专题24 空间向量与空间角的计算
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考查内容
2011
理18
二面角的计算
线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，
逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2012
理19
二面角的计算
线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，
逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2013[来
源:Zxxk.Com][来源:Z。xx。
k.Com][来源:学#科#网
Z#X#X#K]
卷2[来
源:学科网][来
源:Z*xx*k.Com]
理
18[来源:学*科*
网Z*X*X*K][来
源:Zxxk.Com][来源:学&科
&网Z&X&X&K]
二面角的计算[来源:学科网]
线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间
想象能力及运算求解能力
卷1
理18
空间线面角的计算
空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想
象能力、逻辑推论证能力
2014
卷2
理18
二面角的计算
线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知
识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力
卷2
理11
空间异面直线所成角
的计算
异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力
卷1
理19
二面角的计算
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基
础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力
2015
卷1
理18
空间异面直线所成角
的计算
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异
面直线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力．
2016
卷3
理19
空间线面角的计算
线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推
理能力和运算求解能力
卷2
理19
解答题中的折叠问题
与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面
角，逻辑推理能力和运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二
面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷1
理11
文11
空间异面直线所成角
的计算
面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能
力
2017
卷3
理16
空间异面直线所成角
的计算
空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运
算求解能力
卷3
理19
二面角的计算
主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体
积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算
求解能力
卷2
理18
二面角的计算
空间线面角的计算
主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量
计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理10
空间异面直线所成角
的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推
理能力与运算求解能力
2018
卷3
文19
解答题中的折叠问题
与探索性问题
空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，
逻辑推理能力与空间想象能力
卷2
文9
空间异面直线所成角
的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
文10
空间线面角的计算
长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力
卷3
理19
二面角的计算
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几
何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理20
空间线面角的计算
二面角的计算
主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量
计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理9
空间异面直线所成角
的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷1
理18
解答题中的折叠问题
与探索性问题
空间线面角的计算
折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面
角及逻辑推理能力与运算求解能力
2019
卷3
理19
解答题中的折叠问题
与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利
用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理17
二面角的计算
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面
角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷1
理18
二面角的计算
空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理
能力、运算求解能力
2020
卷1
理16
空间角的计算
空间角的计算，利用余弦定理解三角形
理18
二面角的计算
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面
角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷2
理20
空间位置关系判定、空
间角的计算
间线面平行与垂直的证明，线面角的计算
卷3
理19
二面角、点与平面位置
关系
点在平面的证明，利用空间向量法求二面角
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点82 空间异面直线所成
角的计算
7/28
2021 高考仍将重点考查异面直线角、线面角、二
面角，解答题第一小题重点考查线线、线面、面
面垂直的判定与性质，理科第二小题重点考查利
用向量计算线面角或二面角，难度为中档题，小
题可能考查异面直线角，难度为中档．
考点83 空间线面角的计算
7/28
考点84 二面角的计算
14/28
考点85 解答题中的折叠问
题与探索性问题
4/28
十年试题分类*探求规律
考点82 空间异面直线所成角的计算
1．(2018•新课标Ⅱ，理9)在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
AB
BC
，
1
3
AA
，则异面直线
1
AD 与
1
DB 所
成角的余弦值为(
)
A．1
5
B．
5
6
C．
5
5
D．
2
2
2．(2018•新课标Ⅱ，文9)在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为棱
1
CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角
的正切值为(
)
A．
2
2
B．
3
2
C．
5
2
D．
7
2
3. (2017•新课标Ⅱ，理10)已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
120
ABC
，
2
AB
，
1
1
BC
CC
，则异面
直线
1
AB 与
1
BC 所成角的余弦值为(
)
A．
3
2
B．
15
5
C．
10
5
D．
3
3
4．(2016•新课标Ⅰ，理11 文11)平面过正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的顶点A ，
/ /
平面
1
1
CB D ，平面
ABCD
m
，平面
1
1
ABB A
n
，则m 、n 所成角的正弦值为(
)
A．
3
2
B．
2
2
C．
3
3
D．1
3
5．(2014 新课标Ⅱ，理11)直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是A1B1，A1C1 的中点，
BC=CA=CC1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为(
)
A．1
10
B．2
5
C．
30
10
D．
2
2
6 ．(2020
全国Ⅰ理
16) 如图，在三棱锥
P
ABC
的平面展开图中，
1,
3 ,
,
,
30
AC
AB
AD
AB
AC
AB
AD
CAE
，则cos
FCB
_____________．
7．(2017•新课标Ⅲ，理16) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直
线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角；
②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60；
其中正确的是
．(填写所有正确结论的编号)
8．(2015 浙江)如图，三棱锥A
BCD
中，
3
AB
AC
BD
CD
，
2
AD
BC
，点
,
M N 分别是
,
AD BC 的中点，则异面直线
,
AN CM 所成的角的余弦值是
．
9．(2015 四川)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ
上，,E F分别为
,
AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则
cos
的最大值为_________．
10．(2015•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为菱形，
120
ABC
，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两
点，BE 平面ABCD ，DF 平面ABCD ，
2
BE
DF
，AE
EC
．
(Ⅰ)证明：平面AEC 平面AFC
(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
考点83
空间线面角的计算
1．(2020 山东4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时
间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的
水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬
度为北纬40，则晷针与点A 处的水平面所成角为
(
)
A．20
B．40
C．50
D．90
2．(2018•新课标Ⅰ，文10)在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
2
AB
BC
，
1
AC 与平面
1
1
BB C C 所成的角为30，
则该长方体的体积为(
)
A．8
B．6 2
C．8 2
D．8 3
3．(2014 浙江)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距
离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点
P 的仰角的大小(仰角为直线AP 与平面ABC 所成角)．若
15
AB
m
，
25
AC
m
，
30
BCM
则
tan的最大值
A．
30
5
B．
30
10
C．4 3
9
D．5 3
9
4．(2014 四川)如图，在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段
1
CC 上，直
线OP 与平面
1A BD 所成的角为，则sin的取值范围是
A．
3
[
,1]
3
B．
6
[
,1]
3
C．
6 2 2
[
,
]
3
3
D．2 2
[
,1]
3
5．(2020 全国Ⅱ理20)如图，已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的底面是正三角形，侧面
1
1
BB C C 是矩形，
,
M
N 分别
为
1
1
,
BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过
1
1
B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．
(1)证明：
1
AA // MN ，且平面
1A AMN 平面
1
1
EB C F ；
(2)设O 为△
1
1
1
C
B
A
的中心，若
F
C
EB
AO
1
1
平面
∥
，且
AB
AO
，求直线
E
B1
与平面
AMN
A1
所成角的正弦
值．
6．(2018•新课标Ⅱ，理20)如图，在三棱锥P
ABC
中，
2 2
AB
BC
，
4
PA
PB
PC
AC
，O 为AC
的中点．
(1)证明：PO 平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M
PA
C
为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
7．(2016•新课标Ⅲ，理19)如图，四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD ，
/ /
AD
BC ，
3
AB
AD
AC
，
4
PA
BC
，M 为线段AD 上一点，
2
AM
MD
，N 为PC 的中点．
(1)证明：
/ /
MN
平面PAB ；
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
8．(2013 新课标Ⅰ，理18)如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．
(Ⅰ)证明AB⊥A1C；
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．
9．(2018 浙江)如图，已知多面体
1
1
1
ABCA B C ，
1A A ，
1
B B ，
1
C C 均垂直于平面ABC ，
120
ABC
，
1
4
A A
，
1
1
C C ，
1
2
AB
BC
B B
．
(1)证明：
1
AB ⊥平面
1
1
1
A B C ；
(2)求直线
1
AC 与平面
1
ABB 所成的角的正弦值．
10．(2017 浙江)如图，已知四棱锥P
ABCD
，PAD
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC
AD
∥
，
CD
AD
，
2
2
PC
AD
DC
CB
，E 为PD 的中点．
(Ⅰ)证明：CE ∥平面PAB ；
(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
11．(2014 天津)如图四棱锥P
ABCD
的底面ABCD 是平行四边形，
2
BA
BD
，
2
AD
，
5
PA
PD
，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．
(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAB ；
(Ⅱ)若二面角P
AD
B
为60°，
(ⅰ)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；
(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
12．(2013 浙江)如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA ⊥面ABCD ，
2
AB
BC
，
7
AD
CD
，
3
PA
，
120
ABC
，G 为线段PC 上的点．
(Ⅰ)证明：BD ⊥面APC ；
(Ⅱ)若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值；
(Ⅲ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG
GC
的值．
13．(2019 浙江19)如图，已知三棱柱
1
1
1
ABC
A BC
，平面
1
1
A ACC 平面ABC ，
90
ABC
，
1
1
30 ,
, ,
BAC
A A
AC
AC E F
分别是AC，A1B1 的中点．
(1)证明：EF
BC
；
(2)求直线EF 与平面A1BC 所成角的余弦值．
14．(2018 天津)如图，AD
BC
∥
且
2
AD
BC
，AD
CD
，EG
AD
∥
且EG
AD
，CD
FG
∥
且
2
CD
FG
，DG 平面ABCD ，
2
DA
DC
DG
．
(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；
(2)求二面角E
BC
F
的正弦值；
(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．
15．(2018 江苏)如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
2
AB
AA
，点P ，Q 分别为
1
1
A B ，BC 的中点．
(1)求异面直线BP 与
1
AC 所成角的余弦值；
(2)求直线
1
CC 与平面
1
AQC 所成角的正弦值．
16．(2017 天津)如图，在三棱锥P
ABC
中，PA ⊥底面ABC ，
90
BAC
．点D ，E ，N 分别为棱
PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，
4
PA
AC
，
2
AB
．
(Ⅰ)求证：MN ∥平面BDE ；
(Ⅱ)求二面角C
EM
N
的正弦值；
(Ⅲ)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
7
21
，求线段AH 的长．
17．(2017 北京)如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在
线段PB 上，PD //平面MAC ，
6
PA
PD
，
4
AB
．
(Ⅰ)求证：M 为PB 的中点；
(Ⅱ)求二面角B
PD
A
的大小；
(Ⅲ)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
18．(2014 福建)在平行四边形ABCD 中，
1
AB
BD
CD
，
,
AB
BD CD
BD
，将ABD
沿
BD 折起，使得平面ABD 平面BCD，如图．
(Ⅰ)求证：AB CD ；
(Ⅱ)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
19．(2013 天津) 如图，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，侧棱
1A A ⊥底面ABCD ，AB
DC
∥
，
AB
AD
，
1
AD
CD
，
1
2
AA
AB
，E 为棱
1
AA 的中点．
(Ⅰ)证明
1
1
B C
CE
；
(Ⅱ)求二面角
1
1
B
CE
C
的正弦值；
(Ⅲ)设点M 在线段
1
C E 上；且直线AM 与平面
1
1
ADD A 所成角的正弦值为
2
6 ，求线段AM 的长．
考点84 二面角的计算
1．(2018 浙江)已知四棱锥S
ABCD
的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，
设SE 与BC 所成的角为
1，SE 与平面ABCD 所成的角为
2
，二面角S
AB
C
的平面角为
3
，则
A．
1
2
3
≤
≤
B．
3
2
1
≤
≤
C．
1
3
2
≤
≤
D．
2
3
1
≤
≤
2．(2017 浙江)如图，已知正四面体D
ABC
(所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，
CA 上的点，AP
PB
，
2
BQ
CR
QC
RA
，分别记二面角D
PR
Q
，D
PQ
R
，D
QR
P
的平
面角为，，，则
A．<<
B．<<
C．< <
D．<<
3．如图，已知ABC
，D 是AB 的中点，沿直线CD 将
ACD
折成△A CD
，所成二面角A
CD
B
的平面
角为，则(
)
A．
A DB
-
B．
A DB
.
C．
ACB
-
D．
ACB
.
4．(2020 全国Ⅰ理18)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE
AD
．ABC
是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，
6
6
PO
DO
．
(1)证明：PA 平面PBC ；
(2)求二面角B
PC
E
的余弦值．
5．(2020 全国Ⅲ理19)如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点
,
E F 分别在棱
1
1
,
DD
BB 上，且
1
1
2
,
2
DE
ED
BF
FB
．
(1)证明：点
1
C 在平面AEF 内；
(2)证明：若
1
2 ,
1,
3
AB
AD
AA
时，求二面角
1
A
EF
A
的正弦值．
6．(2020 江苏24)在三棱锥A—BCD 中，已知CB=CD=
5 ，BD=2，O 为BD 的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，
E 为AC 的中点．
(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
(2)若点F 在BC 上，满足BF= 1
4
BC，设二面角F—DE—C 的大小为θ，求sinθ的值．
7．(2020浙江19)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
(I)证明：EF⊥DB；
(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．
8．(2020 天津17)如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
CC 平面
,
,
2
ABC AC
BC AC
BC
，
1
3
CC
，
点
,
D
E 分别在棱
1
AA 和棱
1
CC 上，且
1
2,
AD
CE
M
为棱
1
1
A B 的中点．
(Ⅰ)求证：
1
1
C M
B D
；
(Ⅱ)求二面角
1
B
B E
D
的正弦值；
(Ⅲ)求直线AB 与平面
1
DB E 所成角的正弦值．
9．(2020 山东20)如图，四棱锥P
ABCD
的底面为正方形，PD 底面ABCD ，设平面PAD 与平面PBC 的
交线为l ．
(1)证明：l 平面PDC ；
(2)已知
1
PD
AD
，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
10．(2019•新课标Ⅰ，理18)如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面是菱形，
1
4
AA
，
2
AB
，
60
BAD
，
E ，M ，N 分别是BC ，
1
BB ，
1A D 的中点．
(1)证明：
/ /
MN
平面
1
C DE ；
(2)求二面角
1
A
MA
N
的正弦值．
11．(2019•新课标Ⅱ，理17)如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD 是正方形，点E 在棱
1
AA 上，
1
BE
EC
．
(1)证明：BE 平面
1
1
EB C ；
(2)若
1
AE
A E
，求二面角
1
B
EC
C
的正弦值．
12．(2018•新课标Ⅲ，理19)如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
CD 所在平面垂直，M 是
CD 上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD 平面BMC ；
(2)当三棱锥M
ABC
体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
13．(2017•新课标Ⅰ，理18)如图，在四棱锥P
ABCD
中，
/ /
AB
CD ，且
90
BAP
CDP
．
(1)证明：平面PAB 平面PAD ；
(2)若PA
PD
AB
DC
，
90
APD
，求二面角A
PB
C
的余弦值．
14．(2017•新课标Ⅱ，理19)如图，四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB
BC
AD
，
90
BAD
ABC
，E 是PD 的中点．
(1)证明：直线
/ /
CE
平面PAB ；
(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45，求二面角M
AB
D
的余弦值．
15．(2017•新课标Ⅲ，理19)如图，四面体ABCD 中，ABC
是正三角形，ACD
是直角三角形，ABD
CBD
，
AB
BD
．
(1)证明：平面ACD 平面ABC ；
(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D
AE
C
的
余弦值．
16．(2016•新课标Ⅰ，理18)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，
2
AF
FD
，
90
AFD
，且二面角D
AF
E
与二面角C
BE
F
都是60．
(Ⅰ)证明：平面ABEF 平面EFDC ；
(Ⅱ)求二面角E
BC
A
的余弦值．
17．(2014 新课标Ⅰ，理19)如图三棱锥
1
1
1
ABC
A B C
中，侧面
1
1
BB C C 为菱形，
1
AB
B C
．
(Ⅰ) 证明：
1
AC
AB
；
(Ⅱ)若
1
AC
AB
，
o
1
60
CBB
，AB=BC，求二面角
1
1
1
A
A B
C
的余弦值．
18．(2014 新课标Ⅱ，理18)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的
中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；
(Ⅱ)设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=
3 ，求三棱锥E-ACD 的体积．
19 ．(2013 新课标Ⅱ，理18) 如图直棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D ，E 分别为AB ，
1
BB 的中点，
1
AA =AC=CB=
2
2 AB ．
(Ⅰ)证明：
1
BC ∥平面
1ACD ；
(Ⅱ)求二面角D-
1AC
E
的正弦值．
20．(2012•新课标，理19)如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
2
AC
BC
AA
，D 是棱
1
AA 的中点，
1
DC
BD
(1)证明：
1
DC
BC
；
(2)求二面角
1
1
A
BD
C
的大小．
21．(2011•新课标，理18)如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，DAB
=
0
60 ，AB = 2AD ，
PD ⊥底面ABCD ．
(Ⅰ)证明：PA
BD
；
(Ⅱ)若PD = AD ，求二面角A
PB
C
的余弦值．
22．(2011 广东)如图在椎体P
ABCD
中，ABCD 是边长为1 的棱形，且
DAB
=60，
2
PA
PD
，
2
PB
，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．
(Ⅰ)证明：AD 平面DEF ；
(Ⅱ)求二面角P
AD
B
的余弦值．
23
．
(2019
天
津
理
17)
如
图
，
AE
平
面
ABCD
，
,
CF
AE
AD
BC
∥
∥
，
,
1,
2
AD
AB
AB
AD
AE
BC
．
(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；
(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角E
BD
F
的余弦值为1
3
，求线段CF 的长．
24．(2018 北京)如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
CC 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为
1
AA ，AC ，
1
1
AC ，
1
BB 的中点，
5
AB
BC
，
1
2
AC
AA
．
(1)求证：AC ⊥平面BEF ；
(2)求二面角
1
B
CD
C
的余弦值；
(3)证明：直线FG 与平面BCD相交．
25．(2016 年山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O的直径，FB 是圆
台的一条母线．
(I)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
(II)已知EF = FB = 1
2 AC = 2 3 ，AB
BC
．求二面角F
BC
A
的余弦值．
26．(2016 年天津)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，
点G 为AB 的中点，
2
AB
BE
．
(Ⅰ)求证：EG ∥平面ADF ；
(Ⅱ)求二面角O
EF
C
的正弦值；
(Ⅲ)设H 为线段AF 上的点，且AH = 2
3 HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．
27．(2015 福建)如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ^ 平面BEG ，
BE ^ EC ，
2
AB
BE
EC
，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．
(Ⅰ)求证：GF ∥平面ADE ；
(Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
28．(2015 山东)如图，在三棱台DEF
ABC
中，
2
AB
DE
，
,
G H 分别为
,
AC BC 的中点．
(Ⅰ)求证：BC //平面FGH ；
(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF = DE ，∠BAC = 45，求平面FGH 与平面ACFD 所成
的角(锐角)的大小．
29．(2014 山东)如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD 是等腰梯形，
60 ,
DAB
2
2
AB
CD
，M 是线段AB 的中点．
(Ⅰ)求证：
1
1
1
/ /
C M
A ADD
平面
；
(Ⅱ)若
1
CD 垂直于平面ABCD 且
1= 3
CD
，求平面
1
1
C D M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．
30．(2014 辽宁)如图，ABC
和BCD
所在平面互相垂直，且
2
AB
BC
BD
，
0
120
ABC
DBC
，E、F 分别为AC、DC 的中点．
(Ⅰ)求证：EF
BC
；
(Ⅱ)求二面角E
BF
C
的正弦值．
31．(2014 浙江)如图，在四棱锥
BCDE
A
中，平面
ABC
平面BCDE ，
90
CDE
BED
，
2
AB
CD
，
1
DE
BE
，
2
AC
．
(Ⅰ)证明：
DE
平面ACD ；
(Ⅱ)求二面角
E
AD
B
的大小．
32．(2014 广东)如图4，四边形ABCD 为正方形，PD 平面ABCD ，
0
30
DPC
，
AF
PC
于点F ，
/ /
FE
CD ，交PD 于点E ．
(Ⅰ)证明：CF
ADF
平面
(Ⅱ)求二面角D
AF
E
的余弦值．
33．(2014 湖南)如图，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的所有棱长都相等，AC
BD
O
，
1
1
1
1
1
AC
B D
O
，四边形
1
1
1
1
ACC A
BDD B
和四边形
均为矩形．
(1)证明：
1
;
O O
ABCD
底面
(2)若
1
1
60 ,
CBA
C
OB
D
求二面角
的余弦值．
34．(2013 陕西)如图，四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD 是正方形，O 为底
面中心，
1AO ⊥平面ABCD ，
1
2
AB
AA
．
(Ⅰ)证明：
1AC ⊥平面
1
1
BB D D ；
(Ⅱ)求平面
1
OCB 与平面
1
1
BB D D 的夹角的大小．
35．(2012 浙江)如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面是边长为2 3 的菱形，
120
BAD
，且PA 平面
ABCD ，
2 6
PA
，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．
(Ⅰ)证明：
/ /
MN
平面ABCD ；
(Ⅱ)过点A 作AQ
PC
，垂足为点Q ，求二面角A
MN
Q
的平面角的余弦值．
36．(2017 山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴
旋转120得到的，G 是
DF 的中点．
(Ⅰ)设P 是
CE 上的一点，且AP
BE
，求
CBP
的大小；
(Ⅱ)当
3
AB
，
2
AD
，求二面角E
AG
C
的大小．
考点85 解答题中折叠问题与探索性问题
1．(2019•新课标Ⅲ，理19)图1 是由矩形ADEB 、Rt ABC
和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
1
AB ，
2
BE
BF
，
60
FBC
．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．
(1)证明：图2 中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC 平面BCGE ；
(2)求图2 中的二面角B
CG
A
的大小．
2．(2018•新课标Ⅰ，理18)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕
把
DFC
折起，使点C 到达点P 的位置，且PF
BF
．
(1)证明：平面PEF 平面ABFD ；
(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
3．(2018•新课标Ⅲ，文19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧
CD 所在平面垂直，M 是
CD 上异于C ，D
的点．
(1)证明：平面AMD 平面BMC ；
(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得
/ /
MC
平面PBD ？说明理由．
4．(2016•新课标Ⅱ，理19)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，
5
AB
，
6
AC
，点E ，F 分
别在AD ，CD 上，
5
4
AE
CF
，EF 交于BD 于点H ，将
DEF
沿EF 折到△D EF
的位置，
10
OD
．
(Ⅰ)证明：D H
平面ABCD ；
(Ⅱ)求二面角B
D A
C
的正弦值．
5．(2019 北京理16)如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA
ABCD
平面
，AD
CD
，AD
BC
P
，
2
3
PA
AD
CD
BC
，
．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
1
3
PF
PC
．
(Ⅰ)求证：CD
PAD
平面
；
(Ⅱ)求二面角F
AE
P
的余弦值；
(Ⅲ)设点G 在PB 上，且
2
3
PG
PB
．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
6．(2016 年北京) 如图，在四棱锥P
ABCD
中，平面PAD 平面ABCD ，PA
PD
，
PA
PD
，AB
AD
，
1
AB
，
2
AD
，
5
AC
CD
．
(1)求证：PD 平面PAB ；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得
/ /
BM
平面PCD ？若存在，求AM
AP
的值；若不存在，说明理由．
7．(2015 陕西)如图1，在直角梯形ΑΒCD 中，
//
ΑD ΒC ，
2
ΒΑD
，
1
ΑΒ
ΒC
，
2
ΑD
，Ε 是ΑD
的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ΑΒΕ
沿BE 折起到
1A BE
的位置，如图2 ．
(Ⅰ)证明：CD 平面
1AOC ；
(Ⅱ)若平面
1A BE 平面BCDE ，求平面
1A BC 与平面
1ACD 夹角的余弦值．
8．(2013 广东)如图1，在等腰直角三角形ABC 中，
90
A
，
6
BC
，
,
D E 分别是
,
AC AB 上的点，
2
CD BE
，O 为BC 的中点．将ADE
沿DE 折起，得到如图2
所示的四棱锥A
BCDE
，其中
3
A O
．
(Ⅰ) 证明：A O
平面BCDE ；
(Ⅱ) 求二面角A
CD
B
的平面角的余弦值．
9．(2013 湖北)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于
,
A B 的点，直线PC 平面ABC ，E ，F 分
别是PA，PC 的中点．
(Ⅰ)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；
(Ⅱ)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足
1
2
DQ
CP
．记直线PQ 与平面ABC 所成的
角为，异面直线PQ 与EF 所成的角为，二面角E
l
C
的大小为，求证：sin
sin
sin
．
10．(2012 福建)如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中
1
1
AA
AD
，E 为CD 中点．
(Ⅰ)求证：
1
1
B E
AD
；
(Ⅱ)在棱
1
AA 上是否存在一点P ，使得DP ∥平面
1B AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；
若不存在，说明理由．[
(Ⅲ)若二面角
1
1
A
B E
A
的大小为30°，求AB 的长．
