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20.1数据的集中趋势
平均数
个数 ，我们把 叫做这 个数
一般地，对于
的算术平均数，简称平均数，记作
。
计算公式为 。
注意：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势。
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数 附近上、下波动时，一般选用
简化计算公式 .其中 为新数据的平均数， 为取定的接近这组数据的平均数
的较“整”的数。
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应
引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响。
题型1：平均数
1.数据-1，0，3，4，4的平均数是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【变式1-1】在数据4，5，6，5中添加一个数据，而平均数不发生变化，则添加的数
据为（ ）
A．0 B．5 C．4.5 D．5.5
【变式1-2】八年级（1）班一次数学测验，老师进行统计分析时，各分数段的人数
如图所示(分数为整数，满分 100 分)．请观察图形，回答下列问题：（1）该班有 名学生：
（2）请估算这次测验的平均成绩．
加权平均数
若 个数 的权分别是 ，则 叫
做这 个数的加权平均数。
注意：
（1）相同数据 的个数 叫做权， 越大，表示 的个数越多，“权”就越重。数
据的权能够反映数据的相对“重要程度”。
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算。
题型2：加权平均数
2.某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼
仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按
照40%，25%，35%的百分比确定成绩，则该选手的成绩是（ ）
A．86分 B．85分 C．84分 D．83
分
【变式2-1】某校调查了20名男生某周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那
么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是 （ ）
次数/次 2 3 4 5
人数/人 2 2 10 6
A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5
次
【变式2-2】学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：
假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3
∶3 ∶4 ，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部。
【变式2-3】某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的
使用寿命如下表所示：
这批灯泡的平均使用寿命是多少？
【变式2-4】某网络公司招聘一名高级网络工程师，应聘者小魏参加笔试和面试，成
绩（100分制）如表所示：
笔试 面试
成绩 98 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7
94 94 93 98 98 98 96
其中规定：面试得分中去掉一个最高分和一个最低分，余下的面试得分的平均值
作为应聘者的面试成绩.
（1）请计算小魏的面试成绩；
（2）如果面试成绩与笔试成绩按6：4的比例确定，请计算出小魏的最终成绩.用样本估计总体
1.用样本估计总体：
当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总
体的方法来获得对总体的认识。例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平
均数。
2.选取样本的方法：
（1）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计越准确，相应的工作量及
破坏性也越大，因此样本容量的确定，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能
性及付出的代价。
（2）抽取的样本要具有一般性和代表性，这样有利于推测全貌、估计总体，作出决
策，解决有关问题。
注意：
1. 用样本平均数估计总体平均数。
2. 用样本的总量估计总体的总量。
题型3：用样本估计总体
3.某学校抽查了某班级某月8天的用电量，数据如表：
（1）求这个班级平均每天的用电量；
（2）已知该校共有15个班级，该月共有20天上学需要用电，估计该校该月总的
用电量．
【变式3-1】教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示我国八年级学生平均每
天的睡眠时间在 9～10个小时的比例为 19.4%．某校数学社团成员采用简单随机
抽样的方法，抽取了本校八年级 50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间
（单位h）进行了谓查，将数据整理后绘制成下表：该样本中学生平均每天的睡
眠时间在9～10个小时的比例高干全国的这项数据，达到了22%．
（1）求农格中n的值；
（2）该校八年级共400名学生，估计该校八年级学生的平均睡眠时间是多少．
【变式3-2】为了倡导同学们了解掌握节能降耗、科学用电，王蜂所在的学习小组
在社区随机抽取调查部分家庭每天的用电情况，将调查数据进行如下整理，并绘
制了不完整的统计表．根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：m= ,n=
（2）求被调查家庭的每天用电量的平均数．
（3）若该社区共有3000户家庭，电价为0.6元/kW•h，根据调查数据，请你估计
该社区平均每天所支付的总电费为多少元？
题型4：利用排除极端值法求平均数
4.某中学举行歌咏比赛，六位评委对某位选手的打分如下（单位：分）：77，
82，78，91，83，75.去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是（ ）
A．79分 B．80分 C．81分 D．82
分
【变式4-1】某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是
85，96，98，89，87，这组数据的中位数是（ ）
A．98 B．89 C．96 D．87
【变式4-2】AQI是空气质量指数的简称，其数值越大说明空气污染状况越严重，对
人体健康的危害也就越大．下表是2022年3月1日山西省7个城市的空气质量指
数，这组数据的中位数是（）
大同市 忻州市 太原市 运城市 晋中市 临汾市 长治市
26 27 50 55 47 28 32
A．28 B．32 C．55 D．47
题型5：利用整体代入法求平均数
5.已知一组数据x，x，x 的平均数为7，则3x+2，3x+2，3x+2的平均数为（
1 2 3 1 2 3
）
A．7 B．9 C．21 D．23
【变式5-1】已知一组数据x ,x ,x 的平均数为3，则数据x +2,x +2,x +2的平均
1 2 3 1 2 3
数是（ ）A．3 B．5 C．6 D．7
【变式5-2】如果一组数据 ， ， ， 的平均数是 ，那么另一组
数据 ， ， ， 的平均数是（ ）.
A． B． C． D．
题型6：利用方程思想求平均数中数据
6.有一组数据：3，x2+1，5，2x﹣3，4，它们的平均数是4，求x的值．
【变式6-1】某校八年级（1）班积极响应校团委的号召，每位同学都向“希望工
程”捐献图书，全班40名同学共捐图书400册.特别值得一提的是李保、王刚两位同
学在父母的支持下各捐献了90册图书.班长统计了全班捐书情况如下表（被粗心的马
小虎用墨水污染了一部分）：
册数 4 5 6 7 8 90
人数 6 8 15 2
（1）分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；
（2）请算出捐书册数的平均数、中位数和众数，并判断其中哪个统计量不能反
映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由.
题型7：平均数与数据分析
7.浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学
生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
学生 学业水平测试成绩 综合测试成绩 高考成绩
甲 85 89 81
乙 88 81 83
（1）如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
（2）“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综
合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形
成，那么哪位同学排名靠前？
【变式7-1】瓯海区在推进“防范网络诈骗”的行动中，某街道对甲，乙两个小区各
随机选择100位居民进行问卷调查，并将调查结果分为A表示“非常了解”，B表
示“比较了解”，C表示“基本了解”，D表示“不了解”四个等级进行统计分
析，并绘制如下的统计图．（1）若甲小区共有常住居民1000人，请估计整个甲小区达到“非常了解”的居
民人数．
（2）若给A，B，C，D四个等级分别以5，3，1，0进行赋分，请结合你所学习
的统计知识，选出你认为防范网络诈骗普及工作更出色的小区？通过计算并用合适
数据多角度说明．
中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则
处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的
平均数称为这组数据的中位数。
注意：
（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中。
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半。
题型8：中位数
8.某合作学习小组的一次数学测验中，成绩分布为 75，88，78，92，86，
98，这组数据的中位数是（ ）
A.78 B.86 C.87 D.88
【变式8-1】已知一组数据按照从小到大的顺序排列为 2，2，3，a，b，14，14，
16，若这组数据的中位数为8，且b=3a，求a、b的值．
【变式8-2】我省松原地震后，某校开展了“我为灾区献爱心”捐款活动，八年级一
班的团支部对全班50人捐款数额进行了统计，绘制出如图所示的统计图．
（1）把统计图补充完整；
（2）直接写出这组数据的中位数．众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
确定众数的方法：
（1）排列：将数据按照大小顺序排列。
（2）确定众数：先数出这组数据中各数据出现的次数，再找出这组数据中出现次
数最多的数据。
注意：
一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有
数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数。众数是一组数据中出现次数最多的
数据而不是数据出现的次数。
题型9：众数
9.在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评
分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95 B．90 C．85 D．80
【变式9-1】已知一组正整数1、2、3、 a 、 b 的平均数为2，且众数是唯一的，
则 ab 的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
【变式9-2】某校为了解学生睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时
间，结果如下表：
时间/小时 7 8 9 10
人数 6 9 11 4
这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ）
A．众数是11，中位数是8.5 B．众数是10，中位数是5
C．众数是9，中位数是9 D．众数是9，中位数是8.5
平均数、中位数和众数的关系题型10：三数中的未知数问题
12.若数据10，10，x，8的众数与平均数相同，求这组数的中位数．
【变式10-1】一组数据从小到大顺序排列后为：1，4，6，x，其中位数和平均数相
等，求x的值．
【变式10-2】已知一组数据：x，10，12，6的中位数与平均数相等，求x的值。
题型11：用三数进行分析数据和估算
11.某车间有工人10人，某月他们生产的零件个数统计如下表：
生产零件的个数（个） 600 480 220 180 120
工人人数（人） 1 1 3 4 1
（1）求这10名工人该月生产零件的平均个数；
（2）为了调动工人的积极性，决定实行目标管理，对完成目标的工人进行适当
的奖励．如果想让一半左右的工人都能获得奖励，请你从平均数、中位数、众数的
角度进行分析，该如何确定月生产目标？
【变式11-1】疫情防控已成为常态化，为了解学生对疫情防控措施的知晓情况，某
校保健室开展了“疫情防控知识”问卷测试（满分10分）．他们将全校学生成绒进
行统计，并随机抽取了40位同学的成绩绘制成如下的频数分布表和频数分布直方图
（不完整）．
组号 成绩 频数 频率
1 4≤x<5 2 0.050
2 5≤x<6 6 0.150
3 6≤x<7 a 0.450
4 7≤x<8 9 0.225
5 8≤x<9 b m6 9≤x<10 2 0.050
合计 40 1.000
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中 a= ， b= ， m= ；补全频数分布直方图；
（2）这40位同学成绩的中位数落在哪一个小组？
（3）全校共有1200位同学参与测试，若以组中值（每组成绩的中间数值）为本
组数据的代表，请估计所有同学成绩的平均分大约是多少？
【变式11-2】为了减轻学生的作业负担，要求初中学段学生每晚的作业总量不超过
1.5小时．一个月后，九(1)班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行
了一次统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提
供的信息，解答下列问题：
（1）该班共有学生 人；
（2）将图1的条形图补充完整；
（3）计算出作业完成时间在1.5-2小时的部分对应的扇形圆心角．完成作业时间
的中位数在哪个时间段内？
题型12：用三数分析数据进行分析和评价
12.某校举行“衢州有礼八个一”知识问答竞赛.每班选20名同学参加比赛，根据
答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班
的成绩整理并绘制成如下的统计图.（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整；
（2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值.
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班 a 4 4
乙班 3.6 3.5 b
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由.
【变式12-1】某校八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比
赛，其预赛成绩如图：
（1）根据上图求出下表所缺数据
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5
乙班 8 10 1.6
（2）根据上表中的平均数和方差，你认为哪班的成绩较好？并说明你的理由．
【变式12-2】为了解某校初三学生对我国航天事业的关注程度，随机抽取了男、女
学生若干名（抽取的男女生人数相同）进行问卷测试，问卷共30道选择题（每题1
分，满分30分），现将得分情况统计，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分组为 A 组： x<18 ， B 组： 18≤x<22 ， C 组： 22≤x<26 ， D 组：
26≤x≤30 ， x 表示问卷测试的分数），其中男生得分处于 C 组的有14人．
男生 C 组得分情况分别为：22，23，24，22，23，24，25，22，24，25，23，
22，25，22；男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组别 平均数 中位数 众数
男 20 a 22
女 20 23 20
（1）求抽取的男生人数及表格中 a 的值，并补全条形统计图；
（2）如果该校初三年级共有男生、女生各600人，那么估计全年级问卷测试成绩
处于 C 组的人数有多少人？
（3）通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生？并说明理由（一
条理由即可）．
