2011-2020年高考数学真题分专题训练专题09导数的综合应用（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题09 导数的综合应用
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011
理21[来源:
学#科#网]
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题[来源:Z。
xx。k.Com][来源:学科网ZXXK]
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求
函数的切线及不等式恒成立问题，考查分类整合思想、运
算求解能力及应用意识．[来源:Zxxk.Com]
文21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数求
函数的切线、证明不等式，考查分类整合思想．
2012
文21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、函数单调性
与导数的关系及不等式恒成立问题，考查分类整合思想、
运算求解能力及应用意识．
2013
卷1
理21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数
最值，考查运算求解能力及应用意识．
卷2
理21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查函数的导数运算、函数极值与导数的关系、函数
的单调性与导数关系、恒成立问题的解法等基础知识和基
本方法，考查放缩思想、分析解决问题能力
2014
卷1
理11
文12
利用导数研究函数零点
问题
本题主要考查函数零点、利用导数研究函数的图像与性质
及分类整合思想，是难题．
卷1
理21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研
究函数的单调性、证明不等式，考查分类整合思想．
卷2
文21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、考查利用导
数研究函数的切线、利用导数研究函数零点问题，考查分
类整合思想．
2015
卷1
理12
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研
究函数的图像与性质解函数不等式．
卷1
理21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义研究函数的切线、利用导数研究函数零点问题及
分类整合思想．
卷2
理2
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研
究函数的图像与性质解函数不等式．
卷2
理21
利用导数解决不等式恒
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
(能)成立与探索性问题
究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想．
2016
卷1
理21
利用导数研究函数零点
问题
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数零点问题、与极值点偏移问题有关的不等式证明及
分类整合思想．
卷2
文21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义求切线、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想．
卷3
文21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数证明不等式及分类整合思想．
2017
卷1
理16
生活中的最优化问题
主要考查三棱锥的展开图与圆的内接关系、三棱锥的体
积、利用导数求函数最值；考查数学应用意识．
卷1
理21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数研究函数零点问题及分类整合
思想．
卷1
文21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想．
卷2
理21
利用导数解证不等式
不等式恒成立问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解
决不等式恒成立问题、导数与极值关系、利用导数证明不
等式及分类整合思想．
卷2
文21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想
卷3
理11
文12
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、常见函数的导数、利用导数研
究函数零点问题及分类整合思想．
卷3
理21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想
卷3
文21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利
用导数的研究函数的单调性、利用导数证明不等式及分类
整合思想
卷1
理21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利
2018
用导数的研究函数的单调性、导数与函数极值的关系、利
用导数证明不等式及分类整合思想
卷1
文21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利
用导数的研究函数的单调性、导数与函数极值的关系、利
用导数证明不等式
卷2
理21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用到证明
不等式、利用导数研究函数零点问题．
卷2
文21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、利用导数求函数的单调区间、
利用导数研究函数零点问题．
卷3
理21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证
明不等式、导数与极值的关系
卷3
文21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义求函数的切线、利用导数证明不等式
2019
卷1
理20
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、利用导数研究函数的极值、利
用导数研究函数零点问题．
卷2
理20
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数零点问题及利用导数的几何意义研究切线．
卷3
理20
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数研究函数最值是否存在的探索
性问题，考查分类整合思想．
卷1
文21
1．利用导数研究函数零
点问题
2．利用导数解决不等式
恒(能)成立与探索性问
题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的零点、利用导数研究函数恒成立问题，考查分类
整合思想．
卷2
文21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的零点、利用导数研究函数极值，考查分类整合思
想．
2020
卷1
理21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数解决不等式恒成立
的参数取值范围问题
文20
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数由零点个数求参数
取值范围
卷2
理21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式
文21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数解决不等式恒成立
的参数取值范围问题
卷3
理21
导数的综合应用
导数的几何意义，应用研究函数的零点，应用导数证明不
等式
文20
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数由零点个数求参数
取值范围
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
生活中的最优化问题
1/34
2021 年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题
或解答题压轴题形式考查不等式恒(能)成立问题与探
索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或
方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能
力．
利用导数解决不等式恒(能)成立与
探索性问题
11/34
利用导数解、证不等式
12/34
利用导数研究函数零点问题
10/34
十年试题分类*探求规律
考点30 生活中的最优化问题
1．(2017 全国卷1 理16)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为
O．D，E，F 为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚
线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F 重合，得到三棱锥．当
△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为
．
2．(2020 江苏17)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，
桥AB 与MN 平行，OO为铅垂线(O在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离
1h (米)
与D 到OO的距离a (米)之间满足关系式
2
1
1
40
h
a

；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离
2h (米)与F
到OO的距离b (米)之间满足关系式
3
2
1
6
800
h
b
b


．己知点B 到OO的距离为40 米．
(1)求桥AB 的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD 和EF ，且CE 为80 米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥
墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价3
2 k (万元)(
0
k 
)，
问
'
O E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？
考点31 利用导数解决恒成立问题与探索性问题
1．(2019 天津理8)已知aR ，设函数









1
,
ln
1
,
2
2
)
(
2
x
x
a
x
x
a
ax
x
x
f
，若关于x 的不等式
0
)
(

x
f
在R 上
恒成立，则a 的取值范围为
A．

0,1
B．

0,2
C．

0,e
D．

1,e
2．(2014 辽宁)当
[ 2,1]
x
时，不等式
3
2
4
3
0
ax
x
x




恒成立，则实数a 的取值范围是(
)
A．[ 5, 3]


B．
9
[ 6,
]
8


C．[ 6, 2]


D．[ 4, 3]


3．(2020 全国Ⅰ理21)已知函数

2
ex
f x
ax
x



．
(1)当
1
a 
时，讨论

f x 的单调性；
(2)当
0
x 
时，

3
1
1
2
f x
x


，求a 的取值范围．
4．(2020 全国Ⅱ文21)已知函数

2ln
1
f x
x

．
(1)若

2
f x
x
c


，求c 的取值范围；
(2)设
0
a 
，讨论函数


f x
f a
g x
x
a



的单调性．
5．(2020 山东21)已知函数
1
( )
e
ln
ln
x
f x
a
x
a




．
(1)当
e
a 
时，求曲线
( )
y
f x

在点



1,
1
f
处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若
( )
1
f x ，求a 的取值范围．
6．(2019 全国Ⅰ文20)已知函数f(x)=2sinx－xcosx－x，f ′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f ′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a 的取值范围．
7．(2017 新课标Ⅰ文21)已知函数
2
( )
(
)
x
x
f x
e e
a
a x



．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
0
f x ≥
，求a 的取值范围．
8．(2017 新课标Ⅱ)设函数
2
( )
(1
)
x
f x
x e


．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
x≥
时，
( )
1
f x
ax 
≤
，求a 的取值范围．
9．(2017 全国卷3 理21)已知函数

1
ln
f
x
x
a
x


．
(1)若

0
f
x 
，求a 的值；
(2)设m 为整数，且对于任意正整数n，
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2n
m




















，求m 的最小值．
10．(2016 年全国II 文21)已知函数
( )
(
1)ln
(
1)
f x
x
x
a x




．
(Ⅰ)当
4
a 
时，求曲线
( )
y
f x

在

1,
(1)
f
处的切线方程；
(Ⅱ)若当


1,
x
时，
( )
0
f x ＞，求a 的取值范围．
11．(2015 新课标Ⅱ理21)设函数
2
( )
mx
f x
e
x
mx



．
(Ⅰ)证明：
( )
f x 在(
,0)

单调递减，在(0,
)
单调递增；
(Ⅱ)若对于任意
1x ，
2x
[ 1,1]

，都有
1
2
|
(
)
(
) |
f x
f x

1
e 
≤
，求m 的取值范围．
12．(2013 全国卷1 理21)已知函数
( )
f x ＝
2x
ax
b


，( )
g x ＝
(
)
xe cx
d

，若曲线
( )
y
f x

和曲线
( )
y
g x

都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线
4
2
y
x


(Ⅰ)求a ，b ，c ，d 的值
(Ⅱ)若x ≥－2 时，
( )
f x ≤
( )
kg x ，求k 的取值范围．
13．(2012 全国课标文21)设函数f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k 为整数，且当x>0 时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k 的最大值
14．(2011 全国课标理21)已知函数
( )
f x =
ln
1
a
x
b
x
x


，曲线y =
( )
f x 在点(1，
(1)
f
)处的切线方程为
2
3
0
x
y



．
(Ⅰ)求a ，b 的值；
(Ⅱ)如果当x ＞0，且x 1 时，
( )
f x ＞ln
1
x
k
x
x


，求k 的取值范围．
15．(2019 全国Ⅲ理20)已知函数
3
2
( )
2
f x
x
ax
b



．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)是否存在
,a b ，使得
( )
f x 在区间[0,1] 的最小值为1
且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若
不存在，说明理由．
16．(2019 浙江22)已知实数
0
a 
，设函数
( )= ln
1,
0.
f x
a
x
x
x



(1)当
3
4
a 
时，求函数
( )
f x 的单调区间；
(2)对任意
2
1
[
,
)
e
x
均有
( )
,
2
x
f x
a

求a 的取值范围．
考点32 利用导数解、证不等式问题
1．(2020 全国Ⅱ理21)已知函数

2
sin
sin 2
f x
x
x

．
(1)讨论

f x 在区间

0,的单调性；
(2)证明：

3 3
8
f x 
；
(3)设
*
nN ，证明：
2
2
2
2
3
sin
sin 2 sin 4
sin 2
4
n
n
n
x
x
x
x 

．
2．(2020 全国Ⅲ理21)设

3
,
f x
x
bx
c x



R ，曲线

f x 在点1
1
,
2
2
f












处的切线与y 轴垂直．
(1)求b ；
(2)若

f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：

f x 的所有零点的绝对值都不大于1．
3．(2020 江苏19)已知关于x 的函数
( )
y
f x

，
( )
y
g x

与( )
h x
kx
b


( k ，b
R

)在区间D 上恒有
( )
( )
( )
f x
h x
g x


．
(1)若
2
( )
2
f x
x
x


，
2
( )
2
g x
x
x


，
(
,
)
D ，求( )
h x 的表达式；
(2)若
2
( )
1
f x
x
x

，( )
ln
g x
k
x

，( )
h x
kx
k


，
(0,
)
D 
，求k 的取值范围；
(3)若
4
2
( )
2
f x
x
x


，
2
( )
4
8
g x
x


，
3
4
2
( )
4(
)
3
2 (0
2)
h x
t
t x
t
t
t






，
[ , ]
[
2,
2]
D
m n


，求证：
7
n
m


．
4．(2020 天津20)已知函数
3
( )
ln (
)
f x
x
k
x k
R



，
( )
f
x

为
( )
f x 的导函数．
(Ⅰ)当
6
k 
时，
(i)求曲线
( )
y
f x

在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
(ii)求函数
9
( )
( )
( )
g x
f x
f
x
x




的单调区间和极值；
(Ⅱ)当
3
k

.
时，求证：对任意的
1
2
,
[1,
)
x
x 
，且
1
2
x
x

，有






1
2
1
2
1
2
2
f
x
f
x
f x
f x
x
x






．
5．(2020 浙江22)已知1
2
a


，函数

ex
f x
x
a



，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数

y
f x

在(0
)

，
上有唯一零点；
(Ⅱ)记x0 为函数

y
f x

在(0
)

，
上的零点，证明：
(ⅰ)
0
1
2(
1)
a
x
a



；
(ⅱ)
0
0
(e
)
(e 1)(
1)
x
x f
a
a



．
6．(2015 新课标Ⅰ理12)设函数
( )
(2
1)
x
f x
e
x
ax
a




，其中
1
a 
，若存在唯一的整数
0x ，使得
0
(
)
0
f x

，则a 的取值范围是
A．
3
[
,1)
2e

B．
3
3
[
, )
2
4
e

C．3
3
[
, )
2
4
e
D．3
[
,1)
2e
7．(2015 新课标Ⅱ理12)设函数
( )
f
x

是奇函数
( )(
)
f x x
R

的导函数，
( 1)
0
f 

，当
0
x 
时，
'( )
( )
xf
x
f x

0

，则使得f (x) 0 成立的x 的取值范围是
A．


, 1
0,1


B．


1,0
1,



C．



, 1
1,0



D．



0,1
1,

8．(2018 全国卷3 理21)已知函数




2
2
ln 1
2
f x
x
ax
x
x





．
(1)若
0
a 
，证明：当1
0
x


时，

0
f x 
；当
0
x 
时，

0
f x 
；
(2)若
0
x 
是
f x 的极大值点，求a ．
9．(2018 全国卷3 文21)已知函数
2
1
( )
ex
ax
x
f x



．
(1)求曲线
( )
y
f x

在点(0, 1)

处的切线方程；
(2)证明：当
1
a 
时，
( )
e
0
f x 

．
10．(2018 全国卷1 理21)已知函数
1
( )
ln
f x
x
a
x
x



．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
f x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，证明：




1
2
1
2
2
f x
f x
a
x
x




．
11．(2018 全国卷1 文21)已知函数

e
ln
1
x
f x
a
x


．
(1)设
2
x 
是

f x 的极值点，求a，并求

f x 的单调区间；
(2)证明：当
1
e
a≥
时，

0
f x ≥
．
12．(2017 新课标Ⅱ理21)已知函数
2
( )
ln
f x
ax
ax
x
x



，且
( )
0
f x ≥
．
(1)求a ；
(2)证明：
( )
f x 存在唯一的极大值点
0x ，且
2
2
0
(
)
2
e
f x




．
13．(2017 新课标Ⅲ文21)已知函数
2
( )
ln
(2
1)
f x
x
ax
a
x




．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)当
0
a 
时，证明
3
( )
2
4
f x
a


≤
．
14．(2016 年全国III 卷)设函数
( )
ln
1
f x
x
x


．
(Ⅰ)讨论
( )
f x 的单调性；
(Ⅱ)证明当
(1,
)
x
时，
1
1
ln
x
x
x



；
(III)设
1
c ，证明当
(0,1)
x
时，1 (
1)
x
c
x
c



．
15．(2015 全国1 文21)设函数

2
ln
x
f x
e
a
x


．
(I)讨论

f x 的导函数

f
x

的零点的个数；
(II)证明：当
0
a 
时

2
2
ln
f x
a
a
a


．
16．(2013 全国卷1 理12)设函数
1
( )
ln
x
x
be
f x
ae
x
x



，曲线
( )
y
f x

在点(1，
(1)
f
处的切线为
(
1)
2
y
e x



．
(Ⅰ)求,a b ；
(Ⅱ)证明：
( )
1
f x 
．
17．(2013 全国卷2 理21)已知函数
( )
f x =
ln(
)
xe
x
m


．
(Ⅰ) 设x =0 是
( )
f x 的极值点，求m ，并讨论
( )
f x 的单调性；
(Ⅱ)当m ≤2 时，证明：
( )
f x ＞0．
18．(2011 全国课标文21)已知函数
( )
f x =
ln
1
a
x
b
x
x


，曲线y =
( )
f x 在点(1，
(1)
f
)处的切线方程为
2
3
0
x
y



．
(Ⅰ)求a ，b 的值；
(Ⅱ)证明：当x ＞0，且x 1 时，
( )
f x ＞ln
1
x
x 
．
19．(2010 全国课标文21)设函数
( )
f x = 

2
1
x
x e
ax


．
(Ⅰ)若a = 1
2
，求
( )
f x 的单调区间；
(Ⅱ)若x ≥0 时
( )
f x ≥0，求a 的取值范围
20．(2016 年四川) 设函数
2
( )
ln
f x
ax
a
x



，其中a
R

．
(I)讨论
( )
f x 的单调性；
(II)确定a 的所有可能取值，使得
1
1
( )
x
f x
e
x



在区间(1,
)
内恒成立(e=2．718…为自然对数的底
数)．
21．(2015 山东)设函数
2
( )
ln(
1)
(
)
f x
x
a x
x




，其中a
R

．
(Ⅰ)讨论函数
( )
f x 极值点的个数，并说明理由；
(Ⅱ)若
0
x

，
( )
0
f x ≥
成立，求a 的取值范围．
考点33 利用导数研究函数零点问题
1．(2020 全国Ⅰ文20)已知函数



e
2
x
f x
a x



．
(1)当
1
a 时，讨论

f x 的单调性；
(2)若

f x 有两个零点，求a 的取值范围．
2．(2020 全国Ⅲ文20)已知函数

3
2
f x
x
kx
k



．
(1)讨论

f x 的单调性：
(2)若

f x 有三个零点，求k 的取值范围．
3．(2017 全国卷3，理11)已知函数
2
1
1
( )
2
(e
e
)
x
x
f x
x
x
a






有唯一零点，则a=( )
A．
1
2

B．1
3
C．1
2
D．1
4．(2014 卷1 理11)已知函数
( )
f x =
3
2
3
1
ax
x

，若
( )
f x 存在唯一的零点
0x ，且
0x ＞0，则a 的取值范
围为(
)
A ．(2，+∞)
B ．(-∞，-2)
C ．(1，+∞)
D ．(-∞，-1)
5．(2019 全国Ⅰ理20)已知函数
( )
sin
ln(1
)
f x
x
x



，
( )
f
x

为
( )
f x 的导数．证明：
(1)
( )
f
x

在区间( 1,
)
2


存在唯一极大值点；
(2)
( )
f x 有且仅有2 个零点．
6．(2019 全国Ⅱ理20)已知函数

1
1
ln
x
f x
x
x



．
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x0 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线
ex
y 
的切线．
7．(2018 全国卷2 理21)已知函数
2
( )
ex
f x
ax


．
(1)若
1
a 
，证明：当
0
x 
时，
( )
1
f x ；
(2)若
( )
f x 在(0,
)
只有一个零点，求a ．
8．(2018 全国卷2 文21)已知函数



3
2
1
1
3
f x
x
a x
x




．
(1)若
3
a 
，求
( )
f x 的单调区间；
(2)证明：
( )
f x 只有一个零点．
9．(2017 全国课标1 理21)已知函数
2
( )
e
(
2)e
x
x
f x
a
a
x




．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
f x 有两个零点，求a 的取值范围．
10．(2016 年全国Ⅰ理21) 已知函数
2
( )
(
2)
(
1)
x
f x
x
e
a x




有两个零点．
(I)求a 的取值范围；
(II)设
1x ，
2x 是
( )
f x 的两个零点，证明：
1
2
2
x
x


．
11．(2016 年全国I 文21)已知函数
2
2
( )
(
2)
(
1)
f x
x
e
a x




．
(I)讨论
( )
f x 的单调性；
(II)若
( )
f x 有两个零点，求a 的取值范围．
12．(2015 新课标Ⅰ理21)已知函数
3
1
( )
4
f x
x
ax



，( )
ln
g x
x

．
(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线
( )
y
f x

的切线；
(Ⅱ)用min 

,
m n
表示m ，n 中的最小值，设函数


( )
min
( ), ( )
h x
f x g x

(
0)
x 
，讨论( )
h x 零点的个数．
13．(2014 全国卷2 文21)已知函数
3
2
( )
3
2
f x
x
x
ax




，曲线
( )
y
f x

在点(0，2)处的切线与x 轴
交点的横坐标为2

．
(Ⅰ)求a ；
(Ⅱ)证明：当
1
k 
时，曲线
( )
y
f x

与直线
2
y
kx


只有一个交点．
14．(2019 全国Ⅱ文21)已知函数
( )
(
1)ln
1
f x
x
x
x



．证明：
(1)
( )
f x 存在唯一的极值点；
(2)
( )=0
f x
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
15．(2016 年山东)已知


2
2
1
( )
ln
,
R
x
f x
a x
x
a
x





．
(I)讨论
( )
f x 的单调性；
(II)当
1
a 
时，证明

3
( )
'
2
f x
f
x 
＞
对于任意的


1,2
x
成立．