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19.1.2函数的图象
函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注意：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的
取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或
对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
题型1：函数图像-选择题
1.如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单
位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水
量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：容器的形状可知，底部最大，刚开始当h增大时，体积增大较
快，但随着h的增大，V增大的速度变缓，表现出的函数图象即为：函数图象先陡，
后缓，结合选项只有B选项符合题意；故答案为：B
【分析】根据V与h不成一次函数关系，即可得出图像没有直线部分排除C、D选
项，再根据越往上体积越小排除A即可。
【变式1-1】在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg
（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重
量x之间的函数关系式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，
当00 ，故y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B.当 x=x 时， y =0.5x +10 ；当 x=x =x +1 时，
1 1 1 2 1
y =0.5(x +1)+10=0.5x +11.5 ，此时 y - y =(0.5x +11.5)-(0.5x +10)=0.5
2 1 1 2 1 1 1
，故本选项不符合题意；
C.当 x=7 时， y=0.5×7+10=13.5 ，故本选项不符合题意；
D.当 x=0 时， y=0.5×0+10=10 ，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据表格中的数据先得到函数关系式，然后再根据一次函数图像的性质进
行判断即可得解．
【变式4-3】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水
造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200毫
升的量筒接水，每隔10秒钟观察量筒中水的体积，从某一时刻起记录1分钟内量筒
中水的体积如下表（精确到 1ml ）：
时间 t(s) 10 20 30 40 50 60
量筒中的水量 V(ml) 30 45 60 75 90 105
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点；
（2）量筒中的水量 V(ml) 是否为时间 t(s) 的函数？如果是，试求出一个符合
表中数据的函数解析式；
（3）若水费为3.6元/ m3 ，按这样的漏水速度，这个水龙头一个月（30天）要
浪费多少钱？（ 1m3=106ml ，结果保留整数）.
【答案】（1）解：描点、连线，画出函数图象，如图所示：（2）解：量筒中的水量 V(ml) 是时间 t(s) 的函数，
当 0⩽t⩽10 时， V =3t ；
当 t>10 时.设 V =kt+b ，
{10k+b=30 {k=1.5
则 ，解得 ，
30k+b=60 b=15
∴V =1.5t+15 ，
{3t(0⩽t⩽10)
∴V =
1.5t+15(t>10)
（3）解： (1.5×30×24×60×60+15)÷1000000×3.6≈14 （元 ) .
答：这个水龙头一个月 (30 天）要浪费14元.
【解析】【分析】（1）根据时间t与水量V的数据即可描点、连线即可；
（2）观察图像可得分段函数， 当 0⩽t⩽10 时， 是正比例函数，代入点
（10,30）可得解析式， 当 t>10 时 ，是一次函数，代入点（10,30）、
（30,60），根据待定系数法可得结果；
（3）由（2）可得漏水速度为1.5ml/s，代入即可计算.
【变式4-4】中秋节前夕，某公司的李会计受公司委派去超市购买若干盒美心月饼，
超市给出了该种月饼不同购买数量的价格优惠，如图，折线ABCD表示购买这种月
饼每盒的价格y（元）与盒数x（盒）之间的函数关系．
（1）当购买这种月饼盒数不超过10盒时，一盒月饼的价格为 元；
（2）求出当10＜x＜25时，y与x之间的函数关系式；
（3）当时李会计支付了3600元购买这种月饼，那么李会计买了多少盒这种月饼？
【答案】（1）240
（2）解：当10＜x＜25时，设y=kx+b（其中k、b为常数且k≠0），
将B（10，240），C（25，150）代入y=kx+b中，
{10k+b=240 {k=-6
得： ，解得： ，
25k+b=150 b=300
∴当10＜x＜25时，y=﹣6x+300
（3）解：∵3600÷240=15（盒），3600÷150=24（盒），
∴收费标准在BC段，
根据题意得：（﹣6x+300）x=3600，
解得：x=20，x=30（不合题意，舍去）．
1 2
答：李会计买了20盒这种月饼．
【解析】【解答】（1）∵当0≤x≤10时，y=240（元）．
故答案为：240．
【分析】（1）观察图象可知，结果为240元；
（2）有图象可知，y是x的一次函数，故设出其解析式，用待定系数法求出即可；
（3）先根据消费总额估计出收费标准的范围，然后”单价×数量=总价“列方程求解
即可。
题型5：分段函数
5.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间
为t（分），S与t之间的函数关系如图所示.若他早上8点从家出发，汽车在途中停
车加油一次，则下列描述中，不正确的是( )
A．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟
B．汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园
C．加油后汽车行驶的速度为60千米/时
D．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
【答案】D【解析】【解答】解：A.汽车行驶30千米时，停车加油时间为第25分至第35分，
该选项正确；
B.S=60千米，8点出发，用时65分钟，9点5分到达，该选项正确；
S 30
V = = =60km/h
C.加油后速度 t 1 ，该选项正确；
2
D.加油后速度 V =60km/h
1
30
V = =72km/h
加油前速度 2 25
60
V >V ，该选项错误.
2 1
故答案为：D
【分析】根据函数图象可知：从家到动物园的距离为60千米，共经历65分钟时
间，行驶到30千米的加油，加油的时间为35-25=10分钟，据此判断A、B；根据速
度=路程÷时间，分别求出加油后速度与加油前速度，据此判断C、D即可.
【变式5-1】小明家与学校之间距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了
5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，下面哪一个图象能大致描述他
回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自
行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，所以图象应
分为三段，根据最后离学校的距离．
故答案为：C．
【变式5-2】某旅游团上午6时从旅馆出发，乘汽车到距离210km的某著名旅游景点
游玩，该汽车离旅馆的距离S（km）与时间t（h）的关系可以用如图的折线表示．
根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）求该团去景点时的平均速度是多少？
（2）该团在旅游景点游玩了多少小时？
（3）求返回到宾馆的时刻是几时几分？
【答案】（1）解：210÷（9﹣6）=70（千米/时），
答：该团去景点时的平均速度是70千米/时
（2）解：13﹣9=4（小时），
答：该团在旅游景点游玩了4小时
（3）解：设返货途中S（km）与时间t（h）的函数关系式为s=kt+b，
根据题意，得
{13t+b=210
，
15t+b=110
{k=-50
解得 ，
b=860
函数关系式为s=﹣50t+860，
当S=0时，t=17.2
答：返回到宾馆的时刻是17时12分
【解析】【分析】（1）根据平均速度的意义，可得答案；（2）根据函数图象的横
坐标，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数关系式，根据自变量与函数值得
对应关系，可得答案．
【变式5-3】星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所
示，请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？【答案】解：观察图象可知：（1）玲玲到离家最远的地方需要12小时，此时离家
30千米；
（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；
（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷（10﹣9）=10千米/时；
10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）=15千米/小时；
10.5～11时，速度为0；
11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）=12.5千米/小时；
12～13时，速度为0；
13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）=15千米/小时；
可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时．两段时间的速度都是15千
米/小时．速度为：30÷（15﹣13）=15千米/小时；
（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）=10千米/小时．
【解析】【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，
进而得出答案；
（2）休息是路程不在随时间的增加而增加；
（3）往返全程中回来时候速度最快，用距离除以所用时间即可；
（4）用玲玲全称所行的路程除以所用的时间即可．
【变式5-4】如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变
化示意图．
（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？
（2）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？
（3）司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停
止，请你在本图中补上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．【答案】解：（1）根据图象知道：
点A到点B是匀速运动、点E到点F是匀加速运动、点G到点H匀减速运动；
（2）根据图象知道：
汽车在点A的速度是30千米每小时，在点C的速度为0千米每小时；
（3）如图所示：
【解析】【分析】（1）根据图象可以确定从点A到点B、点E到点F、点G到点H
分别表明汽车的运动状态；
（2）根据图象可以直接得到汽车在点A和点C的速度；
（3）结合已知条件利用图象可以画出从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系
图．
