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20.2数据的波动程度
方差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差 的计算公式是：
1
S2 = [(x −¯x) 2 +(x −¯x) 2 +...+(x −¯x) 2]
n 1 2 n
求方差的步骤：
第一步：先求原始数据的平均数；
第二步：求原始数据中各数据与平均数的差；
第三步：求所得各个差数的平方；
第四步：求所得各平方数的平均数。
注意：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越
小，数据的波动越小。在实际生活中，用方差的大小来判断数据的稳定性。
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不
变。
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来
的 倍。
（4）方差的大小与数据本身的大小无关。
（5）方差的单位是原数据单位的平方。
题型1：方差
1.数据1，2，3，4，5的方差是（ ）
A．√2 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵1，2，3，4，5，
¯ 1+2+3+4+5
∴x= =3，
5
1
∴S2= [(1-3) 2+(2-3) 2+(3-3) 2+(4-3) 2+(5-3) 2 ]
5
＝2，
故答案为：B.【分析】首先根据算术平均数的计算方法求出平均数，接着由方差就是每一个数据
与平均数差的平方和的平均数，据此即可算出答案.
【变式1-1】某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较
稳定，通常需要比较两名同学成绩的( )
A．平均数 B．方差 C．频数分布 D．中位
数
【答案】B
【解析】【解答】解：要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学
成绩的方差.
故答案为：B.
【分析】根据方差越大波动越大，方差越小波动越小，即可得出答案.
【变式1-2】2020年10月，新田县中小学生田径运动会，甲、乙、丙、丁四位运动
员在“100米短跑”训练中，每人各跑5次，据统计，平均成绩都是13.8秒，方差
分别是 S2 =0.11， S2 =0.03， S2 =0.05 ， S2 =1.88 ，则四人的训练成绩最
甲 乙 丙 丁
稳定的是（ ）
A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】【解答】解：∵S2 < S2 < S2 < S2 ，
乙 丙 甲 丁
∴四人的训练成绩最稳定的是乙，
故答案为：B.
【分析】先比较方差的大小，在平均数相等的情况下，方差越小越稳定，依此判断
即可.
题型2：利用方差分析数据
2.甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 8 8 7 8 9
乙 6 9 7 9 9
从数据来看，谁的成绩较稳定？请你通过计算方差说明理由.
1
【答案】解：甲的平均数为： (8+8+7+8+9) =8，
5
1
∴甲的方差为： [(8-8) 2+(8-8) 2+(7-8) 2+(8-8) 2+(9-8) 2 ] =0.4；
5
1
乙的平均数为： (6+9+7+9+9) =8，
5
1
∴乙的方差为： [(6-8) 2+(9-8) 2+(7-8) 2+(9-8) 2+(9-8) 2 ] =1.6，
5因为甲的方差小于乙的方差，
所以甲的成绩更稳定.
【解析】【分析】计算出两人成绩的方差，再根据方差越大，数据的波动越大，成
绩越不稳定即可判断得出答案.
【变式2-1】在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测
试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，81，82，85，83 乙：88，79，90，81，72.
（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；
（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.
79+81+82+85+83
【答案】（1）解：甲平均分为 x= =82 （分）
5
88+79+90+81+72
乙的平均分为 x= =82 （分）
5
(79-82) 2+(81-82) 2+(82-82) 2+(85-82) 2+(83-82) 2
甲的方差: s2= =4
5
(88-82) 2+(79-82) 2+(90-82) 2+(81-82) 2+(72-82) 2
乙的方差 s2= =42
5
（2）解：选拔甲参加比赛更合适，
∵4＜42，甲、乙的平均分相等，
甲的方差较小
∴甲的成绩比较稳定
∴选拔甲参加比赛更合适.
【解析】【分析】（1）先求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算方差
即可；（2）根据平均分相同，方差越小，成绩越稳定，即可判断.
【变式2-2】为弘扬泰山文化，我市某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中
部根据初赛成绩，各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两
个队各选出的5名选手的决赛成绩如下图所示．
（1）根据图示填写图表；平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
小学部 85
初中部 85 100
（2）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）85；85；80
(75-85) 2+(80-85) 2+2×(85-85) 2+(100-85) 2
（2）解：小学部的方差为S2= =70
5
；
(70-85) 2+(75-85) 2+(80-85) 2+2×(100-85) 2
初中部的方差为S2= =160；
5
70＜160，
∴小学成绩较为稳定.
【解析】【解答】解：（1）小学部5名选手的成绩分别为75，80，85，85，100；
初中部5名选手的成绩分别为70，100，100，75，80；
75+80+85+85+100
小学部的平均数为 =85；
5
85出现了2次，是出现次数最多的数，
∴小学部5名选手的众数是85；
初中的中位数：
70，75，80，100，100，
处于中间的数是80，
∴中位数为80.
故答案为：85，85，80.
【分析】（1）利用条形统计图可知小学部和中学部 5名选手的成绩，利用平均数公
式可求出小学部5名选手的平均数；再利用中位数的定义和众数的定义求出初中部
选手的中位数和小学部5名选手的众数.
（2）利用方差公式分别求出小学部和初中部选手的方差，再比较方差的大小，利用
方差越小成绩越稳定，即可求解.
极差、标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方
法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。
注意：
①极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大。一组数据
极差越小，这组数据就越稳定。
②方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：
标准差的数量单位与原数据一致。
类 区别 联系别
极 极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影 极差与方差都是表示
差 响较大。一般情况下只求一组数据的波动范围时用极 一组数据离散程度的
差。 特征数。
方 方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小。方
差 差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好。求一组
数据的稳定性时用方差。
题型3：极差、标准差
3.已知样本数据3，4，6，5，7，下列说法错误的是( )
A．平均数是5 B．方差是2 C．中位数是6 D．标准
差是 √2
【答案】C
3+4+5+6+7
【解析】【解答】解：A、∵ =5，故A不符合题意；
5
(3-5) 2+(4-5) 2+(5-5) 2+(6-5) 2+(7-5) 2
B、S2= =2，故B不符合题意；
5
C、从小到大排列为：3，4，5，6，7
最中间的数是5，此组数据的中位数是5，故C符合题意；
D、∵S2=2
∴S=√2，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平均数公式先求出此组数据的平均数，可对 A作出判断；再利用方差
公式求出方差及标准差，可对B，D作出判断；先将数据排序，找到最中间的数，
可求出这组数据的中位数，可对C作出判断.
【变式3-1】已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是3，则这个样本的标准差为
（ ）
A．0 B．1 C．√2 D．2
【答案】C
【解析】【解答】由题意得： a+4+2+5+3=3×5 ，解得： a=1 ，
√1
∴这个样本的标准差= [(1-3) 2+(4-3) 2+(2-3) 2+(5-3) 2+(3-3) 2=√2 .
5
故答案为：C.
【分析】（1）一组数据的标准差是这组数据方差的算术平方根；（2）一组数据的
1
方差计算公式为：S2= =[(x -x) 2+(x -x) 2+⋯+(x -x) 2 ] ，其中“S2”表示该组
n 1 2 n
数据的方程， x 到 x 表示数据组中的每个数据， x 表示该组数据的平均数.
1 n
【变式3-2】某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、
90分、94分、89分，则下列结论正确的是（ ）A．平均分是91 B．众数是94 C．中位数是90 D．极差
是8
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+89）÷5＝93（分），故此选
项不符合题意；
B、94分、98分、90分、94分、89分中，众数是94分．故此选项符合题意；
C、五名同学成绩按大小顺序排序为：89，90，94，94，98，故中位数是94分，故
此选项不符合题意；
D、极差是98﹣89＝9，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】直接利用平均数、众数、中位数及极差的定义分别求解，然后判断即可.
【变式3-3】已知一组数据：0，-1，7，1，x的平均数为1，则这组数据的极差是
.
【答案】9
【解析】【解答】解：由题意得：0-1+7+1+x=5，解得x=-2，
所以这组这据最大的是7，最小的是-2，
所以极差为：7-（-2）=9，
故答案为：9.
【分析】根据平均数的计算方法列出方程，求解得出x的值，进而找出这组数据的
最大值与最小值，再求出其差即可得出该组数据的极差.
【变式3-4】已知数据x，x，x 的平均数为a，方差为b，则数据2x+3，2x+3，
1 2 3 1 2
2x+3的标准差是 ．
3
【答案】2√b
【解析】【解答】解：∵数据x，x，x 的方差为b，
1 2 3
∴数据2x+3，2x+3，2x+3的方差是：22•b＝4b，
1 2 3
∴数据2x+3，2x+3，2x+3的标准差是 √4b ＝2 √b ；
1 2 3
故答案为： 2√b ．
【分析】根据数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，再根据数据都乘
以同一个数，方差乘以这个数的平方，然后求出方差的算术平方根即可得出标准
差．
题型4：利用标准差的公式进行计算
4.在一次数学测试中，某小组五名同学的成绩（单位：分）如下表（有两个数据
被遮盖）．
组员 甲 乙 丙 丁 戊 方差
得分 81 79 80 82
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）A．80，2 B．80，10 C．78，2 D．78，
10
【答案】C
【解析】【解答】根据题意得：
80×5-（81+79+80+82）=78（分），
则C的得分是78分；
1
方差= [（81-80）2+（79-80）2+（78-80）2+（80-80）2+（82-80）2]=2．
5
故答案为：C．
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得
出答案。
【变式4-1】一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两
个数据被遮盖），那么被遮盖的两个数据依次是（ ）．
甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩
81 79 ■ 80 82 ■ 80
A．78， √2 B．78，2 C．80， √2 D．80，
2
【答案】B
【解析】【解答】根据题意得： 80×5-(81+79+80+82)=78 ，则丙的得分是
78；
1
方差： S2= [(81-80) 2+(79-80) 2+(78-80) 2+(80-80) 2+(82-80) 2 ]=2 ，
5
故答案为：B．
【分析】先用 80×5 求出数据的总数，根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再
根据方差的计算公式进行计算即可．
【变式4-2】在“新冠肺炎”疫情中，某班30名同学积极捐款，捐款情况统计如下表
所示，其中有两个数据被遮盖
捐款数额（元） 5 10 15 20 30 50 100
人数 ▄ ▄ 7 9 6 3 2
下列关于的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．平均数，众数 D．中位数，众数
【答案】D
【解析】【解答】解：这组数据的中位数是从大到小排列第15个数和第16个数的平
均数，而第15个数和第16个数都是20，
∴被遮盖的数据与中位数无关；
∵30-7-9-6-3-2=3∴这组数据的众数,20
∴被遮盖的数据与众数无关.
故答案为：D.
【分析】由已知数据可知这组数据的中位数，再取出捐款 5元和10元的人数和为3,
就可单独的这组数据的众数是20，即可作出判断。
题型5：用数据分析法作决策
5.某校八年级开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列
名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下列是成绩最好的甲班
和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 100 98 110 89 103
乙班 86 100 98 119 97
经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为
参考，请你回答下列问题：
（1）计算甲、乙两班的优秀率.
（2）求两班比赛成绩的中位数.
（3）计算两个比赛数据的方差.
（4）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述你的理由.
【答案】（1）解：甲班优秀率：3÷5×100%＝60%
乙班优秀率：2÷5×100%＝40%
（2）解：∵甲班5名学生踢毽子的个数从大到小分别是：110、103、100、98、
89，
∴甲班中位数是100；
∵乙班5名学生踢毽子的个数从大到小分别是：119、100、98、97、86，
∴乙班中位数是98.
1
（3）解：甲班5名学生踢毽子的个数的平均数是： ×（110+103+100+98+89）＝
5
100（个）
1
乙班5名学生踢毽子的个数的平均数是： ×（119+100+98+97+86）＝100（个）
5
1
S2 ＝ ×[（110﹣100）2+（103﹣100）2+（100﹣100）2+（98﹣100）2+（89﹣100）
甲 5
2]
1
＝ ×[100+9+0+4+121]
5
＝46.81
S2 ＝ ×[（119﹣100）2+（100﹣100）2+（98﹣100）2+（97﹣100）2+（86﹣100）2]
乙 5
1
＝ ×[361+0+4+9+196]
5
＝114
（4）解：∵甲班的优秀率、中位数都高于乙班，甲、乙两班平均数相同，甲班方差
小，成绩稳定，
∴把冠军奖状发给甲班.
【解析】【分析】（1）利用达到优秀的人数除以总人数可得优秀率；
（2）分别将甲、乙班5名学生踢毽子的个数从大到小进行排列，然后找出最中间的
数据即为中位数；
（3）首先根据平均数的计算公式求出平均数，然后结合方差的计算公式进行计算；
（4）根据中位数、平均数、方差的大小以及意义进行分析判断.
【变式5-1】学校从甲、乙两支篮球队中挑选一支队伍参加县中小学生体育节篮球比
赛，甲、乙两支篮球队进行了5场选拔赛，将比赛成绩统计后，绘制成图1、图2.
（1）在图2中补全甲队这5场比赛得分的变化折线图，并求出甲、乙两队得分的
平均数.
（2）已知甲、乙两队得分的方差分别为50（平方分），75.6（平方分）.根据所
给的方差和两队得分的平均数，结合折线统计图，你认为应选拔哪支球队参赛？请
简述理由.
【答案】（1）解：补全统计图如下；
30+35+45+40+50
由题意得x = =40分，
甲 5
55+42+40+33+30
x = =40分；
乙 5（2）解：应选择甲参赛，理由如下：
两队的平均数相同，说明两队的实力大体相当，而甲、乙两队得分的方差分别为50
（平方分），75.6（平方分），从方差来看，甲队的方差更小，说明成绩更稳定，
因此应选择甲参赛
【解析】【分析】（1）根据条形统计图可得甲、乙两队的得分，求出得分之和，然
后除以总场数可得平均数，根据甲队的得分可补全折线统计图；
（2）根据平均数、方差的大小以及意义进行分析判断.
【变式5-2】为庆祝中国共产党建党100周年，某中学组织七、八年级全体学生开展
了“党史知识”竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩 (
满分为100分 ) .
收集数据：
七年级： 90、95、95、80、85、90、80、90、85、100 ；
八年级：85、85、95、80、95、90、90、90、100、90.
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 m 90 39
八年级 n 90 p q
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中 m ， n ， p 的值；
（2）通过计算求出 q 的值；
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
【答案】（1）解：m=90，n=90，p=90
（2）解：八年级的方差
1
q= ×[(80-90) 2+2×(85-90) 2+4×(90-90) 2+2×(95-90) 2+(100-90) 2 ]=30
10
；（3）解：八年级的学生成绩好，理由如下：
七，八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从
方差看，八年级学生成绩更稳定，
综上，八年级的学生成绩好.
90+90
【解析】【解答】解：（1）七年级的中位数为 =90 ，故 m=90 ；
2
1
八年级的平均数为： ×(85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]=90 ，故
10
n=90 ；
八年级中90分的最多，故 p=90
【分析】（1）将七年级的成绩按照由低到高的顺序进行排列，求出中间两个数据的
平均数即为中位数m的值，首先求出八年级成绩的总和，然后除以学生数可得平均
数n的值，找出出现次数最多的数据即为众数p的值；
（2）直接根据方差的计算公式进行计算可得q的值；
（3）根据中位数、众数、平均数、方差的大小以及意义进行分析判断.
