专题23 空间点线面的位置关系
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
文18
空间垂直问题及其应用
线面垂直的性质、线面垂直的判断、三棱锥高的计算，
空间想象能力、逻辑推理能力
2013
卷2
理4
空间平行问题
空间垂直问题及其应用
空间线线、线面、面面平行、垂直判定与性质及异面直
线的知识，空间想象能力
2014
卷1
文19[来源:Z。xx。
k.Com]
空间垂直问题及其应用
空间线线、线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等
基础知识，空间想象能力、推理论证能力
2015
卷2
理19
空间几何体的截面问题
截面问题及利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力与
运算求解能力
2016
卷3[来
源:Zxxk.Com]
文19[来
源:Z,xx,k.Com][来源:Zxxk.Com]
空间平行问题[来源:Z§xx§k.Com][来源:Z|xx|k.Com]
以四棱锥为载体线面平行的判定与性质与简单几何体
体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力[来源:学|科|网][来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网Z#X#X#K]
卷2
文19
空间垂直问题及其应用
折叠问题中的线线垂直的判定、简单几何体的体积的计
算，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
理14
空间平行问题
空间垂直问题及其应用
线性、线面、面面平行与垂直的判定与性质，逻辑推理
能力
2017
卷3
文19
空间垂直问题及其应用
主要以三棱锥为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的
判定与性质及简单几何体的体积的计算，逻辑推理能力
与运算求解能力
卷3
文10
空间垂直问题及其应用
主要以正方体为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的
判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力
卷2
文18
空间平行问题
线面平行的判定与性质、简单几何体的计算，逻辑推理
能力与运算求解能力
卷1
文6
空间平行问题
线面平行的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力
2018
卷2
文19
空间垂直问题及其应用
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、点到平面距离
的计算，逻辑推理能力与运算求解能力
卷1
文18
空间垂直问题及其应用
折叠问题中的空间面面的判定与性质及简单几何体的
体积，逻辑推理能力及运算求解能力
卷1
理16
空间几何体的截面问题
本题线面角及截面的最大值，逻辑推理能力及运算求解
能力
2019
卷1
文19
空间平行问题
空间线面平面的判定及利用等体积法求点到面的距离，
逻辑推理能力及运算求解能力
卷1
文16
空间垂直问题及其应用
线面垂直的判定与性质及点到面的距离，逻辑推理能
力与运算求解能力
卷3
理8 文8
空间位置关系判定
空间两直线的位置关系及空间想象能力
卷2
理7 文7
空间平行问题
面面平行的判定及充要条件
卷1
文19
空间垂直关系，面积、体积
面面垂直的证明，考查锥体的体积公式
卷2
文20
空间位置关系判定
线线平行和面面垂直的证明，四棱锥体积的计算
卷3
文19
空间位置关系判定
线线垂直的证明，点与平面位置关系的证明
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点78 空间位置关系的判定
1/19
2021 年高考仍将小题重点考查平行与垂直的判定与性质，为
基础题，若为截面问题，则为中档题，题型为选择填空题．解
答题，第一小题，多为证明线线、线面、面面垂直与平行的
判定与性质，第二小题，文科多为计算体积和表面积的计算
或点到面的距离，难度为中档题．
考点79 空间平行问题
7/19
考点80 空间垂直问题及其应用
11/19
考点81 空间几何体的截面问题
2/19
十年试题分类*探求规律
考点78 空间位置关系的判定
1．(2019•新课标Ⅲ，理8 文8)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD
为正三角形，平面ECD 平面ABCD ，
M 是线段ED 的中点，则(
)
A．BM
EN
，且直线BM ，EN 是相交直线
B．BM
EN
，且直线BM ，EN 是相交直线
C．BM
EN
，且直线BM ，EN 是异面直线
D．BM
EN
，且直线BM ，EN 是异面直线
【答案】B
【解析】点N 为正方形ABCD 的中心，ECD
为正三角形，平面ECD 平面ABCD ，M 是线段ED 的中
点，
BM
平面BDE ，EN 平面BDE ，
BM
是BDE
中DE 边上的中线，EN 是BDE
中BD 边上的
中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE
a
，则
2
BD
a
，
2
2
3
5
2
4
4
BE
a
a
a
，
6
2
BM
a
，
2
2
3
1
4
4
EN
a
a
a
，
BM
EN
，故选B ．
2．(2019•新课标Ⅰ，文16)已知
90
ACB
，P 为平面ABC 外一点，
2
PC
，点P 到
ACB
两边AC ，BC
的距离均为
3 ，那么P 到平面ABC 的距离为
．
【答案】
2
【解析】因为
90
ACB
，P 为平面ABC 外一点，
2
PC
，点P 到
ACB
两边AC ，BC 的距离均为
3 ，
过点P 作PD
AC
，交AC 于D ，作PE
BC
，交BC 于E ，过P 作PO 平面ABC ，交平面ABC 于O ，
连结OD ，OC ，则
3
PD
PE
，
2
2
2
( 3)
1
CD
CE
OD
OE
，
2
2
3 1
2
PO
PD
OD
，
P
到平面ABC 的距离为
2 ．
考点79
空间平行问题
1．(2019•新课标Ⅱ，理7 文7)设，为两个平面，则
/ /
的充要条件是(
)
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．，平行于同一条直线
D．，垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于A ，内有无数条直线与平行，
或
/ /
；
对于B ，内有两条相交直线与平行，
/ /
；
对于C ，，平行于同一条直线，
或
/ /
；
对于D ，，垂直于同一平面，
或
/ /
．故选B ．
2．(2017•新课标Ⅰ，文6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于选项B ，由于
/ /
AB
MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；对于选项C ，由于
/ /
AB
MQ ，
结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项D ，由于
/ /
AB
NQ ，结合线面平行判定定理可知D 不
满足题意；所以选项A 满足题意，故选A ．
3．(2018 浙江)已知平面，直线m ，n 满足m
，n
，则“ m ∥n ”是“ m ∥”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若m
，n
，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥．若m ∥，m
，n
，
不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“ m ∥”的充分不必要条件．故选A．
4．(2019•新课标Ⅰ，文19)如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面是菱形，
1
4
AA
，
2
AB
，
60
BAD
，
E ，M ，N 分别是BC ，
1
BB ，
1A D 的中点．
(1)证明：
/ /
MN
平面
1
C DE ；
(2)求点C 到平面
1
C DE 的距离．
【解析】证明：(1)连结
1
B C ，ME ，
M
，E 分别是
1
BB ，BC 的中点，
1
/ /
ME
B C
，又N 为
1A D 的中点，
1
1
2
ND
A D
，
由题设知
1
1 / /
A B
DC
，
1
1
/ /
B C
A D
，
/ /
ME
ND
，
四边形MNDE 是平行四边形，
/ /
MN
ED ，
又MN 平面
1
C DE ，
/ /
MN
平面
1
C DE ．
解：(2)过C 作
1
C E 的垂线，垂足为H ，
由已知可得DE
BC
，
1
DE
C C
，
DE
平面
1
C CE ，故DE
CH
，
CH
平面
1
C DE ，故CH 的长即为C 到时平面
1
C DE 的距离，
由已知可得
1
CE ，
1
4
CC
，
1
17
C E
，故
4 17
17
CH
，
点C 到平面
1
C DE 的距离为4 17
17
．
5．(2017•新课标Ⅱ，文18)如图，四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB
BC
AD
，
90
BAD
ABC
．
(1)证明：直线
/ /
BC
平面PAD ；
(2)若
PCD
面积为2 7 ，求四棱锥P
ABCD
的体积．
【解析】(1)证明：四棱锥P
ABCD
中，
90
BAD
ABC
．
/ /
BC
AD
，
AD
平面PAD ，BC 平
面PAD ，
直线
/ /
BC
平面PAD ；
(2)解：四棱锥P
ABCD
中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB
BC
AD
，
90
BAD
ABC
．设
2
AD
x
，
则AB
BC
x
，
2
CD
x
，O 是AD 的中点，
连接PO ，OC ，CD 的中点为：E ，连接OE ，
则
2
2
OE
x
，
3
PO
x
，
2
2
7
2
x
PE
PO
OE
，
PCD
面积为2 7 ，可得：1
2 7
2 PE CD
，
即：1
7
2
2 7
2
2
x
x
，解得
2
x
，
2 3
PO
．
则
1
1
1
1
(
)
(2
4)
2
2 3
4 3
3
2
3
2
P
ABCD
V
BC
AD
AB
PO
．
6．(2016•新课标Ⅲ，文19)如图，四棱锥P
ABCD
中，PA 底面ABCD ，
/ /
AD
BC ，
3
AB
AD
AC
，
4
PA
BC
，M 为线段AD 上一点，
2
AM
MD
，N 为PC 的中点．
(Ⅰ)证明
/ /
MN
平面PAB ；
(Ⅱ)求四面体N
BCM
的体积．
【解析】证明：(Ⅰ)取BC 中点E ，连结EN ，EM ，
N
为PC 的中点，
NE
是PBC
的中位线
/ /
NE
PB
，
又
/ /
AD
BC
，
/ /
BE
AD
，
3
AB
AD
AC
，
4
PA
BC
，M 为线段AD 上一点，
2
AM
MD
，
1
2
2
BE
BC
AM
，
四边形ABEM 是平行四边形，
/ /
EM
AB
，平面
/ /
NEM
平面PAB ，
MN
平面NEM ，
/ /
MN
平面PAB ．
(Ⅱ)取AC 中点F ，连结NF ，
NF
是PAC
的中位线，
/ /
NF
PA
，
1
2
2
NF
PA
，
又
PA
面ABCD ，
NF
面ABCD ，
如图，延长BC 至G ，使得CG
AM
，连结GM ，
/ /
AM
CG
，四边形AGCM 是平行四边形，
3
AC
MG
，
又
3
ME
，
2
EC
CG
，
MEG
的高
5
h
，
1
1
4
5
2 5
2
2
BCM
S
BC
h
，
四面体N
BCM
的体积
1
1
4 5
2 5
2
3
3
3
N
BCM
BCM
V
S
NF
．
7．(2013 辽宁)如图，AB 是圆O的直径，PA 垂直圆O所在的平面，C 是圆O上的点．
(Ⅰ)求证：BC
PAC
平面
；
(Ⅱ)设Q 为PA 的中点，G 为AOC
的重心，求证：QG∥平面PBC ．
【解析】(Ⅰ)由AB 是圆O 的直径，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC，
又PA∩AC=A,PA平面PAC，AC平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
(Ⅱ)连OG 并延长交AC 与M，链接QM，QO．
由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点，
由G 为PA 中点，得QM//PC．
又O 为AB 中点，得OM//BC．
因为QM∩MO=M,QM平面QMO．
所以QG//平面P BC．
8．(2012 江苏)如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，
1
1
1
1
A B
AC
，D
E
，分别是棱
1
BC
CC
，
上的点(点D 不同于
点C)，且AD
DE
F
，为
1
1
B C 的中点．
求证：(Ⅰ)平面ADE 平面
1
1
BCC B ；
(Ⅱ)直线
1
//
A F
平面ADE ．
【解析】(Ⅰ)因为
1
1
1
ABC
A B C
是直三棱柱，所以
1
CC 平面ABC,
又AD 平面ABC ,所以
1
CC
AD
，
又因为AD
1
,
,
DE CC
DE 平面
1
1
BCC B ，
1
CC
,
DE
E
所以AD 平面
1
1
BCC B ,
又AD平面ADE,
所以平面ADE平面
1
1
BCC B ．
(Ⅱ)因为
1
1
1
1
A B
AC
，F 为
1
1C
B
的中点，
所以
1
1
1
A F
B C
．因为
1
CC 平面
1
1
1
A B C ，
且
1A F 平面
1
1
1
A B C ，
所以
1
CC
1 .
A F
又因为
1
CC ，
1
1
B C 平面
1
1
BCC B ，
1
CC
1
1
1
B C
C
，
所以
1A F 平面
1
1
BCC B ，
所以
1
//
A F
AD．
又AD平面ADE ，
1A F 平面ADE ，
所以
1
//
A F
平面ADE ．
考点80
空间垂直问题
1．(2017•新课标Ⅲ，文10)在正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为棱CD 的中点，则(
)
A．
1
1
A E
DC
B．
1A E
BD
C．
1
1
A E
BC
D．
1A E
AC
【答案】C
【解析】连
1
B C ，由题意得
1
1
BC
B C
，
1
1
A B
平面
1
1
B BCC ，且
1
BC 平面
1
1
B BCC ，
1
1
1
A B
BC
，
1
1
1
1
A B
B C
B
，
1
BC
平面
1
1
A ECB ，
1A E
平面
1
1
A ECB ，
1
1
A E
BC
，
故选C ．
2．(2013 新课标Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面，n ⊥平面，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，
l ，l ，则
A．∥且l ∥
B．⊥且l ⊥
C．与相交，且交线垂直于l
D．与相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】若∥，又m ⊥平面，则m ⊥平面，又∵n ⊥平面，∴m ∥n ，与m 与n 异面矛盾，
故A 错；
若l ⊥，∵n ⊥平面，∴l ∥n ，与l ⊥n 矛盾；
若与相交，设交线为a ，过n 上一点作直线b ∥m ，设b 与n 确定的平面为，∵m ⊥l ，∴b ⊥l ，
∵l ⊥n ，∴l ⊥，又m ⊥平面，n ⊥平面，∴m ⊥a ，n ⊥a ，∴b ⊥a ，∴a ⊥，则a ∥l ，
故选D．
3．(2011 辽宁)如图，四棱锥S—ABCD 的底面为正方形，SD 底面ABCD，则下列结论中不正确
．．．的是
A．AC SB
B．AB∥平面SCD
C．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角
D．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
【答案】D
【解析】选项A 正确，∵SD 平面ABCD ，而AC 在平面ABCD 内，所以AC
SD
．因为ABCD 为
正方形，所以AC
BD
，而BD 与SD 相交，所以AC 平面SBD ，所以AC
SB
；选项B 正确，因为
AB
CD
，而CD 在平面SCD 内，AB 不在平面SCD 内，所以AB 平面SCD ；选项C 正确，设AC 与
BD 的交点为O ，连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角
ASO
，SC 与平面SBD 所成的角
CSO
，易
知这两个角相等；选项D 错误，AB 与SC 所成的角等于
SCD
，而DC 与SA 所成的角等于
SAB
，易
知这两个角不相等，故选D．
4．(2015 福建)若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面
，则“l
m
”是“l ∥”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“ m
且l
m
”推出“l
或l
∥
”，但由“m
且l
∥
”可推出“l
m
”，所以
“l
m
”是“l
∥
”的必要而不充分条件，故选B ．
5．(2014 广东)若空间中四条两两不同的直线1
2
3
4
, , ,
l l l l ，满足1
2
2
3
3
4
,
,
l
l l
l l
l
，则下面结论一定正确的
是
A．1
4
l
l
B．1
4
/ /
l
l
C．1
4
,
l l 既不垂直也不平行
D．1
4
,
l l 的位置关系不确定
【答案】D
【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D．
6．(2014 浙江)设
,
m n 是两条不同的直线，
,
是两个不同的平面
A．若m
n
，
//
n ，则m
B．若
//
m
，
则m
C．若
,
,
m
n
n
则m
D．若m
n
，n
，
，则m
【答案】C
【解析】选项
, ,
A B D 中m 均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选C ．
7．(2014 辽宁)已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若
/ / ,
/ / ,
m
n
则
/ /
m
n
B．若m
，n
，则m
n
C．若m
，m
n
，则
/ /
n
D．若
/ /
m
，m
n
，则n
【答案】B
【解析】对于选项A，若
/ / ,
/ / ,
m
n
，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对
于选项C，若m
，m
n
，则n
或
/ /
n
，C 错误；对于选项D，若
/ /
m
，m
n
，则
/ /
n
或
n
或n 与相交，D 错误．故选B．
8．(2013 广东)设m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A．若
,m
,n
,则m
n
B．若
//
,m
, n
,则
//
m
n
C．若m
n
, m
, n
,则
D．若m
,
//
m
n ,
//
n
,则
【答案】D
【解析】A 中
,
m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中
,
m n 还可能为异面；C 中m 应与中两条相交
直线垂直时结论才成立，选D．
9．(2012 浙江)设l 是直线，
,
是两个不同的平面
A．若l ∥，l ∥，则∥
B．若l ∥，l ⊥，则⊥
C．若⊥，l ⊥，则l ⊥
D．若⊥, l ∥，则l⊥
【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥，l ⊥，则．如选项A：
l ∥，l ∥时，⊥或∥；选项C：若⊥，l ⊥，l ∥或l
；
选项D：若⊥, l ⊥，l ∥或l⊥．
10．(2012 浙江)已知矩形ABCD ，
1
AB ，
2
BC
．将ABD
沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻
折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
D．对任意位置，三对直线“ AC 与BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与BC ”均不垂直
【答案】B
【解析】过点A 作AE
BD
，若存在某个位置，使得AC
BD
，则BD 面ACE ，从而有BD
CE
，
计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC
CD
时，因为BC
CD
，所以CD 面ABC ，
从而可得AB
CD
；若AD
BC
，因为BC
CD
，所以BC 面ACD ，从而可得BC
AC
，而
1
2
AB
BC
，所以这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B．
11．(2011 浙江)下列命题中错误
．．的是
A．如果平面
平面
，那么平面内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C．如果平面
平面
，平面
平面
，
=l
，那么l
平面
D．如果平面
平面
，那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】D
【解析】对于D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还
可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的，故选D．
12．(2016•新课标Ⅱ，理14)，是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m
n
，m
，
/ /
n
，那么
．
②如果m
，
/ /
n
，那么m
n
．
③如果
/ /
，m
，那么
/ /
m
．
④如果
/ /
m
n ，
/ /
，那么m 与所成的角和n 与所成的角相等．
其中正确的命题是
(填序号)
【答案】②③④
【解析】①如果m
n
，m
，
/ /
n
，不能得出
，故错误；
②如果
/ /
n
，则存在直线l
，使
/ /
n
l ，由m
，可得m
l
，那么m
n
．故正确；
③如果
/ /
，m
，那么m 与无公共点，则
/ /
m
，故正确
④如果
/ /
m
n ，
/ /
，那么m ，n 与所成的角和m ，n 与所成的角均相等，故正确；
13．(2019 北京理12)已知l，m 是平面a 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l
m
；
②m
a
P
；
③l
a
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______．
【答案】若l
l
m
，
，则m
P
或m
P
，l
，则l
m
．
【解析】由l，m 是平面α外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得：若l
l
m
，
，则m
P
．
由线面平行、垂直的性质定理得m
P
，l
，则l
m
．
14．(2020 全国I 文19)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC
是底面的内接正三角形，P
为DO 上一点，
90
APC
．
(1)证明：平面PAB ⊥平面PAC ；
(2)设
2
DO
，圆锥的侧面积为
3，求三棱锥P
ABC
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
6
8
．
【思路导引】(1)根据已知可得PA
PB
PC
，进而有
PAC
PBC
△
△
，可得
90
APC
BPC
，
即PB
PC
，从而证得PC 平面PAB ，即可证得结论；
(2)将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边
长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO
中，求出PO ，即可求出结论．
【解析】(1)
D
Q
为圆锥顶点，O 为底面圆心，
OD
平面ABC ，
P
在DO 上，
,
OA
OB
OC
PA
PB
PC
，
ABC
是圆内接正三角形，
AC
BC
，
PAC
PBC
△
△
，
90
APC
BPC
，即
,
PB
PC PA
PC
，
,
PA
PB
P
PC
平面
,
PAB PC 平面PAC ，平面PAB 平面PAC ；
(2)设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为
3 ,
3
rl
rl
，
2
2
2
2
OD
l
r
，解得
1,
3
r
l
，
2 sin 60
3
AC
r
，
在等腰直角三角形APC 中，
2
6
2
2
AP
AC
，
在Rt PAO
中，
2
2
6
2
1
4
2
PO
AP
OA
，
三棱锥P
ABC
的体积为
1
1
2
3
6
3
3
3
2
4
8
P ABC
ABC
V
PO S
△
．
15．(2020 全国Ⅱ文20)如图，已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的底面是正三角形，侧面
1
1
BB C C 是矩形，
,
M
N 分
别为
1
1
,
BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过
1
1
B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．
(1)证明：
1
AA // MN ，且平面
1A AMN 平面
1
1
EB C F ；
(2)设O 为
1
1
1
A B C
△
的中心，若
6
AO
AB
，AO //平面
1
1
EB C F ，且
3
MPN
，求四棱锥
1
1
B
EB C F
的体
积．
【答案】(1)证明见解析；(2) 24 ．
【思路导引】(1)由
,
M N 分别为BC ，
1
1
B C 的中点，
1
//
MN CC ，根据条件可得
1
1
/ /
AA
BB ，可证
1
MN AA
//
，
要证平面
1
1
EB C F 平面
1A AMN ，只需证明EF 平面
1A AMN 即可；
(2)根据已知条件求得
1 1
EB C F
S四边形
和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得
1 1
B EB C F
V
．
【解析】(1)
,
M N 分别为BC ，
1
1
B C 的中点，
1
//
MN BB
，又
1
1
/ /
AA
BB ，
1
//
MN AA
在等边
ABC
中，M 为BC 中点，则BC
AM
，又侧面
1
1
BB C C 为矩形，
1
BC
BB
，
1
//
MN BB
，MN
BC
，由MN
AM
M
，
,
MN AM 平面
1A AMN ，BC ⊥平面
1A AMN ，
又
1
1//
B C
BC ，且
1
1
B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，
1
1//
B C
平面ABC ，
又
1
1
B C 平面
1
1
EB C F ，且平面
1
1
EB C F 平面ABC
EF
，
1
1 / /
B C
EF
，
//
EF BC
，
又
BC
平面
1A AMN ，EF 平面
1A AMN ，EF
平面
1
1
EB C F ，平面
1
1
EB C F 平面
1A AMN ．
(2)过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图
AO //平面
1
1
EB C F ，AO 平面
1A AMN ，平面
1A AMN 平面
1
1
EB C F
NP
，
//
AO NP
，
又
//
NO AP ，
6
AO
NP
．O 为
1
1
1
A B C
△
的中心，
1
1
1
1
sin 60
6 sin 60
3
3
3
ON
AC
，故：
3
ON
AP
，则
3
3 3
AM
AP
．
平面
1
1
EB C F 平面
1A AMN ，平面
1
1
EB C F 平面
1A AMN
NP
，MH 平面
1A AMN ，
MH 平面
1
1
EB C F ，又在等边
ABC
中EF
AP
BC
AM
，即
3
6
2
3 3
AP BC
EF
AM
．
由(1)知，四边形
1
1
EB C F 为梯形，四边形
1
1
EB C F 的面积为：
1 1
1
1
2
6
=
6
24
2
2
EB C F
EF
BC
S
NP
四边形
，
1 1
1 1
1
3
B EB C F
EB C F
V
S
h
四边形
，
h 为M 到PN 的距离
2 3 sin 60
3
MH
，
1
24 3
24
3
V
．
16．(2020 全国Ⅲ文19)如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点
,
E F 分别在棱
1
1
,
DD
BB 上，且
1
1
2
,
2
DE
ED
BF
FB
．证明：
(1)当AB
BC
时，EF
AC
；
(2)证明：点
1
C 在平面AEF 内．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【思路导引】(1)根据正方形性质得AC
BD
，根据长方体性质得
1
AC
BB
，进而可证AC 平面
1
1
BB D D ，
即得结果；(2)只需证明
1//
EC
AF 即可，在
1
CC 上取点M 使得
1
2
CM
MC
，再通过平行四边形性质进行
证明即可．
【解析】
(1)因为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，所以
1
BB 平面ABCD
1
AC
BB
，
因为长方体
1
1
1
1,
ABCD
A B C D AB
BC
，所以四边形ABCD 为正方形
AC
BD
，
因为
1
1
,
BB
BD
B BB
BD
I
、
平面
1
1
BB D D ，因此AC 平面
1
1
BB D D ，
因为EF 平面
1
1
BB D D ，所以AC
EF
．
(2)在
1
CC 上取点M 使得
1
2
CM
MC
，连
,
DM MF ，
因为
1
1
1
1
1
2
,
//
,
=
D E
ED DD
CC DD
CC
，所以
1
1
,
//
,
ED
MC ED MC
所以四边形
1
DMC E 为平行四边形，
1
//
DM EC
，因为
//
,
=
,
MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，
1
//
,
//
DM AF
EC
AF
，因此
1
C 在平面AEF 内．
17．(2020 江苏15)在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，AB
AC
，
1
B C 平面ABC ，,
E F 分别是 AC ，
1
B C 的
中点．
(1)求证：
/ /
EF
平面
1
1
AB C ；
(2)求证：平面
1
AB C 平面
1
ABB ．
【答案】见解析
【解析】(1)∵
,
E F 分别是AC ，
1
B C 的中点，∴
1
/ /
EF
AB ，
∵EF 平面
1
1
AB C ，
1
AB 平面
1
1
AB C ，∴
/ /
EF
平面
1
1
AB C ．
(2)∵
1
B C 平面ABC ，AB 面
1
ABB ，∴
1
B C
AB
，
又∵AB
AC
，
1
AC
B C
C
，AC 面
1
AB C ，
1
B C 面
1
AB C ，
∴AB 面
1
AB C ，∵AB 面
1
ABB ，∴平面
1
AB C 平面
1
ABB ．
18．(2018•新课标Ⅰ，文18)如图，在平行四边形ABCM 中，
3
AB
AC
，
90
ACM
，以AC 为折痕将
ACM
折起，使点M 到达点D 的位置，且AB
DA
．
(1)证明：平面ACD 平面ABC ；
(2) Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且
2
3
BP
DQ
DA
，求三棱锥Q
ABP
的体积．
【解析】(1)证明：在平行四边形ABCM 中，
90
ACM
，
AB
AC
，
又AB
DA
．且AD
AC
A
，
AB
面ADC ，
AB
面ABC ，
平面ACD 平面ABC ；
(2)
3
AB
AC
，
90
ACM
，
3 2
AD
AM
，
2
2 2
3
BP
DQ
DA
，
由(1)得DC
AB
，又DC
CA
，
DC
面ABC ，
三棱锥Q
ABP
的体积
1
1
3
3
ABP
V
S
DC
1
2
1
1
2
1
1
3 3
3
1
3
3
3
3
3
2
3
ABC
S
DC
．
19．(2018•新课标Ⅱ，文19)如图，在三棱锥P
ABC
中，
2 2
AB
BC
，
4
PA
PB
PC
AC
，O 为
AC 的中点．
(1)证明：PO 平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且
2
MC
MB
，求点C 到平面POM 的距离．
【解析】(1)证明：
2 2
AB
BC
，
4
AC
，
2
2
2
AB
BC
AC
，即ABC
是直角三角形，
又O 为AC 的中点，
OA
OB
OC
，
PA
PB
PC
，
POA
POB
POC
，
90
POA
POB
POC
，
PO
AC
，PO
OB
，
0
OB
AC
，
PO
平面ABC ；
(2)由(1)得PO 平面ABC ，
2
2
2 3
PO
PA
AO
，
在COM
中，
2
2
0
2 5
2
cos45
3
OM
OC
CM
OC CM
．
1
1
2 5
2 15
2 3
2
2
3
3
POM
S
PO
OM
，
1
2
4
2
3
3
COM
ABC
S
S
．
设点C 到平面POM 的距离为d ．由
P OMC
C
POM
V
V
1
1
3
3
POM
OCM
S
d
S
PO
，
解得
4 5
5
d
，
点C 到平面POM 的距离为4 5
5
．
20．(2017•新课标Ⅲ，文19)如图四面体ABCD 中，
ABC
是正三角形，AD
CD
．
(1)证明：AC
BD
；
(2)已知ACD
是直角三角形，AB
BD
，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE
EC
，求四面体ABCE 与
四面体ACDE 的体积比．
【解析】证明：(1)取AC 中点O ，连结DO 、BO ，
ABC
是正三角形，AD
CD
，
DO
AC
，BO
AC
，
DO
BO
O
，
AC
平面BDO ，
BD
平面BDO ，
AC
BD
．
(2)法一：连结OE ，由(1)知AC 平面OBD ，
OE
平面OBD ，
OE
AC
，
设
2
AD
CD
，则
1
OC
OA
，EC
EA
，
AE
CE
，
2
AC
，
2
2
2
EC
EA
AC
，
2
EC
EA
CD
，
E
是线段AC 垂直平分线上的点，
2
EC
EA
CD
，
由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
BC
BD
CD
BC
BE
CE
CBD
BC BD
BC BE
，
即
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
2
BE
BE
，解得
1
BE 或
2
BE
，
2
BE
BD
，
1
BE
，
BE
ED
，
四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ，
BE
ED
，
DCE
BCE
S
S
，
四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．
21．(2016•新课标Ⅱ，文19)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，
AE
CF
，EF 交BD 于点H ，将
DEF
沿EF 折到△D EF
的位置．
(Ⅰ)证明：AC
HD
；
(Ⅱ)若
5
AB
，
6
AC
，
5
4
AE
，
2 2
OD
，求五棱锥D
ABCFE
体积．
【解析】(Ⅰ)证明：菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE
CF
，
/ /
EF
AC
，且EF
BD
将DEF
沿EF 折到△D EF
的位置，
则D H
EF
，
/ /
EF
AC
，
AC
HD
；
(Ⅱ)若
5
AB
，
6
AC
，则
3
AO
，
0
4
B
OD
，
5
4
AE
，
5
AD
AB
，
5
15
5
4
4
DE
，
/ /
EF
AC
，
15
3
4
5
4
DE
EH
DH
AD
AO
OD
，
9
4
EH
，
9
2
2
EF
EH
，
3
DH
，
4
3
1
OH
，
3
HD
DH
，
2 2
OD
，
满足
2
2
2
HD
OD
OH
，
则OHD
为直角三角形，且OD
OH
，
又OD
AC
，AC
OH
O
，
即OD底面ABCD ，
即OD是五棱锥D
ABCFE
的高．
底面五边形的面积
9
(
6) 1
1
(
)
1
21
69
2
6
4
12
2
2
2
2
4
4
EF
AC OH
S
AC OB
，
则五棱锥D
ABCFE
体积
1
1
69
23 2
2 2
3
3
4
2
V
S OD
．
22．(2014新课标I，文19)如图，三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC
中，侧面
C
C
BB
1
1
为菱形，
C
B1
的中点为O，
且
AO
平面
C
C
BB
1
1
．
(I)证明：
;
1
AB
C
B
(II)若
1
AB
AC
,
,1
,
60
1
BC
CBB
求三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC
的高．
【解析】(I)连结
1
BC ，则O 是
1
B C 与
1
BC 的交点，∵侧面
1
1
BB C C 为菱形，∴
1
BC ⊥
1
B C ，
又∵AO ⊥平面
1
1
BB C C ，∴
1
B C ⊥AO ，∴
1
B C ⊥平面ABO ，∵AB 平面ABO ，
∴
1
B C ⊥AB ．
……6分
(II)作OD ⊥BC ，垂直为D，连结AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，∴OH⊥平面ABC．
∵
1
CBB
=
0
60 ，∴△
1
CBB 为正三角形，∵BC=1，可得OD=
3
4
．
∵AC⊥AB，∴OA=
1
1
2 B C = 1
2
．
∵OH
AD
OD OA
，且AD =
2
2
OD
OA
=
7
4
，得OH =
21
14
，
又∵O 是
1
B C 的中点，∴点
1B 到平面ABC 的距离为
21
7
，
故三棱锥
1
1
1
C
B
A
ABC
的高为
21
7
．
……12分
23．(2011•新课标，文18)如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
DAB
=
0
60 ，
AB = 2AD , PD ⊥底面ABCD ．
(Ⅰ)证明：PA
BD
；
(Ⅱ)若PD = AD =1，求棱锥D
PBC
的高．
【解析】(Ⅰ)因为
60 ,
2
DAB
AB
AD
，由余弦定理得
3
BD
AD
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD
又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD．故PABD
(Ⅱ)如图，作DEPB，垂足为E．已知PD 底面ABCD，则
PD BC．由(Ⅰ)
知BD AD，又BC//AD，所以BC BD．
故BC 平面PBD，BC DE．
则DE 平面PBC．
由题设知，PD=1，则BD=
3 ，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD，得DE= 2
3 ，
即棱锥D—PBC 的高为
.
2
3
24．(2019 江苏16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E．
证明：(1)因为D，E 分别为BC，AC 的中点，
所以ED∥AB．
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED．
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1．
(2)因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC．
因为三棱柱ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC．
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE．
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1．
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．
25．(2018 江苏)在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1
AA
AB
，
1
1
1
AB
B C
．
求证：(1) AB∥平面
1
1
A B C ；
(2)平面
1
1
ABB A 平面
1A BC ．
【证明】(1)在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，AB ∥
1
1
A B ．
因为AB 平面
1
1
A B C ，
1
1
A B 平面
1
1
A B C ，
所以AB ∥平面
1
1
A B C ．
(2)在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，四边形
1
1
ABB A 为平行四边形．
又因为
1
AA
AB
，所以四边形
1
1
ABB A 为菱形，
因此
1
AB ⊥
1A B ．
又因为
1
AB ⊥
1
1
B C ，BC ∥
1
1
B C ，
所以
1
AB ⊥BC ．
又因为
1A B BC = B ，
1A B 平面
1A BC ，BC 平面
1A BC ，
所以
1
AB ⊥平面
1A BC ．
因为
1
AB 平面
1
1
ABB A ，
所以平面
1
1
ABB A ⊥平面
1A BC ．
26．(2017 江苏)如图，在三棱锥A
BCD
中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F(E 与A、
D 不重合)分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
【解析】证明：(1)在平面ABD 内，因为AB
AD
，EF
AD
，
所以EF
AB
∥
．
又因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ，
所以EF ∥平面ABC ．
(2)因为平面ABD ⊥平面BCD，
平面ABD 平面BCD= BD ，
BC 平面BCD，BC
BD
，
所以BC 平面ABD ．
因为AD 平面ABD ，所以BC AD ．
又AB
AD
，BC
AB
B
，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ，
所以AD ⊥平面ABC ，
又因为AC 平面ABC ，
所以AD
AC
．
27．(2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ
的底面对角线AC 的长为10
7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
1
1
E G 的长分别为14cm 和62cm．分别在
容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均
忽略不计)
(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱
1
CC 上，求l 没入水中部分的长度；
(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱
1
GG 上，求l 没入水中部分的长度．
【解析】(1)由正棱柱的定义，
1
CC 平面ABCD ，
所以平面
1
1
A ACC 平面ABCD ，
1
CC
AC
．
记玻璃棒的另一端落在
1
CC 上点M 处．
因为
10 7
AC
，
40
AM
．
所以
2
2
40
(10 7)
30
MN
，从而
3
sin
4
MAC
．
记AM 与水平的交点为
1P ，过
1P 作
1
1
PQ
AC
，
1
Q 为垂足，
则
1
1
PQ 平面ABCD ，故
1
1
12
PQ
，
从而
1
1
1
16
sin
PQ
AP
MAC
．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm．
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
(2)如图，O ，
1
O 是正棱台的两底面中心．
由正棱台的定义，
1
OO ⊥平面EFGH ，
所以平面
1
1
E EGG ⊥平面EFGH ，
1
OO ⊥EG ．
同理，平面
1
1
E EGG ⊥平面
1
1
1
1
E FG H ，
1
OO ⊥
1
1
E G ．
记玻璃棒的另一端落在
1
GG 上点N 处．
过G 作GK ⊥
1
1
E G ，K 为垂足，则GK =
1
OO =32．
因为EG = 14 ，
1
1
E G = 62，
所以
1
KG = 62 14
24
2
，从而
2
2
2
2
1
1
24
32
40
GG
KG
GK
．
设
1
,
,
EGG
ENG
∠
∠
则
1
1
4
sin
sin(
)
cos
2
5
KGG
KGG
∠
∠
．
因为2
，所以
3
cos
5
．
在
ENG
△
中，由正弦定理可得40
14
sin
sin
，解得
7
sin
25
．
因为0
2
，所以
24
cos
25
．
于是sin
sin(
)
sin(
)
sin
cos
cos
sin
NEG
∠
4
24
7
3
( 3
5)
5
25
25
5
．
记EN 与水面的交点为
2P ，过
2P 作
2
2
P Q
EG
，
2
Q 为垂足，则
2
2
PQ ⊥平面EFGH ，故
2
2
PQ =12，从而
2
EP =
2
2
20
sin
P
NEG
Q
∠
．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
28．(2014 山东)如图，四棱锥P
ABCD
中，AP
PCD
平面
，AD
BC
∥
，
1
,
,
2
AB
BC
AD E F
分别为线段
,
AD PC 的中点．
(Ⅰ)求证：AP
BEF
∥平面
；
(Ⅱ)求证：BE
PAC
平面
．
【解析】(Ⅰ)设AC
BE
O
，连结OF，EC，
由于E 为AD 的中点，
1
,
/ /
2
AB
BC
AD AD
BC
，
所以
/ /
,
AE
BC AE
AB
BC
,
因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，
因此在PAC
中，可得
/ /
AP
OF ．
又OF 平面BEF ，AP 平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ．
(Ⅱ)由题意知，
/ /
,
ED
BC ED
BC
，所以四边形BCDE 为平行四边形，
因此
/ /
BE
CD ．又AP 平面PCD，所以AP
CD
，因此AP
BE
．
因为四边形ABCE 为菱形，所以BE
AC
．
又AP
AC
A
，AP，AC平面PAC，所以BE 平面PAC ．
29．(2014 江苏)如图，在三棱锥
ABC
P
中，D ，E，F 分别为棱
AB
AC
PC
,
,
的中点．已知
AC
PA
，
,6
PA
.5
,8
DF
BC
求证：(Ⅰ)直线PA ∥平面DEF ；
(Ⅱ)平面BDE 平面ABC ．
【解析】(Ⅰ)∵D E
，为PC
AC
，
中点，∴DE∥PA
∵PA 平面DEF，DE 平面DEF，∴PA∥平面DEF
(Ⅱ)∵D E
，为PC
AC
，
中点，∴
1
3
2
DE
PA
∵E F
，为AC
AB
，
中点，∴
1
4
2
EF
BC
∴
2
2
2
DE
EF
DF
，∴
90
DEF
°，∴DE⊥EF
∵
//
DE PA PA
AC
，
，∴DE
AC
∵AC
EF
E
，∴DE⊥平面ABC
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
30．(2012 广东)如图所示，在四棱锥P
ABCD
中，AB 平面PAD ，
/ /
,
AB
CD PD
AD
，E 是PB 中
点，F 是DC 上的点，且
1
2
DF
AB
，PH 为PAD
中AD 边上的高．
(Ⅰ)证明：PH 平面ABCD ；
(Ⅱ)若
1,
2,
1
PH
AD
FC
，求三棱锥E
BCF
的体积；
(Ⅲ)证明：EF 平面PAB ．
【解析】(Ⅰ) AB 平面PAD ，PH 面PAD
PH
AB
又
,
PH
AD AD
AB
A
PH
面ABCD
(Ⅱ) E 是PB 中点点E 到面BCF 的距离
1
1
2
2
h
PH
三棱锥E
BCF
的体积
1
1
1
1
1
2
1
2
3
3
2
6
2
12
BCF
V
S
h
FC
AD
h
(Ⅲ)取PA 的中点为G ，连接
,
DG EG ，PD
AD
DG
PA
，
又AB 平面PAD 面PAD 面PAB
DG
面PAB ，
点
,
E G 是棱
,
PB PA 的中点
1
1
/ /
,
/ /
/ /
/ /
2
2
EG
AB DF
AB
EG
DF
DG
EF
，得：EF 平面PAB ．
31．(2011 江苏)如图，在四棱锥
ABCD
P
中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB
AD
，
BAD
=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．
求证：(Ⅰ)直线EF ∥平面PCD；
(Ⅱ)平面BEF ⊥平面PAD ．
【证明】：(Ⅰ)在△PAD 中，因为E、F 分别为AP，AD 的中点，所以EF//PD．
又因为EF平面PCD，PD 平面PCD，所以直线EF//平面PCD．
(Ⅱ)连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，
因为F 是AD 的中点，
所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF 平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，
所以BF⊥平面PAD．
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．
32．(2019 江苏16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E．
证明：(1)因为D，E 分别为BC，AC 的中点，
所以ED∥AB．
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED．
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1．
(2)因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC．
因为三棱柱ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC．
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE．
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1．
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E．
33．(2011 江苏)如图，在四棱锥
ABCD
P
中，平面PAD 平面ABCD ，AB
AD
，
BAD
=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．
求证：(Ⅰ)直线EF ∥平面PCD ；
(Ⅱ)平面BEF 平面PAD ．
【证明】(Ⅰ)在△PAD 中，因为E、F 分别为AP，AD 的中点，
所以EF//PD．
又因为EF平面PCD，PD 平面PCD ，
所以直线EF//平面PCD．
(Ⅱ)连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以ABD
为正三角形，
因为F 是AD 的中点，
所以BF AD．
因为平面PAD 平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，
所以BF 平面PAD．
又因为BF平面BEF，
所以平面BEF 平面PAD．
考点81
空间几何体的截面问题
1．(2018•新课标Ⅰ，理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正
方体所得截面面积的最大值为(
)
A．3 3
4
B．2 3
3
C．3 2
4
D．
3
2
【答案】A
【解析】正方体的所有棱中，实际上是3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：
所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长
2
2 ，
截此正方体所得截面最大值为：
2
3
2
3 3
6
(
)
4
2
4
，故选A ．
2．(2015•新课标Ⅱ，理19)如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
16
AB
，
10
BC
，
1
8
AA
，点E ，F 分
别在
1
1
A B ，
1
1
D C 上，
1
1
4
A E
D F
，过点E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF 与平面所成角的正弦值．
【解析】(1)交线围成的正方形EFGH 如图：
(2)作EM
AB
，垂足为M ，则：
10
EH
EF
BC
，
1
8
EM
AA
，
2
2
6
MH
EH
EM
，
10
AH
。
以边DA ，DC ，
1
DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
(10
A
，0，0) ，
(10
H
，10，0) ，
(10
E
，4，8) ，
(0
F
，4，8) ，
( 10,0,0),
(0,6, 8)
EF
EH
。
设
( , , )
n
x y z
为平面EFGH 的法向量，则：
10
0
6
8
0
n EF
x
n EH
y
z
，取
3
z
，则
(0,4,3)
n
，
若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为，则：
40
4 5
sin
| cos
,
|
15
180 5
AF n
，直线AF 与平面所
成角的正弦值为4 5
15 ．
