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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 51 练 二项式定理（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题） 的展开式中 的系数为（ ）．
A． B． C．40 D．80
【答案】D
【分析】写出 的展开式的通项即可
【详解】 的展开式的通项为
令 得
所以 的展开式中 的系数为
故选：D
【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.
2．（2022·北京·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，故选：B.
二、填空题
3．（2023·天津·统考高考真题）在 的展开式中， 项的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式 ，令 确定 的
值，然后计算 项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.
4．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式 ，则
， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 求出 ，再令 即可得出答
案．
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，故答案为： ； ．
5．（2022·全国·统考高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作
答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
6．（2022·天津·统考高考真题） 的展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入
即可得解.
【详解】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．（2021·天津·统考高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
8．（2021·北京·统考高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令 的指数为零，求解并计算得到答案.
【详解】 的展开式的通项
令 ，解得 ，
故常数项为 ．
故答案为： .
三、双空题
9．（2021·浙江·统考高考真题）已知多项式 ，则
， .
【答案】 ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出 的展开式，即可得出结论.
【详解】 ，，
所以 ，
，
所以 .
故答案为： .
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1． 展开式的常数项是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】A
【分析】利用二项展开式的通项进行求解即可.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以展开式的常数项是 .
故选：A.
2．二项式 展开式的常数项为（ ）
A． B．60 C．120 D．240
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.
【详解】 展开式的通项为： ，令 得 ，
所以展开式的常数项为 ，
故选：B．
3．二项式 的展开式中，含 项的系数是（ ）
A． B．462 C．792 D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以 项的系数是 ，
故选:D
4．在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B．21 C．189 D．
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.
【详解】由二项展开式的通项公式得 ，令 得 ，
所以 的系数为 .
故选：B.
5．已知 的展开式中， 的系数为80，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项，由指定项的系数，求 的值.【详解】 展开式的通项为 ，
当 ，有 ，则展开式中 的系数为 ，
所以 ，解得 .
故选：B
6． 的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得 的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.
【详解】依题意， 的展开通项公式为 ，其系数为 ，
当 为奇数时， 才能取得最小值，
又由二项式系数的性质可知， 是 的最大项，
所以当 时， 取得最小值，即第6项的系数最小.
故选：C．
7．在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中所有项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．256
【答案】B
【分析】先根据只有第 项的二项式系数最大确定 的值，再令 求解即可．
【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，则 ．
即 ，令 ，得到 ．
故选：B.8．“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.
【详解】 展开式的通项为： ；
当 时，取 ，则 ，故充分性成立；
当 时， 展开式中存在常数项，如 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ 的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.
故选：A.
9．已知 的展开式中的常数项为15，则a的值为（ ）
A．1 B．－1或4 C．1或4 D．4
【答案】C
【分析】求得二项展开式的通项，结合题意，求得 或 ，分类讨论，即可求得 的值.
【详解】由二项式 的展开式的通项为 ，
因为展开式中常数项为15，所以 ，得 或 ，
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
所以 或 ．
故选：C．10．在 的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中 项的系数（ ）
A．15 B．54 C．12 D．-54
【答案】B
【分析】利用赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】因为二项式系数的和是16，
所以 ，
二项式 的通项公式为 ，
令 ，所以展开式中 项的系数 ，
故选：B
11．已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．36 B．30 C．15 D．10
【答案】C
【分析】先根据“所有项的系数和”求得 ，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】令 ，则可得所有项的系数和为 且 ，解得 ，
∵ 的展开式中的通项 ，
∴当 时，展开式中的常数项为 .
故选：C
12． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
【答案】B
【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.
【详解】 ，而 展开式的通项为 ，
所以当 时， 的系数为 ，
当 时， 的系数为 ，
所以 的系数为 ，
故选：B
13．已知多项式 ，则 （ ）
A．0 B．4 C．8 D．32
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答.
【详解】依题意，令 ，得 .
故选：A
14． 的展开式中不含 项，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，因为 的展开式中不含 项，所以
，解得 ，
故选：C．
15．在 的展开式中， 的系数是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．40
【答案】D
【分析】根据题意， 的项为 ，化简后即可求解.【详解】根据题意， 的项为 ，
所以 的系数是 .
故选：D．
二、多选题
16．下列关于 的展开式的说法中正确的是（ ）
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
【答案】ACD
【分析】利用二项展开式的通项和二项式系数的性质求解.
【详解】 展开式的通项为 .
对于A，令 ，解得 ，∴常数项为 ，A正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0，2，4，6，
∴ ， ， ， ，
∴展开式第5项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为 ，D正确.
故选：ACD.
17．关于二项式 的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项
【答案】BCD
【分析】选项A，取 验证即可，选项B二项式系数和为 验证即可，利用二项式展开式的通项求解即
可，利用C选项的展开式通项公式验证即可.
【详解】A选项：取 ．有 ，A错，
B选项：展开式二项式系数和为 ，B对，
C选项：由 ，
则 时即为第5项为 ，C对，
D选项：由C选项可知 恒成立，D对，
故选：BCD.
18．已知 的展开式中，所有项的系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．奇数项的系数和为512
C．展开式中有理项仅有两项 D．
【答案】BD
【分析】利用赋值法，结合二项式的通项公式、组合数的性质逐一判断即可.
【详解】在 中，令 ，由题意可知： ，
因为 ，所以选项A不正确；
在 中，令 ，可得 ，
而 ，所以 ，因此选项B正确；二项式 的通项公式为 ，
当 时，才是有理项，因此选项C不正确；
设 ，
所以有 ，
得： ，
因此选项D正确，
故选：BD
19．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据二项式定理以及赋值法相关知识直接计算求解即可.
【详解】对于A，令 ，得到 ，故A正确；
对于B， 的通项公式为 ，
令 ，得到 ，
令 ，得到 ，
所以 ，故B错误；
对于C，令 ，得到 ，故C正确；
对于D，令 ，则 ，又因为 ，两式相减得 ，则 ，故D正确.
故选：ACD
20．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案.
【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确；
对B，根据二项式展开通式得 的展开式通项为 ，即 ，其中
所以 ，故B正确；
对C，取 ，则 ，
则 ，故C错误；
对D，取 ，则 ，
将其与 作和得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
21． 的展开式中 的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】 ，故 的展开式中 的项只能是 中出现的 ，
由于 中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为
故答案为：
22．已知二项式 的展开式中的常数项为15，则 .
【答案】
【分析】应用二项式通项公式及已知常数项列方程求参数a即可.
【详解】由题设，二项式展开式通项为 ，
令 ，故 .
故答案为：
23． 的展开式的第三项的系数为135，则 ．
【答案】6
【分析】先写出展开式的通项公式 ；再令 ，列出等式求解即可.
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
则第三项的系数为 ，即 ，解得 （舍去）或 ．
故答案为：6.
24． 的展开式中 的系数为 ．
【答案】
【分析】二项式展开式的通项为 ，取 ，计算得到答案.【详解】 的展开式的通项为 ．
令 ，解得 ，
所以 的展开式中 的系数为 ．
故答案为： .
25．已知 ，则 .
【答案】648
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】 的展开式的通项公式为： ，
所以 ,
,
则 .
故答案为：648
26．若 的展开式的二项式系数之和为16，则 的展开式中 的系数为 .
【答案】56
【分析】通过二项式系数和求出 ，然后求出 展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即
可.
【详解】由 的展开式的二项式系数之和为16，得 ，所以 ，
则 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，故 的展开式中 的系数为 .
故答案为：56
27．若 的展开式中含有 项，则n的值可以是 （写出满足条件的一个 值即
可）.
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项为 ，然后由已知得出 .
【详解】 的展开式的第 项为 .
当 时， .
故可取 ，此时 （答案不唯一）.
故答案为：7.
28． 的展开式中 项的系数为 ．
【答案】80
【分析】只需6个因式中3个因式取 、3个因式取 或2个因式取 、1个因式取 、3个因式取1，根
据组合知识得到答案.
【详解】 可以看成6个因式 相乘，
所以 的展开式中含 的项为3个因式取 、3个因式取
或2个因式取 、1个因式取 、3个因式取1，
所以 的展开式中含 项的系数为 ．故答案为：80
29．若 ，则 .
【答案】15
【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.
【详解】不妨设 ，
令 得 ，
令 得 ，
所以 .
故答案为：15.
30．若 展开式中 的系数为 ，则 .
【答案】
【分析】由题意得 ，结合二项式展开式的通项公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知， ，
展开式的通项公式为 ，
所以含 的项的系数为 ，
则 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1． 的展开式中的常数项为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 的通项可得答案.
【详解】 的通项为 ,
令 ，得 ，所以常数项为 .
故选：A.
2． 展开式中 项的系数为160，则 （ ）
A．2 B．4 C．－2 D．
【答案】C
【分析】在 展开式的通项公式中，令 得 项的系数，令其等于160即可求出 的值.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 项的系数为 ，
依题意 ，得 .
故选：C
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．672 D．112
【答案】A
【分析】首先展开式为 ，再根据 的二项展开式的通项公式，
求展开式中 的系数.【详解】因为 的展开式的通项为 ，
所以 ，展开式中 的系数为 .
故选：A
4．已知 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ）
A． B．二项式系数之和为256
C．将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为 D．展开式中的常数项为15
【答案】D
【分析】A.由二项式系数的性质判断；B.二项式系数之和为 求解判断；C.利用二项展开式的通项公式求
解判断；D.利用二项展开式的通项公式求解判断.
【详解】解：因为 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，
所以 ，故A错误；
二项式系数之和为 ，故B错误；
二项展开式的通项公式为 ，若 为整数，则 ，
所以将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为 ，故C错误；
二项展开式的通项公式为 ，令 得 ，则展开式的常数项为 ，故D
正确；
故选：D
5．已知 的展开式中常数项为20，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】将三项式转化为二项式，求出通项公式求解即可.【详解】 ，
其通项公式为： ，
当 时， ，解得： .
故选：A.
6．若 的展开式中系数为整数的项有k项，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项得 ，则 ，则得到答案.
【详解】二项式 的通项为 （其中 ， ）.
若项的系数为整数，则 为自然数，所以 ，所以 .
故选：B.
7．若 的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由 ，利用 的展开式的通项公式，分别求得
和 的常数项求解.
【详解】解： ，的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，则 的展开式的常数项为 ；
令 ，解得 ，则 的展开式的常数项为 ，
因为 的展开式中常数项是10，
所以 ，解得 ，
故选：D
8．若 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】因为 ，
令 得， ①，
令 得， ②，
① ②得， ，
所以 .
故选：B
9．若 的展开式中 的系数为 ， 展开式中各项系数和为 ，则 大小关系为
（ ）
A． B．C． D．无法确定
【答案】B
【分析】将三项展开式化为二项展开式，利用通项公式求出 ，令 得 ，比较大小可得答案.
【详解】 ， ，
则 ，则 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以 .
，
则 .
故选：B
10．在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A．165 B． C．155 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理、结合组合数性质求解作答.
【详解】 的展开式中含 的项的系数为：
.
故选：C
11． 展开式中所有项的系数和为25，则该展开式中 项的系数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．2023
【答案】B
【分析】令 ，得出关于 的关系式，逐项检验，解出 .然后根据二项式定理，分别得出以及 中含 的项，即可得出答案.
【详解】令 ，得 .
因为 ，所以 ，所以 .
当 时，有 ，无整数解；
当 时，有 ，无整数解；
当 时，有 ，解得 .
所以， ， .
中含 的项为 ， 中含 的项为 ，
所以，该展开式中 项的系数为 .
故选：B.
12．若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别令 、 可判断A；转化为求 的各项系数之和，令 可判断B；利用通项公
式可判断C；分别令 、 可判断D.
【详解】对选项A， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，故A错误；对选B，因为 ，
所以 表示 的各项系数之和，
令 ，则 ，故B正确；
对选项C， ，所以 ，故C错误；
对选项D，因为 ， ，
令 ，则 ，
则 ，故D正确.
故选：D.
二、多选题
13．在 的展开式中，下列结论正确的有（ ）
A．二项式系数的和为 B．各项系数的和为
C．奇数项系数的和为 D．二项式系数最大的项为
【答案】ACD
【分析】设 ，利用赋值法判断B、C，根据二项式系数的特征判断
A、D.
【详解】设 ，
在 的展开式中，二项式系数的和为 ，故A正确；
令 可得各项系数的和为 ，故B错误；
令 ，得到 ①，令 ， （或 ， ），
得 ②，
① ②得 ，
奇数项的系数和为 ，故C正确；
二项式 展开式的通项为 （ 且 ），
展开式中一共 项，故展开式二项式系数最大的项为第 项，
即 ，故D正确；
故选：ACD
14．已知 的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ）
A． B．展开式的各项系数和为243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为16D．展开式中有理项一共有3项
【答案】BCD
【分析】A选项，根据二项式系数最大得到方程，求出 ；B选项，赋值法得到各项系数和；C选项，
先求出二项式系数和，结合二项式系数的性质得到答案；D选项，写出展开式的通项公式，从而得到有理
项的项数.
【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即 为奇数，
且 与 最大，所以 ，解得 ，A错误；
B选项， 中，令 得， ，
故展开式的各项系数和为243，B正确；
C选项，展开式中的二项式系数和为 ，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，
所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；
D选项，展开式通项公式为 ， ，且 为整数，当 时， 满足要求，当 时， 满足要求，当 时， 满足要求，
综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.
故选：BCD
15．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】设令 ，利用赋值法可判断ACD选项；利用
二项展开式通项可判断B选项.
【详解】令 .
对于A选项， ，A错；
对于B选项， 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，则 ，B对；
对于C选项，
，C对；
对于D选项， ，
所以， ，D错.
故选：BC.
16．已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】令 ，即可判断A选项；令 ，结合 ，即可判断C、D选项；写出 展开式的通
项，得出含 的系数，即可判断B选项.
【详解】对于A项，令 ，可得 ，故A项正确；
对于B项， 展开式的通项为 ， .
由 可得 ，所以 展开式含 的项为 .
由 可得 ，所以 展开式含 的项为 .
所以， 展开式中含 的项为 ，
所以， ，故B项错误；
对于C项，令 ，可得 .
又 ，
两式相加可得， ，所以 ，故C项错误；
对于D项，由C可知 ，
又 ，所以 ，故D项正确.
故选：AD.
三、填空题17．已知a为正数， 的展开式中各项系数的和为1，则常数项为 ．
【答案】
【分析】令变量为1，可得系数之和,结合系数的和为1，可构建关于a的方程，并求出a，再将其代入二项
式，写出通项式 ，令变量的指数为零，求出 的值，再带入通项式即可.
【详解】 中，令 ，可得系数和为 ，
又a为正数，解得 ，
的通项公式
令 ，可得 ，
则常数项为 .
故答案为： .
18． 的展开式中 的系数是 .
【答案】
【分析】写出 的展开式的通项，然后对 分类求得答案．
【详解】 展开式的通项为 ， ，
①令 ，则 ；
②令 ，则 ；
综上可得：展开式中 项的系数为 ．
故答案为： ．
19． 的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中 的系数为 ．
【答案】【分析】根据条件可得出 ，然后利用二项式展开式的通项公式即得.
【详解】因为在二项式 的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，
所以 展开式中第4项是中间项，共有7项，则 ，
所以 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以 展开式中含 项的系数是 .
故答案为： ．
20． 的展开式中的常数项为 用数字作答
【答案】
【分析】求出二项式 的展开式的通项公式，然后令 的指数为 ，进而可以求出多项式的展开式
中的常数项.
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，当 时， 无整数解，
所以多项式的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
21． 展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】根据多项式乘积的性质即可求解．
【详解】由于 表示5个因式 的乘积，故其中有2个因式取 ，2个因式取 ，剩余的一个因式取 ，可得含 的项，
故展开式中 的系数为 ，
故答案为： ．
22．若 ，则 ．
【答案】
【分析】可令 ，求得 ，再令 求得 ，再利用平方差公式求解
即可．
【详解】 ，
令 ，有 ，
令 ，有 ，
．故答案为：
23． 的展开式中系数最大的项是第 项.
【答案】10
【分析】设系数最大的项是第 项，由展开式通项公式列不等式组即可求解.
【详解】 展开式的通项为 ，
由
得 ，因为 ，所以 ，故系数最大的项是第10项.故答案为：10
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2【答案】B
【分析】根据 ，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为 ， 展开式第 项 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，即 .
故选：B
2．在 的展开式中含 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ）
A．4项 B．5项 C．6项 D．3项
【答案】A
【分析】分 与 讨论，都可求得 ，再根据二项式定理即可求解.
【详解】由 可得 ，
当 ， ,则 ，
其展开式的通项为 ，
令 ,得 ,解得 ；
当 , ,则 ，
其展开式的通项为 ，
令 ，得 ，解得 .
综上所述： ，所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项.
故选:A.
3．已知 ，则
A． B．0 C．14 D．
【答案】B
【解析】由题可知，将 转化为 ，再根据二项式展开式的性质，即可求出
和 ，便可得出 .
【详解】解：由题知， ，
且 ，
则 ，
，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式的性质，考查计算能力.
4．已知 的展开式中各项系数和为4，则 的系数为（ ）
A．16 B．8 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即
可得答案.
【详解】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得 ，解得 ，所以原式为 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令k=3，则 ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=0，则 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=1， ，所以可得一个 的系数为 ，
综上： 的系数为 .
故选：D
【点睛】解题的关键是分析题意，要求 的系数，则 展开式中，需要出现 、 和 的项，
求得这些项的系数，再与 相乘，可求得 的系数，考查分析理解，计算求值的能力，属难题.
二、多选题
5．在 的展开式中（ ）
A．常数项为 B． 项的系数为
C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项
【答案】BCD【分析】根据二项展开式的通项公式可得 ，对A、B：分别令 、 ，
运算求解即可；对于C：可得第 项的系数为 ，结合数列单调性分析运算；对于D：令
，分析运算即可.
【详解】 的展开式的通项公式 ，
对于A：令 ，解得 ，可得 ，
即常数项为 ，故A错误；
对于B：令 ，解得 ，可得 ，
即 项的系数为 ，故B正确；
对于C：由通项公式可得：第 项的系数为 ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
取 为偶数，令 ，则 ，
整理得 ，解得 ，
所以系数最大项为第3项，故C正确；
对于D：令 ，则 ，
所以有理项共有5项，故D正确；
故选：BCD.6．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A赋值法求 ；B分析奇偶项系数的符号，再应用赋值法求 ；C由
分析含 项的系数即可证；D赋值法求 ，结合B分析求 即可.
【详解】A：当 ，则 ，正确；
B：由展开式通项为 ，
故 为奇数时 ， 为偶数时 ，则 ，
当 时有 ，错误；
C：由 ，
所以含 项的系数为 ，
则 ，正确；
D：当 时有 ，结合A、B分析有 ，错误；
故选：AC
三、填空题
7．若 的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母 且 的次数为1的项的系数为 .
【答案】
【分析】取 ，计算得到 ，再利用二项式定理计算系数得到答案.
【详解】取 ，则 的展开式中各项系数的和为： .
故 ，则 ，
的展开式： ； 的展开式：
取 得到： ，取 得到系数为 ；
取 得到： ，取 得到系数为 ；
综上所述：该展开式中含字母 且 的次数为1的项的系数为 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8． 的展开式中 的系数为 .
【答案】-6480
【分析】 ，利用二项式定理得到 ，再展开 ，计
算得到答案.
【详解】 ，展开式的通项为： ，
取 ，则 ，
的展开式的通项为： ，
取 ，得到 ，
故 的系数为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．若 ，则 ．
【答案】
【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.
【详解】 表示 个因数 的乘积.而 为展开式中 的系数，设这 个因数
中分别取 、 、 这三项分别取 个，所以 ，若要得到含 的项，则由计
数原理知 的取值情况如下表：
个 个 个
0 5 0
1 3 1
2 1 2
由上表可知 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的 正确分类，另外一点值得注意的是在分完
类之后，每一类里面还要分步取 、 、 这三项.
