2011-2020年高考数学真题分专题训练专题13三角函数的综合应用（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 13 三角函数的综合应用
十年大数据*全景展示
年 份
题 号
考 点
考 查 内 容
理 16
文 16
主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函
数的最值问题
2013 卷 1
三角函数最值与值域
卷
三角函数的实际应用
三角函数最值与值域
理 6
主要考查利用三角函数的应用及三角公式
主要考查三角公式及三角函数最值
1
理 14
文 14
理 16
文 12
2014
卷 2
卷 2
卷 1
三角函数的实际应用 
主要考查圆的相关知识、正弦定理等基础知识
三角函数图象与性质 主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查
理 12
的综合应用
三角函数图象与性质 主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称
的综合应用 
轴．
运算求解能力．
2016
卷 2
卷 2
卷 2
理 7
文 11
理 14
文 13
文 6
三角函数最值与值域 
主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值
主要考查同角三角函数基本关系、三角函数图像与性质、
三角函数最值与值域
换元法求最值．
2017 卷 2
卷 3
三角函数最值与值域 
主要考查辅助角公式及三角函数的最值．
主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思
三角函数最值与值域
想．
主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、
三角函数最值与值域
利用导数研究函数的单调性、极值与最值．
卷 1
2018
理 16
文 8
三角函数图象与性 质 主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化
卷 1
的综 合应用
与化归思想与运算求解能力
三角函数图象与性质
的综合应用
2019 卷 1
理 11
主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
三角函数最值与值域
7/13
2021 年仍将重点考查三角函数图像与性质的综合应用及
三角函数图象与性质的综合应用 
4/13
三角函数的实际应用 
2/13
三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，
难度为中档题或压轴题．
十年试题分类*探求规律
考点 42 三角函数最值与值域
π
f (x)  cos 2x 6 cos(  x)
1．(2016 全国新课标卷 2，文 11) 函数
的最大值为( )
2
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
1


2．(2017 新课标卷 3，文 6)函数 f(x)= sin(x+ 
)+cos(x− 
)的最大值为
5
3
6
6
5
3
5
1
5
A．
B．1
C．
D．
x  
 6 
3 
3．(2012 山东)函数 y  2sin
(0  x  9) 的最大值与最小值之和为
A．2 3
D．1 3
B．0
C．－1
4．(2018•新课标Ⅰ，理 16)已知函数 f (x)  2sin x sin 2x ，则 f (x) 的最小值是
．
 

f x =2cosx  sinx
5．(2017 新课标卷 2，文 13)．函数
的最大值为
．
3
  

 2 
6．(2017 新课标卷 2，理 14)．函数 f x 
sin2 x  3cosx 
  

( x 0,
)的最大值是
．


4
  
 
 
7．(2014 新课标Ⅱ，理 14)函数 f x 
sin x 2
 
 

2sin cos x
的最大值为_________．
8．(2013 新课标Ⅰ，理15)设当x=θ 时，函数f(x)＝sinx－2cosx 取得最大值，则
cosθ=______
  

3 sin 3x cos 3x ，若对任意实数 x 都有 f x ≤a ，则实数 a 的取值范
围
9．(2013 江西)设 f x
是
．
f (x)  sinx, xR
10．(2019 浙江 18)设函数
．
(1)已知 [0, 2),函数 f (x )

是偶函数，求 的值；


(2)求函数y [ f (x  
)]2 [ f (x  )]2 的值域．
12
4
考点 43 三角函数图象与性质的综合应用
1．(2019•新课标Ⅰ，理 11)关于函数 f (x) sin | x | | sin x | 有下述四个结论：
① f (x) 是偶函数

② f (x) 在区间( ，) 单调递增
2
③ f (x) 在[ ，] 有 4 个零点
④ f (x) 的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是(
)
A．①②④
B．②④
C．①④
x sin x 2 ，则(
D．①③
2．(2018•新课标Ⅰ，文 8)已知函数 f (x)  2 cos
A． f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 3
B． f (x) 的最小正周期为 ，最大值为 4
C． f (x) 的最小正周期为2 ，最大值为 3
D． f (x) 的最小正周期为2 ，最大值为 4
2
2
)



3．(2016 新课标卷 1，理 12)12．已知函数 f (x) sin(x+)( 0，  ),x   
为 f (x) 的零
点，x 
2
4
4
  5 
为 y  f (x) 图像的对称轴，且 f (x) 在 
，  单调，则的最大值为( 
)
18 36 
(A)11
(B)9 
(C)7
(D)5

4．(2016•新课标Ⅱ，理 7)若将函数 y  2sin 2x 的图象向左平移 
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
12
(
)
k

k

A． x 
C． x 
 (k Z)
B． x 
D． x 
 (k Z)
2
6
2
6
k

k


(k Z)

(k Z)
2
12
2
12
5．(2016 山东)函数 f (x)  ( 3 sin x cosx)( 3cosx sin x) 的最小正周期是
A．
B．π
C．3
D．2π
2
2
6．(2014 安徽)若将函数 f (x)  sin 2x cos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 
的
最小正值是


3
3
A．
B．
C．
D．
8
4
8
4
7．(2014 福建)将函数 y  sin x 的图象向左平移
个单位，得到函数 y 
f x
  的函数图象，则下列说法
正
2
确的是
A． y 
f x
  是奇
函数
B． y  f x的周期是

  

  的图象关于直线 x  
对称 D． y  f x的图象关于点  
,0

C． y 
f x

2
 2 



8．(2014 辽宁)将函数 y  3sin(2x  ) 的图象向右平移 
个单位长度，所得图象对应的函数
3
2
 7
 7
A．在区间[ 
,
] 上单调递减
B．在区间[ 
,
] 上单调递增
12 12
12 12
 

 

C．在区间[ , ] 上单调递减
D．在区间[ , ] 上单调递增
6 3
6 3

y sin 2x 的图像沿 x 轴向左平移 
个单位后，得到一个偶函数的图像，则 的

9．(2013 山东)将函数
8
一个可能取值为
3

D．
A．
B．
C．0
4
4
4
10．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点 P(cos, sin) 到直线 x my 2  0 的距离，当 ，m 变
化时，d 的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
f (x)  sin2 x bsin x c ，则 f (x) 的最小正周期
11．(2016 年浙江)设函数
A．与 b 有关，且与 c 有关
C．与 b 无关，且与 c 无关
B．与 b 有关，但与 c 无关
D．与 b 无关，但与 c 有关
2
12．(2015 浙江)函数
13．(2014 山东)函数
f (x) sin x sin xcosx 1 的最小正周期是________，单调递减区间是_______．
3
y 
sin 2x cos 2 x 的最小正周期为
．
2


 

4 
  




f x 
sin 2x
y
14．(2014 安徽)若将函数
最小正值是________．

 的图象向右平移 
个单位，所得图象关于 轴对称，则 
的
15．(2016 年浙江)已知2 cos
2 x sin 2x  Asin(x b(A > 0) ，则 A =__，b =__．

16．(2014 陕西)设0  
则tan _______．
，向量a  sin 2，cos，b  cos，1，若a∥b
，
2
17．(2017 江苏)已知向量a  (cos x, sin x) ，b  (3, 3)， x[0,]．
(1)若a∥b，求 x 的值；
(2)记 f (x)  a b ，求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的
值．


18．(2017 山东)设函数 f (x)  sin(x  ) sin(x  ) ，其中0  3．
6
2

已知 f ( )  0 ．
6
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)将函数 y  f (x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移
个
4
 3
单位，得到函数 y  g(x) 的图象，求 g(x) 在[
,
]上的最小值．
4 4

19．(2016 年天津)已知函数 f (x) 4 tan xcosxcos(x

)  3 ．
3
(Ⅰ)求 f (x) 的定义域与最小正周期；
 

(Ⅱ)讨论 f (x) 在区间[  , 
]上的单调性．
4 4
x
x
x
20．(2015 北京)已知函数 f (x)  2 sin cos  2 sin2
．
2
2
2
(
)
Ⅰ 求 f (x) 的最小正周期；
(
)
Ⅱ 求 f (x) 在区间[π，0]上的最小值 ．
π
21．(2015 湖北)某同学用“五点法”画函数 f (x)  Asin(x ) (  0, | | ) 在某一个周期内的图象时，列
2
表并填入了部分数据，如下表：
π
2
3π
2
x 
0
π
2π
0
π
3
5π
6
x
Asin(x )
5
0
5
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f (x) 的解析式；
(
)
Ⅱ将 y  f (x) 图象上所有点向左平行移动 (  0) 个单位长度，得到 y  g(x) 的图象．若 y  g(x) 图
象
5π
的一个对称中心为( 
, 0)，求  的最小值．
12
22．(2014 福建)已知函数 f (x)  2cosx(sinx cosx) ．
5
f ( 
)
(Ⅰ)求
的值；
4
(Ⅱ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间．
1
23．(2014 福建)已知函数 f (x)  cos x(sin x  cos x)  ．
2

2
(Ⅰ)若0   
，且sin 
，求 f () 的值；
2
2
(Ⅱ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间．


 

6 
  


24．(2014 北京)函数 f x 
3sin2x
的部分图象如图所示．
 

(Ⅰ)写出 f x 的最小正周期及图中 x 、 y 的值；
0
0
 
 2 
12
 


 

,
(Ⅱ)求 f x 在区间
上的最大值和最小值．


 

3
  



3 cos2 x 
， xR ．
25．(2014 天津)已知函数 f x
cosx sinx


3 
4
 

(
)
Ⅰ求 f x 的最小正周期；
  
 
 4 4 
 


(
)
Ⅱ求 f x 在闭区间
,
上的最大值和最小值．





 

2 

f x 3 sinx    0， 
 

x 


的图像关于直线
26．(2014 重庆)已知函数
对称，且图
2
3

象上相邻两个最高点的距离为 
．
 

(I)求 
和 
的值；
 

3 
 
 

 2  
4  6
2 
3 


3 
2 
f   
cos  

 的值．
，求
(II)若
3
f (x) 
 3 sin 2 x sinxcosx (  0)
y  f (x)
，且 
的 图象的一个对称
27．( 2013 山东)设函数
2

中心到最近的对称轴的距离为
．
4

(Ⅰ)求 
的值；
3
f (x) 在区间[,
]
(Ⅱ)求
上的最大值和最小值．
2


 

4 
28． (2013 天津)已知函数 f (x) 

2 sin2x  6sin xcosx 2 cos


2 x 1,x  R
．
(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期；
  

 2 
(Ⅱ) 求 f(x)在区间0,
上的最大值和最小值．



 

3 
  


29．(2013 湖南)已知函数 f x 
cosxcos x

2
f ( 
) 的值；
(1)求
3
1
4
f (x) 
(2)求使
成立的 x 的取值集合．
2

f (x) 
cos(2x  ) sin x
2
30．(2012 安徽) 设函数
2
4
(I)求函数 f (x) 的最小正周期；


(II)设函数 g(x) 对任意 xR ，有 g(x  )  g(x) ，且当 x[0, ]时，
2
2
1
g(x)   f (x) ； 求 g(x) 在[, 0]上的解析式．
2

f (x)  Asin(x  ) 1 A  0,  0
31．(2012 陕西)函数
(
)的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间
6

的距离为
．
2
f (x)
(1)求函数
的解析式；


 (0, )
f ( )  2

，求 
的值．
(2)设
，则
2
2

f (x)  sin xcosx cos 2(x  ) ．
32．(2015 山东)设
4
(Ⅰ)求 f (x) 的单调区间；
A
(Ⅱ)在锐角△ ABC 中，角 A, B,C ，的对边分别为a,b,c ，若 f ( )  0 ，a 1，求△ ABC 面积的最
2
大值．

f (x)  sin(x )(  0,0  )

的周期为 
，图像的一个对称中心为 
，
( ,0)
33．(2013 福建)已知函数
4

f (x)
将函数
图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移 
个单位长
2
g(x)
度后得到函数
的图像．
(1)求函数f (x) 与 g(x)
的解析式；
 

x ( , )
(2)是否存在
，使得f (x ),g(x ), f (x )g(x )
按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定
0 
0 
0 
0
0
6 4
x0 的个数；若不存在，说明理由．
F(x)  f (x) ag(x) 在(0,n)
a
n
(3)求实数 与正整数 ，使得
内恰有 2013 个零点．
考点 44 三角函数的实际应用
1．(2014 新课标Ⅰ，理 6)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线
OA，
终边为射线OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f 
(x) ，
则 y = f (x) 在[0， ]上的图像大致为( )
2．(2015 陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数

y  3sin( x ) k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
6
A．5
B．6
C．8
D．10
3．(2014 新课标 Ⅱ，理 16)设点 M( x0 ，1)，若在圆 O：
x
的取值范围是________．
2  y 1 上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 x0
2
4 ．(2014 湖北) 某实验室一天的温度( 单位：℃) 随时间 t( 单位：h)的变化近似满足函数关系：
π
π
f (t) 10 3cos 
t sin 
t ，t [0, 24)．
12 
12
(
)
Ⅰ求实验室这一天上午 8 时的温度；
(
)
Ⅱ求实验室这一天的最大温差．
5．(2018 江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 MPN ( P 为此圆弧的中点)和线段
MN 构成．已知圆O 的半径为 40 米，点 P 到MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个温室
大
棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求 A,B 均在线段MN 上，
C,D 均在圆弧上．设OC 与 MN 所成的角为 ．
(1)用 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin 的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4∶3 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6．(2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的
底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ， E G 的长分别为 14cm 和 62cm． 
分
1
1
别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm． 现有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm．(容器厚度、玻
璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC1 上，求l 没入水中部分的长
度；
(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l 没入水中部分的长
度．
7．(2014 湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t (单位： h )的变化近似满足函数关系：
π
π
f (t) 10 3cos 
t sin 
t ，t [0, 24)．
12 
12
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？