，
则一共有
１０＋１５＝２５
种
Ａ２
三、分组、分配问题的解题策略 分组方法．再将分好的三组全排列 对应三个社区 有 ３ 种情
， ， Ａ３＝６
况 则有 种不同的安排方式 故选
分组 分配问题是排列 组合的综合问题 解题思想是先分 ， ２５×６＝１５０ ， Ｃ．
、 、 ， 答案 Ｃ
组后分配．
３－１ （２０２１山东菏泽一模，６）某商场在春节前开展商品促
分组问题属于 组合 问题 常见的分组方法有三种
（１） “ ” ， ： 销活动 顾客凡购物金额满 元 即可从 福 字 春联和灯笼这
完全均匀分组 每组元素的个数都相等 ， ５０ ， “ ” 、
① ， ； 三种礼品中任意免费领取一件．若有 名顾客都领取一件礼品
部分均匀分组 应注意不要重复 ４ ，
② ， ； 则他们中有且仅有 人领取的礼品种类相同的概率是
完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象． ２ （ ）
③ ，
分配问题属于 排列 问题 常见的分配方法有三种 ５ ４ ８ ９
（２） “ ” ， ： Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
相同元素的分配问题 常用 挡板法 ９ ９ ９ １６
① ， “ ”； ３－１． 答案 Ｂ
不同元素的分配问题 利用分步乘法计数原理 先分组
② ， ， ， ３－２ （２０２０福建厦门一中月考，７）小明和小红都计划在国
后分配
； 庆节的 天假期中 到厦门 两日游 若他们不同一天出现在厦
有限制条件的分配问题 采用分类法求解． ７ ， “ ”，
③ ， 门 则他们出游的不同方案共有
例３ 安排 名学生去 个社区进行志愿服务 且每人只去 ， （ ）
５ ３ ， 种 种 种 种
一个社区 要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务 则不同 Ａ．１６ Ｂ．１８ Ｃ．２０ Ｄ．２４
， ， ３－２． 答案 Ｃ
的安排方式共有
（ ）
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１９９
排列、组合 ４． 答案 Ａ
５．（２０２１湖南衡阳联考，３）衡阳市在创建 全国卫生文明城市
１．（２０２０湖南长沙明德中学３月月考，７）现有 名学生排成一 “ ”
１０ 活动中 大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有 厨余垃
排 其中 名男生 名女生 若有且只有 名男生相邻排在一 ， “
， ４ ，６ ， ３ 圾 可回收垃圾 其他垃圾 三种不同的垃圾桶 一天 居民
起 则不同的排法共有 种． ”“ ”“ ” ， ，
， （ ） 小贤提着上述分好类的垃圾各一袋 随机每桶投一袋 则恰好
２ ２ ３ ２ ３ ２ ２ ３ ６ ２ ， ，
Ａ．Ａ６Ａ７ Ｂ．Ａ４Ａ７ Ｃ．Ａ３Ａ６Ａ７ Ｄ．Ａ４Ａ６Ａ７ 有一袋垃圾投对的概率为
１． 答案 Ｄ （ ）
２．（２０１９河北武邑中学３月月考，７）在高三下学期初 某校开展
，
教师对学生的家庭学习问卷调查活动 已知现有 名教师对
， ３ ４
名学生进行家庭问卷调查 若这 名教师每名至少到一名学生
， ３
家中进行问卷调查 这 名学生的家庭都能且只能得到一名教
， ４ １ １ １ １
师的问卷调查 那么不同的问卷调查方案的种数为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， （ ） ９ ６ ３ ２
５． 答案 Ｄ
Ａ．３６ Ｂ．７２ Ｃ．２４ Ｄ．４８
２． 答案 Ａ ６．（２０２１ 湖北九师联盟２ 月质量检测，３）若 个人排成一列纵
５
３．（２０２１湖南永州二模，５） 年湖南等 省公布了高考改革 队 则其中甲 乙 丙三人两两不相邻的排法有
２０１９ ８ ， 、 、 （ ）
综合方案 将采取 模式 即语文 数学 英语必考 考生 种 种 种 种
， “３＋１＋２” ， 、 、 ， Ａ．４ Ｂ．１４ Ｃ．５ Ｄ．１２
首先在物理 历史中选择 门 然后在政治 地理 化学 生物中 ６． 答案 Ｄ
、 １ ， 、 、 、
选择 门 则某同学选到物理 地理两门功课的概率为 ７．（２０２１上海崇明二模，１０）某学校组织学生参加劳动实践活动
２ ， 、 （ ） ，
其中 名男生和 名女生参加农场体验活动 体验活动结束
１ １ １ １ ４ ２ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 后 农场主与 名同学站成一排合影留念 则 名女生互不相
８ ５ ４ ３ ， ６ ， ２
３． 答案 Ｃ 邻 且农场主站在中间的概率等于 ． 用数字作答
， （ ）
４．（２０２１上海杨浦一模，１５）从正方体的 个顶点中选取 个作
８ ４ ７． 答案 １１
为顶点 可得到四面体的个数为
， （ ） １０５
４ ４ ４ ４
Ａ．Ｃ８－１２ Ｂ．Ｃ８－８ Ｃ．Ｃ８－６ Ｄ．Ｃ８－４
第十一章 计数原理 ６ ０１
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２００ ４０分钟 ７０分
一、单项选择题（每小题５分，共３０分）
１．（２０２０广东广州番禺线上３月检测，１０）中国古代 五行 学说
“ ”
认为 物质分 金 木 水 火 土 五种属性 并认为 金生水
： “ 、 、 、 、 ” ， ：“ 、
水生木 木生火 火生土 土生金 ．从五种不同属性的物质中随
、 、 、 ”
机抽取 种 则抽到的两种物质不相生的概率为
２ ， （ ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ４ ３ ２
１． 答案 Ｄ ６． Ａ．３ 答 ０ 案 Ｂ Ｂ．４０ Ｃ．４４ Ｄ．７０
２．（２０２１广东揭阳４月联考，３）某学校有东 南 西 北四个校门
、 、 、 ， 二、多项选择题（共５分）
受新型冠状病毒肺炎疫情的影响 学校对进入四个校门的人
，
员做出如下规定 学生只能从东门或西门进入校园 教师只能
７．（２０２１江苏七市第二次调研，１１） 杨辉三角 是中国古代数学
“ ”
： ，
从南门或北门进入校园 现有 名教师和 名学生要进入校园 杰出的研究成果之一．如图所示 由杨辉三角的左腰上的各数
， ２ ３ ，
不分先后顺序 则进入校园的方式共有 出发 引一组平行线 从上往下每条线上各数之和依次为
（ ）， （ ） ， ， １，１，
种 种 种 种 则
Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．２４ Ｄ．３２ ２，３，５，８，１３，…， （ ）
２． 答案 Ｄ
３．（２０２０山东潍坊临朐模拟，８）现有 种不同颜色要对如图所示
４
的四个部分进行着色 要求有公共边界的两块不能用同一种
，
颜色 则不同的着色方法共有
， （ ）
在第 条斜线上 各数之和为
Ａ． ９ ， ５５
在第ｎ ｎ 条斜线上 各数自左往右先增大后减小
Ｂ． （ ≥５） ，
种 种 种 种 ｎ ｎ
Ａ．２４ Ｂ．３０ Ｃ．３６ Ｄ．４８ 在第ｎ条斜线上 共有２ ＋１－（－１） 个数
３． 答案 Ｄ Ｃ． ，
４
４．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，８）中国古典乐器一般按 八 在第 条斜线上 最大的数是 ３
“ Ｄ． １１ ， Ｃ７
音 分类 这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类 ７． 答案 ＢＣＤ
” ，
的方法 最早见于 周礼 春官 大师 ．八音分为 金 石 土
， 《 · · 》 “ 、 、 、 三、填空题（每小题５分，共３５分）
革 丝 木 匏 竹 其中 金 石 木 革 为打击乐器 土 匏
、 、 、 、 ”， “ 、 、 、 ” ，“ 、 、 ８．（２０２０山东济宁一中质量检测，１５） 中国梦 的英文翻译为
竹 为吹奏乐器 丝 为弹拨乐器．某同学安排了包括 土 匏 “ ”
” ，“ ” “ 、 、 其中 又可以简写为 从
竹 在内的六种乐器的学习 每种乐器安排一节 连排六节 并 “Ｃｈｉｎａ Ｄｒｅａｍ”， Ｃｈｉｎａ ＣＮ， “ＣＮ Ｄｒｅａｍ”
” ， ， ， 中取 个不同的字母排成一排 含有 字母组合 顺序不
要求 土 与 匏 相邻排课 但均不与 竹 相邻排课 且 丝 ６ ， “ｅａ” （
“ ” “ ” ， “ ” ， “ ” 变 的不同排列共有 种．
不能排在第一节 则不同的排课方式的种数为 ）
， （ ） ８． 答案
６００
Ａ．９６０ Ｂ．１０２４ Ｃ．１２９６ Ｄ．２０２１ ９．（２０２０普通高等学校招生全国统一模拟考试）五声音阶是中国
４． 答案 Ｃ
古乐基本音阶 故有成语 五音不全 ．中国古乐中的五声音阶
５．（２０２１广东揭阳４月联考，５）中医是中国传统文化的瑰宝 中 ， “ ”
， 依次为宫 商 角 徴 羽 如果把这五个音阶全用上 排成一个
医方剂不是药物的任意组合 而是根据中药配伍原则 总结临 、 、 、 、 ， ，
， ， 五个音阶的音序 并要求宫 羽两音阶不相邻且在角音阶的同
床经验 用若干药物配制组成的药方 以达到取长补短 辨证 ， 、
， ， ， 侧 可排成 种不同的音序．
论治的目的 中医传统名方 八珍汤 是由补气名方 四君子 ，
， “ ” “ ９． 答案
汤 由人参 白术 茯苓 炙甘草四味药组成 和补血名方 四 ３２
”（ 、 、 、 ） “ １０．（２０１９河北衡水中学第一次摸底，１５）由数字 组成的一串
物汤 由熟地黄 白芍 当归 川芎四味药组成 两个方共八味
０，１
”（ 、 、 、 ）
数字代码 其中恰好有 个 个 则这样的不同数字代码
药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从 八珍汤 的八味药
， ７ １，３ ０，
“ ”
中任取四味 取到的四味药刚好组成 四君子汤 或 四物汤
共有 个．
， “ ” “ ”
的概率是 １０． 答案
（ ） １２０
１１．（２０２０南师附中期初检测，１３）若ａ是从 四个数中任
１ １ １ １ ０，１，２，３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 取的一个数 ｂ是从 两个数中任取的一个数 则关于ｘ的
３５ ７０ ８４０ １６８０ ， １，２ ，
５． 答案 Ａ 一元二次方程ｘ２ ａｘ ｂ２ 有实根的概率是 ．
＋２ ＋ ＝０
６．（２０２１广东广州一模，６）如图 洛书 古称龟书 是阴阳五行术
， （ ） １１． 答案 ５
数之源．在古代传说中有神龟出于洛水 其甲壳上有此图象 结
， ， ８
构是戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足 以五居中 五 １２．（２０２１江苏盐城二模，１３）某班 名同学去参加 个社团 每
， ， ， ， ， ４ ３ ，
方白圈皆阳数 四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中 人只参加 个社团 每个社团都有人参加 则满足上述要求的
， １ ， ，
随机选取 个数 则选取的 个数之和为奇数的方法数为 不同方案共有 种． 用数字填写答案
３ ， ３ （ ）
１２． 答案
（ ） ３６
６ ０２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
１３．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，１４）在一次去敬老 １４．（２０２１广东韶关一模，１５）现有标号为 的 件
①，②，③，④，⑤ ５
院献爱心活动中 甲 乙 丙 丁 戊 名同学比带队老师先到 不同新产品 要放到三个不同的机构进行测试 每件产品只能
， 、 、 、 、 ５ ， ， ，
老师想知道他们到的先后顺序 甲说乙不是最早的 乙说甲不 放到一个机构里．机构 各负责一个产品 机构 负责余下
， ， Ａ，Ｂ ， Ｃ
是最晚的 丙说他比乙先到．若他们说的都为真话 从上述回答 的三个产品 其中产品 不在 机构测试的情况有 种．
， ， ， ① Ａ
分析 人可能到的先后顺序的不同情况种数为 ． 用 结果用具体数字表示
，５ （ （ ）
数字填写答案 １４． 答案
） １６
１３． 答案
４８
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 须排在一起 则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有
，
１．（２０２１四川联合诊断，７） 年北京冬季奥运会组委会招聘
２０２２ （ ）
了 名志愿者 分别参与冰壶 冰球 花样滑冰 自由式滑雪 越 种 种
５ ， 、 、 、 、 Ａ．２４０ Ｂ．１２０
野滑雪五项比赛项目的前期准备工作 若每个人只能担任其 种 种
， Ｃ．１８８ Ｄ．１５６
中一项工作 且志愿者甲不能在越野滑雪项目 则不同的派遣 答案 Ｂ 根据题意 按甲班位置分 种情况讨论．
， ， ， ３
方法种数共有 甲班排在第一位 丙班和丁班排在一起的情况有 ２
（ ） （１） ， ４Ａ２＝８
种 将剩余的三个班全排列 安排到剩下的 个位置 有 ３
Ａ．１２０ Ｂ．９６ Ｃ．４８ Ｄ．２４ ， ， ３ ， Ａ３＝６
答案 Ｂ 根据题意 甲有 种派法 其余 人共有 种派 种情况 此时有 种安排方案
， ４ ， ４ ２４ ， ８×６＝４８ ；
法 于是共有 种派遣方法． 甲班排在第二位 丙班和丁班在一起的情况有 ２ 种
， ９６ （２） ， ３Ａ２＝６ ，
２．（２０２１四川顶级名校检测，７）成都七中举行的秋季运动会中 将剩下的三个班全排列 安排到剩下的三个位置 有 ３ 种
， ， ， Ａ３＝６
有甲 乙 丙 丁四位同学参加了 米短跑比赛 现将四位同学 情况 此时有 种安排方案
、 、 、 ５０ ， ， ６×６＝３６ ；
安排在 这 个跑道上 每个跑道安排一名同学 则甲 甲班排在第三位 丙班和丁班排在一起的情况有 ２
１，２，３，４ ４ ， ， （３） ， ３Ａ２＝６
不在 跑道 乙不在 跑道的不同安排方法有 种 将剩下的三个班全排列 安排到剩下的三个位置 有 ３
１ ， ２ （ ） ， ， ， Ａ３＝６
种 种 种 种 种情况 此时有 种安排方案．
Ａ．１２ Ｂ．１４ Ｃ．１６ Ｄ．１８ ， ６×６＝３６
答案 Ｂ 根据题意 分 种情况讨论 由加法计数原理可知共有 种方案 故选 ．
， ２ ： ４８＋３６＋３６＝１２０ ， Ｂ
若甲在 跑道上 剩下 人任意安排在其他 个跑道上 有 ６．（２０２１安徽皖江名校联盟，９）有 位学生春游 其中小学生
① ２ ， ３ ３ ， ８ ， ２
Ａ ３ ３＝６ 种安排方法 ， 名 、 初中生 ３ 名 、 高中生 ３ 名．现将他们排成一列 ， 要求 ２ 名小
若甲不在 跑道上 则甲的安排方法有 种 乙的安排方法 学生相邻 名初中生相邻 名高中生中任意两名都不相邻
② ２ ， ２ ， 、３ ，３ ，
也有 种 剩下 人任意安排在其他 个跑道上 有 种安排 则不同的排法种数有
２ ， ２ ２ ， ２ （ ）
方法 此时有 种安排方法． 种 种
， ２×２×２＝８ Ａ．２８８ Ｂ．１４４
故有 种不同的安排方法． 种 种
６＋８＝１４ Ｃ．７２ Ｄ．３６
３．（２０２１江西宜春月考，８） 回文数 是指从左到右读与从右到 答案 Ｂ 第一步 先将 名小学生看成一个人 名初中生
“ ” ， ２ ，３
左读都一样的正整数．如 等．那么在四位数中 回 看成一个人 然后排成一排有 ２ 种不同排法
２２，１２１，３４４３ ， ， Ａ２ ；
文数共有 第二步 将 名高中生插在这两个整体形成的 个空当中 有
（ ） ， ３ ３ ，
个 个 个 个 ３ 种不同排法
Ａ．８１ Ｂ．９０ Ｃ．１００ Ｄ．９００ Ａ３ ；
答案 Ｂ 位回文数只需排列前两位数字 后面数字即可 第三步 排 名小学生有 ２ 种不同排法 排 名初中生有 ３
４ ， ， ２ Ａ２ ， ３ Ａ３
确定．因为最高位不能为 因此最高位有 种排法 百位有 种不同排法．
０， ９ ， １０
种排法 所以回文数共有 个． 根据分步计数原理 共有 ２ ３ ２ ３ 种不同排法．
， ９×１０＝９０ ， Ａ２Ａ３Ａ２Ａ３＝１４４
４．（２０２１河南顶级名校月考，１１）甲 乙 丙 丁 戊五位妈妈相约 ７．（２０２１浙江杭州二中高三下开学考，６）美国对华为实行禁令
、 、 、 、 ，
各带一个小孩去观看花卉展 她们选择共享电动车出行 每辆 为了突围实现技术自主 华为某分公司抽调了含甲 乙的 个
， ， ， 、 ５
电动车只能载两人 其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车 甲 工程师到华为总部的 个不同技术部门参与研发 要求每个工
， ， ４ ，
的小孩一定要坐戊妈妈的车 则她们坐车不同的搭配方式有 程师只能去一个部门 每个部门至少去一个工程师 且甲 乙
， ， ， 、
两人不能去同一个部门 则不同的安排方式一共有
（ ） ， （ ）
种 种 种 种 ． 种 ． 种 ． 种 ． 种
Ａ９６ Ｂ１２０ Ｃ１８０ Ｄ２１６
Ａ．１２ Ｂ．１１ Ｃ．１０ Ｄ．９
答案 Ｂ 设甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊五位妈妈的孩子分别为ａ 、 ｂ 、 答案 Ｄ 首先将 ５ 个工程师分成满足条件的 ４ 组 ， 共有 Ｃ ２ ３
ｃ ｄ ｅ 对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车即可 由于甲的 １ １ 种
、 、 ， ， ＋Ｃ３Ｃ２＝９ ；
小孩一定要坐戊妈妈的车 故戊与ａ对应 对其余的四个小孩 再将 组分配到 个部门 共有 ４ 种分配方式．
， ， ４ ４ ， Ａ４＝２４
按照 不坐自己妈妈的车 进行排列 满足题意的排法为ｂｃｄｅ 由分步乘法计数原理可知 共有 种不同的安排方
“ ” ， ， ， ９×２４＝２１６
ｂｄｅｃ ｂｅｄｃ ｃｄｂｅ ｃｄｅｂ ｃｅｄｂ ｄｃｂｅ ｄｃｅｂ ｄｅｂｃ ｅｃｄｂ ｅｄｂｃ 共有 式 故选 ．
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， Ｄ
种． 小题巧解 分组方式的计数也可考虑其反面，共 ２ ２ 种．
１１ Ｃ５－Ｃ２＝９
５．（２０２１四川宜宾重点高中二诊，８）受新冠病毒肺炎疫情影响 再将 组分配到 个部门，共有 ４ 种分配方式．由分步乘法计
， ４ ４ Ａ４＝２４
某学校按上级文件指示 要求错峰放学 错峰有序吃饭．高三年 数原理可知，共有 种不同的安排方式，故选 ．
， ， ９×２４＝２１６ Ｄ
级一层楼六个班排队 甲班必须排在前三位 且丙班 丁班必 ８．（２０２１浙江“９＋１”联盟４月联考，７）国际冬奥会和残奥会两个
， ， 、
第十一章 计数原理 ６ ０３
奥运会将于 年在北京召开 这是我国在 年成功举办 第一类 由两个 组成 二进制数为 转化为十进制
２０２２ ， ２００８ ： “———” ， １１，
夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间 数 为 ．
， ３
某段时间连续播放 个广告 其中 个不同的商业广告和 个 第二类 由两个 组成 二进制数为 转化为十进制
５ ， ３ ２ ： “— —” ， ００，
不同的奥运宣传广告 要求最后播放的必须是奥运宣传广告 且 数 为 ．
， ， ， ０
个奥运宣传广告不能相邻播放 则不同的播放方式有 第三类 由一个 和一个 组成 二进制数为
２ ， （ ） ： “———” “— —” ， １０
． 种 ． 种 或 转化为十进制数 为 或 ．
Ａ１２０ Ｂ４８ ０１， ， ２ １
． 种 ． 种 所以从两类符号中任取 个符号排列 可以组成的不同的十
Ｃ３６ Ｄ１８ ２ ，
答案 Ｃ 解法一 特殊元素优先排列 先考虑 个奥运宣 进制数为 故选 ．
（ ）： ２ ０，１，２，３， ＡＢＣＤ
传广告的位置 一个为最后播放 另一个只能是在前三个中任 １２．（２０２１届江苏启东中学检测，９）在 件产品中 有 件合
， ， １００ ， ９８
意一个位置播放 共有 １ ２ 种情况 然后考虑 个不同的商业 格品 件不合格品．从这 件产品中任意抽出 件 则下列
， Ｃ３Ａ２ ； ３ ，２ １００ ３ ，
广告的位置 ， 有 Ａ ３ ３ 种情况 ． 因此 ， 一共有 Ｃ １ ３Ａ ２ ２Ａ ３ ３＝３６ 种情况． 结论正确的有 （ ）
故选 ． 抽出的 件产品中恰好有 件是不合格品的抽法有
Ｃ Ａ． ３ １
解法二 （ 插空法 ）： 先考虑 ３ 个不同的商业广告的顺序 ， 有 Ａ ３ ３ Ｃ １ ２Ｃ ２ ９８ 种
种情况 然后考虑 个奥运宣传广告的位置 一个为最后播放 抽出的 件产品中恰好有 件是不合格品的抽法有
； ２ ， ， Ｂ． ３ １
另一个只能是插空放入前三个产生的 个空位中 只是不能 １ ２ 种
３ （ Ｃ２Ｃ９９
放入最后 ）， 共有 Ｃ １ ３Ａ ２ ２ 种情况．因此 ， 一共有 Ａ ３ ３Ｃ １ ３Ａ ２ ２＝３６ 种情 Ｃ． 抽出的 ３ 件中至少有 １ 件是不合格品的抽法有 （Ｃ １ ２Ｃ ２ ９８＋
况故选Ｃ ２ １ 种
． ． Ｃ２Ｃ９８）
解法三 先排特殊的位置上的元素 将位置按顺序记为 抽出的 件中至少有 件是不合格品的抽法有 ３
（ ）： １～５ Ｄ． ３ １ （Ｃ１００－
号 ， 先考虑 ５ 号位 ， 只能是 ２ 个奥运宣传广告之一 ， 共有Ｃ１ ２ 种 Ｃ ３ ９８） 种
情况 然后考虑与之相邻的 号位 只能是 个商业广告之一 答案 ＡＣＤ 根据题意 若抽出的 件产品中恰好有 件
； ４ ， ３ ， ， ３ １
共有Ｃ１ 种情况 剩下的 号位将剩余广告全排列放入即 是不合格品 即抽出的 件产品中有 件合格品 件不合格
３ ； １～３ ， ３ ２ ，１
可 共有Ａ３ 种情况．因此 一共有Ｃ１Ｃ１Ａ３ 种情况．故选 ． 品 则合格品的抽法有 ２ 种 不合格品的抽法有 １ 种 则恰
， ３ ， ２ ３ ３＝３６ Ｃ ， Ｃ９８ ， Ｃ２ ，
９．（２０２１浙江宁波十校３月联考，８）现有 个相同的球要放到 好有 件是不合格品的抽法有 １ ２ 种 则 正确 错误
９ ３ １ Ｃ２Ｃ９８ ， Ａ ，Ｂ ；
个不同的盒子里 每个盒子至少一个球 各盒子中球的个数互 抽出的 件中至少有 件是不合格品 有 种情况
， ， ３ １ ， ２ ；
不相同 则不同放法的种数是 抽出的 件产品中有 件合格品 件不合格品 有 １ ２
， （ ） ① ３ ２ ，１ ， Ｃ２Ｃ９８
． ． ． ． 种抽法
Ａ２８ Ｂ２４ Ｃ１８ Ｄ１６ ，
答案 Ｃ 本题属于经典的方程解的问题． 抽出的 件产品中有 件合格品 件不合格品 有 ２ １
② ３ １ ，２ ， Ｃ２Ｃ９８
将 拆成互异的三个正整数之和 有如下 种情况 种抽法
９ ， ３ ： ，
９＝１＋２＋６＝１＋３＋５＝２＋３＋４； 则抽出的 ３ 件中至少有 １ 件是不合格品的抽法有 （Ｃ １ ２Ｃ ２ ９８＋
然后分配到三个不同的盒子中 ， 有 Ａ ３ ３ 种不同分配方式 ， Ｃ ２ ２Ｃ １ ９８） 种 ，Ｃ 正确 ；
１０ 由 ．（ 赴 分 ２０ 步 ２ 所 １ 乘 浙 医 法 江 院 计 湖 支 数 丽 援 原 衢 抗 理 三 疫 可 地 要 知 市 求 ， 共 ４ 每 月 有 位 联 ３ 医 Ａ 考 ３ ３ 生 ＝ ， 只 ８ １ ） ８ 能 某 种 去 市 放 一 抽 法 所 调 ， 故 医 ５ 选 院 位 Ｃ 医 每 ． 生 所 分 医 使 其 用 中 间 全 接 部 法 为 ： 合 在 格 １ 品 ００ 的 件 抽 产 法 品 有 中 Ｃ 任 ３ ９８ 选 种 ， ３ 件 ， 有 Ｃ ３ １００ 种抽法 ，
４ ， ， 则抽出的 件中至少有 件是不合格品的抽法有 ３ ３
院至少安排一位医生．由于工作需要 甲 乙两位医生必须安
３ １ （Ｃ１００－Ｃ９８）
， 、 种 正确．故选 ．
，Ｄ ＡＣＤ
排在不同的医院 则不同的安排种数是
， （ ） 三、填空题
． ． ． ．
Ａ９
答
０
案 Ｂ 先
Ｂ
对
２１６
位医生进
Ｃ
行
１
分
４４
组 再排列
Ｄ
．
２４０ １３．（２０２１浙江宁波二模，１５）
７
个人分乘三辆不同的汽车
，
每辆
５ ，
车最多坐 人 则不同的乘车方法有 种 用数字作
设除甲 乙外的三位医生分别为Ａ Ｂ Ｃ． ３ ， （
、 ， ， 答 ．
首先 将 位医生分 组 有以下三种分法 ）
， ５ ４ ， ： 答案
甲 乙 Ａ ＢＣ 甲Ａ 乙 Ｂ Ｃ 甲 乙Ａ Ｂ Ｃ． １０５０
① ， ， ， ；② ， ， ， ；③ ， ， ， 解析 分两类 先分组后排列．
所以分组数为 ２ １ １ ，
Ｃ３＋Ｃ３＋Ｃ３＝９．
将 所 其 以 安 由 排 分 到 步乘 ４ 所 法 医 计 院 数 中 原 ， 理 共 可 有 知 Ａ ， ４ ４ 共 ＝ 有 ２４ ９ 种 ×２ 排 ４ 法 ＝２ ． １６ 种安排方法． ① 三辆车分别坐 ３，３，１ 人 ： Ｃ ３ ７ Ａ Ｃ ３ ４ ２ ２ Ｃ １ １ ·Ａ ３ ３＝４２０．
３ ２ ２
二、多项选择题 三辆车分别坐 人 Ｃ７Ｃ４Ｃ２ ３ ．
② ３，２，２ ： ２ ·Ａ３＝６３０
１１．（２０２１届山东师大附中模拟） 二进制 与我国古代的 易经 Ａ２
“ ” 《 》 综上 不同的乘车方法有 种．
有着一定的联系 该书中有两类最基本的符号 和 ， ４２０＋６３０＝１０５０
， ：“———” “— １４．（２０２１浙江温州二模，１５）有 辆不同的红色车和 辆不同的
其中 在二进制中记作 在二进制中记 ２ ２
—”， “———” “１”，“——” 黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内 要求相同
作 其变化原理与 逢二进一 的法则相通．若从两类符号 ，
“０”， “ ” 颜色的车不在同一行也不在同一列 则共有 种不同
中任取 个符号排列 则可以组成的不同的十进制数为 ，
２ ， 的停放方法． 用数字作答
（ ）
（ ） Ａ Ｂ Ｃ
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 ＡＢＣＤ 从两类符号中任取 个符号排列的情况可 Ｄ Ｅ Ｆ
２
分为三类． 答案
７２
６ ０４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 先排第一行 有 １ １ ２ 种排法 则第 行用列 雄 时代楷模 全国道德模范 称号的几位先进人物代表
， Ｃ２Ｃ２Ａ３＝２４ ， ２ ”“ ”“ ”
举法可知有 种排法 所以总共有 种不同的停放方法． 共度新春佳节 他们是 人民英雄 陈薇 时代楷模 毛相林
３ ， ７２ ， “ ” ，“ ” 、
１５．（２０２１黑龙江齐齐哈尔模拟，１４）安排 个党员 含小吴 去 张连刚 林占禧 全国道德模范 张晓艳 周秀芳 张家丰 朱
５ （ ） ３ 、 ，“ ” 、 、 、
个不同小区 含Ｍ小区 做宣传活动 每个党员只能去 个小 恒银 从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜
（ ） ， １ ，
区 且每个小区都有党员去宣传 其中至少安排 个党员去Ｍ 年 则不同的发言情况有 种．
， ， ２ ，
小区 但 是 小 吴 不 去 Ｍ 小 区 则 不 同 的 安 排 方 法 答案
， ， ３８
数为 ． 解析 分三种情况 第一种 从 人民英雄 时代楷模 中
： ， “ ”“ ”
答案 各选一位 有 １ ２ 种不同的发言情况 第二种 从 人民
４４ ， Ｃ３Ａ２＝６ ； ， “
解析 Ｍ小区若安排 ３ 个 ， 则有 Ｃ ３ ４Ａ ２ ２＝８ 种 ； Ｍ小区若安排 英雄 ”“ 全国道德模范 ” 中各选一位 ， 有 Ｃ １ ４Ａ ２ ２＝８ 种不同的发
个 则有 ２ ２ ２ 种．故不同的方法数为 ． 言情况 第三种 从 时代楷模 全国道德模范 中各选一位
２ ， Ｃ４Ｃ３Ａ２＝３６ ８＋３６＝４４ ； ， “ ”“ ” ，
思路分析 按照Ｍ小区安排 个党员和 个党员进行分 有 １ １ ２ 种不同的发言情况．故不同的发言情况有
２ ３ Ｃ３Ｃ４Ａ２＝２４ ６＋８
类，再利用加法计数原理求解． 种．
＋２４＝３８
１６．（２０２１吉林模拟，１４）辛丑牛年春晚现场请来了荣获 人民英
“
学生用书Ｐ２０１
１．（２０２１ ５·３原创题）已知集合Ａ Ｂ ａ ａ ａ ａ 记Ａ Ｂ 满足 ａ ａ ａ ａ 且ａ ａ 则这样
∪ ＝｛ １， ２， ３， ４｝， ≠ １，２，３，４，５，６，７，８，９｝） ： １＜ ２， ２＞ ３， ２－ ３＜６，
时 Ａ Ｂ 与 Ｂ Ａ 视为不同的对 则这样的 Ａ Ｂ 对的个数 的三位数的个数是 ．
，（ ， ） （ ， ） ， （ ， ）
为 ３． 答案
（ ） １７０
４．（２０２１ ５·３原创题）湖北省博物馆 镇馆之宝 之一的曾侯乙
Ａ．５４ Ｂ．７２ Ｃ．８１ Ｄ．９０ “ ”
１． 答案 Ｃ 编钟是世界上现存规模最大 最完整的编钟．它音乐性能良好
、 ，
２．（２０２１ ５·３原创题）某幼儿园组织一次联欢活动 活动中需要 音域宽广 音调准确 音色优美 具有 一钟双音 的特点 即一
， ， ， ， “ ” ，
将印有鸡 狗 羊 马 虎的五个彩球分给小明 小红 小花 小 个钟能够演奏两种不同的乐音．此套编钟共计 件 分三层悬
、 、 、 、 、 、 、 ６５ ，
刚四位小朋友 如果每位小朋友都分到彩球 且印有羊 马的 挂在钟架上．现有演奏员一名 双手持木槌演奏 可以单手敲击
， ， 、 ， ，
两个彩球不能分给同一个小朋友 则不同的分法种数为 出单音 也可以双手敲击出合音 不可双手敲击编钟的同一部
， ， ，
位 臂长所及范围内有 个钟 则这名演奏员可以敲击出
（ ） ， １２ ，
个不同的乐音．
Ａ．２４０ Ｂ．１２０ Ｃ．２１６ Ｄ．２４
２． 答案 Ｃ ４． 答案
３００
３．（２０２１ ５·３原创题）已知三位数ａ ａ ａ 其中ａ ａ ａ
１ ２ ３（ １， ２， ３∈｛０，
