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20.2数据的波动程度
方差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差 的计算公式是：
1
S2 = [(x −¯x) 2 +(x −¯x) 2 +...+(x −¯x) 2]
n 1 2 n
求方差的步骤：
第一步：先求原始数据的平均数；
第二步：求原始数据中各数据与平均数的差；
第三步：求所得各个差数的平方；
第四步：求所得各平方数的平均数。
注意：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况。方差越大，数据的波动越大；方差越
小，数据的波动越小。在实际生活中，用方差的大小来判断数据的稳定性。
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不
变。
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来
的 倍。
（4）方差的大小与数据本身的大小无关。
（5）方差的单位是原数据单位的平方。
题型1：方差
1.数据1，2，3，4，5的方差是（ ）
A．√2 B．2 C．3 D．5
【变式1-1】某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较
稳定，通常需要比较两名同学成绩的( )
A．平均数 B．方差 C．频数分布 D．中位
数
【变式1-2】2020年10月，新田县中小学生田径运动会，甲、乙、丙、丁四位运动
员在“100米短跑”训练中，每人各跑5次，据统计，平均成绩都是13.8秒，方差分别是 S2 =0.11， S2 =0.03， S2 =0.05 ， S2 =1.88 ，则四人的训练成绩最
甲 乙 丙 丁
稳定的是（ ）
A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁
题型2：利用方差分析数据
2.甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 8 8 7 8 9
乙 6 9 7 9 9
从数据来看，谁的成绩较稳定？请你通过计算方差说明理由.
【变式2-1】在甲、乙两名同学中选拔一人参加“英语口语听力”大赛，在相同的测
试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：
甲：79，81，82，85，83 乙：88，79，90，81，72.
（1）求甲、乙两名同学测试成绩的方差；
（2）请你选择一个角度来判断选拔谁参加比赛更合适.
【变式2-2】为弘扬泰山文化，我市某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中
部根据初赛成绩，各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两
个队各选出的5名选手的决赛成绩如下图所示．
（1）根据图示填写图表；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
小学部 85
初中部 85 100
（2）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
极差、标准差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方
法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。
注意：
①极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大。一组数据
极差越小，这组数据就越稳定。
②方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即：
标准差的数量单位与原数据一致。
类
区别 联系
别
极 极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影 极差与方差都是表示
差 响较大。一般情况下只求一组数据的波动范围时用极 一组数据离散程度的
差。 特征数。
方 方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小。方
差 差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好。求一组
数据的稳定性时用方差。
题型3：极差、标准差
3.已知样本数据3，4，6，5，7，下列说法错误的是( )
A．平均数是5 B．方差是2 C．中位数是6 D．标准
差是 √2
【变式3-1】已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是3，则这个样本的标准差为
（ ）
A．0 B．1 C．√2 D．2
【变式3-2】某学习小组的5名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、
90分、94分、89分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91 B．众数是94 C．中位数是90 D．极差
是8
【变式3-3】已知一组数据：0，-1，7，1，x的平均数为1，则这组数据的极差是
.
【变式3-4】已知数据x，x，x 的平均数为a，方差为b，则数据2x+3，2x+3，
1 2 3 1 2
2x+3的标准差是 ．
3题型4：利用标准差的公式进行计算
4.在一次数学测试中，某小组五名同学的成绩（单位：分）如下表（有两个数据
被遮盖）．
组员 甲 乙 丙 丁 戊 方差
得分 81 79 80 82
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，2 B．80，10 C．78，2 D．78，
10
【变式4-1】一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两
个数据被遮盖），那么被遮盖的两个数据依次是（ ）．
甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩
81 79 ■ 80 82 ■ 80
A．78， √2 B．78，2 C．80， √2 D．80，
2
【变式4-2】在“新冠肺炎”疫情中，某班30名同学积极捐款，捐款情况统计如下表
所示，其中有两个数据被遮盖
捐款数额（元） 5 10 15 20 30 50 100
人数 ▄ ▄ 7 9 6 3 2
下列关于的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．平均数，众数 D．中位数，众数
题型5：用数据分析法作决策
5.某校八年级开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列
名次，在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下列是成绩最好的甲班
和乙班5名学生的比赛数据（单位：个），
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 100 98 110 89 103
乙班 86 100 98 119 97
经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可通过考查数据中的其他信息作为
参考，请你回答下列问题：
（1）计算甲、乙两班的优秀率.（2）求两班比赛成绩的中位数.
（3）计算两个比赛数据的方差.
（4）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述你的理由.
【变式5-1】学校从甲、乙两支篮球队中挑选一支队伍参加县中小学生体育节篮球比
赛，甲、乙两支篮球队进行了5场选拔赛，将比赛成绩统计后，绘制成图1、图2.
（1）在图2中补全甲队这5场比赛得分的变化折线图，并求出甲、乙两队得分的
平均数.
（2）已知甲、乙两队得分的方差分别为50（平方分），75.6（平方分）.根据所
给的方差和两队得分的平均数，结合折线统计图，你认为应选拔哪支球队参赛？请
简述理由.
【变式5-2】为庆祝中国共产党建党100周年，某中学组织七、八年级全体学生开展
了“党史知识”竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩 (
满分为100分 ) .
收集数据：
七年级： 90、95、95、80、85、90、80、90、85、100 ；
八年级：85、85、95、80、95、90、90、90、100、90.
分析数据：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 89 m 90 39
八年级 n 90 p q
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中 m ， n ， p 的值；
（2）通过计算求出 q 的值；
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；
