2011-2020年高考数学真题分专题训练专题30排列组合、二项式定理理（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

十年大数据*全景展示
大数据分析*预测高考
专题 30 排列组合、二项式定理【理】
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
理 8
二项式定理
二项式定理的应用，常数项的计算
2012
理 2
排列与组合
简单组合问题
2013
卷 1
理 9
二项式定理
二项式定理的应用以及组合数的计算
卷 2
理 5
二项式定理
二项式定理的应用
2014
卷 1
理 13
二项式定理
二项式展开式系数的计算
卷 2
理 13
二项式定理
二项式展开式系数的计算
2015
卷 1
理 10
二项式定理
三项式展开式系数的计算
卷 2
理 15
二项式定理
二项式定理的应用
2016
卷 1
理 14
二项式定理
二项式展开式指定项系数的计算
卷 2
理 5
排列与组合
计数原理、组合数的计算
卷 3
理 12
排列与组合
计数原理的应用
2017
卷 1
理 6
二项式定理
二项式展开式系数的计算
卷 2
理 6
排列与组合
排列组合问题的解法
卷 3
理 4
二项式定理
二项式展开式系数的计算
2018
卷 1
理 15
排列与组合
排列组合问题的解法
卷 3
理 5
二项式定理
二项式展开式指定项系数的计算
2019
卷 3
理 4
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
2020
卷 1
理 8
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式指定项的系数
卷 3
理 14
二项式定理
利用展开式通项公式求展开式常数项
考点
出现频率
2021 年预测
考点 102 两个计数原理的应用
23 次考 2 次
命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原 
理；(3)两个计数原理的综合应用．
核心素养：数学建模、数学运算
考点 103 排列问题的求解
23 次考 0 次
考点 104 组合问题的求解
23 次考 4 次
考点 105 排列与组合的综合应用
23 次考 2 次
考点 106 二项式定理
23 次考 11 次
十年试题分类*探求规律
考点 102 两个计数原理的应用
1．(2016 全国 II 理)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓
参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24
B．18
C．12
D．9
【答案】B【解析】由题意可知 E  F 有 6 种走法， F  G 有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有6  3  18
种走法，故选 B．
2．(2014 新课标理 1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学
参加公益活动的概率为
A.
1
8
B.
3
8
2
4  2
7
C.
5
8
D.
7
8
【答案】D【解析】 P 

．
2
4
8
3．(2012 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443，94249 等．显然 2
位回文数有 9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有 90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
(Ⅰ)4 位回文数有        
 
 个；
(Ⅱ) 2n  1 (n  N ) 位回文数有      
 
 个．
【解析】(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9(1~9)种
情况，第二位有 10(0~9)种情况，所以 4 位回文数有9 10  90 种．答案：90
(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发现，2n 1 位回文数和 2n  2 位回文数的个数相同，所以可以算出 2n  2
位回文数的个数． 2n  2 位回文数只用看前 n 1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项
每项有 10 种情况，所以个数为9 10
n ．
解法二：可以看出 2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的
中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 S2n    10S2n   2 ，而当奇数
位时，可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数，因此 S2n1  10S2n ，则答案为9 10
n ．
4．(2011 湖北理)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 n  4 时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互．不．相．邻．的着色方案如下图所示：
2n1
2n
3
4
3 4
由此推断，当 n  6 时，黑色正方形互．不．相．邻．的着色方案共有   
  种，至少有两个黑色正方形相．
邻．的着色方案共有                                          
 
 种，(结果用数值表示)
【解析】(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为 0，有 9(1~9)种
情况，第二位有 10(0~9)种情况，所以 4 位回文数有9 10  90 种．答案：90
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现，2n 1 位回文数和 2n  2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n  2
位回文数的个数． 2n  2 位回文数只用看前 n 1 位的排列情况，第一位不能为 0 有 9 种情况，后面 n 项
每项有 10 种情况，所以个数为9 10
n ．
法二、可以看出2 位数有 9 个回文数，3 位数 90 个回文数．计算四位数的回文数是可以看出在 2 位数的
中间添加成对的“00，11，22，……99”，因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 S2n    10S2n   2 ，而
当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十个数，因此 S  10S ，则答案为9 10
n ．
考点 103  排列问题的求解
5．(2016 四川理)用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24
B．48
C．60
D．72
【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中任选一个，有A
1    种
方法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有A
4 种方法，所以其中奇数的个数为
A
1 A
4  72 ，故选 D．
6．(2015 四川理)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
【答案】B【解析】据题意，万位上只能排 4、5．若万位上排 4，则有 2  A
3 个；若万位上排 5，则有3 A
3
4
4
个．所以共有 2  A
3 3 A
3  5 24  120 个，故选 B．
4
4
7．(2015 广东理)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了     
   
条毕业留言．(用数字作答)
40
3
4
4
5
6
【答案】1560 【解析】由题意 A
2 = 1560 ，故全班共写了 1560 条毕业留言．
8．(2014 北京理)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品C 不相邻，则
不同的摆法有   种．
【答案】36【解析】将 A、B 捆绑在一起，有 A
2 种摆法，再将它们与其他 3 件产品全排列，有 A
4 种摆法，
2
4
共有 A
2  A
4 =48 种摆法，而 A、B、C 3 件在一起，且 A、B 相邻，A、C 相邻有 CAB、BAC 两种情况，将
2
4
这 3 件与剩下 2 件全排列，有 2  A
3  12 种摆法，故 A、B 相邻，A、C 不相邻的摆法由 48-12=36．
9．(2013 北京理)将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同
一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是      
 
 ．
【答案】96【解析】5 张参观券分成 4 堆，有 2 个联号有 4 种分法，每种分法分给 4 个人有 A
4 种方法，
∴ 总共有4 A
4  96 ．
10．(2013 浙江理)将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排，且 A, B 均在C 的同侧，则不同的排法共有       
 
 
种(用数字作答)．
【答案】480 【解析】第一类，字母 C 排在左边第一个位置，有A
5 种；第二类，字母 C 排在左边第二个位
置，有A
2A
3 种；第三类，字母 C 排在左边第三个位置，有A
2A
3  A
2A
3 种，由对称性可知共有
4     3
2     3
3 3
2( A
5 + A
2A
3 + A
2A
3  A
2A
3 )=480 种．
5
4     3
2     3
3 3
考点 104 组合问题的求解
11．【2020 山东卷 3】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1
名， 乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有
(
)
A．120 种
B． 90 种
C． 60 种
D． 30 种
【答案】C
【思路导引】利用分步计算原理，结合组合数的计算，计算出不同的安排方法．
【解析】首先从6 名同学中选1 名去甲场馆，方法数有C
1 ；然后从其余5 名同学中选2 名去乙场馆，方
法数有C
2 ；最后剩下的3 名同学去并场馆，故不同的安排方法共有C
1  C 
2  6 10  60 种，故选 C．
5
6
5
12．(2018 全国Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个
大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30  7  23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的
10
9 8
5
5 2
5
5     3
5 3
数，其和等于 30 的概率是
A.
1
12
B.
1
14
C.
1
15
D.
1
18
【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两
个不同的数有C
2 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率
P  3  1
，故选 C．
2
10
13．(2017 山东理)从分别标有1， 2 ，  ， 9 的9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张．则
抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是
5
4
A．
B．
18
9
C． 5
D． 7
9
9
【答案】C【解析】不放回的抽取 2 次有C
1 C
1  9  8  72 ，如图
可知(1, 2) 与(2,1) 是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 2C
1 C
1 =40，所求概率为 40  5 
．
5     4
72
8
14．(2014 广东理)设集合 A= x1 , x2 , x3 , x4 , x5  xi {1, 0,1}, i  1, 2, 3, 4, 5，那么集合 A 中满足条件
“1 

x1  x2  x3  x4
x
5
 3 ”的元素个数为(
)
A．60
B．90
C．120
D．130
【答案】D【解析】易知| x1 |  | x2 |  | x3 |  | x4 |  | x5 | 1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论．其一：
| x1 |  | x2 |  | x3 |  | x4 |  | x5 | 1，此时，从 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中任取一个让其等于 1 或-1，其余等于 0，于
是有C
1C
1  10 种情况；其二：| x |  | x |  | x  |  | x |  | x | 2，此时，从 x , x , x , x , x 中任取两个让
5    2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1，其余等于 0，于是有2C 
2  C 
2C
1  40 种情况；其三：
| x1 |  | x2 |  | x3 |  | x4 |  | x5 | 3，此时，从 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个
等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1，其余等于 0，于是有 2C
3  C
3C
1  C
3C 
2  80 种情况．
由
于10  40  80  130 ．
15．(2014 安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60 的共有
A．24 对
B．30 对
C．48 对
D．60 对
C
15
12
2 4
4
5
4
5
【答案】C【解析】解法一(直接法)：如图，在上底面中选 B1D1 ，四个侧面中的面对角线都与它成60 ，共
8 对，同样 A1C1 对应的也有 8 对，下底面也有 16 对，这共有 32 对；左右侧面与前后侧面中共有 16 对，所
以全部共有 48 对．
解法二(间接法)：正方体的 12 条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60 ，所以成角为60 的共有
C 
2 12  6  48 ．
16．(2013 山东理)用 0，1，…，9 十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A．243
B．252
C．261
D．279
【答案】B【解析】能够组成三位数的个数是 9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的个数是 9×9
×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900  648  252 ．
17．(2012 新课标理)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个
小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有
A．12 种
B．10 种
C．9 种
D．8 种
【答案】A【解析】先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有
C
1C 
2  12 种．
18．(2012 浙江理)若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
共有
A．60 种
B．63 种
C．65 种
D．66 种
【答案】D【解析】和为偶数，则 4 个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
C 
4  C 
4  C 
2  C 
2  1 5  60  66 种取法．
19．(2012 山东理)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求
这 3 张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数是
A．232
B．252
C．472
D．484
4
3
4
6 4 3
C
3
【答案】C【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有C
1  C
1  C
1 =64，
4
4
4
若 2 张同色，则有C 
2  C
1  C 
2  C
1  144 ，若红色 1 张，其余 2 张不同色，则有C
1  C 
2  C
1  C
1  192 ，
3
2
4
4
4
3
4
4
其余 2 张同色则有C
1  C
1  C 
2  72 ，所以共有 64+144+192+72=472．
另解 1： C 
3  4C 
3  C 
2 
C
1
 
16 15 14 
 16  72  560  88  472 ，答案应选 C．
16
4
4     12
6
另解 2： C
0C
3  3C
3  
C
1C
2
 
121110 
12 4
1211 
 220 26412  472．
4 12
4
4    12
6
2
20．【2020 上海卷 9】从 6 个人选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，
第三天安排 2 个人，则共有        
 
 种安排情况．
【答案】180
【解析】按照先选再排的方法可知共有C 
4C
1C
1  180 种方法．
 故答案为：180
21．(2018 全国Ⅰ理)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法
共有                
 
 种．(用数字填写答案)
【答案】16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有
C
1 C
2  12 (种)；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有C
2C
1  4 (种)．
2     4
2 4
根据分类加法计数原理知，至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种．
优解
从6 人中任选3 人，不同的选法有C
3    20 (种)，从6 人中任选3 人都是男生，不同的选法有C
3    4 
(种)，
6
4
所以至少有         1                 位女生入选的不同的选法有         20–4                  =16(种)． 22．
(2014 广东理)从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率
为                  
 
 ．
【答案】 1
6
C
3 C
3
【解析】6 之前 6 个数中取 3 个，6 之后 3 个数中取 3 个， P    6 3
10
 1 ．
6
23．(2014 江西理)10 件产品中有 7 件正品、3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品的概率是       
 
 ．
【答案】 1 
【解析】从 10 件产品中任取 4 件共有C
4 =210 种不同取法，因为 10 件产品中有 7 件正品、3
2
10
件次品，所以从中任取 4 件恰好取到 1 件次品共有C
1 C
3  105 种不同的取法，故所求的概率为 P  105  1 
．
3    7
210
2
24．(2013 新课标 2 理)从 n 个正整数 1，2，…， n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的
6
6
6
6
6
6
6

n
1
概率为
14 ，则 n =
．
【答案】8【解析】由题意2
1
2
14
，解得 n  8 ．
25．(2011 湖北理)给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n  4 时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互．不．相．邻．的着色方案如下图所示：
由此推断，当 n  6 时，黑色正方形互．不．相．邻．的着色方案共有   
  种，至少有两个黑色正方形相．
邻．的着色方案共有                                          
 
 种，(结果用数值表示)
【答案】21 43【解析】n  1, 2, 3, 4 时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为 2，3，5，8，由此可
看出后一个总是前 2 项之和，故 n  5 时应为 5+8=13， n  6 时应为 8+13=21； n  6 时，所有的着色方
案种数为 N  C
0  C
1  C
2  C
3  C
4  C
5  C
6  64 种，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有
64  21  43 种．
考点 105 排列与组合的综合应用
26．【2020 全国Ⅱ理 14】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小
区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有   
  种．        
 
 ．
【答案】36
【解析】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同
学， 先取 2 名同学看作一组，选法有：C
2   6 ，现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有：A
3   6 ，
4
3
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 6  36 种，故答案为： 36 ．
27．(2017 新课标理Ⅱ理)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同
的安排方式共有
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作
C
5     3
4
5 3 3 3
5     3
4
5 3 3 3
8
6
4
5
4 5 4
3 1 4
4

分成三份：有C
2 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C
2  A
3  36 种．故选 D．
4
4
3
28．(2018 浙江理)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成     
  
个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260【解析】若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为C
2C
2 A
4 ；若取的 4 个数
字包括 0，则可以组成的四位数的个数为C
2C
1 C
1 A
3 ．综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数
为
C
2C
2 A
4 + C
2C
1 C
1 A
3 =720+ 540 =1 260．
29．(2017 浙江理)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要
求服务队中至少有 1 名女生，共有               
 
 种不同的选法．(用数字作答)
【答案】660【解析】分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有C
4  C
4  55 种不同的选法；
第二步，从 4 人中选出队长、副队长各一人，有A
2  12 种不同的选法，根据分步乘法计数原理共有
5512  660 种不同的选法．
30．(2017 天津理)用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四
位数，这样的四位数一共有        
 
 个．(用数字作答)
【答案】1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有C
1 C
3A
4 个，没有偶数有A
4 个，所以共有
4     5     4
5
A
4  C
1C
3 A
4  1080 个．
31．(2014 浙江理)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张奖券分配给 4 个人，每
人 2 张，不同的获奖情况有    
  种(用数字作答)．
【答案】60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为C
2C
1A
2   36 ；
另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为A
3  24 ，则获奖情况总共有 36 +24 =60(种)．
考点 106 二项式定理
32．【2020 全国Ⅲ理 14】 
x
2 

2 

6


的展开式中常数项是           
 
 (用数字作答)．
【答案】 240

2 
6
【思路导引】写出 x
2 


 二项式展开通项，即可求得常数项．

x
x

6
6


5

y 
 2 
x
【解析】  
x
2 

2 

6


，其二项式展开通项：
T
 C
r    x
2 
6r  
 2 

 C
r  x
122r (2)
r  x
 r  C
r (2)
r  x
123r ，当12  3r  0 ，解得 r  4 ，  x
2  2 
r 1
6
 x 
6
6

x 




的展开式中常数项是： C 
4  2
4  C 
2 16  1516  240 ．故答案为： 240 ．
33．【2020 浙江卷 12】设1 2x
5  a  a x  a x2  a x3  a x4  a x5 ，则 a5  ；
1
2
3
4
5
6
a1   a2   a3  ．
【答案】80；51
【解析】由题意可知 a 表示 x
4 的系数，即 a  C 
4  2
4  80 ，a  1 ，a  C
1  2  10 ，a  C 
2  2
2  40 ，
5
5
5
1
2
5
3
5
∴ a1  a2  a3  51，故答案为：80；51．
34．【2020 天津卷 11】在 
x 

2 
5
x
2 的展开式中， x
2 的系数是        
 
 ．
【答案】10
【解析】因为 
x 
2 
5
的展开式的通项公式为
T
r
 C
r x
5r            
 
 
 C
r  2
r  x
53r r  0,1, 2, 3, 4, 5 ，令

x
2 
r 1
5
 x
2 5




5  3r  2 ，解得 r  1．所以 x
2 的系数为C
1  2  10 ．故答案为：10 ．
35．(2020 全国Ⅰ理 8) 
 x 
     
5
2
  x
y
的展开式中 x
3 y
3 的系数为
(
)

x 
A． 5
B．10
C．15
D． 20
【答案】C
【解析】(x  y)
5
展开式的通项公式为T
 C
r x
5r y
r

y
2 
( r  N 且 r  5 )，∴  x  与(x  
y)
5
展开式的乘
xT
 xC
r x
5r y
r   C
r x
6r y
r
y
2
 y
2
r 5r r 


r     4r   r 2
xT
 C
r x
6r y
r
x
r
6

3   3   3
3  
积可表示为：
r 1
5
5
或 
x 
Tr 1
x 
C5 x
y
C5  x
y
，在
r 1
5
中，
令 r  3，可得： xT
y
2
，该项中 x y 的系数为10 ，在
T

r 4r r 2 中，令r  1，可得：
4
5
x
r 
1
C5 x
y
x
2
4
4
5
y
2
1   3    3
3    3
3 3
x 
T2  C5 x y ，该项中 x y 的系数为5 ，∴ x y 的系数为10  5  15 ，故选 C．
36.
【2020 北京卷 3】在
 2
5 
的展开式中， x
2 的系数为
(
)
A． 5
【答案】C
B． 5
C． 
10
D．10
1
r
5−r
r
r
r 5−r
2
【解析】由题意展开式的通项为 Tr+1= 
C5(x2)
−2
= = C5 −2
x 2 ，令 r=1 得 x 的系数为-10，故选 C．
37．(2019 全国 I 理 II 理 4)(1+2x2 )(1+x)4 的展开式中 x3 的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
【答案】A【解析】(1 2x
2 )(1 x)
4 的展开式中 x
3 的系数为1 C
3 1 2  C
1 1
3  12 ．故选 A．
38．(2019 浙江理 13)在二项式(
 x)
9 的展开式中，常数项是        ，系数为有理数的
项的个数是      
 
 ．
【答案】5【解析】二项式

 x
9
的展开式的通项为
T
9r
 C
r ( 2)
9r x
r  2 2 C
r x
r ．
r 1
9
9
由r  0 ，得常数项是T1  16 2 ；当r=1，3，5，7，9 时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是
5 个．
39．(2018 全国Ⅲ理) (x
2  2)
5 的展开式中 x
4 的系数为
x
A．10
B．20
C．40
D．80
【答案】C【解析】T

r
2 5r
2 r  C
r 2
r x
103r ，由10  3r  4 ，得 r  2 ，所以 x
4 的系数为
r 1
C
2  2
2  40 ．故选 C．
C5 (x )
( )
x
5
40．(2017 新课标Ⅰ理) 
(1
1 )(1 x)
6 展开式中 x
2 的系数为
x
2
A．15
B．20
C．30
D．35
【答案】C【解析】(1 1 )(1 x)
6 展开式中含 x
2 的项为1 C 
2 x
2 1  C 
4 x
4  30x
2 ，故 x
2 前系数为 30，
x
2
故选 C．
6
x
2
6
41．(2017 新课标Ⅲ理) (x  y)(2x  y)
5 的展开式中 x
3 y
3 的系数为
A．  80
B．  40
C．40
D．80
【答案】C【解析】(2x  y)
5 的展开式的通项公式为： T  C
r (2x)
5r ( y)
r ，
r 1
5
2
x
3
3
5
5
n
n
3
当 r  3 时， x(2x  y)
5 展开式中 x
3 y
3 的系数为C
3  2
2  (1)
3  40 ，
 当r  2 时， y(2x  y)
5 展开式中 x
3 y
3 的系数为C
2  2
3  (1)
2  80 ，
 所以 x
3 y
3 的系数为80  40  40 ，故选 C．
42．(2016 四川理)  设i 为虚数单位，则( x  i)
6 的展开式中含 x
4 的项为
A．－15 x
4
B．15 x
4
C.
－20 ix
4
D．20 ix
4
【答案】A【解析】通项T  C
r x
6ri
r (r  0,1, 2,, 6) ，令 r  2 ，得含 x
4 的项为C 
2 x
4i
2  15x
4 ，故选
r1
6
6
A．
43．(2015 湖北理)已知(1 x)
n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A． 
2
12
B． 
2
11
C． 
2
10
D.
2
9
【答案】D【解析】因为(1 x)
n 的展开式中的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以C
3  C
7 ，解得 n = 10 ，
所以二项式(1 x)
10 的展开式中奇数项的二项式系数和为 1  2
10  2
9 ．
2
44．(2015 陕西理)二项式(x 1)
n (n  N ) 的展开式中 x
2 的系数为 15，则 n 
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C【解析】由(x 1)
n  (1 x)
n  1 C
1 x  C 
2 x
2    C
n x
n ，知C 
2  15 ，
n(n 
1)
∴
2
n
n
n
n
 15 ，解得 n  6 或 n  5 (舍去)，故选 C．
45．(2015 湖南理)已知(
a )
5 
 
的展开式中含x 2 
 
的项的系数为30
 
，则a 
A．
B． 
C．6
D．－6
【答案】D【解析】T
5 r
 C
r (1)
r a
r x 2
，令 r  1 ，可得5a  30  a  6 ，故选 D．
r 1
5
46．(2014 浙江理)在(1 x)
6 (1 y)
4 的展开式中，记 x
m y
n 项的系数为 f (m, n) ，
则 f (3, 0) 

f (2,1) f (1, 2) f (0, 3) =
A．45
B．60
C．120
D．210
【答案】C【解析】由题意知 f (3, 0)  C
3C
0 ， f (2,1)  C
2C
1 ， f (1, 2)  C
1 C
2 ， f (0, 3)  C
0C
3 ，因此
6     4
6     4
6     4
6 4
f (3, 0)  f (2,1)  f (1, 2)  f (0, 3)  120 ．
x
x x
x x

1

47．(2014 湖南理) ( 1
2 x  2 
y)
5
的展开式中 x
2 y
3 的系数是
A．－20
B．－5
C．5
D．20
【答案】A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项T  
3   1
2 2 y)
3  20x
2 y
3 ，故 x
2 y
3 的系数为
4
C5  ( 
2 
x) (
－20，故选 A．
48．(2014 福建理)用a 代表红球， b 代表蓝球， c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个
篮球中取出若干个球的所有取法可由1 a1 b的展开式1 a  b  ab 表示出来，如：“1”表示一个球
都不取、“ a ”表示取出一个红球，面“ ab ”用表示把红球和篮球都取出来．以此类推，下列各式中，其展
开式
可用来表示从 5 个无区别的红球、从 5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球
都取出或都不取出的所有取法的是
A． 1 a  a
2   a
3   a
4   a
5 1 b
5 1 c
5
B． 1 a
5 1 b  b
2   b
3   b
4   b
5 1 c
5
C． 1 a
5 1 b  b
2   b
3   b
4   b
5 1 c
5 
D． 1 a
5 1 b
5 1 c  c
2   c
3   c
4   c
5 
【答案】A【解析】分三步：第一步，5 个无区别的红球可能取出 0 个，1 个，…，5 个，则有
(1 a  a
2  a
3  a
4  a
5 ) 种不同的取法；第二步，5 个无区别的篮球都取出或都不取出，则有(1 b
5 ) 种
不同的取法；第三步，5 个有区别的黑球看作 5 个不同色，从 5 个不同色的黑球任取 0 个，1 个，…，5 个，
 有(1 c)
5 种不同的取法，所以所求的取法种数为(1 a  a
2  a
3  a
4  a
5 ) (1 b
5 ) (1 c)
5 ．

49．(2013 辽宁理)使得 
3x 
n
 n  N  的展开式中含常数项的最小的 n 为


A． 4
B． 5
C． 6
D． 
7
1
n 5 r
5
【答案】B【解析】通项C
r (3x)
n r (
)
r
 C
r 3
n r x
2 ，常数项满足条件 n 
r ，所以 r  2 时 n  5
n
n
2
最小．

2 
5
50．(2013 江西理)  x
2 

x
3 展开式中的常数项为
A．80
B．－80
C．40
D．－40
5
5
5

【答案】C【解析】T
 C
r (x
2 )
5r ( 2 )
r  (2)
r C
r x
105r ，令10  5r  0 ，解得 r  2 ，所以常数项为
r 1
5
x
3
5
(2)
2 C 
2  40 ．
51．(2012 安徽理) (x
2  2)( 1
x
2 1)
5 的展开式的常数项是(
)
A.
3
B.
2
C.

D． 
【答案】D【解析】第一个因式取 x
2 ，第二个因式取 1
x
2 得：1 C
1 (1)
4  5 ，第一个因式取 2 ，第二个因
式取(1)
5 得： 2 (1)
5  2 展开式的常数项是5  (2)  3 ．
52．(2012 天津理)在(2x
2  1 )
5 的二项展开式中， x 的系数为
x
A．10
B．－10
C．40
D．－40
【答案】D【解析】∵ T =C
r (2x
2 )
5-r   (  x
1 )
r = 2
5-r ( 1)
r C
r x
10-3r ，∴10  3r=1，即 r=3 ，
r +1
5
5
∴ x 的系数为40 ．
53．(2011 福建理) (1 2x)
5 的展开式中， x
2 的系数等于
A．80
B．40
C．20
D．10
【答案】B【解析】(1 2x)
5 的展开式中含 x
2 的系数等于C 
2 (2x)
2  40x
2 ，系数为 40．答案选 B．
54．(2011 陕西理) (4
x  2
 x )
6 ( x  R)展开式中的常数项是
A． 
20
B． 
15
C．15
D．20
【答案】C【解析】T
 C
r (4
x )
6r (2
 x )
r  C
r  2
2 x (6r )  2
 xr  C
r  2
12 x3 xr ，
r 1
6
6
6
令12x  3xr  0 ，则 r  4 ，所以T  C 
4  15 ，故选 C．
5
6

1 
8
55．(2019 天津理理10)  2x  
8x
3  是展开式中的常数项为                  
 
 ．
8r 
1 
r
【答案】28【解析】由题意，可知此二项式的展开式的通项为T
 C
r 2x


r+1
8

8x
3 
C
r 2
8r  
1 

r
x
8r  1 


．
 C
r  1
r  2
84r  x
84r
8

8 
 x
3 8




所以当8  4r  0 ，即 r  2 时， 
T
为常数项，此时T  T
 C
2   1
2  2
842   28 ．
r
r1
3
21
8
2 x
x
x
C ( ) x
8
3
2
5
56．(2018 天津理)在(x 
1  )
5 的展开式中， x
2 的系数为       
 
 ．
2 x
5
【答案】
【解析】T
 C
r x
5r (
1 )
r  C
r x
5 3  r  2 (1)
r ，令5 3 r  2 ，得 r  2 ，
2
r 1
5
5
2
2
所以 x
2 的系数为C
2 ( 1 )
2  5 
．
5
2
2
57．(2018 浙江理)二项式( 
3 x 1 )
8 的展开式的常数项是
．
2x
【答案】7【解析】T
 C
r 
x
8    r   
3 (  1 )
r  
r 1 r
8    4  r  
3
8  
4r
，令
 0 ，解得r  2 ，所以所求常数项为
C
2 ( 1 )
2  7 ．
2
r 1
8
2x
8 2
3
58．(2017 浙江理)已知多项式(x 1)
3 (x  2)
2 = x
5  a x
4  a x
3  a x
2  a x  a ，则 a =     ， a =    
  ．
1
2
3
4
5
4
5
【答案】16，4【解析】将(x 1)
3 (x  2)
2 变换为(1 x)
3 (2  x)
2 ，则其通项为C
r 1
3r x
r C
m 2
2m x
m ，取
r  0, m  1 和 r  1, m  0 可得，
a  C
0C
1  2 + C
1 C
0  2
2  4 12  16 ，令 x  0 ，得 a  4 ．
4
3     2
3     2
5
59．(2017 山东理)已知(1 3x)
n 的展开式中含有 x
2 项的系数是54 ，则 n ．
【答案】4【解析】Τ
 C
r  3x
r    C
r   3
r   x
r  ，令 r  2 得： C
2   3
2   54 ，解得 n  4 ．
r 1
n
n
n
60．(2016 山东理)若(ax
2 
1 )
5 的展开式中 x
5 的系数是-80，则实数 a=            
 
 ．
【答案】 2 【解析】因为
T
 C
r (ax 
2 )
5r ( 1 )
r  C
ra
5r x
10 5 
r
2
，所以由10 

5 r  5  r  2 ，
r 1
5
5
2
因此C
2 a
52  80  a  2.
61．(2016 全国 I 理) (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是     
 
 ．(用数字填写答案)
5 r
r
【答案】10 【解析】由(2x 
x )
5 得T
 C
r (2x)
5r (   x )
r   2
5r C
r x   2 ，令5  3 得 r  4 ，此时系
r1
5
5
2
数为 10．
62．(2015 北京理)在2  x 
5  的展开式中， x
3 的系数为                 ．(用数字作答)
4
4
4
4
4
6
6
8
【答案】40【解析】由通项公式， T  C
r 2
5r  x
r ，令 r = 3 ，得出 x
3 的系数为C
3 2
2  40 ．
r 1
5
5
63．(2015 新课标 2 理) (a  x)(1  x) 
4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，
则a =           
 
 ．
【答案】3【解析】(1+ x)
4 展开式的通项为T
 C
r x
r ，由题意可知，
r 1
4
a(C
1  C
3 )  C 
0  C 
2  C 
4  32 ，解得 a  3．
64．(2014 新课标 1 理) (x  y)(x  y)
8 的展开式中 x
2 y
7 的系数为      
 
 ．(用数字填写答案)
【答案】－20【解析】(x  y)
8 中T  C
r x
8r y
r ，令 r  7 ，再令 r  6 ，得 x
2 y
7 的系数为C 
7  C 
6  20 
．
r 1
8
8
8
65．(2014 新课标 2 理)  x  a
10 的展开式中， x7 的系数为 15，则 a =      
 
 ．(用数字填写答案)
1
【答案】
【解析】二项展开式的通项公式为
T
 C
r x
10r a
r ，当10  r  7 时， r  3，
2
T  C
3 a
3 x
7 ，则C
3 a
3  15 ，故 a  1 
．
r 1
10
4
10
10
2

b 
6
66．(2014 山东理)若 ax
2 


  的展开式中 x
3 项的系数为 20，则 a
2  b
2 的最小值为  ．

【答案】2【解析】T

r
2 6r
b r  C
r a
6rb
r x
123r ，令12  3r  0 ，得 r  3，
r 1
C6 (ax )
( )
x
6
故C
3a
3b
3  20 ，∴ ab  1, a
2  b
2 ≥ 2ab  2 ，当且仅当 a  b  1 或a  b  1 时等号成立．
67．(2013 安徽理)若
 x   a    
的展开式中 x
4 的系数为 7，则实数 a ．

3   x 


1
a
8r  r
4
1
1
【答案】
【解析】通项C
r x
8r (        )
r   C
r a
r x
3    8 
r  4  r  3, C 
3 a
3   7  a 
，所以
．
2
8
3  x
8
3
8
2
2
68．(2012 广东理) (x
2  1 )
6 的展开式中 x
3 的系数为
x
【答案】20【解析】(x
2  1 )
6 的展开式中第 k 1 项为
T
．(用数字作答)
 C
k x
 k x
2(6k )  C
k x
123k (k  0,1, 2,, 6) ，
x
令12  3k  3  k  3 得： x
3 的系数为C
3  20 ．
69．(2012 浙江理)若将函数 f (x)  x
5 表示为 f (x)  a
k 1
6
6
 a (1 x)  a (1 x)
2
0
1
2
 a (1 x)
5 ，其中 a ， a ， a ，…， a 为实数，则 a  ．
5
0
1
2
5
3
【答案】10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．
x
x
x
3
4
5
3
3

k
2
k
a5  1
即： C 
4 a  a  
0
 a  10 ．
  5    5
4
3
C
3a  C
1a  a  0
  5    5
4    4
3
法二：对等式： f  x  x
5    a   a  1  x  a  1  x
2     a  1  x
5  两边连续对 x 求导三次得：
0
1
2
5
60x
2  6a  24a (1  x)  60a (1  x)
2 ，再运用赋值法，令 x  1 得： 60  6a ，即 a  10 ．
法三： f (x)  x
5  (11 x)
5 ，则 a  C
3 (1)
2  10 ．
3
5
70．(2011 浙江理)设二项式(x  a )
6 (a  0) 的展开式中 x
3 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则 a 的
值是        
 
 ．
【答案】2【解析】由题意得
T
 C 
k x 
6k 

a  

k
6 3 k
a
C  x
，
k 1
6
 
     
6


∴ A   a
2 C 
2 ， B   a
4 C 
4 ，又∵ B  4 A ，
6
6
∴  a
4 C 
4   4 a
2 C 
2 ，解之得 a 
2    4 ，又∵ a  0 ，∴ a  2 ．
6
6