2011-2020年高考数学真题分专题训练专题23空间点线面的位置关系（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 23 空间点线面的位置关系
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
线面垂直的性质、线面垂直的判断、三棱锥高的计算，
空间想象能力、逻辑推理能力
2011
文 18
空间垂直问题及其应用
空间平行问题
空间线线、线面、面面平行、垂直判定与性质及异面直
线的知识，空间想象能力
2013 
卷 2
2014 
卷 1
理 4
空间垂直问题及其应用
空间线线、线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等
基础知识，空间想象能力、推理论证能力
截面问题及利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力与
运算求解能力
文 19
空间垂直问题及其应用
空间几何体的截面问题
空间平行问题
2015 
卷 2
卷 3
理 19
文 19
以四棱锥为载体线面平行的判定与性质与简单几何体
体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力
折叠问题中的线线垂直的判定、简单几何体的体积的计
算，逻辑推理能力与运算求解能力
2016 
卷 2
卷 2
文 19
理 14
空间垂直问题及其应用
空间平行问题
线性、线面、面面平行与垂直的判定与性质，逻辑推理
能力
空间垂直问题及其应用
主要以三棱锥为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的
判定与性质及简单几何体的体积的计算，逻辑推理能力
与运算求解能力
卷 3
文 19
文 10
空间垂直问题及其应用
空间垂直问题及其应用
主要以正方体为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的
判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力
线面平行的判定与性质、简单几何体的计算，逻辑推理
能力与运算求解能力
2017 
卷 3
卷 2
卷 1
卷 2
文 18
文 6
空间平行问题
空间平行问题
线面平行的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、点到平面距离
的计算，逻辑推理能力与运算求解能力
折叠问题中的空间面面的判定与性质及简单几何体的
体积，逻辑推理能力及运算求解能力
文 19
空间垂直问题及其应用
2018 
卷 1
文 18
空间垂直问题及其应用
本题线面角及截面的最大值，逻辑推理能力及运算求解
能力
卷 1
理 16
文 19
空间几何体的截面问题
空间平行问题
2019 
卷 1
空间线面平面的判定及利用等体积法求点到面的距离，
逻辑推理能力及运算求解能力
线面垂直的判定与性质及点到面的距离，逻辑推理能
力与运算求解能力
卷 1
文 16
空间垂直问题及其应用
卷 3 
理 8 文 8 空间位置关系判定
卷 2 
理 7 文 7 空间平行问题
空间两直线的位置关系及空间想象能力
面面平行的判定及充要条件
卷 1
文 19
文 20
空间垂直关系，面积、体积 面面垂直的证明，考查锥体的体积公式
空间位置关系判定
空间位置关系判定
线线平行和面面垂直的证明，四棱锥体积的计算
线线垂直的证明，点与平面位置关系的证明
卷 2
卷 3
文 19
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
考点 78 空间位置关系的判定
考点 79 空间平行问题
1/19
7/19
2021 年高考仍将小题重点考查平行与垂直的判定与性质，为
基础题，若为截面问题，则为中档题，题型为选择填空题．解
答题，第一小题，多为证明线线、线面、面面垂直与平行的
判定与性质，第二小题，文科多为计算体积和表面积的计算
或点到面的距离，难度为中档题．
考点80 空间垂直问题及其应用 11/19
考点81 空间几何体的截面问题 2/19
十年试题分类*探求规律
考点 78 空间位置关系的判定
1．(2019•新课标Ⅲ，理 8 文 8)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD  平面 
ABCD ，
M 是线段 ED 的中点，则(
)
A． BM  EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线
B． BM  EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线
C． BM  EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线
D． BM  EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线
【答案】B
【解析】点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD  平面 ABCD，M 是线段 ED 的
中
点，BM  平面 BDE ， EN  平面 BDE ，BM 是BDE 中 DE 边上的中线， EN 是BDE 中 BD 边
上的
3
4
5
6
中线，直线 BM ， EN 是相交直线，设 DE  a ，则 BD  2a ， BE 

a2  a 2  2a ，BM 
a ，
4
2
3
4
1
2
4
EN 
a  a  a ，BM  EN ，故选 B ．
2
2．(2019•新课标Ⅰ，文 16)已知ACB  90 ，P 为平面 ABC 外一点，PC  2 ，点 P 到ACB 两边 AC ，
BC
的距离均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为
【答案】 2
．
【解析】因为ACB  90 ，P 为平面 ABC 外一点，PC  2 ，点 P 到ACB 两边 AC ，BC 的距离均为 
3 ，
过点 P 作 PD  AC ，交 AC 于 D ，作 PE  BC ，交 BC 于 E ，过 P 作 PO  平面 ABC ，交平面 ABC 
于O ，
连结OD ，OC ，则 PD  PE  3 ，CD  CE  OD  OE  
2
P 到平面 ABC 的距离为 2 ．
2  ( 3) 2  1，PO  PD2 OD  31  2 ，
2
考点 79 空间平行问题
1．(2019•新课标Ⅱ，理 7 文 7)设 ，  为两个平面，则 / / 的充要条件
是(
)
A． 内有无数条直线与  平
行
C． ，  平行于同一条直线
【答案】B
B． 内有两条相交直线与  平
行
D． ，  垂直于同一平面
【解析】对于 A ， 内有无数条直线与  平行，

对于 B ， 内有两条相交直线与 平行， / / ；
 或 / / ；


对于C ， ， 平行于同一条直线，

 或 / / ；


对于 D ， ，  垂直于同一平面，

 或 / / ．故选 B 
．


2．(2017•新课标Ⅰ，文 6)如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ，Q 为所
在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(
)
A．
B．
D．
C．
【答案】A
【解析】对于选项 B ，由于 AB / /MQ ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意；对于选项C ，由于 AB / /MQ 
，
结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项 D ，由于 AB / /NQ，结合线面平行判定定理可知 D 不
满足题意；所以选项 A 满足题意，故选 A ．

m 
n
m  ，n 
m 
n 
m 
，则“ 
∥ ”是“ 
∥ 
”的( )
3．(2018 浙江)已知平面 
，直线 
， 满足
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【答案】A
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若m  ，n  ，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥ ．若m ∥ ，m  ，n  ，
不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥ ”的充分不必要条件．故选 A．
4．(2019•新课标Ⅰ，文 19)如图，直四棱柱 ABCD  A B C D 的底面是菱形，AA  4 ，AB  2 ，BAD  
60，
1
1
1
1
1
E ， M ， N 分别是 BC ， BB ， A D 的中
点．
1
1
(1)证明： MN / / 平面C1DE ；
(2)求点C 到平面C1DE 的距离．
【解析】证明：(1)连结 B C ，ME ，M ， E 分别是 BB ， BC 的中
点，
1
1
1
ME / /B C ，又 N 为 A D 的中点，ND  A D ，
1
1
1
2
由题设知 AB / / DC，BC / / AD ，ME/ / ND，
1
1
1
1



四边形 MNDE 是平行四边形，
MN / /ED ，
又MN  平面C DE ，MN / / 平面C DE 
．
1
1
解：(2)过C 作C1E 的垂线，垂足为 H ，
由已知可得 DE  BC ， DE  C1C ，
DE  平面C1CE ，故 DE  CH ，
CH 平面C DE ，故CH 的长即为C 到时平面C DE 的距离，
1
1
由已知可得CE 1，CC1  4 ，
4 17
C1E  17 ，故CH 
，
17
4 17
点C 到平面C1DE 的距离为
．
17
5．(2017•新课标Ⅱ，文 18)如图，四棱锥 P  ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，
1
AB  BC  AD，BAD  ABC  90．
2
(1)证明：直线 BC / / 平面 PAD ；
(2)若PCD 面积为2 7 ，求四棱锥 P  ABCD 的体积．
【解析】(1)证明：四棱锥 P  ABCD 中，BAD  ABC  90 ．BC / / AD ，AD 平面 PAD ，BC  
平
面 PAD ，
直线 BC / / 平面 PAD ；
1
(2)解：四棱锥 P  ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， AB  BC  AD，
2
BAD  ABC  90．设 AD  2x ，
则 AB  BC  x ，CD  2x ，O 是 AD 的中点，
连接 PO，OC ，CD 的中点为： E ，连接OE ，
2
7x
则OE 
x ， PO  3x ， PE  PO2 OE 2 
，
2
2
1
PCD 面积为2 7 ，可得： PECD  2 7 ，
2
1
7
2
即： 
x 2x  2 7 ，解得 x  2 ， PO  2 3 ．
2
1 1
则VPABCD   (BC  AD) AB PO   (2 4)22 3  4 3 ．
3 2 
3 2
1 1
6．(2016•新课标Ⅲ，文 19)如图，四棱锥 P  ABCD 中，PA 底面 ABCD ，AD / /BC ，AB  AD  AC  3，
PA  BC  4 ， M 为线段 AD 上一点， AM  2MD ， N 为 PC 的中点．
(Ⅰ)证明 MN / / 平面 PAB ；
(Ⅱ)求四面体 N  BCM 的体积．
【解析】证明：(Ⅰ)取 BC 中点 E ，连结 EN ， EM 
，
N 为 PC 的中点，NE 是PBC 的中位线
NE / /PB ，
又 AD / /BC ，BE / /AD，
 AB  AD  AC  3， PA  BC  4 ， M 为线段 AD 上一点， AM  2MD ，
1
BE  BC  AM  2 ，
2
四边形 ABEM 是平行四边形，
EM / / AB ，平面 NEM / / 平面 PAB ，
MN  平面 NEM ，MN / / 平面 PAB ．
(Ⅱ)取 AC 中点 F ，连结 NF ，
NF 是PAC 的中位线，
1
NF / /PA， NF  PA  2 ，
2
又PA  面 ABCD，NF  面 ABCD，
如图，延长 BC 至G ，使得CG  AM ，连结GM ，
AM / /CG，四边形 AGCM 是平行四边形，

 AC  MG  3 ，
又ME  3， EC  CG  2 ，
MEG 的高h  5 ，
1
1
SBCM   BC h  4 5  2 5 ，
2
2
1
1
4 5
3
四面体 N  BCM 的体积VN BCM  S
NF   2 5 2 
．
BCM
3
3
7．(2013 辽宁)如图， AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的
点．
(Ⅰ)求证： BC  平面PAC；
(Ⅱ)设Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心， 求证：QG∥平面 PBC 
．
【解析】(Ⅰ)由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC．
由 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PA BC
⊥
，
又 PA∩AC=A,PA平面 PAC，AC平面 PAC，
所以 BC⊥平面 PAC．
(Ⅱ)连 OG 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QO．
由 G 为∆AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，
由 G 为 PA 中点，得 QM//PC．
又 O 为 AB 中点，得 OM//BC．
因为 QM∩MO=M,QM平面 QMO．
所以 QG//平面 P BC．
8．(2012 江苏)如图，在直三棱柱ABC  A B C 中，A B  AC ，D，E 分别是棱BC，CC 上的点(点D 不同于
1
1
1
1
1
1
1
1
点 C)，且 AD  DE，F 为 B C 的中点．
1
1
求证：(Ⅰ)平面 ADE 平面 BCC B ；
1
1
(Ⅱ)直线 A1F // 平面 ADE ．
【解析】(Ⅰ)因为ABC  A B C 是直三棱柱，所以CC  平面ABC,
1
1
1
1
又AD 平面ABC,所以CC1  AD ，
又因为AD  DE,CC , DE 平面BCC B ，CC DE  E,
1
1
1
1
所以AD 平面BCC B ,
1
1
又AD平面ADE,
所以平面ADE平面BCC B ．
1
1
(Ⅱ)因为A B  AC ，F 为B C 的中点，
1
1
1
1
1
1
所以A F  B C ．因为CC  平面A B C ，
1
1
1
1
1 1 1
且A F 平面A B C ，
1
1 1 1
所以CC  AF.
1
1
又因为CC ，B C 平面BCC B ，CC  B C  C ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
所以A F  平面BCC B ，
1
1 1
所以A1F // AD．
又 AD平面 ADE ， A1F 平面 ADE ，
所以 A1F // 平面 ADE ．
考点 80 空 间垂直问题
1．(2017•新课标Ⅲ，文 10)在正方体 ABCD  A B C D 中， E 为棱CD 的中点，则(
)
1
1
1
1
A． A1E  DC1
【答案】C
B． A1E  BD
C． A1E  BC1
D． A1E  AC
【解析】连 B C ，由题意得 BC  B C ，A B 平面 B BCC ，且 BC  平面 B BCC 
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A B  BC ，A B B C  B ，BC  平面 A ECB ， A E 平面 A ECB ，A E  BC ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
故选C ．
2．(2013 新课标Ⅱ，理 4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面 ，n ⊥平面  ，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，
l   ，l   ，则
A． ∥  且
l ∥
B． ⊥ 且l ⊥ 

C． 与  相交，且交线垂直
于l
【答案】D
D． 与 相交，且交线平行于
l
【解析】若 ∥  ，又m ⊥平面 ，则m ⊥平面  ，又∵n ⊥平面  ，∴m ∥n ，与m 与n 异面矛
盾，
故 A 错；
若l ⊥  ，∵n ⊥平面  ，∴l ∥n ，与l ⊥n 矛盾；
若 与  相交，设交线为a ，过n 上一点作直线b ∥m ，设b 与n 确定的平面为 ，∵m ⊥l ，
∴b ⊥l ，
∵l ⊥n ，∴l ⊥ ，又m ⊥平面 ，n ⊥平面  ，∴m ⊥a ， n ⊥a ，∴b ⊥a ，∴a ⊥ ，则a ∥l ，
故选 D．
3．(2011 辽宁)如图，四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不．正．确．
的是
A．AC SB
B．AB∥平面 SCD
C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角
【答案】D
【解析】选项 A 正确，∵SD 平面 ABCD，而 AC 在平面 ABCD 内，所以 AC  SD．因为 ABCD 为
正方形，所以 AC  BD，而 BD 与 SD 相交，所以 AC 平面 SBD，所以 AC  SB；选项 B 正确，因为
AB  CD，而CD 在平面SCD 内，AB 不在平面 SCD 内，所以 AB  平面 SCD；选项 C 正确，设 
AC 与
BD 的交点为O，连结 SO，则 SA 与平面 SBD 所成的角 
ASO

， SC 与平面SBD 所成的角CSO，易
知这两个角相等；选项 D 错误， AB 与SC 所成的角等于SCD，而 DC 与SA 所成的角等于SAB，易
知这两个角不相等，故选 D．
4．(2015 福建)若l,m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“l  m ”是“l ∥ ”的
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
【答案】B
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由“m  且l  m ”推出“l  或l∥ ”，但由“m  且l∥ ”可推出“l  m ”，所以
“l  m ”是“l∥ ”的必要而不充分条件，故选 B ．
5．(2014 广东)若空间中四条两两不同的直线l ,l ,l ,l ，满足l l ,l l ,l l ，则下面结论一定正确的
1
2
3
4
1
2
2
3
3
4
是
A．l1 l4
【答案】D
B．l1 / /l4 
C．l ,l 既不垂直也不平行 
D．l ,l 的位置关系不确定
1 
4 
1 
4
【解析】利用正方体模型可以看出，l 与l 的位置关系不确定．选 D．
1
4
6．(2014 浙江)设m,n 是两条不同的直线，, 是两个不同的平面
A．若m  n ，n// ，则m 
C．若m  ,n  ,n  则m 
【答案】C
B．若m// ，   则m 

D．若m  n ，n   ，   ，则m 

【解析】选项 A, B, D 中m 均可能与平面 平行、垂直、斜交或在平面 内，故选C ．
7．(2014 辽宁)已知m ，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A．若m / /,n / /,则m/ /n
B．若m  ，n  ，则m  n
D．若m/ / ，m  n ，则n 
C．若m  ，m  n ，则n / /
【答案】B
【解析】对于选项 A，若m / /,n / /, ，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项 B 正确；对
于选项 C，若m  ，m  n ，则n  或n / / ，C 错误；对于选项 D，若m/ / ，m  n ，则n / / 或
n  或n 与 相交，D 错误．故选 B．
m 
n
 

8．(2013 广东)设 
， 是两条不同的直线， 
， 
是两个不同的平面,下列命题中正确的是
   m  n  

A．若
B．若
,
,
,则m n
,则m//n
,则  
 // m  n  
,
,
C．若m  n , m  , n  
D．若m  ,m//n , n //  
,则  
【答案】D
【解析】A 中m,n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中m,n 还可能为异面；C 中m 应与  中两条相
交
直线垂直时结论才成立，选 D．
l
,
是两个不同的平面
9．(2012 浙江)设 是直线，
l 
 
l 

 

l 
 
l 
 
 

B．若 ∥ 
， ⊥ 
，则 
⊥
A．若 ∥ 
， ∥ 
，则 
∥
C．若 ⊥  ， ⊥ 
，则 
⊥
l 

l 

D．若 
⊥ 
, 
∥ 
，则 ⊥
 
 l 

l 

【答案】B
l 
 
l 

 
．如选项 A：
【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，∵ ∥ 
， ⊥ 
，则
l 
 
l 

 
 
 

 
 
l 
 
l 
 
l  
∥ 
， ∥ 
时， 
⊥ 
或 
∥ 
；选项 C：若 
⊥ 
， ⊥ 
， ∥ 
或 
；
选项 D：若 ⊥ , l ⊥ ，l ∥ 或l⊥ ．
10．(2012 浙江)已知矩形 ABCD， AB 1， BC  2 ．将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行
翻
折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线CD 垂直
C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
D．对任意位置，三对直线“ AC 与 BD”，“ AB 与CD”，“ AD 与 BC”均不垂
直
【答案】B
【解析】过点 A 作 AE  BD ，若存在某个位置，使得 AC  BD，则 BD  面 ACE，从而有 BD CE，
计算可得 BD 与CE 不垂直，则 A 不正确；当翻折到 AC CD 时，因为 BC CD，所以CD 面 ABC，
从而可得 AB CD；若 AD  BC ，因为 BC CD，所以 BC 面 ACD，从而可得 BC  AC ，而
AB 1 2  BC ，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故选 B．
11．(2011 浙江)下列命题中错．误．的是
A．如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 
B．如果平面α 不垂直于平面  ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面 平面 ，平面  平面 ， =l ，那么l 
平面
D．如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
【答案】D
【解析】对于 D，若平面 平面  ，则平面 内的某些直线可能不垂直于平面  ，即与平面  的关系
还
可以是斜交、平行或在平面  内，其余选项易知均是正确的，故选 D．
12．(2016•新课标Ⅱ，理 14) ，  是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m  n ，m  ，n / / ，那么   ．
②如果m  ，n / / ，那么m  n ．
③如果 / / ，m   ，那么m / / ．
④如果m / /n ， / / ，那么m 与 所成的角和n 与  所成的角相
等．
其中正确的命题是
(填序号)
【答案】②③④
【解析】①如果m  n ，m  ，n / / ，不能得出   ，故错
误；
②如果n / / ，则存在 直线l  ，使n / /l ，由m  ，可得m  l ，那么m  n ．故正确；
③如果 / / ，m   ，那么m 与  无公共点，则m / / ，故正确
④如果m / /n ， / / ，那么m ，n 与 所成的角和m ，n 与  所成的角均相等，故正
确；
13．(2019 北京理 12)已知 l，m 是平面 a 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l  m
②m P a
③l  a
；
；
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ______．
【答案】 若l ，l  m
，则m P  
m P  
l ， l  m
或
，
则
．
【解析】由 l，m 是平面α 外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得： 若l ，l  m
，则m P 
．
m P  
l ， l  m
由线面平行、垂直的性质定理得
，
则
．
14．(2020 全国 I 文 19)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形，P

DO 上一点，APC 90．
为
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAC ；
(2)设 DO  2 ，圆锥的侧面积为 3，求三棱锥 P ABC 的体积．

6
【答案】(1)证明见解析；(2)
．
8
【思路导引】(1)根据已知可得 PA PB PC，进而有△PAC △PBC ，可得 APC




 BPC  90 ，
PB  PC
PC 平面 PAB
即
，从而证得
，即可证得结论；
(2)将已知条件转化为母线l 和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形
r
ABC
边
APC
AP
RtAPO
，在 
中，求出
PO，即可求出结论．
长，在等腰直角三角形
中求出
【解析】(1) D 为圆锥顶点， 
为底面圆心，OD 平面 ABC
，
Q
O
P 在 DO 上，OA OB OC, PA PB PC ，





ABC 是圆内接正三角形，AC  BC ，△PAC  △PBC
APC  BPC  90，即 PB  PC,PA  PC
，
，
PA PB  P,PC 
PAB, PC 平面 PAC

， 平面

平面
PAB
平面 PAC ；
(2)设圆锥的母线为l ，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 rl
r
  3,rl  3 ，
OD2  l 2 r 2  2，解得r 1,l  3 ， AC  2r sin 60 3 ，
2
6
APC
AP 
AC 
在等腰直角三角形
中，
，
2
2
6
2
在RtPAO 中，
PO  AP 2 OA 2 
1 
，
4
2
1
1
2
3
6
8
三棱锥P  ABC 的体积为VPABC
3 POS△ABC 
3 
2
 


3 
．
4
15．(2020 全国Ⅱ文 20)如图，已知三棱柱 ABC  A B C 的底面是正三角形，侧面 BBC C 是矩形， M , N 
分
1
1
1
1
1
别为 BC , B C 的中点， P 为 AM 上一点．过 B C 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 
于 F
．
1
1
1
1
(1)证明： AA // MN ，且平面 A AMN 平面 EBC F ；
1
1
1
1

(2)设O 为△A B C 的中心，若 AO  AB 6 ， AO //平面 EBC F ，且MPN  
，求四棱锥 B  EBC F 的
体
1
1
1
1
1
1
1
3
积．
【答案】(1)证明见解析；(2)24 ．
M, N
BC 
B C 的中点，MN//CC
AA1 / /BB
1
MN//AA1，
，可证
【思路导引】(1)由
分别为
，
，根据条件可得
1
1
1
EBC F 
A AMN
1
EF 
A AMN
平面 
即可；
1
要证平面
平面
，只需证明
1
1
S
和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得V
BEB C F
(2)根据已知条件求得
【解析】(1) M, N
．
四边形EB C F
1
1
1 1
BC 
B C 的中点，MN//BB
AA / /BB 
MN//AA
，
1 
1 
1
分别为
，
，又
1
1
1
在等边ABC 中，M 为 BC中点，则BC  AM

，又 侧面
BBC C为矩形，BC  BB
，
1
1
1
MN//BB 
MN  BC
MN  AM  M ，MN, AM 平面 A AMN 

A AMN
BC⊥平面 
，
1
，
，由
，
1
1
 B C //BC
B C 
ABC， BC 平面 ABC B C //
ABC
，
又
，且
平面
，
平面
1
1
1
1
1 1
 B C 
EBC F
EBC F 
ABC  EF B C / /EF
平面 
，
，EF//BC ，
1 1
又
平面
，且平面
1
1
1
1
1
1
又BC 平面 A1AMN

，
平面A AMN 

，EF
1
平面EBC F 
， 平面EBC F 
A AMN
平面 
．
1
EF
1
1
1
1
(2)过 M 作 PN 垂线，交点为 H ，画出图形，如图
 AO
EBC F 
AO
A AMN
1
A AMN 
1
EBC F  NP AO//NP
平面 
， 
，
1 1
//平面
，
平面
，平面
1
1
 NO//AP  AO  NP 6  O 
△A B C
的中心，
1
又
，
．
为
1
1
1
3
1


  6sin 60   3
ON
AC sin 60

 3 ，则 AM 
3AP  3 3

，故：ON 
AP
．
，
1
1
3
平面 EBC F 平面A AMN ，平面EBC F 平面A AMN  NP 
MH 
，
平面A AMN
1
1
1
1
1
1
1
EF 
AP
APBC
36


EBC F




 2 ．
MH 
平面
，又 在等边ABC 中
，即 EF
1
1
BC 
AM
EBC F
的面积为：
AM
3 3
EBC F

为梯形， 四边形
由(1)知，四边形
1
1
1
1
EF B
1C
1
26
1
S

NP=
6  24，V
 S
h ，
四边形EB C F
2
2
BEB C F
3
四边形EB C F
1 1
1 1
1 1
1
V  243  24
．
h 
M 
PN
MH  2 3 sin 60 3
，
为
到
的距离
3
16．(2020 全国Ⅲ文 19)如图，在长方体 ABCD  A B C D 中，点 E , F 分别在棱 DD , BB 上，
且
1
1
1
1
1
1
2DE  ED , BF  2FB ．证明：
1
1
(1)当 AB  BC 时， EF  AC；
(2)证明：点C1 在平面 AEF 内．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
AC  BD
AC  BB
AC 
BB D D
平面 
，
1 1
【思路导引】(1)根据正方形性质得
，根据长方体性质得
，进而可证
1
EC1//AF 即可，在CC
1 上取点 M
使得CM  2MC
，再通过平行四边形性质进行
1
即得结果；(2)只需证明
证明即可．
【解析】
ABCD  A B C D
BB1 
ABCD AC  BB
平面 
，
1
(1)因为长方体
，所以
1
1
1
1
ABCD  A B C D ,AB  BC
ABCD 为正方形AC  BD，
因为长方体
，所以四边形
1
1
1
1
BB I BD  B,BB、BD 
BB D D，因此 
，
AC 平面 BB D D
1 1
因为
平面
1
1
1
1
因为 EF平面 BB D D，所以AC  EF ．
1
1
(2)在CC1 上取点 M 使得CM  2MC
DM,MF
，
，连
1
D E  2ED,DD //CC ,DD =CC
ED  MC ,ED//MC ,
DMC1E
所以四边形 
为平行四边形，
因为
，所以
1
1
1
1
1
1
1
DM //EC
MF//DA,MF=DA, 所以四边形MFAD 为平行四边形，DM //AF,EC1//AF
，因此
，因为
1
C
1
AEF
在平面
内．
17．(2020 江苏 15)在三棱柱 ABC  A B C 中，AB  AC，B C 平面 ABC，E,F 分别是 AC，B C 的
1
1
1
1
1
中点．
(1)求证： EF/ / 平面 AB C ；
1
1
(2)求证：平面 AB C 平面 ABB ．
1
1
【答案】见解析
【解析】(1)∵ E,F 分别是 AC ， B C 的中点，∴ EF / /AB 
，
1
1
∵ EF  平面 AB C ， AB 平面 AB C ，∴ EF/ / 平面 AB C ．
1
1
1
1
1
1
1
(2)∵ B C 平面 ABC， AB 面 ABB ，∴ B C  AB ，
1
1
1
又∵ AB  AC， AC B C C ， AC 面 ABC ， B C  面 ABC ，
1
1
1
1
∴ AB  面 ABC ，∵ AB 面 ABB ，∴平面 AB C 平面 ABB ．
1
1
1
1
18．(2018•新课标Ⅰ，文 18)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB  AC  3，ACM  90，以 AC 为折痕将
ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB  DA ．
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ；
2
(2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP  DQ  DA，求三棱锥Q  ABP 的体积．
3
【解析】(1)证明：在平行 四边形 ABCM 中，ACM  90，AB  AC ，
又 AB  DA ．且 ADAC  A ，
AB  面 ADC ，AB  面 ABC ，
平面 ACD 平面 ABC ；
(2) AB  AC  3 ，ACM  90，AD  AM  3 2 ，
2
BP  DQ  DA  2 2 ，
3
由(1)得 DC  AB ，又 DC  CA，DC 面 ABC ，
1
1
三棱锥Q  ABP 的体积V  S
 DC
ABP
3
3
1 2
  S
1
1 2 1
1
 DC    33 3 1．
ABC
3 3
3
3 3 2
3
19．(2018•新课标Ⅱ，文 19)如图，在三棱锥 P  ABC 中， AB  BC  2 2 ，PA  PB  PC  AC  4 ，O 为
AC 的中点．
(1)证明： PO  平面 ABC ；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC  2MB ，求点C 到平面 POM 的距
离．
【解析】(1)证明： AB  BC  2 2 ， AC  4 ，AB
又O 为 AC 的中点，OA  OB  OC ，
2  BC 2  AC ，即ABC 是直角三角形，
2
 PA  PB  PC ，POA  POB  POC ，POA  POB  POC  90，
PO  AC ， PO  OB ，OBAC  0 ，PO 平面 ABC ；
(2)由(1)得 PO  平面 ABC ， PO  PA
在COM 中，OM  OC CM  2OCCM cos 45
2 5 
2 15
2  AO  2 3 ，
2
2 5
3
2
2
0 
．
1
1
SPOM  POOM   2 3

，
2
2
3
3
1 2
4
SCOM    S
 ．
ABC
2 3
3
1
1
设点C 到平面 POM 的距离为d ．由VPOMC VC POM   S
d   S
 PO ，
OCM
POM
3
3
4 5
5
解得d 
，
4 5
点C 到平面 POM 的距离为
．
5
20．(2017•新课标Ⅲ，文 19)如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形， AD  CD ．
(1)证明： AC  BD ；
(2)已知ACD 是直角三角形，AB  BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE  EC ，求四面体 ABCE 
与
四面体 ACDE 的体积比．
【解析】证明：(1)取 AC 中点O ，连结 DO 、 BO，
ABC 是正三角形， AD  CD ，
DO  AC ， BO  AC ，
DO 
BO  O ， AC 
平面 BDO ，



BD  平面 BDO ， AC  BD ．
(2)法一：连结OE ，由(1)知 AC 平面OBD，
OE 平面OBD，OE  AC ，
设 AD  CD  2 ，则OC  OA 1， EC  EA，
 AE  CE ， AC  2 ，EC
EC  EA  2  CD ，
2  EA 2  AC
，
2
E 是线段 AC 垂直平分线上的点，EC  EA  CD  2 ，
由余弦定理得：
BC2  BD 2 CD 2
BC2  BE 2 CE 2
cosCBD 

，
2BCBD
2BCBE
4 4 2 4  BE  2
222
2
即

，解得 BE 1 或 BE  2，
22BE
BE  BD  2 ，BE 1，BE  ED ，
四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高
h ，
BE  ED ，SDCE  SBCE
，
四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．
21．(2016•新课标Ⅱ，文 19)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD
上，
AE  CF ， EF 交 BD 于点 H ，将DEF 沿 EF 折到△ DEF 的位
置．
(Ⅰ)证明： AC  HD；
5
(Ⅱ)若 AB  5 ， AC  6， AE  
，OD  2 2 ，求五棱锥 D ABCFE 体
积．
4
【解析】(Ⅰ)证明：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD 上， AE  CF 
，
EF / / AC ，且 EF  BD
将DEF 沿 EF 折到△ DEF 的位置，
则 DH  EF ，
 EF / / AC ，
AC  HD ；
(Ⅱ)若 AB  5 ， AC  6，则 AO  3 ， B0  OD  4 ，
5
 AE  ， AD  AB  5 ，
4
5 15
DE  5  
，
4
4
 EF / / AC ，
15
DE 
EH 
DH
3
4
5




 
，
AD 
AO 
OD
4
9
9
EH  ， EF  2EH  ， DH  3 ，OH  4 3 1，
4
2
HD  DH  3 ，OD  2 2 ，
满足 HD  OD OH
则OHD为直角三角形，且OD  OH ，
2
2
2 ，
又OD  AC ， ACOH  O ，
即OD 底面 ABCD ，
即OD是五棱锥 D  ABCFE 的高．
9
(  6)1
1
(EF  AC)OH
1
21 69
2
底面五边形的面积 S   ACOB 
 64 
12

，
2
2
2
2
4
4
1
1 69
23 2
2
则五棱锥 D  ABCFE 体积V  SOD   
 2 2 
．
3
3
4
22．(2014 新课标 I，文19)如图，三棱柱 ABC A B C 中，侧面BBCC 为菱形，BC 的中点为O，
1
1
1
1
1
1
且 AO 平面BBCC．
1
1
(I)证明：B1C  AB;
(II)若 AC  AB ,CBB  60 , BC 1,

求三棱柱 ABC A B C 的高．
1 1 1
1
1
【解析】(I)连结 BC ，则O 是 B C 与 BC 的交点，∵侧面 BBC C 为菱形，∴ BC ⊥ B C 
，
1
1
1
1
1
1
1
又∵ AO⊥平面 BBC C ，∴ B C ⊥ AO，∴ B C ⊥平面 ABO，∵ AB 平面 ABO，
1
1
1
1
∴ B1C ⊥ AB ．
……6 分
(II)作OD⊥ BC，垂直为 D，连结 AD，作 OH AD
⊥
，垂足为 
H，BC
AO
∵
⊥
，BC OD
⊥
，∴BC⊥平面 AOD，∴OH BC
⊥
，∵OH AD
⊥
，∴OH⊥平面 
ABC．
3
∵CBB1=600 ，∴△CBB1 为正三角形，∵BC=1，可得 OD=
．
4
1
1
2
AC
AB
∵
⊥
，∴OA= B C = 
．
1
2
7
21
∵OHAD ODOA，且 AD=
OD2 OA2 =
，得OH =
，
4
14
21
又∵O 是 B C 的中点，∴点 B 到平面 ABC 的距离
为
，
1
1
7
21
7
故三棱锥 ABC A B C 的高为
．
……12 分
1
1
1
23．(2011•新课标，文 18)如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB= 600 ，
AB = 2AD, PD ⊥底面 ABCD．
(Ⅰ)证明： PA  BD ；
(Ⅱ)若 PD= AD=1，求棱锥 D PBC 的高．
【解析】(
)
Ⅰ因为DAB  60, AB  2AD ， 由余弦定理得 BD  
3AD
从而 BD2+AD2= AB2，故 BDAD
又 PD底面 ABCD，可得 BD PD
所以 BD平面 PAD．故 PABD
(
)
Ⅱ如图，作 DE PB，垂足为 E．已知 PD底面 ABCD，则
知 BD AD，又 BC//AD，所以 BC BD．
故 BC平面 PBD，BC DE．
PD BC．由(
)
Ⅰ
则 DE平面 PBC．
由题设知，PD=1，则 BD= 3 ，PB=2，
3
根据 BE·PB=PD·BD，得 DE=
，
2
3
即棱锥 D—PBC 的高为
.
2
24．(2019 江苏 16)如图，在直三棱柱 ABC－A B C 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC．
1
1
1
求证：(1)A B ∥平面 DEC ；
1
1
1
(2)BE⊥C1E．
证明：(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
所以 ED∥AB．
在直三棱柱 ABC-A B C 中，AB∥A B ，
1
1
1
1 1
所以 A B ∥ED．
1
1

1 1
又因为 ED⊂平面 DEC ，A B 
平面 DEC1，
1
所以 A B ∥平面 DEC ．
1
1
1
(2)因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC．
因为三棱柱 ABC-A B C 是直棱柱，所以 CC ⊥平面 ABC．
1
1
1
1
又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE．
因为 C C⊂平面 A ACC ，AC⊂平面 A ACC ，C C∩AC=C，
1
1
1
1
1
1
所以 BE⊥平面 A ACC ．
1
1
因为 C E⊂平面 A ACC ，所以 BE⊥C E．
1
1
1
1
25．(2018 江苏)在平行六面体 ABCD  A B C D 中， AA  AB ， AB  B C ．
1
1
1
1
1
1
1 1
求证：(1) AB∥平面 A B C ；
1
1
(2)平面 ABB A 平面 ABC ．
1
1
1
【证明】(1)在平行六面体 ABCD  A B C D 中， AB ∥ A B ．
1
1
1
1
1 1
因为 AB 平面 A B C ， A B 平面 A B C ，
1
1
1
1
1 1
所以 AB ∥平面 A B C ．
1
1
(2)在平行六面体 ABCD  A B C D 中，四边形 ABB A 为平行四边形．
1
1
1
1
1 1
又因为 AA  AB ，所以四边形 ABB A 为菱形，
1
1 1
因此 AB ⊥ A B ．
1
1
又因为 AB ⊥ B C ， BC∥ B C ，
1
1
1
1 1
所以 AB1⊥ BC．
又因为 A B  BC= B ， A B 平面 ABC ， BC 平面 ABC 
，
1
1
1
1
所以 AB ⊥平面 ABC ．
1
1
因为 AB 平面 ABB A ，
1
1 1
所以平面 ABB A ⊥平面 ABC ．
1
1
1
26．(2017 江苏)如图，在三棱锥 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E、F(E 与 A、
D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)AD⊥AC．
【解析】证明：(1)在平面 ABD 内，因为 AB 
AD ，

EF  AD
，
所以 EF ∥ AB ．
ABC
，
又因为EF 平面 ABC， AB 
平面
所以 EF ∥平面
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，
ABD 
BCD= BD
ABC
．
平面
平面
，
BC 平面 BCD， BC  BD，
所以BC 平面 ABD．
因为 AD平面 ABD，所以 BC  AD ．
又 AB 
AD ，

BC  AB  B ， AB 
平面 ABC， BC 平面
ABC
，
所以 AD⊥平面ABC ，

AC
ABC
，
又因为
平面
AD  AC
所以
．
27．(2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ
的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ，E G 的长分别为 14cm 和 62cm．分别
在
1
1
容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均
忽略不计)
(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC1 上，求l 没入水中部分的长
度；
(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l 没入水中部分的长
度．
【解析】(1)由正棱柱的定义，CC1 平面 ABCD，
所以平面 A ACC 平面 ABCD，CC  AC ．
1
1
1
记玻璃棒的另一端落在CC1 上点 M 处．
因为 AC 10 7 ， AM  40．
3
所以MN  40 2 (10 7) 2 30，从而sinMAC  
．
4
记 AM 与水平的交点为 P ，过 P 作 PQ  AC ，Q 为垂足，
1
1
1
1
1
则 PQ  平面 ABCD，故 PQ 12，
1
1
1
1
P
1Q
sinMAC
1
从而AP1 
16．
答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cm．
l
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)
(2)如图，O，O 是正棱台的两底面中心．
1
由正棱台的定义，OO ⊥平面EFGH
，
1
E1EGG1⊥平面 EFGH ，OO 
EG
．
所以平面
⊥
1
E1EGG1⊥平面 E FG H ，OO 
E1G
同理，平面
⊥
．
1
1
1
1
1
1
记玻璃棒的另一端落在GG
N
上点 
处．
1
G 
GK 
E G
，
1
K 为垂足， 则GK =OO1 =32．
过
作
⊥
1
EG = 14 
E G = 62
，
因为
，
1
1
6214
KG
 24 ，从而GG1  KG1
2 GK 2  24 2 32  40
2
所以
=
．
1
2

4
∠EGG ,∠ENG  , 
sin  sin( ∠KGG )  cos∠KGG 
设
则
．
1
1
1
2
5

3
5
因为
  ，所以cos  

．
2
40
14
7

 

在△ENG 中，由正弦定理可得
，解得sin
．
sin 
sin
25

24
因为0    
，所以cos 
．
2
25
于是sin∠NEG  sin( )  sin(  )  sin cos cos sin
  
( 3)
4 24
7 3 ．
5 25
5 
25 5
EN
P
P
2
PQ2 
EG

，Q
P2Q
EFGH
⊥平面
PQ
，故 
=12，从而
2 
2
记
与水面的交点为 
，过
作
为垂足，则
2
2
2
2
P
2Q
sin∠NEG
2
EP
 20．
=
2
答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
28．(2014 山东)如图，四棱锥 P ABCD 中， AP  平面PCD， AD∥BC ，
1
l
AB  BC  AD, E, F 分别为线段 AD, PC 的中点．
2
(Ⅰ)求证： AP∥平面BEF ；
(Ⅱ)求证： BE  平面PAC ．
【解析】(Ⅰ)设 AC BE O ，连结 OF，EC，
1
由于 E 为 AD 的中点， AB  BC  AD, AD / /BC ，
2
所以 AE / /BC, AE  AB  BC ,
因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点，又 F 为 PC 的中点 
，
因此在PAC 中，可得 AP/ /OF ．
又OF 平面 BEF ， AP 平面 BEF ，所以 AP ∥平面 BEF ．
(Ⅱ)由题意知， ED / /BC, ED  BC ，所以四边形 BCDE 为平行四边形，
因此 BE / /CD．又 AP 平面 PCD，所以 AP CD，因此 AP  BE ．
因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE  AC ．
又 AP AC  A ，AP，AC平面 PAC，所以 BE  平面 PAC ．
29．(2014 江苏)如图，在三棱锥 P  ABC 中， D ，E，F 分别为棱
PA  6, BC 8,DF 5.
PC, AC, AB
PA  AC
的中点．已知 
，
求证：(Ⅰ)直线 PA ∥平面 DEF ；
(Ⅱ)平面 BDE 平面 ABC ．
【解析】(Ⅰ)∵ D，E 为 PC，AC 中点，∴DE∥PA
∵ PA 平面 DEF，DE 平面 DEF，∴PA∥平面 DEF
1
2
(Ⅱ)∵ D，E 为 PC，AC 中点，∴ DE  PA  
3
1
2
∵ E ，F 为 AC，AB 中点，∴ EF  BC  4
DE 2 EF 2  DF2 ，∴DEF  90°，∴DE⊥EF
∴
∵ DE//PA，PA  AC ，∴ DE  AC
∵ AC  EF  E ，∴DE⊥平面 ABC
∵DE平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC．
P ABCD 中，AB 平面
PAD ，AB / /CD, PD  AD ，E 是 PB
中
30．(2012 广东)如图所示，在四棱锥
1
F 
DC
是
DF  AB 
PH 为PAD 
AD
点，
上的点，且
，
中
边上的高．
2
PH 平面ABCD；
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)若 PH 1, AD  2,FC 1，求三棱锥E BCF 的体积；
EF 
PAB
．
(Ⅲ)证明：
平面
AB 平面 PAD 
PH  
PAD  PH  AB
【解析】(Ⅰ)
，
面
PH  AD, AD AB  A  PH  面 ABCD
又
1
1
2
E
PB 中点 
点 
到面
 
E
BCF
h  PH 
的距离
(Ⅱ) 
是
2
1
1 1
1
1
2
E BCF
V  S
h   FC ADh  1 2  
三棱锥
的体积
BCF
3
3 2
6
2 
12
PA 的中点为G
DG, EG ， PD  AD DG  PA
，
(Ⅲ)取
，连接
AB 平面 PAD  
PAD  
PAB  DG  
PAB
又
点
面
面
面
，
1
1
E,G
PB, PA
 EG/  /  AB, DF/  /  AB  EG/  /  DF  DG / /EF ，得 ：EF 
PAB
平面 
．
是棱
的中点
2
2
31．(2011 江苏)如图，在四棱锥 P  ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD， AB  AD ，
BAD=60°， E 、 F 分别是 AP 、 AD 的中点．
求证：(Ⅰ)直线 EF ∥平面 PCD；
(Ⅱ)平面 BEF ⊥平面 PAD ．
【证明】：(Ⅰ)在△PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF//PD．
又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF//平面 PCD．
(Ⅱ)连结 DB，因为 AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，
因为 F 是 AD 的中点，
所以 BF⊥AD．
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，
所以 BF⊥平面 PAD．
又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD．
32．(2019 江苏 16)如图，在直三棱柱 ABC－A B C 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC．
1
1
1
求证：(1)A B ∥平面 DEC ；
1
1
1
(2)BE⊥C1E．
证明：(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
所以 ED∥AB．
在直三棱柱 ABC-A B C 中，AB∥A B ，
1
1
1
1 1
所以 A B ∥ED．
1
1

1 1
又因为 ED⊂平面 DEC ，A B 
平面 DEC1，
1
所以 A B ∥平面 DEC ．
1
1
1
(2)因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC．
因为三棱柱 ABC-A B C 是直棱柱，所以 CC ⊥平面 ABC．
1
1
1
1
又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE．
因为 C C⊂平面 A ACC ，AC⊂平面 A ACC ，C C∩AC=C，
1
1
1
1
1
1
所以 BE⊥平面 A ACC ．
1
1
因为 C E⊂平面 A ACC ，所以 BE⊥C E．
1
1
1
1
33．(2011 江苏)如图，在四棱锥 P  ABCD 中，平面 PAD  平面 ABCD， AB  AD ，
BAD=60°， E 、 F 分别是 AP 、 AD 的中点．
求证：(
)
Ⅰ直线 EF ∥平面 PCD；
(Ⅱ)平面 BEF 平面 PAD ．
【证明】(
)
Ⅰ在△PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中
点，
所以 EF//PD．
又因为 EF平面 PCD，PD 平面 PCD，
所以直线 EF//平面 PCD．
(Ⅱ)连结 DB，因为 AB=AD，∠BAD=60°，
所以ABD 为正三角形，
因为 F 是 AD 的中点，
所以 BFAD．
因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，
所以 BF平面 PAD．
又因为 BF平面 BEF，
所以平面 BEF 平面 PAD．
考点 81 空间几何体的截面问题
1．(2018•新课标Ⅰ，理 12)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此
正
方体所得截面面积的最大值为(
)
3 3
4
2 3
3 2
4
3
A．
B．
C．
D．
3
2
【答案】A
【解析】正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，如图：
2
所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时， 截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长
，
2
3 ( 2)
3 3
4
 截此正方体所得截面最大值为：6
2 
，故选 A ．
4
2
2．(2015•新课标Ⅱ，理 19)如图，长方体 ABCD  A B C D 中， AB 16 ， BC 10， AA  8 ，点 E ， F 
分
1
1
1
1
1
别在 A B ， D C 上， A E  D F  4，过点 E ， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方
形．
1
1
1
1
1
1
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线 AF 与平面 所成角的正弦值．
【解析】(1)交线围成的正方形 EFGH 如图：
(2)作 EM  AB ，垂足为 M ，则： EH  EF  BC 10 ， EM  AA1 8 ，
 MH  EH
2  EM 6 ，AH 10。
2
以边 DA， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则：
A(10 ，0，0) ， H(10，10，0) ， E(10，4，8) ， F(0 ，4，8) ， EF  (10, 0, 0),EH  (0, 6,8) 
。


 10x  0
nEF
设n  (x, y,z) 为平面 EFGH 的法向量，则： 

，取 z  3，则 n  (0, 4, 3) ，

nEH  6y 8z  0




40
4 5
若设直线 AF 和平面 EFGH 所成的角为 ，则 ：sin | cos  AF,n |


，直线 AF 与平面 所
1805 
15
4 5
成角的正弦值为
．
15