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19.1.2函数的图象
函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
注意：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的
取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或
对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
题型1：函数图像-选择题
1.如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单
位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水
量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：容器的形状可知，底部最大，刚开始当h增大时，体积增大较
快，但随着h的增大，V增大的速度变缓，表现出的函数图象即为：函数图象先陡，
后缓，结合选项只有B选项符合题意；故答案为：B
【分析】根据V与h不成一次函数关系，即可得出图像没有直线部分排除C、D选
项，再根据越往上体积越小排除A即可。
【变式1-1】在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg
（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重
量x之间的函数关系式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，
当0<x≤3时，y=1.5，
∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，
∴托运费y与物品重量x之间的函数图象为：
故答案为：D.
【分析】由当0<x≤3时，y=1.5可排除B、C；由物品重量每增加1kg（不足1kg按
1kg计）需增加托运费0.5元，可排除A，据此即得结论.
【变式1-2】如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄
水池以固定的流量注水，图中哪个图像能大致表示水的最大深度h和时间t之间的函
数关系（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系
分为两段，先快后慢．
故答案为：C．
【分析】根据水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢，对每个选项
一一判断即可。
题型2：函数图像-图象的识别与理解
2.一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设
普通列车行驶的时间为 x （小时），两车之间的距离为 y （千米），图中的折线
表示 y 与 x 之间的函数关系。
根据图象回答下列问题：
（1）甲地与乙地相距 千米，两车出发后 小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需 小时，普通列车的速度是 千
米/小时；
（3）动车的速度是 千米/小时；
（4）t的值为 .
【答案】（1）1200；4
（2）12；100
（3）200（4）6
【解析】【解答】（1）由图像可知，甲地与乙地相距1200千米，两车出发后4小时
相遇；（2）普通列车12小时到达，则速度为1200÷12=100千米/小时（3）设动车速
度a千米/小时，由题意得 (a+100)×4=1200 ，
解得 a=200 ，所以动车的速度是200千米/小时；（4） t=1200÷200=6 .
【分析】（1）初始时刻y=1200，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到
相遇时刻；（2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度；（3）设动
车速度a千米/小时，由4小时相遇，列出方程可求解；（4）t时刻是动车到达乙地
的时刻，用路程除以速度即可.
【变式2-1】某市5月1日海拔 h （千米）与相应高度处气温 t(°C) 的关系如表格
所示；当日当地一架飞机返回地面下降过程中，飞机的海拔高度与返回地面所用时
间的关系如图象所示．
海拔高度 h （千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温 t(°C) 20 14 8 2 -4 …
根据所给表格和图象，回答以下问题：
（1）由上表可知海拔 5 千米的上空气温约为 °C ；
（2）按表格中的规律，请写出当日气温 t 与海拔高度 h 的关系式为
；
（3）返回途中，飞机在 2 千米高空大约盘旋了 分钟；
（4）飞机自 9.8 千米的海拔高度下降 10 分钟时，所在高空的气温是
°C ；下降 16 分钟时所在高空的气温是 °C ．
【答案】（1）-10
（2）t=20-6h
（3）2
（4）8；14
【解析】【解答】解：（1）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，故海拔5
千米的上空气温约为-10℃，
故答案为：-10；（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，
所以当日气温t与海拔高度h的关系式为t=20-6h，
故答案为：t=20-6h；
（3）飞机在2千米高空水平面上大约盘旋了2分钟，
故答案为：2；
（4）由图可知，当从h=9.8开始下降10分钟后，高度为h=2根据图表可知，h=2
时，温度为8，
设12分钟后，h与t的函数关系式为h=kt+b，
{12k+b=2
则 ，
20k+b=0
{ 1
k=-
解得： 4 ，
b=5
1
∴h= - t+5 ，
4
当t=16时，h=1，
即下降16分钟时所在高空的气温是14度，
故答案为：8；14．
【分析】（1）根据表格中的数据求出即可；
（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，据此即可求解；
（3） 由图象可知：返回途中，飞机在 2 千米高空大约盘旋 12-10=2分钟；
（4）将h=9.8代入（2）解析式中求出t值即可；利用待定系数法求出图象中最后一
段直线解析式，再将t=16代入计算即可.
【变式2-2】某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后
小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，
他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完
整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是；
（2）朱老师的速度为 米/秒；小明的速度为 米/秒；
（3）小明与朱老师相遇 次，相遇时距起点的距离分别为
米．
【答案】（1）小明出发的时间t；距起点的距离s
（2）2；6
（3）2次；300米或420米
【解析】【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因
变量为距起点的距离s．（2）朱老师的速度为：÷50=2（米/秒）；
小明的速度为：300÷50=6（米/秒）．（3）小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点
的距离分别为300米或420米.
【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；（2）根据速度=路程
÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；（3）根据函数图象即可得到结论．
【变式2-3】骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，如图是骆驼
48小时的体温随时间变化的函数图象．观察函数图象并回答：
（1）第一天中，骆驼体温的变化范围是从 ℃～ ℃，它的体
温从最低到最高经过了 小时．
（2）A点表示的是什么？图像中还有什么时间的温度与A点表示的温度相同？
【答案】（1）35；40；12
（2）解：A点表示当日12时的体温，还有当日20时、次日12时、次日20时的体
温与A点表示的体温相同。
【解析】【解答】解：（1）根据图像可知，体温的变化范围为35℃~40℃；从最低
到最高经历了16-4=12小时。
故答案为：35；40；12.
【分析】根据函数图像分析数据，据此进行解答即可。题型3：函数图像-画函数图像
3.画出函数y=﹣2x的图象（先列表，然后描点、连线）．
【答案】解：列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 2 0 ﹣2 ﹣4 …
描点，
连线，如图
【解析】【分析】利用描点法画正比例图象即可．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，画出函数y=|x|的图象．
【答案】解：(1)列表：
x …… -1 0 1 ……
y …… 1 0 1 ……
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
(3)连线：把这些点依次连接起来，得到y=|x|的图象，如图所示．【解析】【分析】（1）利用函数解析式先列表；（2）描点；（3）连线，即可画出
函数图象.
【变式3-2】画出函数y＝2x－1的图象．
（1）列表：
x … －1 0 1 …
y … …
（2）描点并连线；
（3）判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上？
（4）若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．
【答案】（1）解：列表：
（2）解：描点并连线：
（3）解：将x=-3代入函数解析式，得y=-3×2-1=-7≠-5，因此A点不在函数y=2x-1
的图象上；将x=2代入函数解析式，得y=2×2-1=3，因此B点不在函数y=2x-1的图象上；
将x=3代入函数解析式，得y=2×3-1=5，因此C点在函数y=2x-1的图象上.
（4）解：将点P(m，9)的坐标代入可得9=2m-1，
解得m=5.
【解析】【分析】对于（1）和（2），填写表格，用两点法画出函数的图象即可，
选好点后经过描点，连线即可得出函数的图象；
对于（3），判定A，B，C是否在函数y=2x-1的图象上，只需分别将x的值代入函
数解析式，验证y的值是否与点的纵坐标相等，若相等，则点在函数图象上，反之
不在；
对于（4），根据函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入即可得到关于m的方
程，求解即可.
函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
注意：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联
系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和
函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平
方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达
的函数，图象可以充当重要角色.
题型4：函数的三种表达方式
4.用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购
买n本书共需费用y元，则可列出关系式( )
m m
A．y=n( +0.6) B．y=n( )+0.6
100 100
100 100
C．y=n( +0.6) D．y=n( )+0.6
m m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，
m
∴1本书需要 元.
100
∵每本书需另加邮寄费6角，
m
∴购买n本书共需费用y=n( +0.6).
100
故答案为：A.【分析】首先求出1本书的费用，然后加上每本书的邮费，乘以书的本数即可表示
出总费用y.
【变式4-1】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象
最能体现他离家的距离(s)与出发时间(1)之间的对应关系的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始
的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变；③乘车返回时，离家的距离逐渐减
小至零，且乘车到家用的时间比步行的时间短，只有B选项符合．
故答案为：B．
【分析】本题是实际问题的函数图像，要先了解横坐标纵坐标代表的意义，直线的
斜率程度不同，代表运动的速度不同，倾斜越厉害，说明速度越快。
【变式4-2】在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度 y（cm）与所
挂物体的质量 x（kg）之间有如下表关系：
下列说法错误的是（ ）
A．y 随 x 的增大而增大
B．所挂物体质量每增加 1kg弹簧长度增加 0.5cm
C．所挂物体为 7kg时，弹簧长度为 13.5cm
D．不挂重物时弹簧的长度为 0cm
【答案】D
【解析】【解答】解：由表格可得，弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x
（kg）之间的函数关系式为： y=0.5x+10
A. k=0.5>0 ，故y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B.当 x=x 时， y =0.5x +10 ；当 x=x =x +1 时，
1 1 1 2 1
y =0.5(x +1)+10=0.5x +11.5 ，此时 y - y =(0.5x +11.5)-(0.5x +10)=0.5
2 1 1 2 1 1 1
，故本选项不符合题意；
C.当 x=7 时， y=0.5×7+10=13.5 ，故本选项不符合题意；
D.当 x=0 时， y=0.5×0+10=10 ，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据表格中的数据先得到函数关系式，然后再根据一次函数图像的性质进
行判断即可得解．
【变式4-3】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水
造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200毫
升的量筒接水，每隔10秒钟观察量筒中水的体积，从某一时刻起记录1分钟内量筒
中水的体积如下表（精确到 1ml ）：
时间 t(s) 10 20 30 40 50 60
量筒中的水量 V(ml) 30 45 60 75 90 105
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点；
（2）量筒中的水量 V(ml) 是否为时间 t(s) 的函数？如果是，试求出一个符合
表中数据的函数解析式；
（3）若水费为3.6元/ m3 ，按这样的漏水速度，这个水龙头一个月（30天）要
浪费多少钱？（ 1m3=106ml ，结果保留整数）.
【答案】（1）解：描点、连线，画出函数图象，如图所示：（2）解：量筒中的水量 V(ml) 是时间 t(s) 的函数，
当 0⩽t⩽10 时， V =3t ；
当 t>10 时.设 V =kt+b ，
{10k+b=30 {k=1.5
则 ，解得 ，
30k+b=60 b=15
∴V =1.5t+15 ，
{3t(0⩽t⩽10)
∴V =
1.5t+15(t>10)
（3）解： (1.5×30×24×60×60+15)÷1000000×3.6≈14 （元 ) .
答：这个水龙头一个月 (30 天）要浪费14元.
【解析】【分析】（1）根据时间t与水量V的数据即可描点、连线即可；
（2）观察图像可得分段函数， 当 0⩽t⩽10 时， 是正比例函数，代入点
（10,30）可得解析式， 当 t>10 时 ，是一次函数，代入点（10,30）、
（30,60），根据待定系数法可得结果；
（3）由（2）可得漏水速度为1.5ml/s，代入即可计算.
【变式4-4】中秋节前夕，某公司的李会计受公司委派去超市购买若干盒美心月饼，
超市给出了该种月饼不同购买数量的价格优惠，如图，折线ABCD表示购买这种月
饼每盒的价格y（元）与盒数x（盒）之间的函数关系．
（1）当购买这种月饼盒数不超过10盒时，一盒月饼的价格为 元；
（2）求出当10＜x＜25时，y与x之间的函数关系式；
（3）当时李会计支付了3600元购买这种月饼，那么李会计买了多少盒这种月饼？
【答案】（1）240
（2）解：当10＜x＜25时，设y=kx+b（其中k、b为常数且k≠0），
将B（10，240），C（25，150）代入y=kx+b中，
{10k+b=240 {k=-6
得： ，解得： ，
25k+b=150 b=300
∴当10＜x＜25时，y=﹣6x+300
（3）解：∵3600÷240=15（盒），3600÷150=24（盒），
∴收费标准在BC段，
根据题意得：（﹣6x+300）x=3600，
解得：x=20，x=30（不合题意，舍去）．
1 2
答：李会计买了20盒这种月饼．
【解析】【解答】（1）∵当0≤x≤10时，y=240（元）．
故答案为：240．
【分析】（1）观察图象可知，结果为240元；
（2）有图象可知，y是x的一次函数，故设出其解析式，用待定系数法求出即可；
（3）先根据消费总额估计出收费标准的范围，然后”单价×数量=总价“列方程求解
即可。
题型5：分段函数
5.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间
为t（分），S与t之间的函数关系如图所示.若他早上8点从家出发，汽车在途中停
车加油一次，则下列描述中，不正确的是( )
A．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟
B．汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园
C．加油后汽车行驶的速度为60千米/时
D．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快
【答案】D【解析】【解答】解：A.汽车行驶30千米时，停车加油时间为第25分至第35分，
该选项正确；
B.S=60千米，8点出发，用时65分钟，9点5分到达，该选项正确；
S 30
V = = =60km/h
C.加油后速度 t 1 ，该选项正确；
2
D.加油后速度 V =60km/h
1
30
V = =72km/h
加油前速度 2 25
60
V >V ，该选项错误.
2 1
故答案为：D
【分析】根据函数图象可知：从家到动物园的距离为60千米，共经历65分钟时
间，行驶到30千米的加油，加油的时间为35-25=10分钟，据此判断A、B；根据速
度=路程÷时间，分别求出加油后速度与加油前速度，据此判断C、D即可.
【变式5-1】小明家与学校之间距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了
5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，下面哪一个图象能大致描述他
回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自
行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，所以图象应
分为三段，根据最后离学校的距离．
故答案为：C．
【变式5-2】某旅游团上午6时从旅馆出发，乘汽车到距离210km的某著名旅游景点
游玩，该汽车离旅馆的距离S（km）与时间t（h）的关系可以用如图的折线表示．
根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）求该团去景点时的平均速度是多少？
（2）该团在旅游景点游玩了多少小时？
（3）求返回到宾馆的时刻是几时几分？
【答案】（1）解：210÷（9﹣6）=70（千米/时），
答：该团去景点时的平均速度是70千米/时
（2）解：13﹣9=4（小时），
答：该团在旅游景点游玩了4小时
（3）解：设返货途中S（km）与时间t（h）的函数关系式为s=kt+b，
根据题意，得
{13t+b=210
，
15t+b=110
{k=-50
解得 ，
b=860
函数关系式为s=﹣50t+860，
当S=0时，t=17.2
答：返回到宾馆的时刻是17时12分
【解析】【分析】（1）根据平均速度的意义，可得答案；（2）根据函数图象的横
坐标，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数关系式，根据自变量与函数值得
对应关系，可得答案．
【变式5-3】星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所
示，请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？【答案】解：观察图象可知：（1）玲玲到离家最远的地方需要12小时，此时离家
30千米；
（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；
（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷（10﹣9）=10千米/时；
10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）=15千米/小时；
10.5～11时，速度为0；
11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）=12.5千米/小时；
12～13时，速度为0；
13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）=15千米/小时；
可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时．两段时间的速度都是15千
米/小时．速度为：30÷（15﹣13）=15千米/小时；
（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）=10千米/小时．
【解析】【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，
进而得出答案；
（2）休息是路程不在随时间的增加而增加；
（3）往返全程中回来时候速度最快，用距离除以所用时间即可；
（4）用玲玲全称所行的路程除以所用的时间即可．
【变式5-4】如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变
化示意图．
（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？
（2）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？
（3）司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停
止，请你在本图中补上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．【答案】解：（1）根据图象知道：
点A到点B是匀速运动、点E到点F是匀加速运动、点G到点H匀减速运动；
（2）根据图象知道：
汽车在点A的速度是30千米每小时，在点C的速度为0千米每小时；
（3）如图所示：
【解析】【分析】（1）根据图象可以确定从点A到点B、点E到点F、点G到点H
分别表明汽车的运动状态；
（2）根据图象可以直接得到汽车在点A和点C的速度；
（3）结合已知条件利用图象可以画出从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系
图．
