专题26
椭
圆
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011[来源:Zxxk.Com]
理14[来源:学&科&网][来源:学
科网]
椭圆方程
椭圆的定义、标准方程及其几何性质[来源:学#科#网][来源:学+科+网Z+X+X+K]
文4
椭圆的几何性质
椭圆离心率的计算
2012
文理4
椭圆的几何性质
椭圆离心率的计算
2013
卷1
理10
椭圆方程
直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法
文理20
椭圆定义、标准方程
及其几何性质
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
卷2
理20
直线与椭圆位置关系
椭圆的方程求法，直线与椭圆位置关系，椭圆最值问题的解法
文5
椭圆定义、几何性质
椭圆的定义，椭圆离心率的求法
2014
卷1
理20
椭圆方程及几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
卷2
理20
椭圆方程及几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆位置关系
2015
卷1
理14
圆与椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法
卷2
理20
直线与椭圆
直线和椭圆的位置关系，椭圆的存在型问题的解法
文20
直线与椭圆
椭圆方程求法，直线和椭圆的位置关系，椭圆的定值问题的解法
2016
卷1
理20
圆、直线与椭圆
椭圆定义、标准方程及其几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系
卷2
理20
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
文21
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
2017
卷1
理20
直线与椭圆
椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定点问题
文12
直线与椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质
卷3
文11 理10
直线与圆，椭圆的几
何性质
直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质
2018
卷1
理19
直线与椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系
文4
椭圆
椭圆的几何性质
2019
卷1
理10 文12
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质，椭圆标准方程的求法
卷2
理8 文9
椭圆与抛物线
抛物线与椭圆的几何性质
理21
椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的
最值问题的解法
文20
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质
卷3
文理15
椭圆
椭圆的定义、标准方程及其几何性质
2020
卷1
理20 文21
椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，椭圆定点问题
卷2
理19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
文19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷3
理20 文21
椭圆
椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点89 椭圆的定义及标准方程
37 次考7 次
命题角度：(1)椭圆的定义及应用；(2)椭圆的标准方程；
(3)椭圆的几何性质；(4)直线与椭圆的位置关系．
核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算
考点90 椭圆的几何性质
37 次考32 次
考点91 直线与椭圆的位置关系
37 次考35 次
十年试题分类*探求规律
考点89
椭圆的定义及标准方程
1．(2019 全国Ⅰ文12)已知椭圆C 的焦点为
1
2
1,0
1,0
F
F
(
)，(
)，过F2 的直线与C 交于A，B 两点．若
2
2
|
| 2 |
|
AF
F B
，
1
|
| |
|
AB
BF
，则C 的方程为
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
5
4
x
y
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设
2
F B
n
，则
2
1
2 ,
3
AF
n
BF
AB
n
，
由椭圆的定义有
1
2
1
2
2
4 ,
2
2
a
BF
BF
n
AF
a
AF
n
．
在
1
AF B
△
中，由余弦定理推论得
2
2
2
1
4
9
9
1
cos
2 2
3
3
n
n
n
F AB
n
n
．
在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理得
2
2
1
4
4
2 2
2
4
3
n
n
n
n
，解得
3
2
n
．
2
2
2
2
4
2 3 ,
3 ,
3 1
2 ,
a
n
a
b
a
c
所求椭圆方程为
2
2
1
3
2
x
y
，故选B．
法二：由已知可设
2
F B
n
，则
2
1
2 ,
3
AF
n
BF
AB
n
，
由椭圆的定义有
1
2
1
2
2
4 ,
2
2
a
BF
BF
n
AF
a
AF
n
．
在
1
2
AF F
△
和
1
2
BF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
2
2
1
4
4
2 2
2 cos
4
4
2
2 cos
9
n
n
AF F
n
n
n
BF F
n
，
又
2
1
2
1
,
AF F
BF F
互补，
2
1
2
1
cos
cos
0
AF F
BF F
，两式消去
2
1
2
1
cos
cos
AF F
BF F
,
，得
2
2
3
6
11
n
n
，解得
3
2
n
．
2
2
2
2
4
2 3 ,
3 ,
3 1
2 ,
a
n
a
b
a
c
所求椭圆方程为
2
2
1
3
2
x
y
，故选B．
2．(2018 高考上海13)设P 是椭圆
²
5
x
+
²
3
y
=1 上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为(
)
A．2
2
B．2
3
C．2
5
D．4
2
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知椭圆上任意点P 到两个焦点的距离之和为2
2 5
a
，故选C．
【考点分析】椭圆的定义，考查考生的识记及基本运算能力．
3．(2013 广东文)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为
(1,0)
F
，离心率等于2
1 ，则C 的方程是
A．
1
4
3
2
2
y
x
B．
1
3
4
2
2
y
x
C．
1
2
4
2
2
y
x
D．
1
3
4
2
2
y
x
【答案】D【解析】∵
1,
2,
3
c
a
b
，故选D．
4．(2015 新课标1 理)一个圆经过椭圆
2
2
1
16
4
x
y
的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程
为_________．
【答案】
2
2
3
25
(
)
2
4
x
y
【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0, 2)
-
三个点，设圆心为( ,0)
a
，其中
0
a >
，
由
2
4
4
a
a
，解得
3
2
a =
，所以圆的方程为
2
2
3
25
(
)
2
4
x
y
．
5．【2019 年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的焦点为F1(–1、
0)，F2(1，0)．过F2 作x 轴的垂线l，在x 轴的上方，l 与圆F2：
2
2
2
(
1)
4
x
y
a
交于点A，与椭圆C 交
于点D．连结AF1 并延长交圆F2 于点B，连结BF2 交椭圆C 于点E，连结DF1．
已知DF1= 5
2
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)求点E 的坐标．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
；(2)
3
( 1,
)
2
E
．
【解析】(1)设椭圆C 的焦距为2c．
因为F1(−1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1．
又因为DF1= 5
2
，AF2⊥x 轴，所以DF2=
2
2
2
2
1
1
2
5
3
( )
2
2
2
DF
F F
，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2．
由b2=a2−c2，得b2=3．
因此，椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
(2)解法一：由(1)知，椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
，a=2，
因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1．
将x=1 代入圆F2 的方程(x−1) 2+y2=16，解得y=±4．
因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4)．
又F1(−1，0)，所以直线AF1：y=2x+2．
由
2
2
(
)
2
2
1
16
y
x
x
y
，得
2
5
6
11
0
x
x
，解得
1
x
或
11
5
x
．
将
11
5
x
代入
2
2
y
x
，得
12
5
y
，
因此
11
12
(
,
)
5
5
B
．
又F2(1，0)，所以直线BF2：
3 (
1)
4
y
x
．
由
2
2
1
4
3
3 (
1)
4
x
y
x
y
，得
2
7
6
13
0
x
x
，解得
1
x 或
13
7
x
．
又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以
1
x ．
将
1
x 代入
3 (
1)
4
y
x
，得
3
2
y
．
因此
3
( 1,
)
2
E
．
解法二：由(1)知，椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
．
如图，连结E F1．
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B．
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A．
因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴．
因为F1(−1，0)，由
2
2
1
4
3
1
x
x
y
，得
3
2
y
．
又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以
3
2
y
．
因此
3
( 1,
)
2
E
．
【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置
关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力．
考点90
椭圆的几何性质
6．【2019 年高考全国Ⅰ理】已知椭圆C 的焦点为
1
2
1,0
1,0
F
F
(
)，(
)，过F2 的直线与C 交于A，B 两点．若
2
2
|
| 2 |
|
AF
F B
，
1
|
| |
|
AB
BF
，则C 的方程为
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
5
4
x
y
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设
2
F B
n
，则
2
1
2 ,
3
AF
n
BF
AB
n
，
由椭圆的定义有
1
2
1
2
2
4 ,
2
2
a
BF
BF
n
AF
a
AF
n
．
在
1
AF B
△
中，由余弦定理推论得
2
2
2
1
4
9
9
1
cos
2 2
3
3
n
n
n
F AB
n
n
．
在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理得
2
2
1
4
4
2 2
2
4
3
n
n
n
n
，解得
3
2
n
．
2
2
2
2
4
2 3 ,
3 ,
3 1
2 ,
a
n
a
b
a
c
所求椭圆方程为
2
2
1
3
2
x
y
，故选B．
法二：由已知可设
2
F B
n
，则
2
1
2 ,
3
AF
n
BF
AB
n
，
由椭圆的定义有
1
2
1
2
2
4 ,
2
2
a
BF
BF
n
AF
a
AF
n
．
在
1
2
AF F
△
和
1
2
BF F
△
中，由余弦定理得
2
2
2
1
2
2
2
1
4
4
2 2
2 cos
4
4
2
2 cos
9
n
n
AF F
n
n
n
BF F
n
，
又
2
1
2
1
,
AF F
BF F
互补，
2
1
2
1
cos
cos
0
AF F
BF F
，两式消去
2
1
2
1
cos
cos
AF F
BF F
,
，得
2
2
3
6
11
n
n
，解得
3
2
n
．
2
2
2
2
4
2 3 ,
3 ,
3 1
2 ,
a
n
a
b
a
c
所求椭圆方程为
2
2
1
3
2
x
y
，故选B．
7．【2019 年高考北京理】已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a＞b＞0)的离心率为1
2
，则
A．a2=2b2
B．3a2=4b2
C．a=2b
D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率
2
2
2
1 ,
2
c
e
c
a
b
a
，化简得
2
2
3
4
a
b
，
故选B．
8．【2018·全国Ⅰ文】已知椭圆C ：
2
2
2
1
4
x
y
a
的一个焦点为(2 0)
，，则C 的离心率为
A．1
3
B．1
2
C．
2
2
D．2 2
3
【答案】C
【解析】由题可得
2
c
，因为
2
4
b
，所以
2
2
2
8
a
b
c
，即
2 2
a
，所以椭圆C 的离心率
2
2
2
2 2
e
，故选C．
9．
【2018·全国Ⅱ文】已知
1F ，2
F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若
1
2
PF
PF
，且
2
1
60
PF F
，
则C 的离心率为
A．
3
1
2
B．2
3
C．
3
1
2
D．
3
1
【答案】D
【解析】在
1
2
F PF
△
中，
1
2
2
1
90 ,
60
F PF
PF F
，设
2
PF
m
，则
1
2
1
2
2 ,
3
c
F F
m PF
m
，
又由椭圆定义可知
1
2
2
( 3
1)
a
PF
PF
m
，则
2
2
3
1
2
( 3
1)
c
c
m
e
a
a
m
，故选D．
10．(2018 上海理)设P 是椭圆
2
2
1
5
3
x
y
上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为(
)
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．4 2
【答案】C【解析】由题意
2
5
a
，
5
a
．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
2
2 5
a
，故选C．
11．【2017·全国Ⅰ文】设A，B 是椭圆C：
2
2
1
3
x
y
m
长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，
则m 的取值范围是
A．(0,1]
[9,
)
B．(0, 3]
[9,
)
C．(0,1]
[4,
)
D．(0, 3]
[4,
)
【答案】A
【解析】当0
3
m
时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足
120
AMB
，则
tan 60
3
a
b
，
即
3
3
m
，得0
1
m
；
当
3
m
时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足
120
AMB
，则
tan 60
3
a
b
，即
3
3
m
，
得
9
m
，故m 的取值范围为(0,1]
[9,
)
，故选A．
12．【2017·浙江卷】椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的离心率是(
)
A．13
3
B．
5
3
C．2
3
D．5
9
【答案】B
【解析】椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的离心率
9
4
5
3
3
e
，故选B．
13．(2015 新课标1 文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1
2
，E 的右焦点与抛物线C ：
2
8
y
x
的
焦点重合，A
B
、
是C 的准线与E 的两个交点，则AB
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B【解析】∵抛物线C ：
2
8
y
x
的焦点坐标为(2,0) ，准线l 的方程为
2
x
①，设椭圆E 的方
程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，所以椭圆E 的半焦距
2
c =
，又椭圆的离心率为1
2
，所以
4,
2 3
a
b
，椭
圆E 的方程为
2
2
1
16
12
x
y
②，联立①②，
解得
( 2,3),
( 2, 3)
A
B
或
( 2, 3),
( 2,3)
A
B
，所以|
| 6
AB =
，故选B．
14．(2015 广东文)已知椭圆
2
2
2
1
25
x
y
m
(
0
m
)的左焦点为
1
4,0
F
，则m
A．2
B．3
C．4
D．9
【答案】B【解析】由题意得：
2
2
25
4
9
m
，因为
0
m
，所以
3
m
，故选C．
15．(2014 福建文理)设
Q
P,
分别为
2
6
2
2
y
x
和椭圆
1
10
2
2
y
x
上的点，则
Q
P,
两点间的最大距离
是
A．
2
5
B．
2
46
C．
2
7
D．
2
6
【答案】D【解析】由题意可设
( 10 cos
,sin
)
Q
，圆的圆心坐标为
(0,6)
C
，圆心到Q 的距离为
2
2
2
2
|
|
( 10 cos )
(sin
6)
50
9(sin
)
50
5 2
3
CQ
≤
，当且仅当
2
sin
3
时取等
号，所以
max
max
|
|
|
|
5 2
2
6 2
PQ
CQ
r
≤
，所以
Q
P,
两点间的最大距离是6 2 ．
16．(2012 新课标文理)设
1F 、
2
F 是椭圆E ：
)
0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的左、右焦点，P 为直线
2
3a
x
上一
点，
1
2PF
F
是底角为
o
30 的等腰三角形，则E 的离心率为
A．2
1
B．3
2
C．4
3
D．5
4
【答案】C【解析】
2
1
F PF 是底角为30的等腰三角形
2
2
1
3
3
2(
)
2
2
4
c
PF
F F
a
c
c
e
a
，
故选C．
17．
【2019·全国Ⅲ文】设
1
2
F
F
，
为椭圆C：
2
2
+
1
36
20
x
y
的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若
1
2
MF F
△
为等腰三角形，则M 的坐标为___________．
【答案】
3, 15
【解析】由已知可得
2
2
2
2
2
36 ,
20 ,
16 ,
4
a
b
c
a
b
c
，
1
1
2
2
8
MF
F F
c
，∴
2
4
MF
．
设点M 的坐标为
0
0
0
0
,
0 ,
0
x
y
x
y
，则
1 2
1
2
0
0
1
4
2
MF F
S
F F
y
y
△
，
又
1 2
2
2
0
1
4
8
2
4 15 ,
4
4 15
2
MF F
S
y
△
，解得
0
15
y
，
2
2
0
15
1
36
20
x
，解得
0
3
x
(
0
3
x 舍去)，
M
\
的坐标为
3, 15 ．
18．【2019·浙江卷】已知椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的
中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．
【答案】15
【解析】方法1：如图，设F1 为椭圆右焦点．由题意可知|
|=|
2
OF
OM |= c=
，
由中位线定理可得
1
2|
| 4
PF
OM
，设
( , )
P x y ，可得
2
2
(
2)
16
x
y
，
与方程
2
2
1
9
5
x
y
联立，可解得
3
21
,
2
2
x
x
(舍)，
又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得
3
15
,
2
2
P
，所以
15
2
15
1
2
PF
k
．
方法2：(焦半径公式应用)由题意可知|
2
OF |=|OM |= c=
，由中位线定理可得
1
2|
| 4
PF
OM
，即
3
4
2
p
p
a
ex
x
，从而可求得
3
15
,
2
2
P
，所以
15
2
15
1
2
PF
k
．
19．(2012 江西文理)椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右顶点分别是
,
A B ，左、右焦点分别是
1
2
,
F F ．若
1
1
2
1
|
|,|
|,|
|
AF
F F
F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．
【答案】5
5
【解析】由椭圆的性质可知：
1
AF
a
c
，
1
2
2
F F
c
，
1F B
a
c
．又已知
1
AF ，
1
2
F F ，
1F B 成等比数列，故
2
(
)(
)
(2 )
a
c a
c
c
，即
2
2
2
4
a
c
c
，
则
2
2
5
a
c
．故
5
5
c
e
a
．即椭圆的离心率为
5
5
．
20．(2011 浙江文理)设
1
2
,
F F 分别为椭圆
2
2
1
3
x
y
的左、右焦点，点
,
A B 在椭圆上，若
1
2
5
F A
F B
；则
点A 的坐标是
．
【答案】(0, 1)
【解析】设点A 的坐标为( , )
m n ，B 点的坐标为( , )
c d ．
1
2
(
2,0),
( 2,0)
F
F
，可得
1
(
2, )
F A
m
n
，
2
(
2, )
F B
c
d
，
∵
1
2
5
F A
F B
，∴
6 2 ,
5
5
m
n
c
d
，又点
,
A B 在椭圆上，∴
2
2
1
3
m
n
，
2
2
6 2
(
)
5
( )
1
3
5
m
n
，
解得
0,
1
m
n
，∴点A 的坐标是(0, 1)
．
21．【2019 年高考全国Ⅱ文】已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，P 为C 上一点，O
为坐标原点．
(1)若
2
POF
△
为等边三角形，求C 的离心率；
(2)如果存在点P，使得
1
2
PF
PF
，且
1
2
F PF
△
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
【答案】(1)
3
1
；(2)
4
b
，a 的取值范围为[4 2,
)
．
【解析】(1)连结
1
PF ，由
2
POF
△
为等边三角形可知在
1
2
F PF
△
中，
1
2
90
F PF
，
2
PF
c
，
1
3
PF
c
，
于是
1
2
2
( 3
1)
a
PF
PF
c
，故C 的离心率是
3
1
c
e
a
．
(2)由题意可知，满足条件的点
( , )
P x y 存在．当且仅当1 |
| 2
16
2 y
c
，
1
y
y
x
c x
c
，
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
即| |
16
c y
，①
2
2
2
x
y
c
，②
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，③
由②③及
2
2
2
a
b
c
得
4
2
2
b
y
c
，又由①知
2
2
2
16
y
c
，故
4
b
．
由②③得
2
2
2
2
2
a
x
c
b
c
，所以
2
2
c
b
，从而
2
2
2
2
2
32,
a
b
c
b
故
4 2
a
．
当
4
b
，
4 2
a
时，存在满足条件的点P，所以
4
b
，a 的取值范围为[4 2,
)
．
22．(2015 安徽理)设椭圆E 的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，点O 为坐标原点，点A 的坐标为
0
a，，点
B 的坐标为
0 b
，，点M 在线段AB 上，满足
2
BM
MA
，直线OM 的斜率为
5
10
．
(Ⅰ)求E 的离心率e ；
(Ⅱ)设点C 的坐标为
0
b
，
，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7
2
，求E 的
方程．
【解析】(1)由题设条件知，点M 的坐标为2
1
(
,
)
3
3
a
b ，又
5
10
OM
k
，从而
5
2
10
b
a
，进而得
2
2
5 ,
2
a
b c
a
b
b
，故
2 5
5
c
e
a
．
(2)由题设条件和(I)的计算结果可得，直线AB 的方程为
1
5
x
y
b
b
，点N 的坐标为
5
1
(
,
)
2
2
b
b
，设点N
关于直线AB 的对称点S 的坐标为
1
7
( , )
2
x
，则线段NS 的中点T 的坐标为
1
5
1
7
(
,
)
4
2
4
4
x
b
b
．又点T 在
直线AB 上，且
1
NS
AB
k
k
，从而有
1
1
5
1
7
4
2
4
4
1
5
7
1
2
2
5
5
2
x
b
b
b
b
b
b
x
，解得
3
b
，所以
3 5
b
，
故椭圆E 的方程为
2
2
1
45
9
x
y
．
23．(2013 安徽文理)如图，
2
1,F
F
分别是椭圆C ：
2
2
a
x
+
2
2
b
y
=1(
0
b
a
)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶
点，B 是直线
2
AF 与椭圆C 的另一个交点，
1F
A
2
F =60°．
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；
(Ⅱ)已知△A
B
F1
的面积为40
3 ，求a，b 的值．
【解析】(Ⅰ)
1
2
1
60
2
2
c
F AF
a
c
e
a
(Ⅱ)设
2
BF
m
；则
1
2
BF
a
m
，在
1
2
BF F
中，
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
cos120
BF
BF
F F
BF
F F
2
2
2
3
(2
)
5
a
m
m
a
am
m
a
，
1
AF B
面积
2
1
1
1
3
3
sin 60
(
)
40 3
10,
5,
5 3
2
2
5
2
S
F F
AB
a
a
a
a
c
b
．
考点91
直线与椭圆的位置关系
24．【2018 高考全国2 理12】已知
1
2
,
F
F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点，A 是C 的左顶点，
点P 在过A 且斜率为
3
6
的直线上，
1
2
PF F
△
等腰三角形，
1
2
120
F F P
，则C 的离心率为
(
)
A．2
3
B．1
2
C．1
3
D．1
4
【答案】D
【解析】试题分析：先根据条件得
2
2
PF
c
，再利用正弦定理得
,
a c 关系，即得离心率．
试题解析：因为
1
2
PF F
△
为等腰三角形，
1
2
2
1
2
120 ,
2
F F P
PF
F F
c
，
由AP 斜率为
3
6
得，
2
2
2
3
1
12
tan
,
sin
,
cos
6
13
13
PAF
PAF
PAF
，由正弦定理得
2
2
2
2
2
1
1
sin
2
2
1
13
13
,
,
4 ,
sin
5
4
3
12
1
1
sin 3
2
2
13
13
PF
PAF
c
a
c
e
AF
APF
a
c
PAF
，故选D．
25．(2017 新课标Ⅲ文理)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右顶点分别为
1A ，
2
A ，且以线段
1
2
A A
为直径的圆与直线
2
0
bx
ay
ab
相切，则C 的离心率为(
)
A．
6
3
B．
3
3
C．
2
3
D．1
3
【答案】A【解析】以线段
1
2
A A 为直径的圆是
2
2
2
x
y
a
，直线
2
0
bx
ay
ab
与圆相切，所以圆心到
直线的距离
2
2
2ab
d
a
a
b
，整理为
2
2
3
a
b
，即
2
2
2
2
2
3
2
3
a
a
c
a
c
，即
2
2
2
3
c
a
，
6
3
c
e
a
，故选A．
26．【2016·新课标1 文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，
则该椭圆的离心率为(
)
(A)1
3
(B)1
2
(C)2
3
(D)3
4
【答案】B
【解析】如图，在椭圆中，
1
1
,
,
2
4
2
OF
c OB
b OD
b
b
，
在Rt
OFB
△
中，|
|
|
| |
|
|
|
OF
OB
BF
OD
，且
2
2
2
a
b
c
，代入解得
2
2
4
a
c
，所以椭圆的离心率为
1
2
e
，故选B．
27．(2016 年全国III 文理)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点，A，B 分别
为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若
直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】A
【解析】由题意设直线l 的方程为
(
)
y
k x
a
，分别令x
c
与
0
x
得|
| | |(
)
FM
k a
c
，|
| | |
OE
k a
，
设OE 的中点为H，由
OBH
FBM
△
∽△
，得
1 |
|
|
|
2
|
|
|
|
OE
OB
FM
BF
，即
|
|
2 |
| (
)
k a
a
k
a
c
a
c
，整理得
1
3
c
a
，
所以椭圆离心率为
1
3
e
，故选A．
28．(2016 江苏理)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的右焦点，直线
2
b
y
与
椭圆交于
,
B C 两点，且
90
BFC
，则该椭圆的离心率是
．
【答案】
6
3 【解析】由题意得
,0
F c
，直线
2
b
y
与椭圆方程联立可得
3 ,
2
2
a b
B
，
3 ,
2
2
a b
C
，由
90
BFC
可得
0
BF CF
，
3 ,
2
2
a
b
BF
c
，
3 ,
2
2
a
b
CF
c
，则
2
2
2
3
1
0
4
4
c
a
b
，由
2
2
2
b
a
c
可得
2
2
3
1
4
2
c
a
，
则
2
6
3
3
c
e
a
．
29．(2015 福建文)已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:3
4
0
l
x
y
交椭圆E 于
,
A B 两点．若
4
AF
BF
，点M 到直线l 的距离不小于4
5
，则椭圆E 的
离心率的取值范围是
A．
3
(0,
]
2
B．
3
(0,
]
4
C．
3
[
,1)
2
D．3
[ ,1)
4
【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为
1F ，半焦距为c ，连结
1
AF ，
1
BF ，则四边形
1
AF BF 为平行四边形，
所以
1
1
|
|
|
| |
|
|
| 4
AF
BF
AF
BF
，根据椭圆定义，
有
1
1
|
|
|
|
|
|
|
| 4
AF
AF
BF
BF
a
，所以8
4a
=
，解得
2
a =
．因为点M 到直线l ：3
4
0
x
y
+
=
的距离
不小于4
5
，即4
4 ,
1
5
5
b
b
≥
≥，所以
2
1
b ≥，
所以
2
2
2
1,4
1
a
c
c
≥
≥，解得0
3
c
≤
，所以
3
0
2
c
a
≤
，所以椭圆的离心率的取值范围为
3
(0,
]
2
．
30．(2013 新课标1 文理)已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆于A．B
两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为
A．x2
45＋y2
36＝1
B．x2
36＋y2
27＝1
C．x2
27＋y2
18＝1
D．x2
18＋y2
9 ＝1
【答案】D【解析】设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，则
1
2
x
x
=2，
1
2
y
y
=－2，
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
①
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
②
①－②得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
，∴
AB
k
=
1
2
1
2
y
y
x
x
=
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
b
x
x
a
y
y
=
2
2
b
a
，又
AB
k
= 0
1
3 1
= 1
2
，∴
2
2
b
a
= 1
2
，又9=
2c =
2
2
a
b
，解得
2
b =9，
2
a =18，∴椭圆方程为
2
2
1
18
9
x
y
，故选D．
31．【2020 年高考上海卷10】已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于
,
P Q 两
点(点P 在第二象限)，若Q 关于x 轴对称的点为
'
Q ，且满足
'
PQ
FQ
，则直线l 的方程为
．
【答案】
1
y
x
【解析】由条件可知
FQQ
是等腰直角三角形，所以直线l 的倾斜角是135，所以直线l 的斜率是
tan135
1
，且过点
1,0
F
，得到直线l 的方程为
1
y
x
，即
1
y
x
．故答案为：
1
y
x
．
32．(2018 浙江理)已知点
(0,1)
P
，椭圆
2
2
4
x
y
m
(
1
m )上两点A ，B 满足
2
AP
PB
，则当m =___
时，点B 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【解析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，由
2
AP
PB
得
1
2
2
x
x
，
1
2
1
2(
1)
y
y
，所以
1
2
2
3
y
y
，
因为A ，B 在椭圆上，所以
2
2
1
1
4
x
y
m
，
2
2
2
2
4
x
y
m
，所以
2
2
2
2
4
(2
3)
4
x
y
m
，
所以
2
2
4
x
2
2
3
2
4
(
)
m
y
，与
2
2
2
2
4
x
y
m
对应相减得
2
3
4
m
y
，
2
2
2
1 (
10
9)
4
4
x
m
m
，
当且仅当
5
m
时取最大值．
33．(2018 浙江文)已知点
(0,1)
P
，椭圆
2
2
4
x
y
m
(
1
m )上两点A ，B 满足
2
AP
PB
，则当m =___
时，点B 横坐标的绝对值最大．
【答案】5【解析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，由
2
AP
PB
，得
1
2
1
2
2
1
2(
1)
x
x
y
y
，
即
1
2
2
x
x
，
1
2
3
2
y
y
．因为点A ，B 在椭圆上，所以
2
2
2
2
2
2
2
2
4
(3
)
4
4
x
x
m
x
y
m
，得
2
1
3
4
4
y
m
，所
以
2
2
2
2
2
2
1
5
9
1
(3
2
)
(
5)
4
4
4
2
4
4
x
m
y
m
m
m
≤
，
所以当
5
m
时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．
34．(2015 浙江文)椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
b
)的右焦点
,0
F c
关于直线
b
y
x
c
的对称点Q 在椭圆上，则
椭圆的离心率是
．
【答案】
2
2
【解析】设左焦点为
1F ，由F 关于直线
b
y
x
c
的对称点Q 在椭圆上，得|
| |
|
OQ
OF
，又
1
|
| |
|
OF
OF
，所以
1FQ
QF
，不妨设
1
|
|
QF
ck
，则|
|
QF
bk
，
1
|
|
F F
ak
，因此2c
ak
，又
2a
ck
bk
，由以上二式可得2
2
c
a
k
a
b
c
，即c
a
a
b
c
，即
2
2
a
c
bc
，所以b
c
，
2
2
e
．
35．(2014 江西文理)过点
(1,1)
M
作斜率为
1
2
的直线与椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
相交于
,
A B 两点，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于
．
【答案】
2
2
【解析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，分别代入椭圆方程相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
，根据题意有
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
，
且
1
2
1
2
1
2
y
y
x
x
，所以
2
2
2
2
1
(
)
0
2
a
b
，得
2
2
2
a
b
，整理
2
2
2
a
c
，所以
2
2
e
．
36．(2014 辽宁文)已知椭圆C ：
2
2
1
9
4
x
y
，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别
为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|
|
|
|
AN
BN
．
【答案】12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接
1F P 和
2
F P ，利用中位线定理可得AN
BN
1
2
2
2
2 2
4
12
F P
F P
a
a
．
37．(2014 江西文)设椭圆
0
1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
的左右焦点为
2
1 F
F，
，作
2
F 作x 轴的垂线与C 交于
B
A，两点，
B
F1
与y 轴相交于点D ，若
B
F
AD
1
，则椭圆C 的离心率等于________．
【答案】
3
3
【解析】由题意可得
2
( ,
)
b
A c a
，
2
( ,
)
b
B c
a
，由题意可知点D 为
1F B 的中点，所以点D 的坐
标为
2
(0,
)
2
b
a
，由
B
F
AD
1
，所以
1
1
AD
F B
k
k
，整理得
2
3
2
b
ac
，解得
3
3
e
．
38．(2014 安徽文)设
2
1, F
F
分别是椭圆
)1
0
(1
:
2
2
2
b
b
y
x
E
的左、右焦点，过点
1F 的直线交椭圆E 于
B
A,
两点，若
x
AF
BF
AF
2
1
1
,
3
轴，则椭圆E 的方程为____．
【答案】
2
2
3
1
2
x
y
【解析】由题意得通径
2
2
AF
b
，∴点B 坐标为
2
5
1
(
,
)
3
3
c
B
b
将点B 坐标带入椭圆方程得
2
2
2
2
1
(
)
5
3
(
)
1
3
b
c
b
，
又
2
2
1
b
c
，解得
2
2
2
3
1
3
b
c
，
∴椭圆方程为
2
2
3
1
2
x
y
．
39．(2013 福建文)椭圆
)
0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的左、右焦点分别为
2
1, F
F
，焦距为c
2 ．若直线
3
y
x
c
与椭圆的一个交点M 满足
1
2
2
1
2
F
MF
F
MF
，则该椭圆的离心率等
于
．
【答案】
1
3 【解析】由题意可知，
2
1F
MF
中，
90
,
30
,
60
2
1
1
2
2
1
MF
F
F
MF
F
MF
，
所以有
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
)
2
(
MF
MF
a
MF
MF
c
F
F
MF
MF
，整理得
1
3
a
c
e
，故答案为
1
3 ．
40．【2020 年高考全国Ⅲ文21 理数20】已知椭圆
2
2
2
:
1 0
5
25
x
y
C
m
m
的离心率为
15
4
，
,
A B 分
别为C 的左、右顶点．
(1)求C 的方程；
(2)若点P 在C 上，点Q 在直线
6
x
上，且
,
BP
BQ
BP
BQ
，求△APQ 的面积．
【解析】解法一：(1)由
c
e
a
，得
2
2
2
1
b
e
a
，即
2
15
1
16
25
m
，∴
2
25
16
m
，故C 的方程为
2
2
16
1
25
25
x
y
．
(2)设点P 的坐标为( , )
s t ，点Q 的坐标为(6, )
n ，根据对称性，只需考虑
0
n
的情形，此时5
5
s
，
5
0
4
t
-
．
∵|
| |
|
BP
BQ
，∴有
2
2
2
(
5)
1
s
t
n
①．
又∵BP
BQ
，∴
5
0
s
nt
②．
又
2
2
16
1
25
25
s
t
③．
联立①、②、③，可得，
3
1
2
s
t
n
或
3
1
8
s
t
n
．
当
3
1
2
s
t
n
时，
(8,1)
AP
，
(11,2)
AQ
，∴
2
2
2
1
1
5
(
)
| 8
2
11 1|
2
2
2
APQ
S
AP
AQ
AP AQ
△
．
同理可得，当
3
1
8
s
t
n
时，
5
2
APQ
S
△
．综上所述，可得
APQ
△
的面积为5
2 ．
解法二：(1)
2
2
2
:
1(0
5)
25
x
y
C
m
m
，
5
a
，b
m
，
根据离心率
2
2
15
4
1
1
5
c
b
m
e
a
a
，解得
5
4
m
或
5
4
m
(舍)，
C 的方程为：
2
2
2
1
4
25
5
x
y
，即
2
2
16
1
25
25
x
y
．
(2)点P 在C 上，点Q 在直线
6
x
上，且|
| |
|
BP
BQ
，BP
BQ
，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设
6
x
与x 轴交点为N ，根据题意画出图形，如图，
|
| |
|
BP
BQ
，BP
BQ
，
90
PMB
QNB
，又
90
PBM
QBN
，
90
BQN
QBN
，
PBM
BQN
，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得：
PMB
BNQ
△
△
，
2
2
16
1
25
25
x
y
，
(5,0)
B
，
6 5
1
PM
BN
．
设P 点为(
,
)
P
P
x
y
，可得P 点纵坐标为
1
P
y ，将其代入
2
2
16
1
25
25
x
y
，可得：
2
16
1
25
25
P
x
，
解得：
3
P
x
或
3
P
x ，P 点为(3,1) 或( 3,1)
，
①当P 点为(3,1) 时，故
5 3
2
MB
，
PMB
BNQ
△
△
，|
| |
| 2
MB
NQ
，可得：Q 点为(6,2) ，
画出图象，如图，
( 5,0)
A
，
(6,2)
Q
，可求得直线AQ 的直线方程为：2
11
10
0
x
y
，
根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：
2
2
2 3 11 1 10
5
5
5
125
2
11
d
，
根据两点间距离公式可得：
2
2
6 5
2 0
5 5
AQ
，
APQ
面积为：1
5
5
5 5
2
5
2
．
②当P 点为( 3,1)
时，故
5+3
8
MB
，
PMB
BNQ
△
△
，|
| |
| 8
MB
NQ
，
可得：Q 点为(6,8) ，画出图象，如图，
( 5,0)
A
，
(6,8)
Q
，可求得直线AQ 的直线方程为：8
11
40
0
x
y
，根据点到直线距离公式可得P
到直线AQ 的距离为：
2
2
8
3
11 1 40
5
5
185
185
8
11
d
，根据两点间距离公式可得：
2
2
6
5
8
0
185
AQ
，
APQ
面积为：1
5
5
185
2
2
185
．
综上所述，APQ
面积为：5
2
．
41．【2020 年高考天津卷18】已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
(0, 3)
A
，右焦点为F ，且
|
| |
|
OA
OF
，其中O 为原点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知点C 满足3OC
OF
，点B 在椭圆上( B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，
且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．
【解析】(Ⅰ)椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
0, 3
A
，
3
b
，
由OA
OF
，得
3
c
b
，又由
2
2
2
a
b
c
，得
2
2
2
8
3
1
3
a
，所以椭圆的方程为
2
2
1
18
9
x
y
．
(Ⅱ)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP
AB
，
根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，
设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为
3
y
kx
+
=
，即
3
y
kx
，
2
2
3
1
18
9
y
kx
x
y
，消去y ，可得
2
2
2
1
12
0
k
x
kx
，解得
0
x
或
2
12
2
1
k
x
k
．
将
2
12
2
1
k
x
k
代入
3
y
kx
，得
2
2
2
12
6
3
2
1
2
1
3
k
y
k
k
k
k
，所以点B 的坐标为
2
2
2
12
6
3
,
2
1 2
1
k
k
k
k
，
因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为
0, 3
，所以点P 的坐标为
2
2
6
3
,
2
1 2
1
k
k
k
，
由3OC
OF
，得点C 的坐标为
1,0 ，所以直线CP 的斜率为
2
2
2
3
0
3
2
1
6
2
6
1
1
2
1
CP
k
k
k
k
k
k
，
又因为CP
AB
，所以
2
3
1
2
6
1
k
k
k
，整理得
2
2
3
1
0
k
k
，解得
1
2
k
或
1
k
．
所以，直线AB 的方程为
1
3
2
y
x
或
3
y
x
．
42．【2019 年高考天津理】设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长
为4 ，离心率为
5
5
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若
|
| |
|
ON
OF
(O 为原点)，且OP
MN
，求直线PB 的斜率．
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，
5
2
4,
5
c
b
a
，又
2
2
2
a
b
c
，可得
5
a
，
2,
b
1
c ．
所以，椭圆的方程为
2
2
1
5
4
x
y
．
(2)由题意，设
0 ,
,0
P
P
p
M
P x
y
x
M x
，
．设直线PB 的斜率为
0
k k
，
又
0,2
B
，则直线PB 的方程为
2
y
kx
，
与椭圆方程联立
2
2
2,
1,
5
4
y
kx
x
y
整理得
2
2
4
5
20
0
k
x
kx
，
可得
2
20
4
5
P
k
x
k
，代入
2
y
kx
得
2
2
8 10
4
5
P
k
y
k
，
进而直线OP 的斜率
2
4
5
10
P
p
y
k
x
k
．
在
2
y
kx
中，令
0
y
，得
2
M
x
k
．
由题意得
0, 1
N
，所以直线MN 的斜率为
2
k
．
由OP
MN
，得
2
4
5
1
10
2
k
k
k
，化简得
2
24
5
k
，从而
2 30
5
k
．
所以，直线PB 的斜率为2 30
5
或
2 30
5
．
43．【2019 年高考天津文】设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知
3 |
| 2 |
|
OA
OB
(O 为原点)．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点F 且斜率为3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C
在直线x=4 上，且OC
AP
∥
，求椭圆的方程．
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由已知有
3
2
a
b
，又由
2
2
2
a
b
c
，消去b 得
2
2
2
3
2
a
a
c
，
解得
1
2
c
a
，所以椭圆的离心率为1
2
．
(2)由(1)知，
2 ,
3
a
c b
c
，故椭圆方程为
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
．
由题意，
(
, 0)
F
c
，则直线l 的方程为
3 (
)
4
y
x
c
，
点P 的坐标满足
2
2
2
2
1,
4
3
3 (
),
4
x
y
c
c
y
x
c
消去y 并化简，得到
2
2
7
6
13
0
x
cx
c
，解得
1
2
13
,
7
c
x
c x
．
代入到l 的方程，解得
1
2
3
9
,
2
14
y
c y
c
．
因为点P 在x 轴上方，所以
3
, 2
P c
c
．
由圆心C 在直线
4
x
上，可设
(4, )
C
t ．
因为OC
AP
∥
，且由(1)知
(
2 , 0)
A
c
，故
3
2
4
2
c
t
c
c
，解得
2
t
．
因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l 相切，得
2
3 (4
)
2
4
2
3
1
4
c
，可得=2
c
．
所以，椭圆的方程为
2
2
1
16
12
x
y
．
44．【2018 高考全国III 文20】(12 分)
已知斜率为k 的直线l 与椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为
1,
0
M
m
m
．
(1)证明：
1
2
k
；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP
FA
FB
0
．证明：2 FP
FA
FB
．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP
，再
由两点间距离公式表示出
,
FA
FB
，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
试题解析：(1)设
1
1
(
)
A x
y
，
，
2
2
(
)
B x
y
，
，则
2
2
1
1
1
4
3
x
y
，
2
2
2
2
1
4
3
x
y
．
两式相减，并由
1
2
1
2
=
y
y
k
x
x
得
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
k
．
由题设知
1
2
1
2
x
x
，
1
2
2
y
y
m
，于是
3
4
k
m
．由题设得
3
0
2
m
，故
1
2
k
．
(2)由题意得F(1，0)．设
3
3
(
)
P x
y
，
，则
3
3
1
1
2
2
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(0 0)
x
y
x
y
x
y
，
，
，
，．
由(1)及题设得
3
1
2
3
(
)
1
x
x
x
，
3
1
2
(
)
2
0
y
y
y
m
．
又点P 在C 上，所以
3
4
m
，从而
3
(1
)
2
P
，
，
3
|
|= 2
FP
uur
．
于是
2
2
2
2
1
1
1
1
1
|
|
(
1)
(
1)
3(1
)
2
4
2
x
x
FA
x
y
x
uur
．同理
2
|
|=2
2
x
FB
uur
．
所以
1
2
1
4
(
)
3
2
FA
FB
x
x
uur
uur
，故2
FA
FB
FP
uur
uur
uur
．
45．【2018 高考天津文19】(本小题满分14 分)
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为
5
3
，
13
AB
．
(I)求椭圆的方程；
(II)设直线
:
0
l y
kx k
与椭圆交于
,
P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点
,
P M 均在第四象限．若
BPM
△
的面积是
BPQ
△
面积的2 倍，求k 的值．
【解析】试题分析：(I)由题意结合几何关系可求得
3 ,
2
a
b
．则椭圆的方程为
2
2
1
9
4
x
y
．
(II)设点P 的坐标为
1
1
,
x
y
，点M 的坐标为
2
2
,
x
y
，由题意可得
2
1
5
x
x
．
易知直线AB 的方程为2
3
6
x
y
，由方程组2
3
6 ,
,
x
y
y
kx
可得
2
6
3
2
x
k
．由方程组
2
2
1,
9
4
,
x
y
y
kx
可得
1
2
6
9
4
x
k
．结合
2
1
5
x
x
，可得
8
9
k
，或
1
2
k
．经检验݇的值为
1
2
．
试题解析：(I) 设椭圆的焦距为2c ，由已知得
2
2
5
9
c
a
，又由
2
2
2
a
b
c
，可得2
3
a
b
．由
2
2
13
AB
a
b
，从而
3 ,
2
a
b
．所以，椭圆的方程为
2
2
1
9
4
x
y
．
(II)设点P 的坐标为
1
1
,
x
y
，点M 的坐标为
2
2
,
x
y
，由题意，
2
1
0
x
x
，
点ܳ的坐标为
1
1
,
x
y
．由
BPM
△
的面积是
BPQ
△
面积的2 倍，可得
2
PM
PQ
，
从而
2
1
1
1
2
x
x
x
x
，即
2
1
5
x
x
．
易知直线AB 的方程为2
3
6
x
y
，由方程组2
3
6 ,
,
x
y
y
kx
消去y ，可得
2
6
3
2
x
k
．由方程组
2
2
1,
9
4
,
x
y
y
kx
消去y ，可得
1
2
6
9
4
x
k
．由
2
1
5
x
x
，可得
2
9
4
5 3
2
k
k
，两边平方，整理
得
2
18
25
8
0
k
k
，解得
8
9
k
，或
1
2
k
．
当
8
9
k
时，
2
9
0
x
，不合题意，舍去；当
1
2
k
时，
2
1
12
12 ,
5
x
x
，符合题意．
所以，k 的值为
1
2
．
46．
【2018 高考江苏18】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点
1
3 , 2
，焦点
1
2
3 , 0 ,
3 , 0
F
F
，
圆O 的直径为
1
2
F F ．
(1)求椭圆C 及圆O 的方程；
(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于
,
A B 两点．若
OAB
△
的面积为2 6
7
，求直线l 的方程．
【解析】试题分析：(1)根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得
,
a b ，
即得椭圆方程；(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可
得切点坐标．第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间
距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程．
试题解析：(1)因为椭圆C 的焦点为
1
2
(
)
3,0 ,
( 3,0)
F
F
，
可设椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
．
又点
1
( 3, )
2 在椭圆C 上，
2
2
2
2
3
1
1,
4
3,
a
b
a
b
，解得
2
2
4,
1,
a
b
因此，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
．因为圆O 的直径为
1
2
F F ，所以其方程为
2
2
3
x
y
．
(2)①设直线l 与圆O 相切于
0
0
0
0
(
)
,
,
(
0
0)
P x
y
x
y
，则
2
2
0
0
3
x
y
，
所以直线l 的方程为
0
0
0
0
(
)
x
y
x
x
y
y
，即
0
0
0
3
x
y
x
y
y
．
由
2
2
0
0
0
1,
4
3 ,
x
y
x
y
x
y
y
，消去y，得
2
2
2
2
0
0
0
0
4
24
36
4
0
(
)
x
y
x
x x
y
．(*)
直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)(
)
24
4 4
36
4
0
(
4
8
2)
x
x
y
y
y
x
．
0
0
0
0
,
0 ,
2 ,
1
x
y
x
y
．因此，点P 的坐标为
2 ,1 ．
②
OAB
△
的面积为2 6
7
，所以
2
1
2
6
7
AB OP
，从而
4 2
7
AB
．
设
1
1
2
2
,
,
(
)
(
)
,
A x y
B x
y
，由(*)得
2
2
0
0
0
2
2
0
0
1,2
24
48
(
2)
2(4
)
x
y
x
x
x
y
，
2
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
AB
y
x
x
y
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
48
(
2)
(1
)
(4
)
x
y
x
y
x
y
．
2
2
0
0
3
x
y
，
2
2
0
2
2
0
16(
2)
32
(
1)
49
x
AB
x
，即
4
2
0
0
2
45
100
0
x
x
，
解得
2
2
0
0
5 (
20
2
x
x
舍去)，则
2
0
1
2
y
，因此P 的坐标为
10
2
(
,
)
2
2
．
综上，直线l 的方程为
5
3 2
y
x
．
47．【2018 高考全国1 理19】(本小题满分12 分)
设椭圆
2
2
:
1
2
x
C
y
的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于
,
A B 两点，点M 的坐标为
2 , 0 ．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
(2)设O 为坐标原点，证明：
OMA
OMB
．
【解析】试题分析：(1)首先根据l 与x 轴垂直，且过点
1, 0
F
，求得直线l 的方程为
1
x
，代入椭圆方程
求得点A 的坐标为
2
1, 2
或
2
1,
2
，利用两点式求得直线AM 的方程；(2)分直线l 与x 轴重合、l 与
x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相
等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果．
试题解析：(1)由已知得
1, 0
F
，l 的方程为
1
x
．由已知可得，点A 的坐标为
2
1, 2
或
2
1,
2
．所
以AM 的方程为
2
2
2
y
x
或
2
2
2
y
x
．
(2)当l 与x 轴重合时，
0
OMA
OMB
．
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，
OMA
OMB
．
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
(
1)(
0)
y
k x
k
，
1
2
2
1
( ,
), (
,
)
A
y
x
y
x
B
，
则
1
2
2,
2
x
x
，直线MA MB
,
的斜率之和为
2
1
2
1
2
2
MA
MB
x
x
y
y
k
k
．
由
1
1
2
2
,
y
k
k
x
y
k
x
k
得
1
2
1
2
1
2
(
2
3 (
)
4
2)(
2)
MA
MB
x x
x
x
k
k
x
x
k
k
k
．
将
(
1)
y
k x
代入
2
2
1
2
x
y
得
2
2
2
2
(2
1)
4
2
2
0
k
x
k x
k
．
2
2
1
2
1
2
1
3
3
3
2
2
1
2
2
2
4
2
2
4
4
12
8
4
,
,
2
3 (
)
4
0
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x x
x x
k
k
k
k
x
x
k
．
从而
0
MA
MB
k
k
，故MA MB
,
的倾斜角互补，
OMA
OMB
．
综上，
OMA
OMB
．
48．【2018 高考全国3 理20】(12 分)
已知斜率为k 的直线l 与椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为
1,
0
M
m
m
．
(1)证明：
1
2
k
；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP
FA
FB
0．证明：
,
,
FA
FP
FB
成等差数列，并求该数
列的公差．
【解析】试题分析：(1)设而不求，利用点差法进行证明；(2)解出m ，进而求出点P 的坐标，得到FP
，再
由两点间距离公式表示出
,
FA
FB
，得到直l 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
试题解析：(1)设
1
1
2
2
,
,
,
A x
y
B x
y
，则
2
2
2
2
1
1
2
2
1,
1
4
3
4
3
x
y
x
y
．
两式相减，并由
1
2
1
2
y
y
k
x
x
得
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
k
．
由题设知
1
2
1
2
1,
2
2
x
x
y
y
m
，于是
3
4
k
m
．①
由题设得
3
0
2
m
，故
1
2
k
．
(2)由题意得
1, 0
F
，设
3
3
,
P x
y
，则
3
3
1
1
2
2
1,
1,
1,
0 , 0
x
y
x
y
x
y
．
由(1)及题设得
3
1
2
3
1
2
3
1,
2
0
x
x
x
y
y
y
m
．
又点P 在C 上，
3
4
m
，从而
3
3
1,
,
2
2
P
FP
．
于是
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3 1
2
4
2
x
x
FA
x
y
x
．
同理
2
2
2
x
FB
，
1
2
1
4
3
2
FA
FB
x
x
．
2 FP
FA
FB
，即
,
,
FA
FP
FB
成等差数列．
设该数列的公差为d ，则
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
4
2
2
d
FB
FA
x
x
x
x
x x
②
将
3
4
m
代入①得
1
k ，
l
的方程为
7
4
y
x
，代入C 的方程，并整理得
2
1
7
14
0
4
x
x
．
故
1
2
1
2
1
2 ,
28
x
x
x x
，代入②解得
3 21
28
d
．所以该数列的公差为3 21
28 或
3 21
28
．
49．【2018 高考天津理19】(本小题满分14 分)
设椭圆
2
2
2
2
1
x
x
a
b
(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
5
3
，点A 的坐标为( ,0)
b
，
且
6 2
FB
AB
．
(I)求椭圆的方程；
(II)设直线l：
(
0)
y
kx k
与椭圆在第一象限的交点为P，且l 与直线AB 交于点Q．
若
5 2 sin
4
AQ
AOQ
PQ
(O 为原点)，求k 的值．
【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得
,
3
2
a
b
．则椭圆的方程为
2
2
1
9
4
x
y
．
(Ⅱ)设点P 的坐标为
1
1
,
x
y
，点Q 的坐标为
2
2
,
x
y
．由题意可得
1
2
5
9
y
y
．由方程组
2
2
{
1
9
4
y
kx
x
y
，
，
可
得
1
2
6
9
4
k
y
k
．由方程组{
2
0
y
kx
x
y
，
，
可得
2
2
1
k
y
k
．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值
为1
2
或11
28．
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c ，由已知有
2
2
5
9
c
a
，
又由
2
2
2
a
b
c
，可得2
3
a
b
．由已知可得，FB
a
，
2
AB
b
，
由
6 2
FB
AB
，可得
6
ab
，从而
,
3
2
a
b
，椭圆的方程为
2
2
1
9
4
x
y
．
(Ⅱ)设点P 的坐标为
1
1
,
x
y
，点Q 的坐标为
2
2
,
x
y
．
由已知有
1
2
0
y
y
，故
1
2
PQ sin AOQ
y
y
．
又
2y
AQ
sin OAB
，而∠OAB= π
4
，故
2
2
AQ
y
．
由
5 2 sin
4
AQ
AOQ
PQ
，可得
1
2
5
9
y
y
．由方程组
2
2
,
1
9
4
y
kx
x
y
消去x ，可得
1
2
6
9
4
k
y
k
．
易知直线AB 的方程为
2
0
x
y
，由方程组{
2
0
y
kx
x
y
，
，
消去x ，可得
2
2
1
k
y
k
．
由
1
2
5
9
y
y
，可得
2
3 9
1
4
5 k
k
，两边平方，整理得
2
56
50
11
0
k
k
，
解得
1
2
k
，或
11
28
k
，
k
的值为1
2
或11
28．
50．(2017 天津文)已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为
,
(
)
0
F
c
，右顶点为A ，点E 的坐标为(0, )
c ，
EFA
△
的面积为
2
2
b
．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上，
3
|
|
2
FQ
c
，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N
在x 轴上，
PM
QN
∥
，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．
(i)求直线FP 的斜率；
(ii)求椭圆的方程．
【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e．由已知，可得
2
1 (
)
2
2
b
c
a c
．
又由
2
2
2
b
a
c
，可得
2
2
2
0
c
ac
a
，即
2
2
1
0
e
e
．
又因为0
1
e
，解得
1
2
e
．
所以，椭圆的离心率为1
2
．
(Ⅱ)(ⅰ)依题意，设直线FP 的方程为
(
0)
x
my
c m
，则直线FP 的斜率为1
m
．
由(Ⅰ)知
2
a
c
，可得直线AE 的方程为
1
2
x
y
c
c
，即
2
2
0
x
y
c
，与直线FP 的方程联立，可解得
(2
2)
3
,
2
2
m
c
c
x
y
m
m
，即点Q 的坐标为(2
2)
3
(
,
)
2
2
m
c
c
m
m
．
由已知|FQ|= 3
2
c ，有
2
2
2
(2
2)
3
3
[
]
(
)
(
)
2
2
2
m
c
c
c
c
m
m
，整理得
2
3
4
0
m
m
，所以
4
3
m
，即直线FP
的斜率为3
4
．
(ii)由
2
a
c
，可得
3
b
c
，故椭圆方程可以表示为
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
．
由(i)得直线FP 的方程为3
4
3
0
x
y
c
，与椭圆方程联立
2
2
2
2
3
4
3
0,
1,
4
3
x
y
c
x
y
c
c
消去y ，整理得
2
2
7
6
13
0
x
cx
c
，解得
13
7
c
x
(舍去)，或x
c
．
因此可得点
3
( ,
)
2
c
P c
，进而可得
2
2
3
5
|
(
)
(
)
2
2
|
c
c
FP
c
c
，
所以
5
3
|
|
|
| |
|
2
2
c
c
FP
FQ
Q
c
P
．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，
故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．
因为QN
FP
，所以
3
3
9
|
| |
| tan
2
4
8
c
c
QN
FQ
QFN
，所以
FQN
△
的面积为
2
1
27
|
||
|
2
32
c
FQ QN
，同理
FPM
△
的面积等于
2
75
32
c
，由四边形PQNM 的面积为3c ，得
2
2
75
27
3
32
32
c
c
c
，整理得
2
2
c
c
，又由
0
c
，得
2
c
，所以椭圆的方程为
2
2
1
16
12
x
y
．
51．(2017 天津理)设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为1
2
．已知A 是抛物
线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
．
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(Ⅱ)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B ( B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点
D ．若
APD
△
的面积为
6
2
，求直线AP 的方程．
【解析】(Ⅰ)设F 的坐标为(
,0)
c
．依题意，
1
2
c
a
，2
p
a
，
1
2
a
c
，解得
1
a
，
1
2
c
，
2
p
，
于是
2
2
2
3
4
b
a
c
．
所以，椭圆的方程为
2
2
4
1
3
y
x
，抛物线的方程为
2
4
y
x
．
(Ⅱ)设直线AP 的方程为
1(
0)
x
my
m
，与直线l 的方程
1
x 联立，可得点
2
( 1,
)
P
m
，故
2
( 1,
)
Q
m
．将
1
x
my
与
2
2
4
1
3
y
x
联立，消去x ，
整理得
2
2
(3
4)
6
0
m
y
my
，解得
0
y
，或
2
6
3
4
m
y
m
．
由点B 异于点A ，可得点
2
2
2
3
4
6
(
,
)
3
4
3
4
m
m
B
m
m
．
由
2
( 1,
)
Q
m
，可得直线BQ 的方程为
2
2
2
6
2
3
4
2
(
)(
1)
(
1)(
)
0
3
4
3
4
m
m
x
y
m
m
m
m
，令
0
y
，解得
2
2
2
3
3
2
m
x
m
，
故
2
2
2
3
(
,0)
3
2
m
D
m
．所以
2
2
2
2
2
3
6
|
| 1
3
2
3
2
m
m
AD
m
m
．
又因为
APD
△
的面积为
6
2
，故
2
2
1
6
2
6
2
3
2
|
|
2
m
m
m
，
整理得
2
3
2 6 |
| 2
0
m
m
，解得
6
|
|
3
m
，所以
6
3
m
．
所以，直线AP 的方程为3
6
3
0
x
y
或3
6
3
0
x
y
．
52．(2017 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，离心率为1
2
，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点
1F 作直线
1
PF 的
垂线1l ，过点
2
F 作直线
2
PF 的垂线2l ．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ．
因为椭圆E 的离心率为1
2
，两准线之间的距离为8，所以
1
2
c
a
，
2
2
8
a
c
，
解得
2,
1
a
c
，于是
2
2
3
b
a
c
，
因此椭圆E 的标准方程是
2
2
1
4
3
x
y
．
(2)由(1)知，
1( 1,0)
F
，
2(1,0)
F
．
设
0
0
(
,
)
P x
y
，因为点P 为第一象限的点，故
0
0
0,
0
x
y
．
当
0
1
x
时，2l 与1l 相交于
1F ，与题设不符．
当
0
1
x
时，直线
1
PF 的斜率为
0
0
1
y
x
，直线
2
PF 的斜率为
0
0
1
y
x ．
因为1
1
l
PF
⊥
，2
2
l
PF
⊥
，所以直线1l 的斜率为
0
0
1
x
y
，直线2l 的斜率为
0
0
1
x
y
，
从而直线1l 的方程：
0
0
1(
1)
x
y
x
y
，①
直线2l 的方程：
0
0
1(
1)
x
y
x
y
．②
由①②，解得
2
0
0
0
1
,
x
x
x
y
y
，所以
2
0
0
0
1
(
,
)
x
Q
x
y
．
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得
2
0
0
0
1
x
y
y
，即
2
2
0
0
1
x
y
或
2
2
0
0
1
x
y
．
又P 在椭圆E 上，故
2
2
0
0
1
4
3
x
y
，由
2
2
0
0
2
2
0
0
1
1
4
3
x
y
x
y
，解得
0
0
4 7
3 7
,
7
7
x
y
；
2
2
0
0
2
2
0
0
1
1
4
3
x
y
x
y
，无解．
因此点P 的坐标为4 7 3 7
(
,
)
7
7
．
53．(2016 年全国II 卷文)已知A 是椭圆E ：
2
2
1
4
3
x
y
的左顶点，斜率为
0
k k＞
的直线交E 与A ，M
两点，点N 在E 上，MA
NA
．
(Ⅰ)当AM
AN
时，求AMN
的面积；
(Ⅱ)当AM
AN
时，证明：
3
2
k
．
【解析】(Ⅰ)设
1
1
( ,
)
M x y
，则由题意知
1
0
y
．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4
，
又
( 2,0)
A
，因此直线AM 的方程为
2
y
x
．
将
2
x
y
代入
2
2
1
4
3
x
y
得
2
7
12
0
y
y
，
解得
0
y
或
12
7
y
，所以
1
12
7
y
．
因此AMN
的面积
1
12
12
144
2
2
7
7
49
AMN
S
．
(Ⅱ)将直线AM 的方程
(
2)(
0)
y
k x
k
代入
2
2
1
4
3
x
y
得
2
2
2
2
(3
4
)
16
16
12
0
k
x
k x
k
．
由
2
1
2
16
12
( 2)
3
4
k
x
k
得
2
1
2
2(3
4
)
3
4
k
x
k
，
故
2
2
1
2
12 1
|
|
1
|
2|
3
4
k
AM
k
x
k
．
由题设，直线AN 的方程为
1 (
2)
y
x
k
，
故同理可得
2
2
12
1
|
|
4
3
k
k
AN
k
．
由2 |
| |
|
AM
AN
得
2
2
2
3
4
4
3
k
k
k
，即
3
2
4
6
3
8
0
k
k
k
．
设
3
2
( )
4
6
3
8
f t
t
t
t
，则k 是
( )
f t 的零点，
2
2
'( )
12
12
3
3(2
1)
0
f
t
t
t
t
，
所以
( )
f t 在(0,
)
单调递增，又
( 3)
15 3
26
0,
(2)
6
0
f
f
，
因此
( )
f t 在(0,
)
有唯一的零点，且零点k 在( 3,2) 内，所以
3
2
k
．
54．(2016 年天津文)设椭圆
1
3
2
2
2
y
a
x
(
3
a
)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知
|
|
3
|
|
1
|
|
1
FA
e
OA
OF
，
其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B ( B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，
若
HF
BF
，且
MAO
MOA
，求直线的l 斜率．
【解析】(Ⅰ)设
( ,0)
F c
，由
1
1
3
|
|
|
|
|
|
c
OF
OA
FA
，即1
1
3
(
)
c
c
a
a a
c
，
可得
2
2
2
3
a
c
c
，又
2
2
2
3
a
c
b
，所以
2
1
c
，因此
2
4
a
，
所以椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
(Ⅱ)设直线的斜率为(
0)
k k
，则直线l 的方程为
(
2)
y
k x
，
设
(
,
)
B
B
B x
y
，由方程组
2
2
1,
4
3
(
2),
x
y
y
k x
消去y ，
整理得
2
2
2
2
(4
3)
16
16
12
0
k
x
k x
k
，解得
2
x
或
2
2
8
6
4
3
k
x
k
，
由题意得
2
2
8
6
4
3
B
k
x
k
，从而
2
12
4
3
B
k
y
k
，
由(Ⅰ)知
(1,0)
F
，设
(0,
)
H
H
y
，有
( 1,
)
H
FH
y
，
2
2
2
9
4
12
(
,
)
4
3 4
3
k
k
BF
k
k
，
由BF
HF
，得
0
BF HF
，所以
2
2
2
12
4
9
0
4
3
4
3
H
ky
k
k
k
，
解得
2
9
4
12
H
k
y
k
，因此直线MH 的方程为
2
1
9
4
12
k
y
x
k
k
，
设
(
,
)
M
M
M x
y
，由方程组
2
1
9
4
,
12
(
2),
k
y
x
k
k
y
k x
消去y ，得
2
2
20
9
12(
1)
M
k
x
k
，
在MAO
中，
MOA
MAO
|
| |
|
MA
MO
，
即
2
2
2
2
(
2)
M
M
M
M
x
y
x
y
，化简得
1
M
x
，即
2
2
20
9
1
12(
1)
k
k
，
解得
6
4
k
或
6
4
k
，所以直线l 的斜率为
6
4
k
或
6
4
k
．
55．(2015 天津文)已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为
5
5
．
(Ⅰ)求直线BF 的斜率；
(Ⅱ)设直线BF 与椭圆交于点P ( P 异于点B )，故点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点
B )直线PQ 与y 轴交于点M ，|
|= |
|
PM
MQ
．
(i)求的值；
(ii)若
7 5
|
|sin
=
9
PM
BQP
，求椭圆的方程．
【解析】(Ⅰ)设
,0
F
c
，由已知离心率
5
5
c
a
及
2
2
2
a
b
c
，又因为
0,
B
b
，故直线BF 的斜率
0
2
0
b
b
k
c
c
．
(Ⅱ)设点
,
,
,
,
,
P
P
Q
Q
M
M
P x
y
Q x
y
M x
y
，(i)由(Ⅰ)可得椭圆方程为
2
2
2
2
1
5
4
x
y
c
c
，直线BF 的方程为
2
2
y
x
c
，将直线方程与椭圆方程联立，
消去y，得
2
3
5
0
x
cx
，解得
5
3
P
c
x
．因为BQ
BP
，所以直线BQ 方程为
1
2
2
y
x
c
，与椭圆方程联立，消去y ，整得
2
21
40
0
x
cx
，
解得
40
21
Q
c
x
．又因为
PM
MQ
，及
0
M
x
，可得
7
8
M
P
P
Q
M
Q
x
x
x
x
x
x
．
(ii)由(i)有
7
8
PM
MQ
，所以
7
7
7
8
15
PM
PM
MQ
，即
15
7
PQ
PM
，又因为
7 5
|
|sin
=
9
PM
BQP
，所以
=|
|sin
BP
PQ
BQP
=15
5 5
|
|sin
7
3
PM
BQP
．
又因为
4
2
2
3
P
P
y
x
c
c
，所以
2
2
5
4
5 5
0
2
3
3
3
c
c
BP
c
c
，因此5 5
5 5
3
3
c
，
1
c ，
所以椭圆方程为
2
2
1
5
4
x
y
．
56．(2014 新课标2 文理)设
1F ，
2
F 分别是椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
的左，右焦点，M 是C 上一点
且
2
MF 与x 轴垂直，直线
1
MF 与C 的另一个交点为N ．
(Ⅰ)若直线MN 的斜率为3
4 ，求C 的离心率；
(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且
1
5
MN
F N
，求,a b ．
【解析】(Ⅰ)根据
2
2
c
a
b
及题设知
2
2
( ,
),2
3
b
M c
b
ac
a
，
将
2
2
2
b
a
c
代入
2
2
3
b
ac
，解得
1 ,
2
2
c
c
a
a
(舍去)，故C 的离心率为1
2
．
(Ⅱ)由题意，原点O 为
1
2
F F 的中点，
2
MF ∥y 轴，所以直线
1
MF 与y 轴的交点
(0,2)
D
是线段
1
MF 的中
点，故
2
4
b
a
，即
2
4
b
a
①
由
1
5
MN
F N
得
1
1
2
DF
F N
．
设
1
1
( ,
)
N x y
，由题意知
1
0
y
，则
1
1
2(
)
2
2
c
x
c
y
，即
1
1
3 ,
2
1
x
c
y
代入C 的方程，得
2
2
2
9
1
1
4
c
a
b
．②
将①及
2
2
c
a
b
代入②得
2
2
9(
4 )
1
1
4
4
a
a
a
a
，解得
2
7,
4
28
a
b
a
，故
7,
2 7
a
b
．
57．(2014 安徽文理)设
1F ，
2
F 分别是椭圆E ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点，过点
1F
的直线交
椭圆E 于
,
A B 两点，
1
1
|
| 3|
|
AF
BF
(Ⅰ)若
2
|
| 4,
AB
ABF
的周长为16，求
2
|
|
AF
；
(Ⅱ)若
2
3
cos
5
AF B
，求椭圆E 的离心率．
【解析】：(Ⅰ)由
1
1
|
| 3|
|, |
| 4
AF
F B
AB
得
1
1
|
| 3, |
| 1
AF
F B
．
因为
2
ABF
的周长为16，所以由椭圆定义可得
1
2
4
16, |
|
|
| 2
8
a
AF
AF
a
故
2
1
|
| 2
|
| 8
3
5
AF
a
AF
．
(Ⅱ)设
1
|
|
F B
k
，则
0
k
且
1
|
| 3 , |
| 4
AF
k
AB
k
，由椭圆定义可得
2
2
|
| 2
3 , |
| 2
AF
a
k
BF
a
k
在
2
ABF
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
2 |
| |
| cos
AB
AF
BF
AF
BF
AF B
即
2
2
2
6
(4 )
(2
3 )
(2
)
(2
3 ) (2
)
5
k
a
k
a
k
a
k
a
k
化简可得(
) (
3 )
0
a
k
a
k
，而
0
a
k
，故
3
a
k
于是有
2
1
2
|
| 3
|
|, |
| 5
AF
k
AF
BF
k
，
因此
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
BF
AF
AB
，可得
1
2
AF
AF
故
1
2
AF F
为等腰直角三角形．从而
2
2
c
a
，所以椭圆的离心率
2
2
c
e
a
．
58．(2013 天津文理)设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F，离心率为
3
3 ，过点F 且与x 轴垂直的直
线被椭圆截得的线段长为4 3
3
．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C，D 两点．若
·
·
8
AC DB
AD CB
，求k 的值．
【解析】(Ⅰ)设F(－c，0)，由
3
3
c
a
，知
3
a
c
．过点F 且与x 轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方
程有
2
2
2
2
(
)
1
c
y
a
b
，
解得
6
3
b
y
，于是2 6
4 3
3
3
b
，解得
2
b
，
又A2－c2＝B2，从而A＝
3 ，c＝1，
所以椭圆的方程为
2
2
=1
3
2
x
y
．
(Ⅱ)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组
2
2
1 ,
1
3
2
y
k x
x
y
消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
求解可得x1＋x2＝
2
2
6
2
3
k
k
，x1x2＝
2
2
3
6
2
3
k
k
．
因为A(
3
，0)，B(
3 ，0)，
所以AC
· DB
＋AD
·CB
＝(x1＋
3 ，y1)·(
3 －x2，－y2)＋(x2＋
3 ，y2)·(
3 －x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝
2
2
2
12
6
2
3
k
k
．
由已知得
2
2
2
12
6
2
3
k
k
＝8，解得k＝
2
．
59．(2012 北京文理)已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
(2,0)
A
，离心率为
2
2
．直线
(
1
y
k x
）与椭圆C 交于不同的两点M，N．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)当△AMN 得面积为
10
3
时，求k 的值．
【解析】(Ⅰ)由题意得
2
2
2
2
2
2
a
c
a
a
b
c
解得
2
b
．所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
．
(Ⅱ)由
2
2
(
1)
1
4
2
y
k x
x
y
得
2
2
2
2
(1
2
)
4
2
4
0
k
x
k x
k
．
设点M，N 的坐标分别为
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
，则
1
1
(
1)
y
k x
，
2
2
(
1)
y
k x
，
2
1
2
2
4
1
2
k
x
x
k
，
2
1
2
2
2
4
1
2
k
x x
k
．
所以|MN|=
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
=
2
2
1
2
1
2
(1
)[(
)
4
]
k
x
x
x x
=
2
2
2
2 (1
)(4
6
)
1
2
k
k
k
．
由因为点A(2，0)到直线
(
1
y
k x
）的距离
2
|
|
1
2
k
d
k
，
所以△AMN 的面积为
2
2
1
|
|
4
6
|
|
2
1 2
k
k
S
MN
d
k
．由
2
2
|
|
4
6
10
1 2
3
k
k
k
，解得
1
k ．
60．(2011 陕西理)设椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
过点(0，4)，离心率为3
5
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)求过点(3，0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标．
【解析】(Ⅰ)将(0，4)代入C 的方程得
2
16
1
b
，∴b =4，又
3
5
c
e
a
得
2
2
2
9
25
a
b
a
，
即
2
16
9
1
25
a
，∴A=5，∴C 的方程为
2
2
1
25
16
x
y
．
( Ⅱ)过点
3,0 且斜率为4
5
的直线方程为
4
3
5
y
x
，
设直线与C 的交点为A
1
1
,
x y
，B
2
2
,
x
y
，将直线方程
4
3
5
y
x
代入C 的方程，得
2
2
3
1
25
25
x
x
，
即
2
3
8
0
x
x
，解得
1
3
41
2
x
，
2
3
41
2
x
，AB 的中点坐标
1
2
3
2
2
x
x
x
，
1
2
1
2
2
6
6
2
5
5
y
y
y
x
x
，即中点为3
6
,
2
5
．
