曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
11.2 二项式定理
三年模拟
一、选择题
1.(2022皖北协作体联考,7)若(2x3+y2)n的二项展开式中某项为bx6y6,则b=( )
A.15 B.40 C.60 D.80
答案 B (2x3+y2)n的二项展开式的第r+1项为 Cr·(2x3)n-r(y2)r=2n-r
Cr
x3n-3ry2r,令
n n
3n-3r=6,2r=6,得n=5,r=3,∴b=22 =40,故选B.
C3
5
2.(2022安徽江南十校一模,5)已知(x-m)(x+2)5=a +a x+a x2+…+a x6,其中m为常数,若
0 1 2 6
a =30,则a =( )
4 0
A.-32 B.32 C.64 D.-64
答案 A ∵(x-m)(x+2)5=a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
6
x6,其中m为常数,∴a
4
= C2·22-m C1·2=30,
5 5
∴m=1,
再令x=0,得a =-32,故选A.
0
3.(2022陕西六模,5)在(x - 1 ) n 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中
2 √3 x
常数项是( )
3 3 7
A. B.7C. D.
10 5 10
答案 B 若(x - 1 ) n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n=8,则(x - 1 ) 8
2 √3 x 2 √3 x
的展开式的通项为T
r+1
= Cr·(x) 8-r ·(- 1 ) r =(-1)r·(1) 8-r · Cr· 24-4r,
8 2 √3 x 2 8 x 3
令24-4r=0,解得r=6,则其常数项为(-1)6·(1) 2 · C6 =7,故选B.
3 2 8
4.(2022成都二诊,8)已知函数f(x)=10x+3cos x在x=0处的切线与直线nx-y=0平行,则
(1+x+x2)(1-x)n的展开式中含x2项的系数为( )
A.26 B.46 C.36 D.56
答案 C f '(x)=10-3sin x,则f '(0)=10.由题意,得n=f '(0)=10,则(1+x+x2)(1-x)n=(1+x+x2)
(1-x)10=(1-x)10+x(1-x)10+x2(1-x)10,所以展开式中含x2项的系数为
C2
·(-1)2+
C1
·(-1)1+
C0
10 10 10
·(-1)0=45-10+1=36.
5.(2022西安二模,3)(
x2-
2) n 的展开式中,第5项为常数项,则n=( )
x
A.8 B.6 C.7 D.10
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答案 B T
5
=
C4
(x2)n-4(
-
2) 4 =16
C4
x2n-12,由2n-12=0得n=6,故选B.
n x n
6.(2022海淀一模,4)在(√x-x)4的展开式中,x2的系数为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
答案 B T = )4-k(-x)k=(-1)k 2+ k k=2,则k=0,故x2的系数为(-1)0 =1,
k+1 Ck (√x Ckx 2,令2+ C0
4 4 2 4
故选B.
7.(2022东城期末,4)在二项式( 2) 5 的展开式中,含x3项的系数为( )
x-
x
A.5 B.-5 C.10 D.-10
答案 D T
k+1
=
Ck
x5-k(
-
2) k =(-2)k
Ck
x5-2k,当k=1时,T
2
=(-2)1
C1
x3=-10x3.∴含x3项的系数
5 x 5 5
为-10.故选D.
8.(2022东城二模,3)在(1-2x)5的展开式中,第4项的系数为( )
A.-80 B.80 C.-10 D.10
答案 A T = (-2x)3=-80x3,故选A.
3+1 C3
5
9.(2022房山一模,4)若( a) 6 的展开式中的常数项为-20,则a=( )
x+
x
A.2 B.-2 C.1 D.-1
答案 D T
k+1
= Ck·x6-k·(a) k =ak·
Ck
x6-2k,令6-2k=0,得k=3,∴常数项为T
3+1
=a3·
C3
6 x 6 6
=20a3=-20,∴a=-1,故选D.
10.(2022人大附中统练一,4)若二项式(1 ) n 1 ,则展
-x 的展开式中所有项的系数和为
2 64
开式中二项式系数最大的项为( )
5 15 5 15
A.- x3B.- x4C. x3D. x4
2 4 2 4
答案 A 由题意,令x=1,则(
-
1) n
=
1 ,解得n=6.T
k+1
= Ck·(1) 6-k ·(-x)k,展开式中二项式
2 64 6 2
系数最大的项为第4项,故令k=3,则T
4
= C3·(1) 3 ·(-x)3=-5x3.故选A.
6 2 2
11.(2022丰台二模,4)在(
x2-
2) 6 的展开式中,常数项为( )
x
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A.-240 B.-60 C.60 D.240
答案 D T
k+1
=
Ck
(x2)6-k(
-
2) k =
Ck
(-2)kx12-3k,令12-3k=0,得k=4,所以常数项为T
5
=
C4
6 x 6 6
(-2)4=240,故选D.
12.(2022海淀二模,2)在(1-2x)3的展开式中,x的系数为( )
A.-2 B.2 C.-6 D.6
答案 C T = (-2x)k= (-2)kxk.令k=1得T = ×(-2x)=-6x,故选C.
k+1 Ck Ck 1+1 C1
3 3 3
13.(多选)(2021河北唐山一模)若( x2+ 1 ) 6 的展开式中x3的系数是-160,则( )
ax
1
A.a=-
2
B.所有项系数之和为1
C.二项式系数之和为64
D.常数项为-320
答案 ABC ( x2+ 1 ) 6 的展开式中含x3的项为 C3·(x2)3·( 1 ) 3 ,所以
ax 6 ax
C3(1) 3 =-160,解得a=- 1,故A正确;由A知( x2+ 1 ) 6=( x2- 2) 6,令x=1,得所有项系
6 a 2 ax x
数之和为(1-2)6=1,故B正确;(
x2-
2) 6 的展开式的二项式系数之和为26=64,故C正确;
x
( x2- 2) 6 的常数项为 C2 ·(x2)2·( - 2) 4=24 C2 =240,故D错误.故选ABC.
x 6 x 6
14.(多选)(2022江苏百校联考,10)若(
1-
x) n 的展开式中二项式系数之和为a
n
,各项系数
3
之和为b ,各项系数的绝对值之和为c ,则下列结论正确的是( )
n n
A.a b =c
n n n
B.存在n∈N*,使得b
n
+c
n
≥a
n
C.b c 的最小值为2
n+ n
c b
n n
D.b +2b +3b +…+nb <2
1 2 3 n
答案 AB 依题意可得a n =2n,b n =(2) n ,c n =(4) n ,因为a n b n =2n·(2) n =(4) n =c n ,所以A中结
3 3 3 3
论正确.
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(2) n (4) n
因为 b +c 3 + 3 =(1) n +(2) n ≤ 1 + 2=1,所以B中结论正确.
n n= 3 3 3 3
a 2n
n
b
n+
c
n
=(1) n+2n≥1
+2=
5,当且仅当n=1时取等号,所以C中结论不正确.
c b 2 2 2
n n
因为b
n
=(2) n ,当n≥3时,b
1
+2b
2
+3b
3
+…+nb
n
>2,所以D中结论不正确.故选AB.
3
二、填空题
15.(2022江西金太阳联考,13)( x2- 1 ) 6 的展开式的中间项为 .
3x
20
答案 - x3
27
解析 ( x2- 1 ) 6 的展开式的中间项为 C3 (x2)3( - 1 ) 3 =- 20x3.
3x 6 3x 27
16.(2022安徽蚌埠质检,15)(x2+3x+1)5的展开式中,x3的系数为 .
答案 330
解析 (x2+3x+1)5=[x2+(3x+1)]5的展开式的通项为T = (x2)5-r(3x+1)r.x3可由1个x2,1个
r+1 Cr
5
3x,3个1相乘得到,即 C4· C3·3x3=60x3,
5 4
也可由3个3x,2个1相乘得到,即 C2·(3x)3=270x3,
5
故(x2+3x+1)5的展开式中,x3的系数为60+270=330,
故答案为330.
17.(2022通州一模,11)在(1-x)5的展开式中,x3的系数是 .
答案 -10
解析 T
k+1
= Ck·(-x)k= Ck·(-1)k·xk.令k=3,则T
3+1
=
C3
(-1)3·x3=-10x3,所以x3的系数是-10.
5 5 5
18.(2022平谷零模,11)在(
x2+
2) 3 的展开式中,常数项为 .(用数字作答)
x
答案 12
解析 T
k+1
= Ck(x2)3-k(2) k =2k
Ck
x6-3k,当k=2时,常数项为T
3
=22
C2
=12.
3 x 3 3
19.(2022顺义一模,12)(
x2+
1) 5 展开式中,x的系数为 .(用数字作答)
x
答案 10
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解析 ( x2+ 1) 5 展开式的通项为T k+1 = Ck(x2)5-k x-k= Ck x10-3k,令10-3k=1,解得k=3,故x的
x 5 5
系数为 =10.
C3
5
20.(2022石景山一模,12)在(
x3+
1) 7 的展开式中,x5的系数是 .
x
答案 35
解析 T
k+1
=
Ck
(x3)7-k·(1) k = Ck·x21-4k,令21-4k=5,得k=4,∴T
4+1
= C4·x5=35.∴x5的系数是35.
7 x 7 7
21.(2022门头沟一模,11)在(2x2-1)5的展开式中,x4的系数为 .(用数字作答)
答案 -40
解析 由题意得T = 25-k(-1)kx10-2k,令10-2k=4,得k=3.所以x4的系数为 22×(-1)3=-40.
k+1 Ck C3
5 5
22.(2022密云期末,12)设(2x+1)n的展开式的二项式系数之和为32,则n= ,其展开
式的第三项为 .
答案 5;80x3
解析 由题意得2n=32,得n=5,其展开式的第三项为
C2
(2x)3·12=80x3.
5
23.(2022西城二模,11)二项式(1+x)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为21,则n= .
答案 7
n(n-1)
解析 T
k+1
=C
n
kxk,由题意得C2
n
=21,即
2
=21且n∈N*,可得n=7.
24.(2022昌平二模,12)在( 1 ) 6 的展开式中,常数项为 .(请用数字作答)
2x-
√x
答案 60
解析 T k+1 = Ck (2x)6-k·( - 1 ) k =26-k·(-1)k Ck· x 6- 3 2 k ,令6- 3k=0,得k=4,所以常数项为
6 √x 6 2
T
4+1
=22·(-1)4
C4
=60.
6
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